Trigonometría

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ÍndiceÍndice
Sistema de medición angular I.....................................................................................................5
Sistema de medición angular II..................................................................................................15
Sector circular............................................................................................................................24
Razones trigonométricas de un ángulo agudo..........................................................................35
Razones trigonométricas de ángulos notables I........................................................................46
Razones trigonométricas de ángulos notables II......................................................................55
Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo...........................................67
Resolución de triángulos rectángulos........................................................................................76
Ángulos verticales.....................................................................................................................88
Geometría analítica I.................................................................................................................98
Geometría analítica II .............................................................................................................110
Números reales.......................................................................................................................119
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal I..................................................130
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal II.................................................141
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal III................................................149
Reducción al primer cuadrante I.............................................................................................159
Reducción al primer cuadrante II............................................................................................167
Circunferencia trigonométrica.................................................................................................176
Circunferencia trigonométrica II...............................................................................................185
Identidades trigonométricas I..................................................................................................194
Identidades trigonométricas II.................................................................................................202
Identidades para el ángulo compuesto...................................................................................210
Identidades para el ángulo doble............................................................................................219
Colegio Particular 5109
Métodos antiguos de medir líneas y ángulos en una circunferencia
Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para 
medir los ángulos determinados por varias estrellas.
En ese tiempo, alrededor de dieciséis siglos antes de 
nuestra era, el escriba Ahmes escribió su famoso pa-
piro en el que se evidencia que los egipcios conocían, 
entre otras muchas cosas, que la circunferencia de un 
círculo es un número fijo de veces su propio diámetro.
Es un número incomensurable que desde el siglo 
XVII es designado con la letra griega p.
La medida de los ángulos que hoy nos es común, se 
remontan al tiempo de la Escuela de Alejandria en 
los principios de nuestra era. Los matemáticos grie-
gos de dicha escuela dividieron la circunferencia en 
360 partes iguales, posiblemente copiando a los ba-
bilonios, llamando a cada una de dichas partes una 
moira. Esta palabra griega se tradujo en 
latín medioeva como de gradus, "un gra-
do o paso a partir de". Así pues, nuestra 
palabra "grado" significa el primer paso 
para determinar la medida de un giro o 
revolución completa, es decir 1
360
 de 1 
tal revolución.
La siguiente etapa fue dividir cada grado 
en sesenta partes iguales, a cada una de 
las cuales se le dio el nombre de pars mi-
nuta prima, "primera parte menor". De 
dicho nombre se deduce nuestra palabra 
"minuto" (abreviada) con un significa-
do doble de primera parte menor de un 
grado" o "primera parte menor de una 
hora". Dicha pars minuta prima se di-
vidió nuevamente en 60 partes iguales, 
cada una de las cuales recibió el nombre 
de pars minuta secunda, "segunda parte menor". De ahí se deriva nuestra palabra "segun-
do", (abreviada) con un doble significado de "segunda parte menor de un grado" o "segunda 
parte menor de una hora". Sexagesimus es la palabra latina correspondiente a sensetavo, 
por tal razón esta medida angular se conoce como sexagesimal. En la práctica, se toma por 
unidad de arco el cuarto de la circunferencia, o bien la 360va parte de la circunferencia o 
grado. Desde luego los ángulos pueden también medirse de dos maneras: en ángulos rectos o 
fracciones de ángulos rectos, o en grados, minutos y segundos, pudiendo fácilmente pasarse 
de una a otra de estas medidas.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce los sistemas de medición angular y sus unidades.
 ¾ Relaciona los sistemas de medición angular, mediante factor de con-
versión.
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR I
Representación de Euclides quien, 
bajo el reinado de Talameo I, fundó 
la Escuela de Alejandría hacia el año 
300 antes de nuestra era.
Las bases de 200 metros de las pirámides eran 
exactas hasta una o dos pulgadas. Los hombres 
que supervisaban las operaciones de la construc-
ción lograban esta exactitud usando estaquillas 
y lienzos para calcular un ángulo recto preciso. 
Logrando esto se clavan postes en la tierra para 
señalar el área del lugar de la construcción.
1
109
Métodos antiguos de medir líneas y ángulos en una circunferencia
Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para 
medir los ángulos determinados por varias estrellas.
En ese tiempo, alrededor de dieciséis siglos antes de 
nuestra era, el escriba Ahmes escribió su famoso pa-
piro en el que se evidencia que los egipcios conocían, 
entre otras muchas cosas, que la circunferencia de un 
círculo es un número fijo de veces su propio diámetro.
Es un número incomensurable que desde el siglo 
XVII es designado con la letra griega p.
La medida de los ángulos que hoy nos es común, se 
remontan al tiempo de la Escuela de Alejandria en 
los principios de nuestra era. Los matemáticos grie-
gos de dicha escuela dividieron la circunferencia en 
360 partes iguales, posiblemente copiando a los ba-
bilonios, llamando a cada una de dichas partes una 
moira. Esta palabra griega se tradujo en 
latín medioeva como de gradus, "un gra-
do o paso a partir de". Así pues, nuestra 
palabra "grado" significa el primer paso 
para determinar la medida de un giro o 
revolución completa, es decir 1
360
 de 1 
tal revolución.
La siguiente etapa fue dividir cada grado 
en sesenta partes iguales, a cada una de 
las cuales se le dio el nombre de pars mi-
nuta prima, "primera parte menor". De 
dicho nombre se deduce nuestra palabra 
"minuto" (abreviada) con un significa-
do doble de primera parte menor de un 
grado" o "primera parte menor de una 
hora". Dicha pars minuta prima se di-
vidió nuevamente en 60 partes iguales, 
cada una de las cuales recibió el nombre 
de pars minuta secunda, "segunda parte menor". De ahí se deriva nuestra palabra "segun-
do", (abreviada) con un doble significado de "segunda parte menor de un grado" o "segunda 
parte menor de una hora". Sexagesimus es la palabra latina correspondiente a sensetavo, 
