Identidad Trigonométrica Formatos

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Identidad Trigonométrica 
Una identidad es una ecuación que es satisfecha para todos los 
valores permitidos de su variable. 
Ejemplo 1: 
Escribir tres identidades algebraicas, cualesquiera: 
(a) x² – 1 = (x + 1)(x – 1) , para todo «x» 
(b) x + 1 + 2x – 3 = 3x – 2 , para todo «x» 
(c) para todo x ≠ 1 
 
Ejemplos 2: 
Escribir identidades con funciones trigonométricas a partir de las 
identidades algebraicas anteriores. 
(a) Sen² θ – 1 = (Senθ +1)(Senθ-1) , para todo valor de «θ» 
(b) Cosθ + 1 + 2 Cosθ -3 =3 Cosθ – 2 , para todo valor de «θ» 
(c) para todo valor de Tgθ ≠ 0 
 
Es posible relacionar las funciones trigonométricas entre si, mediante 
igualdades, por ello definimos que: 
 
Identidades Trigonométricas 
Fundamentales 
Del triángulo mostrado, se puede deducir: 
Identidades Reciprocas: 
 
 
Identidades por Cociente: 
Utilizando el gráfico anterior: 
 
Identidades Pitagóricas: 
Aplicando el teorema de PITÁGORAS en la figura anterior, se 
obtiene: 
 
Dividiendo entre: Cos² x la identidad (6), obtenemos: 
 
usando las identidades (4) y (2): 
 
Del mismo modo, usando las identidades (6), (5) y (1) 
 
Identidades Trigonométricas 
Auxiliares 
Las identidades trigonométricas auxiliares más importantes son: 
 
Demostraciones de Identidades 
Trigonométricas 
Para demostrar identidades trigonométricas no hay una técnica ni un 
procedimiento especial. Las siguientes sugerencias ayudan a realizar 
dichas demostraciones. 
1.- Demostrar que un miembro de la igualdad dada es igual al otro. 
2.- Escoger el miembro más complicado de la identidad. 
3.- Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos. 
4.- Hacer uso de las identidades algebraicas. Entre las identidades 
más importantes tenemos: 
 
5.- Si hubiera productos indicados, desarrollar y simplificar. 
6.- De las identidades trigonométricas fundamentales se pueden 
deducir otras así: 
 
Ejemplos: 
1.- Demostrar: Sen²x. Sec x + Cos x =Sec x 
Consideremos el lado izquierdo de la identidad: Sen²x. Sec x + Cos x 
Usando la identidad (2): 
 
Efectuando operaciones se tendrá: 
 
Empleando la identidad (6): 
 
Finalmente de (2): Sec x 
2.- Demostrar: Tg x + Ctg x = Sec x . Csc x 
Trabajando con Tg x + Ctg x 
Utilizando las identidades ( ) y ( ) 
 
Sumando las fracciones: 
 
Utilizando la identidad ( ), tendremos: 
 
Propiedad: 
 
Usando las identidades recíprocas: …………….. 
Simplificaciones 
Con la ayuda de las identidades trigonométricas estudiadas 
podemos reducir al máximo expresiones trigonométricas que 
contengan diversos grados de dificultad. 
Ejemplo 01: 
1.- Simplificar: Sen x . Cos x . Tg x 
Solución: 
Colocando la expresión en términos de senos y cosenos: 
 
al simplificar: «Cos x» queda: 
 
Ejemplo 02: 
Reducir: (Sen x + Cos x)² + ( Sen x – Cos x)² 
Solución: 
Utilizando la Identidad de Legendre: 
 
Ejemplos de Identidades 
Trigonométricas 
Ahora veremos algunos ejemplos de identidades trigonométricas: 
Ejemplo 01: 
Simplificar: R = (Sec x – Cos x)(Csc x – Sen x)(Tg x + Ctg x) 
Solución: 
Expresando en términos de senos y cosenos: 
 
Luego de reemplazar las identidades correspondientes, se obtiene: 
 