por tal razón esta medida angular se conoce como sexagesimal. En la práctica, se toma por 
unidad de arco el cuarto de la circunferencia, o bien la 360va parte de la circunferencia o 
grado. Desde luego los ángulos pueden también medirse de dos maneras: en ángulos rectos o 
fracciones de ángulos rectos, o en grados,minutos y segundos, pudiendo fácilmente pasarse 
de una a otra de estas medidas.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce los sistemas de medición angular y sus unidades.
 ¾ Relaciona los sistemas de medición angular, mediante factor de con-
versión.
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR I
Representación de Euclides quien, 
bajo el reinado de Talameo I, fundó 
la Escuela de Alejandría hacia el año 
300 antes de nuestra era.
Las bases de 200 metros de las pirámides eran 
exactas hasta una o dos pulgadas. Los hombres 
que supervisaban las operaciones de la construc-
ción lograban esta exactitud usando estaquillas 
y lienzos para calcular un ángulo recto preciso. 
Logrando esto se clavan postes en la tierra para 
señalar el área del lugar de la construcción.
109
Métodos antiguos de medir líneas y ángulos en una circunferencia
Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para 
medir los ángulos determinados por varias estrellas.
En ese tiempo, alrededor de dieciséis siglos antes de 
nuestra era, el escriba Ahmes escribió su famoso pa-
piro en el que se evidencia que los egipcios conocían, 
entre otras muchas cosas, que la circunferencia de un 
círculo es un número fijo de veces su propio diámetro.
Es un número incomensurable que desde el siglo 
XVII es designado con la letra griega p.
La medida de los ángulos que hoy nos es común, se 
remontan al tiempo de la Escuela de Alejandria en 
los principios de nuestra era. Los matemáticos grie-
gos de dicha escuela dividieron la circunferencia en 
360 partes iguales, posiblemente copiando a los ba-
bilonios, llamando a cada una de dichas partes una 
moira. Esta palabra griega se tradujo en 
latín medioeva como de gradus, "un gra-
do o paso a partir de". Así pues, nuestra 
palabra "grado" significa el primer paso 
para determinar la medida de un giro o 
revolución completa, es decir 1
360
 de 1 
tal revolución.
La siguiente etapa fue dividir cada grado 
en sesenta partes iguales, a cada una de 
las cuales se le dio el nombre de pars mi-
nuta prima, "primera parte menor". De 
dicho nombre se deduce nuestra palabra 
"minuto" (abreviada) con un significa-
do doble de primera parte menor de un 
grado" o "primera parte menor de una 
hora". Dicha pars minuta prima se di-
vidió nuevamente en 60 partes iguales, 
cada una de las cuales recibió el nombre 
de pars minuta secunda, "segunda parte menor". De ahí se deriva nuestra palabra "segun-
do", (abreviada) con un doble significado de "segunda parte menor de un grado" o "segunda 
parte menor de una hora". Sexagesimus es la palabra latina correspondiente a sensetavo, 
por tal razón esta medida angular se conoce como sexagesimal. En la práctica, se toma por 
unidad de arco el cuarto de la circunferencia, o bien la 360va parte de la circunferencia o 
grado. Desde luego los ángulos pueden también medirse de dos maneras: en ángulos rectos o 
fracciones de ángulos rectos, o en grados, minutos y segundos, pudiendo fácilmente pasarse 
de una a otra de estas medidas.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce los sistemas de medición angular y sus unidades.
 ¾ Relaciona los sistemas de medición angular, mediante factor de con-
versión.
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR I
Representación de Euclides quien, 
bajo el reinado de Talameo I, fundó 
la Escuela de Alejandría hacia el año 
300 antes de nuestra era.
Las bases de 200 metros de las pirámides eran 
exactas hasta una o dos pulgadas. Los hombres 
que supervisaban las operaciones de la construc-
ción lograban esta exactitud usando estaquillas 
y lienzos para calcular un ángulo recto preciso. 
Logrando esto se clavan postes en la tierra para 
señalar el área del lugar de la construcción.
3er Año
6 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
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Compendio de CienCias i
110
m
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áTiCa
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo 
alrededor de un punto fijo llamado vértice (la rotación 
se realiza en un mismo plano) desde una posición inicial 
hasta la otra mitad.
Al punto se le denomina vértice.
A la posición inicial se le denomina lado inicial.
A la posición final se le denomina lado final.
Lado final
Lado inicialO Lado final
Lado inicial
O
Observemos en las figuras que el rayo puede girar en sen-
tido antihorario y sentido horario, por lo tanto, el sentido 
de giro del rayo no se restringe.
Características del ángulo trigonométrico
Por convención se considera
 ¾ La medida será positiva si el giro se efectúa en sen-
tido antihorario.
+Lado final
Lado inicial
α
 ¾ La medida será negativa si el giro se efectúa en sen-
tido horario.
−
Lado final
Lado inicialβ
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
A) Sistema sexagesimal (inglés)
 ¾ Unidad angular
 Grado sexagesimal: 1°
 ¾ Subunidades
 Minuto sexagesimal: 1'
 Segundo sexagesimal: 1"
 ¾ Equivalencias
m  1 vuelta=360° 1°<>60' 1'<>60"
1°<>3600"
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
LI
LF
360°
Helicoteoría
Algunos de los ángulos más utilizados son:
LI
LF
Oα
Ángulo de una vuelta
LILF O
α
Ángulo de media vuelta
LF
LIO
α
 Ángulo de un cuarto de vuelta
Nota
Observación
Cuando α un ángulo trigonométrico se le invierte su sen-
tido, su signo cambia.
−θ θ
Trigonometría
7Colegio Particular
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3.er grado Compendio de CienCias i
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a
B) Sistema centesimal (francés)
 ¾ Unidad angular:
Grado centesimal: 1g
 ¾ Subunidades:
Minuto centesimal: 1m
Segundo centesimal: 1s
 ¾ Equivalencias:
m  1 vuelta=400g 1g<>100m 1m<>100s
1g<>10 000s
C) Sistema radial (internacional)
 ¾ Unidad angular:
Radián: 1 rad
 El radián es un ángulo cuyo vértice está en el 
centro de la circunferencia y que subtiende a 
un arco cuya longitud es igual al radio de dicha 
circunferencia. 
 R: radio de la circunferencia
L = R1 radO
R
A
A
R
 ¾ Equivalencias
m  1 vuelta=2p rad
 Donde 
p≈3,1416
Equivalencias entre sistemas
Sabemos m  1 vuelta = 360°<>400g<>2p rad.
Entonces tenemos 180°<>200g<>p rad
También 9°<>10g
LI
LF
400g
Observación
a° b' c" = a° + b' + c"
Donde
b y c < 60
También tenemos que conocer otras equivalencias como: 
27' <> 50m y 81" <> 250s
Nota
Para pasar un ángulo de una unidad a otra se utiliza
Sexagesimal 
× 3600
÷ 3600
÷ 60 ÷ 60
× 60 × 60
Grados (°) Minutos (Ꞌ) Segundos (ꞋꞋ)
Centesimal
× 10 000
÷ 10 000
÷ 100 ÷ 100
× 100 × 100
Grados (g) Minutos (m) Segundos (s)
Nota
3er Año
8 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
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Compendio de CienCias i
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ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Se genera por la rotación de un rayo 
alrededor de un punto fijo denomina-
do vértice, desde una posición inicial 
a una posición final.
LF
LI
α
Sentido antihorario
Sentido horario
+
−
Sistema de medición angular
Sistema sexagesimal
m  1 vuelta=360°
1°<>60ꞌ 1ꞌ<>60"
1°<>3600"
Sistema centesimal
m  1 vuelta=400g
1g<>100m 1m<>100s
1g<>10 000s
Sistema radial
m  1 vuelta=2p rad
p≈3,1416
Equivalencias entre sistemas
180°<>200g<>p rad
También
9°<>10g
estos 
pueden 
ser
Helicosíntesis
Trigonometría
9Colegio Particular
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3.er grado Compendio de CienCias i
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a
1. Halle el valor de
 
= +
g m
m
2º 30' 3 20
M
50' 40
 Resolución
+ += +
g m
m
2º 30' 3 20
M
50' 40
+ += +
g m
m
2º 30' 3 20
M
50' 40
120’ 300
m
Reemplazamos y sumamos
m
m
150' 320
M
50' 40
= +
M = 3+8
M = 11
 Rpta.: 11
2. Simplifique
 
p+ +
=
p +
g20º 50 rad
36K
rad 5º
6
Resolución
Tenemos que convertir todo a grados sexagesimales.
 ¾ × =g
g
9º
50 45º
10
 ¾
180º
rad 5º
36 rad
p × =
p
 ¾
p × =
p
180º
rad 30º
6 rad
Reemplazamos
 
p+ +
=
p +
g20º 50 rad
36K
rad 5º
6
45° 5°
30°
 
20º 45º 5º 70º
K
30º 5º 35º
+ += =
+
K= 2
 Rpta.: 2
3. Si 
4
3p rad = (abc)º, efectúe
 
+= + + +P a ca b c
b
 Resolución
Convirtiendo a grados sexagesimales
p =
p
3 180º
rad × 135º
4 rad
Reemplazando 135º= (abc)º
Comparando
a=1, b=3 y c=5
Nos piden
 1 5P 1 3 5
3
+= + + +
 P = 9 +2
 P = 5
 Rpta.: 5
4. Halle el valor de x.
 3xº
40g
Resolución
3xº + 40g = 90º
3xº + 40g × 
10g
9º = 90º
3xº + 36º = 90º
3xº = 54º
x = 18
 Rpta.: 18
5. Calcule x – y si
 
p+ = + °2 rad 3
9
x y
x – y = 30g
Resolución
 Convertir a grados sexagesimales
 ¾
p °× = °
p
2 180
rad 40
9 rad
 ¾ × = °930 27
10
g
g
 Reemplazamos
 x + y = 40° + 3° ↓ +
x – y = 27° 
 2x = 70°
 x = 35° → y = 8°
 Rpta.: 27°
Problemas resueltos
3er Año
10 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
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Compendio de CienCias i
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Sesión I
1. Efectúe
= 10º 40'M
32'
2. Efectúe
=
g m
m
8 20
K
10
3. Convierta a grados sexagesimales.
a. 
4
p rad = _____________________________.
b. 
3
2p rad = ____________________________.
c. 
5
3p rad = ____________________________.
d. 
6
p rad = _____________________________.
4. Efectúe
p − + °
=
p
3 rad 40 6
2H
rad
18
g
5. Convierta los siguientes ángulos o grados sexagesi-
males:
a. 20g=
 ______________________________________
b. 60g=
 ______________________________________
c. 80g=
 ______________________________________
d. 45g=
 ______________________________________
6. Efraín, Genaro y Alexander se propusieron compa-
rar las medidas angulares que formaban al unir dos 
lápices, teniendo como punto en común su borrador, 
tal como muestra la figura:
60° 60g
Genaro Alexander
2p
 5
rad
Efraín
 Responda las preguntas.
a. ¿Podrán comparar los ángulos formados si estos 
están en sistemas diferentes?
 _______________________________________
b. ¿Cuál sería la sugerencia?
 _______________________________________
c. ¿Qué sistema de medición les recomendaría y 
por qué?
 _______________________________________
7. Calcule 
y
x si 
x + y = 50g
x – y = 
6
p rad+ 5º
8. Halle el valor de x.
2 p
rad
9
(5x)°
 
Helicopráctica
www.freeprintablepdf.eu
Trigonometría
11Colegio Particular
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3.er grado Compendio de CienCias i
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a
Nivel I
1. Efectúe
= 5º 30'M
11'
 Resolución
2. Efectúe
=
g m
m
3 10
P
5
 Resolución
Nivel II
3. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesi-
males:
a. 
6
p rad = ____________________________
b. 
3
p rad = ___________________________
c. 
12
p rad = __________________________
d. 
15
p rad = ___________________________
4. Simplifique
+ °=
p + °
g50 25
E
rad 5
36
 Resolución
Helicotaller T
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3.er grado Compendio de CienCias i
115
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a
Nivel I
1. Efectúe
= 5º 30'M
11'
 Resolución
2. Efectúe
=
g m
m
3 10
P
5
 Resolución
Nivel II
3. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesi-
males:
a. 
6
p rad = ____________________________
b. 
3
p rad = ___________________________
c. 
12
p rad = __________________________
d. 
15
p rad = ___________________________
4. Simplifique
+ °=
p + °
g50 25
E
rad 5
36
 Resolución
Helicotaller
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3.er grado Compendio de CienCias i
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a
Nivel I
1. Efectúe
= 5º 30'M
11'
 Resolución
2. Efectúe
=
g m
m
3 10
P
5
 Resolución
Nivel II
3. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesi-
males:
a. 
6
p rad = ____________________________
b. 
3
p rad = ___________________________
c. 
12
p rad = __________________________
d. 
15
p rad = ___________________________
4. Simplifique
+ °=
p + °
g50 25
E
rad 5
36
 Resolución
Helicotaller
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3.er grado Compendio de CienCias i
115
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a
Nivel I
1. Efectúe
= 5º 30'M
11'
 Resolución
2. Efectúe
=
g m
m
3 10
P
5
 Resolución
Nivel II
3. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesi-
males:
a. 
6
p rad = ____________________________
b. 
3
p rad = ___________________________
c. 
12
p rad = __________________________
d. 
15
p rad = ___________________________
4. Simplifique
+ °=
p + °
g50 25
E
rad 5
36
 Resolución
Helicotaller
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3.er grado Compendio de CienCias i
115
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a
Nivel I
1. Efectúe
= 5º 30'M
11'
 Resolución
2. Efectúe
=
g m
m
3 10
P
5
 Resolución
Nivel II
3. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesi-
males:
a. 
6
p rad = ____________________________
b. 
3
p rad = ___________________________
c. 
12
p rad = __________________________
d. 
15
p rad = ___________________________
4. Simplifique
+ °=
p + °
g50 25
E
rad 5
36
 Resolución
Helicotaller
3er Año
12 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
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Compendio de CienCias i
116
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áTiCa
5. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesi-
males:
a. 40g = __________________________
b. 50g = __________________________
c. 120g = __________________________
d. 210g = __________________________
 Resolución
Nivel III
6. Efraín, Genaro y Alexander se propusieron compa-
rar las medidas angulares que formaban al unir dos 
lápices, teniendo como punto en común su borrador, 
tal como muestra la figura:
 
60° 60g
Genaro Alexander
2p
 5
rad
Efraín
 Realizando las comparaciones angulares, evalué si 
las afirmaciones son correctas o incorrectas.
Afirmaciones Correcto Incorrecto
Efraín < Alexander
Genaro = Alexander
Efraín > Genaro
 Resolución
7. Determine 
x
y si
 
x + y = 
5
p rad
x – y = 20g
 Resolución
8. Halle el valor de x.
4 p
rad
9
(3x)°(7x)°
 Resolución
Trigonometría
13Colegio Particular
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3.er grado Compendio de CienCias i
117
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a
Helicodesafío
1. Halle aproximadamente, el valor de
+ + + +=
+ + + +
g g g g7 14 21 ... 147
E
1 rad 2 rad 3 rad ... 21 rad
A) 0,09 B) 0,01 C) 0,10
D) 0,11 E) 0,12
2. Siendo ABCD un trapecio, halle el valor de y.
A) 87 
2 π rad
5
x°
B C
A D
(x+2)g
y°
B) 91
C) 72
D) 75
E) 81
Helicorreto
1. Efectúe E = 
5° 20'
32'
.
A) 10 B) 20 C) 15
D) 2 E) 50
2. Efectúe 
π
+
=
π
rad 7º
9K
rad
20
.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 4
3. Efectúe P = 
6g40m
80m .
A) 2 B) 4 C) 8
D) 3 E) 6
4. Efectúe
+
=
π
g30º 30
K
rad
60
A) 15 B) 17 C) 19
D) 21 E) 23
5. En el gráfico, halle el valor de x.
(12x)°
π
6
rad
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3er Año
14 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
3.er Grado
T
r
iG
o
n
o
m
e
T
r
ía
Compendio de CienCias i
118
m
aTem
áTiCa
Nivel I
1. Efectúe
= 2º 20'E
5'
A) 26 B) 27 C) 28
D) 29 E) 30
2. Efectúe
=
g m
m
4 20
P
70
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
3. Convierta los siguientes ángulos a grados sexagesi-
males:
a. 3p rad
 4
b. 130g
A) 135°; 117° B) 225°; 170° C) 225°; 117°
D) 135°; 170° E) 135°; 180°
4. Efectúe
p +
=
rad 12º
10K
30º
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Nivel II
5. Efectúe
 
p +
=
°
grad 30
5M
9
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
6. Halle el valor de x si
p+ ° =(3 5) rad
9
x
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
7. Determine x
y
 si
 
p+ = rad
3
x y
 x – y = 12°
A) 3
2
 B) 2
3
 C) 1
2
D) 1
3
 E) 2
8. Del gráfico, halle el valor de x.
A) 9 
2p
 5
rad
(5x)°
(7x)°
B) 12
C) 6
D) 3
E) 15
Nivel III
9. Efectúe
 