Finalmente: R = 1 
Ejemplo 02: 
Reducir: 
 
Solución: 
Usando las identidades fundamentales, obtenemos: 
 
Efectuando: 
 
Finalmente: M = Tg x 
Ejemplo 03: 
A qué es igual: 
 
Solución: 
Utilizando las identidades auxiliares (11) y (12), se obtiene: 
 
luego, efectuando operaciones: 
 
finalmente: S = 1 
Ejemplo 04: 
Simplificar: 
 
Solución: 
Desarrollando las identidades algebraicas en el numerador: 
 
luego de simplificar y usar la identidad auxiliar (10), se tiene: 
 
finalmente: K = 2 
Ejercicios de Identidades 
Trigonométricas 
En esta sección te compartiremos varios problemas de identidades 
trigonométricas para resolver, en donde cada uno de los ejercicios 
contiene 5 alternativas de las cuales una de ellas es la respuesta. 
Estos ejercicios tanto resueltos y para resolver las podrás descargar 
de forma gratuita en formato WORD y PDF, solo bastara elegir la 
opción que prefieras. 
Ejercicios para Resolver de Identidades 
Trigonométricas 
Aquí te compartiremos un documento que contiene 48 problemas 
de identidades trigonométricas, te invitamos a seleccionar la 
opción que prefieras: 
Opción A – WORD | Opción B – PDF 
Identidades Trigonométricas para 
Secundaria 
Ahora te compartiremos los enlaces de otro sitios web que comparte 
fichas de identidades trigonométricas estudiantes de secundaria, 
todos estos materiales educativos los podrás descargar en 
formato PDF. 
Fichas para Cuarto Grado de Secundaria 
Ahora te compartiremos algunos enlaces de materiales educativos 
relacionados con el tema de identidades trigonométricas al 1er 
cuadrante para 4to grado de secundaria que te compartiremos en 
seguida: 
• Ficha 01 – Identidades Trigonométricas 
fundamentales 
• Ficha 02 – Identidades Trigonométricas Reciprocas y 
Pitagóricas 
• Ficha 03 – Identidades Trigonométricas Auxiliares 
Fichas para Quinto Grado de Secundaria 
Ahora te brindaremos algunos el enlace de dos fichas educativas 
relacionadas con el tema de identidades trigonométricas para 5to 
grado de secundaria que te compartiremos en seguida: 
https://paginaeducativa.com/wp-content/uploads/Ejercicios-de-Identidades-Trigonometricas-Pagina-Educativa.doc
https://paginaeducativa.com/wp-content/uploads/Ejercicios-de-Identidades-Trigonometricas-Pagina-Educativa.pdf
https://materialeseducativos.org/trigonometria-cuarto-de-secundaria/identidades-trigonometricas-fundamentales/
https://materialeseducativos.org/trigonometria-cuarto-de-secundaria/identidades-trigonometricas-fundamentales/
https://materialeseducativos.org/trigonometria-cuarto-de-secundaria/identidades-trigonometricas-reciprocas-y-pitagoricas/
https://materialeseducativos.org/trigonometria-cuarto-de-secundaria/identidades-trigonometricas-reciprocas-y-pitagoricas/
https://materialeseducativos.org/trigonometria-cuarto-de-secundaria/identidades-trigonometricas-auxiliares/
• Ficha 01 – Ejercicios de Identidad Trigonométrica 
Fundamental 
• Ficha 02 – Ejercicios de Identidad Trigonométrica 
Auxiliar 
 
https://materialeseducativos.org/trigonometria-quinto-de-secundaria/ejercicios-de-identidades-trigonometricas-fundamentales/
https://materialeseducativos.org/trigonometria-quinto-de-secundaria/ejercicios-de-identidades-trigonometricas-fundamentales/
https://materialeseducativos.org/trigonometria-quinto-de-secundaria/ejercicios-de-identidades-trigonometricas-auxiliares/
https://materialeseducativos.org/trigonometria-quinto-de-secundaria/ejercicios-de-identidades-trigonometricas-auxiliares/