p° + +
=
p° + +
g
g
25 50 rad
3E
64 40 rad
6
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1 
10. Halle el valor de x.
A) 3 
x p
rad
9
40°
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Helicotarea
Colegio Particular 15
Sistema natural (radial) y milesimal
Estos dos sistemas similares, casi idénticos en el número de divisiones que hacen de la circunferencia, 
tienen empero distintas maneras de definir sus unidades; así podemos decir que:
En el sistema natural, su unidad el radián (rad) es la proyección sobre la circunferencia de la longitud 
del radio de la misma, su submúltiplo es el miliradián (mrd) y su valor es la milésima parte del radián 
(1 rad/1000), su magnitud está íntimamente ligada al número p (el cual, bueno es recordar, debe su 
magnitud al cociente: longitud de la circunferencia dividido entreel diámetro de la misma, el resultado 
es aproximadamente 3,14159269...), pero como p está dado en función del diámetro de la circunfe-
rencia, y el radián en función de su radio (recordar que diámetro = 2 radios), entonces el valor de la 
circunferencia en radianes sería 2p(l) = 6,283018...rad = 6283,18 mrd.
El sistema milesimal por su parte, usado solamente para usos militares, en tiro de artillería y croquis de 
observación, etc., tiene su unidad en la milésima (sin submúltiplo por su pequeñez) y su magnitud está 
dada por: “el ángulo con vértice en el ojo del observador cuyas visuales están dirigidas a los extremos 
de una barra de 1 metro de longitud que se encuentra a 1000 metros de distancia”.
1 milésima
1 metro
1000 metros
El valor de la circunferencia completa en milésimas sería aproximadamente entre 6,283 y 6,284 
milésimas, es decir, un valor muy semejante, sino idéntico al de la circunferencia en miliradianes.
Sistema
sexagesimal
270°
90°
180° 0°
360°
Sistema
centesimal
300g 0,2830 rad
100g
200g 0
g
400g
Sistema natural
(radial)
3 rad
4 rad
5 rad
6 rad
1 rad
2 rad
Responda.
1. ¿Dónde es más usado el sistema milesimal?
2. ¿Con qué otro nombre se le conoce al sistema radial o circular?
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Conoce la relación numérica entre los sistemas más conocidos.
 ¾ Aplica las relaciones en la resolución de problemas.
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR II2
Sistema natural (radial) y milesimal
Estos dos sistemas similares, casi idénticos en el número de divisiones que hacen de la circunferencia, 
tienen empero distintas maneras de definir sus unidades; así podemos decir que:
En el sistema natural, su unidad el radián (rad) es la proyección sobre la circunferencia de la longitud 
del radio de la misma, su submúltiplo es el miliradián (mrd) y su valor es la milésima parte del radián 
(1 rad/1000), su magnitud está íntimamente ligada al número p (el cual, bueno es recordar, debe su 
magnitud al cociente: longitud de la circunferencia dividido entre el diámetro de la misma, el resultado 
es aproximadamente 3,14159269...), pero como p está dado en función del diámetro de la circunfe-
rencia, y el radián en función de su radio (recordar que diámetro = 2 radios), entonces el valor de la 
circunferencia en radianes sería 2p(l) = 6,283018...rad = 6283,18 mrd.
El sistema milesimal por su parte, usado solamente para usos militares, en tiro de artillería y croquis de 
observación, etc., tiene su unidad en la milésima (sin submúltiplo por su pequeñez) y su magnitud está 
dada por: “el ángulo con vértice en el ojo del observador cuyas visuales están dirigidas a los extremos 
de una barra de 1 metro de longitud que se encuentra a 1000 metros de distancia”.
1 milésima
1 metro
1000 metros
El valor de la circunferencia completa en milésimas sería aproximadamente entre 6,283 y 6,284 
milésimas, es decir, un valor muy semejante, sino idéntico al de la circunferencia en miliradianes.
Sistema
sexagesimal
270°
90°
180° 0°
360°
Sistema
centesimal
300g 0,2830 rad
100g
200g 0
g
400g
Sistema natural
(radial)
3 rad
4 rad
5 rad
6 rad
1 rad
2 rad
Responda.
1. ¿Dónde es más usado el sistema milesimal?
2. ¿Con qué otro nombre se le conoce al sistema radial o circular?
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Conoce la relación numérica entre los sistemas más conocidos.
 ¾ Aplica las relaciones en la resolución de problemas.
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR II
Sistema natural (radial) y milesimal
Estos dos sistemas similares, casi idénticos en el número de divisiones que hacen de la circunferencia, 
tienen empero distintas maneras de definir sus unidades; así podemos decir que:
En el sistema natural, su unidad el radián (rad) es la proyección sobre la circunferencia de la longitud 
del radio de la misma, su submúltiplo es el miliradián (mrd) y su valor es la milésima parte del radián 
(1 rad/1000), su magnitud está íntimamente ligada al número p (el cual, bueno es recordar, debe su 
magnitud al cociente: longitud de la circunferencia dividido entre el diámetro de la misma, el resultado 
es aproximadamente 3,14159269...), pero como p está dado en función del diámetro de la circunfe-
rencia, y el radián en función de su radio (recordar que diámetro = 2 radios), entonces el valor de la 
circunferencia en radianes sería 2p(l) = 6,283018...rad = 6283,18 mrd.
El sistema milesimal por su parte, usado solamente para usos militares, en tiro de artillería y croquis de 
observación, etc., tiene su unidad en la milésima (sin submúltiplo por su pequeñez) y su magnitud está 
dada por: “el ángulo con vértice en el ojo del observador cuyas visuales están dirigidas a los extremos 
de una barra de 1 metro de longitud que se encuentra a 1000 metros de distancia”.
1 milésima
1 metro
1000 metros
El valor de la circunferencia completa en milésimas sería aproximadamente entre 6,283 y 6,284 
milésimas, es decir, un valor muy semejante, sino idéntico al de la circunferencia en miliradianes.
Sistema
sexagesimal
270°
90°
180° 0°
360°
Sistema
centesimal
300g 0,2830 rad
100g
200g 0
g
400g
Sistema natural
(radial)
3 rad
4 rad
5 rad
6 rad
1 rad
2 rad
Responda.
1. ¿Dónde es más usado el sistema milesimal?
2. ¿Con qué otro nombre se le conoce al sistema radial o circular?
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Conoce la relación numérica entre los sistemas más conocidos.
 ¾ Aplica las relaciones en la resolución de problemas.
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR II
3er Año
16 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
T
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3.er grado Compendio de CienCias i
125
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áT
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a
Sean S, C y R los números que representan la medida 
de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y 
radial, respectivamente, luego hallamos la relación que 
existe entre dichos números.
LI
LF
θ = S°<>Cg<>R rad
O
De la figura S° <> Cg <> R rad...(*)
Además 180° <> 200g <> p rad...(**)
Dividiendo (*) entre (**) tenemos
S C R
180 200
= =
p
 ← Fórmula o relación de conversión
Siendo
S: número de grados sexagesimales de θ
C: número de grados centesimales de θ
R: número de radianes de θ
Para fines prácticos
¾ S C R
180 200
= =
p
= k → 
S = 180k
C = 200k
R = pk
También
¾ = = p
S C R
9 10
20
= n → 
S = 9n
C = 10n
R =
20
p n
RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE SISTEMAS
Helicoteoría
k y n son constantes.
Nota
Observación
Si le damos valores a la constante n, podemos obtener 
la medida del ángulo en los tres sistemas.
Si n = 2, entonces S = 9(2) = 18
 C = 10(2) = 20
 R = ( )p p=2
20 10
Eso quiere decir que en el sistema sexagesimal el ángulo 
equivale a 18°; en el sistema centesimal, a 20g; y en el 
sistema radial, rad
10
p .
Trigonometría
17Colegio Particular
3.er Grado
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Compendio de CienCias i
126
m
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áTiCa
SISTEMAS DE MEDICIÓN 
ANGULAR II
Sistema sexagesimal (S)
m 1 vuelta=360°
Sistema centesimal (C)
m 1 vuelta=400g
Conversión entre sistemas
S C R
180 200
= =
p
Sistema radial (R)
m 1 vuelta=2p rad
 S=180k
 C=200k
 R=pk
S C
9 10
=
 S=9n
 C=10n
 R=
20
p n
Helicosíntesis
3er Año
18 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
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3.er grado Compendio de CienCias i
127
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áT
iC
a
 Reemplazando 180
180
k 200+
2
100
k
2
kp+ =
p
 4k = 2
 k = 
2
1
 Nos piden S = 180k
 S = 180 · 
2
1
 S = 90
 Rpta.: 90
4. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo, reduzca
 
+ p + p= 40R C SE
20R
 Resolución
 Sabemos S = 9n p=R
20
n
 C = 10n
 Reemplazando 
 
( )
( )
p + p + p
=
p
40 (10 ) (9 )
20E
20
20
n n n
n
 
p + p + p=
p
2 10 9
E
n n n
n
 → 
p=
p
21
E
n
n
 E = 21
 Rpta.: 21
5. Halle el valor de 2R si − − =
p
S C R
1
4 5
, siendo S, C 
y R lo convencional para un mismo ángulo.
 Resolución
 
p
− −9 10
4 5
n n
p
20
n
= 1 → − − =45 40 1
20
n n n
 
=4 1
20
n
n = 5
Nos piden 2R = 2p
20
n
 2R= p (5)
10
 2R = p
2
 
 
 Rpta.: p
2
1. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo, reduzca
3S 2C
P 2
C S
+= +
−
 Resolución
Sabemos
 S = 9n, C = 10n, R = 
20
p n
Reemplazando
 
3 9 2 10
P 2
10 9
n n
n n
⋅ + ⋅= +
−
 
47
P 2
n
n
= + → P = 49
 P = 7
 Rpta.: 7
2. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo no nulo, halle el valor de dicho ángulo en 
radianes si se cumple que
C + S = C2 – S2
 Resolución
 Diferencia de cuadrados
 C + S = (C + S)(C – S)
 C + S = (C + S)(C – S)
 1 = C – S
 Sabemos
 S = 9n
 C = 10n
 R = 
20
p n
 Reemplazando
 1 = 10n – 9n
 1 = n
 Entonces nos piden
 R = 
20
p n → R = 
20
p
 Rpta.: 
20
p rad
3. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo, se cumple que
S C R
2
180 100
+ + =
p
Halle el número de grados sexagesimales.
Resolución
 
S C R
2
180 200
+ + =
p
 Sabemos S = 180k
 C = 200k
 R = pk
Problemas resueltos
Trigonometría
19Colegio Particular
3.er Grado
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Compendio de CienCias i
128
m
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áTiCa
Sesión I
1. Simplifique 
3C S
E
C S
+=
−
, donde S y C son lo con-
vencional.
2. Siendo S y C lo conocido, reduzca 2C S 7
C S
+ +
−
.
 
3. Siendo S, C y R convencional, halle el valor de la 
expresión 
S 20 R
3A
C 10 R
4
p +
=
p −
.
 
4. Siendo S y C lo convencional, halle la medida del 
ángulo en radianes que cumple 2S – C=40.
5. Siendo S, C y R lo convencional, halle la medida 
radial de un ángulo, tal que 
S C 85
R
4 5 3
+ p+ + = .
 
6. Un auspiciador y dueño de una gran empresa decide 
premiar a sus tres mejores colaboradores, otorgán-
doles un bono económico de reconocimiento, para 
esto hará una rifa de ticket de diferentes colores, tal 
como lo muestra la figura.
 
2S + C
 2n
2C + 5S
 5n
5C – 2S
 4n
3C + 2S
 4n
Azul Amarillo
AnaranjadoVerde
 Luego de realizadas las operaciones pertinentes, res-
ponda.
 a. ¿Qué ticket lleva el premio mayor?
 ______________________________________
b. ¿Qué color de ticket llevará el segundo lugar?
 _______________________________________
7. Halle la medida de un ángulo no nulo en radianes si 
se cumple que 4(C + S) = C2 – S2.
8. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo, se cumple que
 
S C 20 R
27
9 10
+ + =
p
 Halle el valor de C.
 
Nivel I
1. Halle el valor de 
−=
−
3S C
E
C S
, siendo S y C lo con-
vencional para un mismo ángulo.
 Resolución
2. Simplifique 
+ +
−
2S C
8
C S
, siendo S y C lo conven-
cional para un mismo ángulo.
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
3er Año
20 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
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3.er grado Compendio de CienCias i
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a
Nivel II
3. Siendo S, C y R lo convencional, halle el valor de la 
expresión
 
p
=
p
S+10R
6A
S – 20R
5
 Resolución
4. Siendo S y C lo convencional para un mismo án-
gulo, halle la medida de un ángulo en radianes si 
se cumple que C + S = 38.
 Resolución
5. Para un ángulo trigonométrico, se cumple que
S C R 1
180 200 5
+ + =
p
. Halle la medida del ángulo en 
radianes.
 Resolución
Nivel III
6. Un auspiciador y dueño de una gran empresa deci-
de premiar a sus tres mejores colaboradores, otor-
gándoles un bono de reconocimiento; para esto hará 
una rifa de ticket de diferentes colores, tal como lo 
muestra la figura:
 
2S – C
 n
2C + 5S
 5n
5C – 2S
 2n
3C + 2S
 2n
Azul Amarillo
AnaranjadoVerde
 ¿Cuál es el valor de cada ticket?
 Resolución
T
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3.er grado Compendio de CienCias i
129
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Nivel II
3. Siendo S, C y R lo convencional, halle el valor de la 
expresión
 
p
=
p
S+10R
6A
S – 20R
5
 Resolución
4. Siendo S y C lo convencional para un mismo án-
gulo, halle la medida de un ángulo en radianes si 
se cumple que C + S = 38.
 Resolución
5. Para un ángulo trigonométrico, se cumple que
S C R 1
180 200 5
+ + =
p
. Halle la medida del ángulo en 
radianes.
 Resolución
Nivel III
6. Un auspiciador y dueño de una gran empresa deci-
de premiar a sus tres mejores colaboradores, otor-
gándoles un bono de reconocimiento; para esto hará 
una rifa de ticket de diferentes colores, tal como lo 
muestra la figura:
 
2S – C
 n
2C + 5S
 5n
5C – 2S
 2n
3C + 2S
 2n
Azul Amarillo
AnaranjadoVerde
 ¿Cuál es el valor de cada ticket?
 Resolución
T
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3.er grado Compendio de CienCias i
129
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a
Nivel II
3. Siendo S, C y R lo convencional, halle el valor de la 
expresión
 
p
=
p
S+10R
6A
S – 20R
5
 Resolución
4. Siendo S y C lo convencional para un mismo án-
gulo, halle la medida de un ángulo en radianes si 
se cumple que C + S = 38.
 Resolución
5. Para un ángulo trigonométrico, se cumple que
S C R 1
180 200 5
+ + =
p
. Halle la medida del ángulo en 
radianes.
 Resolución
Nivel III
6. Un auspiciador y dueño de una gran empresa deci-
de premiar a sus tres mejores colaboradores, otor-
gándoles un bono de reconocimiento; para esto hará 
una rifa de ticket de diferentes colores, tal como lo 
muestra la figura:
 
2S – C
 n
2C + 5S
 5n
5C – 2S
 2n
3C + 2S
 2n
Azul Amarillo
AnaranjadoVerde
 ¿Cuál es el valor de cada ticket?
 Resolución
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3.er grado Compendio de CienCias i
129
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Nivel II
3. Siendo S, C y R lo convencional, halle el valor de la 
expresión
 
p
=
p
S+10R
6A
S – 20R
5
 Resolución
4. Siendo S y C lo convencional para un mismo án-
gulo, halle la medida de un ángulo en radianes si 
se cumple que C + S = 38.
 Resolución
5. Para un ángulo trigonométrico, se cumple que
S C R 1
180 200 5
+ + =
p
. Halle la medida del ángulo en 
radianes.
 Resolución
Nivel III
6. Un auspiciador y dueño de una gran empresa deci-
de premiar a sus tres mejores colaboradores, otor-
gándoles un bono de reconocimiento; para esto hará 
una rifa de ticket de diferentes colores, tal como lo 
muestra la figura:
 
2S – C
 n
2C + 5S
 5n
5C – 2S
 2n
3C + 2S
 2n
Azul Amarillo
AnaranjadoVerde
 ¿Cuál es el valor de cada ticket?
 Resolución
Trigonometría
21Colegio Particular
3.er Grado
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Compendio de CienCias i
130
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áTiCa
7. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo no nulo, halle el valor de dicho ángulo en 
radianes si se cumple que
 57(C – S) = C2 – S2
 Resolución
8. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo, se cumple que + + =p
S C 20R
24.
3 5
 Halle el 
valor de C.
 Resolución
Helicodesafío
1. Halle el valor de
2 2 2
2 2 2
5(C S) 14(C S )
M 4 6
C S (C S)
− −= + + −
− +
 siendo S y C lo convencional.
A) 19 B) 19 19 C) 19
D) 
19
1 E) 17
2. Si los números que representan la medida de un án-
gulo en los sistemas sexagesimales y centesimales 
son números pares consecutivos, el valor del ángulo 
expresado en radianes, es
A) 
10
p rad. B) 
5
p rad. C) 
11
p rad.
D) 
15
p rad. E) 
8
p rad.
3er Año
22 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
T
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3.er grado Compendio de CienCias i
131
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a
Helicorreto
1. Siendo C y S lo convencional para un mismo ángulo, 
calcule
3S 2C
L
C S
−
=
−
A) 2 B) 7 C) 3
D) 4 E) 6
2. Simplifique la siguiente expresión:
10S C
K
8C
−
=
A) 2 B) 1 C) 3
D) 5 E) 6
3. Reduzca
+ +
+ +
− −
C S C S
17
C S C S
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. Halle la medida de un ángulo en radianes si se cum-
ple que C+S=38.
A) 
p
rad
5
 B) 
p
rad
10
 C) 
p
rad
4
D) 
p
rad
9
 E) 
p
rad
8
5. Halle la medida de un ángulo en radianes si se cum-
ple que
2S C
80
3 5
+ =
A) p rad
2
 B) p rad
3
 C) p rad
8
D) p rad
4
 E) p rad
6
Nivel I
1. Reduzca 
+= −
−
C S
A 3
C S
, siendo S y C lo convencional.
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
2. Halle la medida de un ángulo en radianes si se cumple 
2S C
80
3 5
+ = .
A) 
2
p rad B) 
3
p rad C) 
8
p rad
D) 
4
p radE) 
6
p rad
3. Siendo S y C lo convencional, halle el valor de
 
+= +
−
C
E 6
C
S
S
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
4. Siendo S, C y R lo convencional, halle el valor de
 
p+
=
p
S20R
3M
C
5
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Nivel II
5. Siendo S, C y R lo convencional, halle la medida de 
ángulo en radianes tal que
 
+ + =
p
S C 10R
16
18 10
A) 
 p
10
 rad B) 3p
 5
 rad C) 2p
 5
 rad
D) p
3
 rad E) p
5
 rad
Helicotarea
Trigonometría
23Colegio Particular
3.er Grado
T
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iG
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n
o
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T
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Compendio de CienCias i
132
m
aTem
áTiCa
6. Siendo S y C lo convencional, halle el valor de
 
+ += − +
− −
4 3C S C SP 8
C S C S
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
7. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo trigonométrico, tal que S C 40 R 10
9 10
+ + =
p
, 
halle la medida del ángulo en radianes.
A) 
3
p rad B) 
4
p rad C) 
5
p rad
D) 
7
p rad E) 
8
p rad
8. Siendo S, C y R lo conocido para un mismo ángulo, 
simplifique
 p + p −= 2 S 3 C 10 RE
190 R
A) 1 B) 2 C) 3
D) 7 E) 5
Sesión II
1. Sabiendo que 2S + 3C = 192, halle el valor de R, 
siendo S, C y R lo conocido para un mismo ángulo.
 
2. Dadas las siguientes expresiones, realice las ope-
raciones pertinentes y compare, estableciendo si la 
afirmación es correcta o incorrecta.
 
+=
−
8C S
A
C S 
−=
−
5S C
B
C S 
+=
−
3S 2C
C
C S
 
Afirmación Correcta Incorrecta
A>B
B<C
A>C
 
3. Siendo S y C lo conocido para un mismo ángulo, 
reduzca
9S 1
E
10C 10
= +
 
4. Siendo S, C y R lo conocido, reduzca
C 20S
M
40 R C
p= +
Nivel III
9. Siendo S, C y R lo conocido para un mismo ángulo, 
simplifique
3C 2S 40 R
E
(C S)
p + p +=
− p
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
10. Halle el valor de 2R si − + =
p
S C R
3
5 8
, donde S, C y 
R son lo convencional.
A) p rad B) 2p
 3
 rad C) 
p
2
 rad
D) p
4
 rad E) p
3
 rad
5. Si se cumple que 
C – S
SC = 270, halle el valor de C, 
siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo.
6. Siendo S, C y R lo convencional, halle el valor del 
ángulo en grados sexagesimales, tal que
 S = aa – 1
 C = aa + 3
 
7. Si se cumple que
S = 7x + 1
C = 8x – 4
 halle el valor de R, siendo S, C y R lo convencional 
para un mismo ángulo.
8. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo 
ángulo, se cumple que C S1 1 3
20 18
  − + =  
  
. Halle 
la medida del ángulo en radianes.
Helicopráctica
Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre24 137
¿Cómo se guarda la información en un disco duro?
El disco duro de un ordenador se utiliza para guardar datos en un soporte magnético, alma-
cenados en unas áreas organizadas con un formato particular de pistas y sectores. Cuando 
se accede a una información depositada en la superficie del disco, se requiere el número del 
sector y de la pista.
Pistas 
La superficie de un 
disco se divide en unos 
elementos lineales con-
céntricos (las pistas) 
donde se almacena la 
información. 
Sectores
Los discos duros se 
dividen en áreas definidas 
(sectores) para almacenar 
la información, que se 
organizan de tal manera 
que se lean sectores no 
necesariamente contiguos, 
para que el ordenador ten-
ga tiempo de procesar.
Responda.
1. ¿Dónde se almacena la información?
 ______________________________________________________________________
2. ¿Para qué se utiliza un disco duro?
 ______________________________________________________________________
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y calcula la longitud de arco y sus propiedades relacionadas.
 ¾ Reconoce y calcula el área de un sector circular.
SECTOR CIRCULAR 3
137
¿Cómo se guarda la información en un disco duro?
El disco duro de un ordenador se utiliza para guardar datos en un soporte magnético, alma-
cenados en unas áreas organizadas con un formato particular de pistas y sectores. Cuando 
se accede a una información depositada en la superficie del disco, se requiere el número del 
sector y de la pista.
Pistas 
La superficie de un 
disco se divide en unos 
elementos lineales con-
céntricos (las pistas) 
donde se almacena la 
información. 
Sectores
Los discos duros se 
dividen en áreas definidas 
(sectores) para almacenar 
la información, que se 
organizan de tal manera 
que se lean sectores no 
necesariamente contiguos, 
para que el ordenador ten-
ga tiempo de procesar.
Responda.
1. ¿Dónde se almacena la información?
 ______________________________________________________________________
2. ¿Para qué se utiliza un disco duro?
 ______________________________________________________________________
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y calcula la longitud de arco y sus propiedades relacionadas.
 ¾ Reconoce y calcula el área de un sector circular.
SECTOR CIRCULAR
137
¿Cómo se guarda la información en un disco duro?
El disco duro de un ordenador se utiliza para guardar datos en un soporte magnético, alma-
cenados en unas áreas organizadas con un formato particular de pistas y sectores. Cuando 
se accede a una información depositada en la superficie del disco, se requiere el número del 
sector y de la pista.
Pistas 
La superficie de un 
disco se divide en unos 
elementos lineales con-
céntricos (las pistas) 
donde se almacena la 
información. 
Sectores
Los discos duros se 
dividen en áreas definidas 
(sectores) para almacenar 
la información, que se 
organizan de tal manera 
que se lean sectores no 
necesariamente contiguos, 
para que el ordenador ten-
ga tiempo de procesar.
Responda.
1. ¿Dónde se almacena la información?
 ______________________________________________________________________
2. ¿Para qué se utiliza un disco duro?
 ______________________________________________________________________
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y calcula la longitud de arco y sus propiedades relacionadas.
 ¾ Reconoce y calcula el área de un sector circular.
SECTOR CIRCULAR
Trigonometría
25Colegio Particular
3.er Grado
T
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iG
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T
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Compendio de CienCias i
138
m
aTem
áTiCa
Se llama sector circular a la región circular limitada por 
dos radios y el arco correspondiente.
Sector circular AOB
( AOB)LO
R
A
B
R
 Donde
 R: radio de la circunferencia
 L: longitud del arco AB
1. Longitud del arco
 En una circunferencia de radio R un ángulo central θ 
en radianes determina una longitud del arco L, que 
se calcula multiplicando el número de radianes θ y 
el radio de la circunferencia R.
Donde
θ: número de radianes
 0 < θ ≤ 2p
L: longitud del arco AB
R: radio de la circunferencia
Se cumple que
L = θ R
L
Rθ
 Propiedades
A) La relación de las longitudes del arco (L1 y L2) 
están en la misma proporción que la relación de 
los radios (R1 y R2).
O
D
C
A
B
L1 L2
R1
R2
Se cumple
1 1
2 2
L R
L R
=
B) El número de radianes θ, se calcula restando 
las longitudes L1 y L2, luego dividiendo entre 
h.
O
D
C
A
B
L1 L2θ rad
h
Se cumple que
2 1L L
h
−
θ =
SECTOR CIRCULAR
Lθ radO
R
A
B
R
Helicoteoría
•	 Si	el	ángulo	central	en	un	sector	circular	es	1	rad,	
entonces se cumple que la longitud de arco y el ra-
dio son iguales.
 
R
1 rad L=R
R
Nota
Observación
•	 Un caso particular de la primera propiedad mencio-
nada sería.
L 2L 3L 4L 5L ...
...
...
3er Año
26 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
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3.er grado Compendio de CienCias i
139
m
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em
áT
iC
a
2. Área de un sector circular
 Viene a ser el cálculo del área de la región limitada 
por un ángulo central y su arco correspondiente en 
una circunferencia.
Lθ radO
R
S
A
B
R
Donde
S: área del sector circular AOB
S = 
2
θR2
 
S = 
2
LR
S = 
2θ
L2
Propiedades
A) Cálculo del área de un trapecio circular.
C
O
S
h
h
L1 L2
A
D
B
Se cumple que
+ =  
 
1 2L LS
2
h
B) La relación de áreas del sector AOB y COD 
están en la misma proporción que la relación de 
sus radios (R1 y R2) y sus longitudes (L1 y L2) 
elevadosal cuadrado.
C
O
L1 L2
A
D
B
R 1
R 2
Se cumple que
2 2
 COD 1 1
2 2
 AOB 2 2
S R L
S R L
= =
Observación
•	 Un caso particular de las propiedades de relaciones 
de áreas sería la siguiente:
S 3S 5S 7S ...
 S: área
• Círculo y circunferencia
 
R
O
Circunferencia
Círculo
Donde
• Longitud de una circunferencia
LO = 2p · R
• Área del círculo
SO = p · R2
Nota
Trigonometría
27Colegio Particular
3.er Grado
T
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Compendio de CienCias i
140
m
aTem
áTiCa
Helicosíntesis
Sector circular
R
A
B
R
O
Sector circular
Longitud de arco Área de un sector circular
R
A
L
B
R
O θ rad L = θ R
L: longitud del arco AB S: área del sector 
circular AOB
S = 
2
θR2
S = 
2
LR
S = 
2θ
L2
R
S
A
L
B
R
O θ rad
R h2
R 1
L1 L2θ rad
1 1
2 2
L R
L R
=
 
2 1L L
h
−
θ =
R 2
R 1
L1 L2θ rad
O
D
B
A
S
C
2 2
 COD 1 1
2 2
 AOB 2 2
S R L
S R L
= =
Propiedades Propiedades
3er Año
28 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
T
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3.er grado Compendio de CienCias i
141
m
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áT
iC
a
1. Halle la longitud de arco de un sector circular cuyo 
ángulo central es 40g y su radio es 10 m.
 Resolución
 Se sabe L = θR 
10 
m
40g
 
L = 
5
p ·10
L = 2p m
 
g
g
rad
5
rad
40
200
p
p
×

 Rpta.: 2p m
2. Reduzca
 2 3
1
3
M
2
+
=
 

 
1 2 3
 Resolución
 
=L1 =2L2 =3L3
Reemplazando
3(2L) 3L 9L 9
M
2L 2L 2
+
= = =
 Rpta.: 
2
9 
3. Del gráfico, AOB y COD son sectores circulares. 
Determine
J = 
L2
L1
 
A
D
BO
θ
θ
L1
L2
C
 Resolución
 Sabemos L = θ R
 Entonces, en el sector AOB
L1= θ r
 En el sector COD
L2 = θ (2r)
 Reemplazamos
 
1
2
L
J
L (2 )
r
r
θ
= =
θ
 J = 
2
1
 Rpta.: 
2
1
4. Siendo AOB y COD sectores circulares, calcule 
y
x .
A
D
B
O
C
y x
2
3
 Resolución
 Por propiedad
 Siendo 1 1
2 2
L R
L R
= =
2
5
y
x
 ∴ =
5
2
x
y
 Rpta.: 
2
5
Problemas resueltos
Trigonometría
29Colegio Particular
3.er Grado
T
r
iG
o
n
o
m
e
T
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ía
Compendio de CienCias i
142
m
aTem
áTiCa
5. Siendo S1=S2, halle el valor de θ.
 A D
B
O
θ rad
S1 S2
C
2a
3a
2a
 Resolución
 A D
B
O
(π 
− 
θ) 
radS1 S2
C
θ rad
2a
3a
2a
 Sabemos S = 
2
θR2
 En el sector AOB
 ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
2
S 2 ... 1
2
a
a
p − θ
= = p − θ
 En el sector COD
 ( ) ( )
2 2
2
5 25
S ... 2
2 2
a aθ ⋅ θ⋅
= =
 Igualando S1 = S2
 
( )
2
2 252
2
a
a
θ ⋅p − θ =
 De (1) y (2)
 4p – 4θ = 25θ
 4p = 29θ
 
29
4p = θ
 Rpta.: 
29
4p rad
Sesión I
1. En un sector circular, el ángulo central mide 40° y 
su radio 18 m. Halle su longitud de arco.
2. En un sector circular, su radio mide 8 m y su longitud 
de arco es 24 m. Halle la medida de su ángulo central.
 
3. Del gráfico, halle el valor de L.
O
D
C
A
B
2 m
3 m
2 m L
 
4. Del gráfico, halle el valor de θ.
4 mθ rad 8 m
4 m
5. Del gráfico, reduzca 
+
= 2 1
3
2 3
M
l l
l
.
l1 l2 l3
 
6. Del gráfico, calcule l1+l2.
A
9 m
D
BO
20°
30°
l1
l2
C
 
Helicopráctica
3er Año
30 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
T
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3.er grado Compendio de CienCias i
143
m
aT
em
áT
iC
a
7. Del gráfico, halle el valor de θ.
3L
A O B
2L
θ
 
8. Según la figura mostrada, elija entre las opciones 
dadas, valores para que se genere una longitud de 
arco mínima y máxima 
AB
L .
 Ángulos Radios
 θ1 = 20° r1 = 18 m
 θ2 = 50
g r2 = 36 m
Nivel I
1. En el sector circular, el ángulo central mide 
5
p rad y 
su radio 20 m. Halle su longitud de arco.
 Resolución
 
r
θ
Α
Β
L
O
a. Indique la longitud de arco máxima
 ______________________________________
b. Indique la longitud de arco mínimo.
 ______________________________________
2. En un sector circular, su radio mide 5 m y su longi-
tud de arco es 15 m. Halle la medida de su ángulo 
central.
 Resolución
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
Trigonometría
31Colegio Particular
3.er Grado
T
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o
n
o
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Compendio de CienCias i
144
m
aTem
áTiCa
Nivel II
3. Del gráfico, halle el valor de L.
O L 2π m
3 m
2 m
D
C
A
B
 Resolución
4. Del gráfico, halle el valor de θ.
O 2 mθ rad 5 m
3 m
 Resolución
5. Del gráfico, reduzca 1 2
3 2
E
l l
l l
+
=
−
.
l1 l2 l3
 Resolución
Nivel III
6. Del gráfico, calcule l1+l2.
A
9 m
D
BO
20°
10°
l1
l2
C
 Resolución
3.er Grado
T
r
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Compendio de CienCias i
144
m
aTem
áTiCa
Nivel II
3. Del gráfico, halle el valor de L.
O L 2π m
3 m
2 m
D
C
A
B
 Resolución
4. Del gráfico, halle el valor de θ.
O 2 mθ rad 5 m
3 m
 Resolución
5. Del gráfico, reduzca 1 2
3 2
E
l l
l l
+
=
−
.
l1 l2 l3
 Resolución
Nivel III
6. Del gráfico, calcule l1+l2.
A
9 m
D
BO
20°
10°
l1
l2
C
 Resolución
3.er Grado
T
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Compendio de CienCias i
144
m
aTem
áTiCa
Nivel II
3. Del gráfico, halle el valor de L.
O L 2π m
3 m
2 m
D
C
A
B
 Resolución
4. Del gráfico, halle el valor de θ.
O 2 mθ rad 5 m
3 m
 Resolución
5. Del gráfico, reduzca 1 2
3 2
E
l l
l l
+
=
−
.
l1 l2 l3
 Resolución
Nivel III
6. Del gráfico, calcule l1+l2.
A
9 m
D
BO
20°
10°
l1
l2
C
 Resolución
3.er Grado
T
r
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T
r
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Compendio de CienCias i
144
m
aTem
áTiCa
Nivel II
3. Del gráfico, halle el valor de L.
O L 2π m
3 m
2 m
D
C
A
B
 Resolución
4. Del gráfico, halle el valor de θ.
O 2 mθ rad 5 m
3 m
 Resolución
5. Del gráfico, reduzca 1 2
3 2
E
l l
l l
+
=
−
.
l1 l2 l3
 Resolución
Nivel III
6. Del gráfico, calcule l1+l2.
A
9 m
D
BO
20°
10°
l1
l2
C
 Resolución
3er Año
32 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
T
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n
o
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3.er grado Compendio de CienCias i
145
m
aT
em
áT
iC
a
7. Del gráfico, halle el valor de θ.
3L
L
θ
 Resolución
8. Se tiene tres porciones de pastel de sabores dife-
rentes, se desea elegir la porción mas generosa, te-
niendo en cuenta que todas las porciones, tienen el 
mismo radio, como muestra la figura.
36° 50g
 π
10
rad
 Chocolate Fresa Tres leches
 Responda las siguientes preguntas.
a. ¿Qué pastel es la porción más grande?
 ______________________________________
b. ¿Cuál es la longitud de arco de cada pastel?
 ______________________________________
 
Helicodesafío
1. De la figura, calcule θ–1 – θ.
θ rad
A) 1 B) 2 C) –1
D) 3 E) 5
2. Se muestran los sectores circulares AOB y COD de 
perímetros equivalentes. Halle el valor de θ.
 A D
B
O
θ rad
C
A) 3
2
p − B) 2
3
p − C) p – 2
D) p – 3 E) 1
3
p −
Trigonometría
33Colegio Particular
3.er Grado
T
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iG
o
n
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T
r
ía
Compendio de CienCias i
146
m
aTem
áTiCa
Nivel I
1. Halle la longitud de arco en un sector circular, cuyo 
ángulo central es 15° y su radio es 36 m.
A) 3p m B) 4p m C) 5p m
D) 12p m E) 6p m
2. Halle la longitud del radio en un sector circular, 
cuyo ángulo central es 20° y su longitud de arco 
es 2p m.
A) 15 m B) 20 m C) 18 m
D) 12 m E) 16 m
3. Del gráfico, halle el valor de x.
2 m x
3 m
5 m
A) 3,4 m B) 3,2 m C) 3 m
D) 5 m E) 2,3 m
Helicorreto
1. De la figura, halle el valor de L.
A) p cm
B) 2p cm
C) 3p cm 45º
16 cm
L
16 cmD) 4p cm
E) 5p cm
2. En un sector circular, su radio mide 7 m y su lon-
gitud de arco es 21 m. Halle la medida del ángulo 
central.
A) 1 rad B) 5 rad C) 3 rad
D) 7 rad E) 4 rad
3. Del gráfico, halle el valor de b.
 
b rad p m 2p m
5 m
5 m
A) p
5
 B) 
p
3
 C) 
p
2
D) p
4
 E) 
p
6
4. Determine la longitud del arco CD.
A) 4 m
B) 5 m
C) 6 m 
 2m
 2m
 2m
 3m
 2m
LO
D
A
B
C
D) 7 m
E) 8 m
5. Calcule 
1 2
2 3
L L
L L
+
+
L1 L2 L3
A) 
1
2
 B) 
2
3
 C) 
2
5
D) 
3
4
 E) 
3
5
Helicotarea
3er Año
34 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
T
r
ig
o
n
o
m
e
T
r
ía
3.er grado Compendio de CienCias i
147
m
aT
em
áT
iC
a
4. Del gráfico, halle el valor de b.
 
2π m 5π mβ
A) 
4
π radB) 
3
π rad C) 
2
π rad
D) 
5
π rad E) 
6
π rad
Nivel II
5. Del gráfico, reduzca 2 3
1
2
P
l l
l
+
= .
A) 2
B) 4
C) 6 l1 l2 l3
D) 7
E) 5
6. Del gráfico, calcule l1 + l2
 
36°
12°
A
B
C
D
O
l1
l2
A) 5π m B) 6π m C) 7π m
D) 9π m E) 4π m
7. En el gráfico, OC = 2CB. Determine E = 
l2
l1 .
A) 1,2
B) 1,8
C) 2,4 
40g
30°
A
BC
D
O
l1
l2
D) 2,5
E) 3,6
8. Del gráfico, calcule x + y.
 
3
2
4
10y x
A) 6 B) 18 C) 32
D) 24 E) 21
Nivel III
9. En la figura se muestra un auto desplazándose del 
punto A al punto B. Halle la longitud de la trayecto-
ria recorrida por dicho auto.
 
A
B
12 m
12 m18 m
18 m
120°40°
A) 10π m B) 12π m C) 6π m 
D) 20π m E) 16π m
10. En un sector circular, el ángulo central mide 30° y 
el radio 12 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?
A) 20π cm B) 2(π+10) cm
C) 2(12+π) cm D) 2(π+13) cm
E) 4(2+π) cm