SEMANA 18 (LÓGICA) PDF

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LÓGICA PROPOSICIONAL
ARITMÉTICA
Profesor: Alejandro Barrionuevo
Lógica Proposicional
I. DEFINICIÓN: Es llamada también lógica de las proposiciones sin analizar, tiene por objeto de estudio 
a las proposiciones y su formalización con la finalidad de determinar sus valores lógicos.
II. PROPOSICIÓN (ENUNCIADO): Se denomina así a las expresiones lingüísticas de las cuales se puede 
afirmar que son verdaderas o falsas.
CARACTERÍSTICAS
* Toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración es una proposición.
* Toda proposición o es verdadera (V) o falsa (F) (no puede ser ambas a la vez).
* Dentro del razonamiento, la proposición puede ser premisa o conclusión. 
* La proposición verdadera o falsa se puede afirmar o negar.
* Los enunciados matemáticos tienen el rango de proposición. 
Ejemplo: 
- Los futbolistas son deportistas. (V)
- Todo africano es asiático. (F)
- La botánica estudia a las plantas. (V)
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Las proposiciones simples se simbolizan con letras minúsculas: p, q, r, …etc ,las cuales son llamadas 
variables proposicionales. 
José es un buen estudiantep:
María estudia medicinaq:
El armario es de maderar:
III. CLASES DE PROPOSICIONES: Las proposiciones se clasifican básicamente en simple y compuesta 
3.1 PROPOSICIONES SIMPLES (Atómicas)
Son siempre afirmativas y no se pueden descomponer. Pueden ser:
A. PREDICATIVAS.- Aquellas que presentan, en su estructura, sólo un sujeto y un solo predicado 
(el sujeto puede hallarse tácito). 
Ejemplo:
- Los limeños son alegres.
- Las ballenas son mamíferos.
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B. RELACIONALES.- Presentan en su estructura un vínculo, dos sujetos o más. 
Ejemplo: 
- Pedro es amigo de José. 
- La Trigonometría es más compleja que la Geometría. 
- Lucho y Maricarmen se odian.
3.2 COMPUESTAS (Moleculares, Coligativas) 
Están constituida por más de una proposición simple unida por las conectivas y, o, entonces, 
si y sólo si, o la negación (no). Son las siguientes:
A. Negativas.- Son las que presentan la negación NO (~).
Rocío es menor de edad. p:
Rocío no es menor de edad. ~𝑝:
p ~𝒑
V F
F V
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B. Conjuntivas .- Presentan como conectiva a la "Y“ (∧). 
Nelly es profesora y Roger es médicos
p q∧
C. Disyuntivas.- Presentan como conectiva a la "O", "u", "o ... o...", son de dos tipos: 
p q p∧q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
Inclusiva o Débil(∨).- Cuando de las alternativas que se proponen se cumplen todas ellas, ya sea al 
mismo tiempo o de manera alternada.
Jennifer es cantante o abogada. 
p q
∨
p q p∨q
V V
V F
F V
F F F
V
V
V
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Exclusiva o Fuerte(△).- Cuando de las alternativas que se proponen se cumple sólo una y se 
excluye la otra.
O corremos o caminamos
△
p q
p q p△q
V V
V F
F V
F F F
F
V
V
D. Condicional (→).- Presentan como conectiva la palabra "Entonces" . Su esquema básico es:
p q
Si estudioentonces ingresaré
→
p q p→q
V V
V F
F V
F F V
V
F
V
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E. Bicondicional (↔).- Presentan como conectiva a "Si y sólo si"
Edwin corre si y sólo si quiere llegar a la meta. 
p q↔
p q p↔q
V V
V F
F V
F F V
V
F
F
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Problema 1
De los siguientes enunciados:
✓ 2 es un número impar
✓ Perú es un país latino
✓ La ballena es un mamífero
✓ 3+2=6
✓ x+y=11
✓ ¿Carlos está presente?
¿Cuántas son proposiciones lógicas?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 
F
V
V
F
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Problema 2
Dados los siguientes enunciados:
I. La luna es un satélite de la tierra.
II. Si x  0 entonces 𝑥 +
1
𝑥
> 0 , xR
III. ¿Quién ganará la copa mundial de la FIFA QATAR 2022? 
IV. El 12 de mayo de 1551 fue fundada la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
¿Cuántas son proposiciones lógicas? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
V
V
V
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Problema 3
¿Cuántas son proposiciones lógicas?
I.-La lógica cuántica fue propuesto originalmente por Garret Birkhoff y Jonh Von Neuman en 1936. Se
fundamenta en la idea que el retículo de proyecciones ortogonales en un espacio de Hilbert es la
estructura que corresponde en la mecánica cuántica al reticulado de proposiciones en la física clásica.
II.- x2 es un número cuadrado perfecto.
III.-Entre dos números naturales cualesquiera , siempre existe otro número natural.
IV.- Como el campus universitario ha sido declarada zona libre de humo de cigarrillos, Jorge debe fumar 
fuera de las instalaciones de la universidad.
a) I y III b) I y II c) II y III d) Solo III 
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Problema 12
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son compuestas? 
I) Según el RENIEC, en el Perú el nombre de mujer más popular es María. 
II) Los números 8 y 9 son números primos entre sí.
III) Perú jugará con Chile en una cancha neutral. 
IV) Los estadounidenses y los rusos se dirigían rápidamente hacia una confluencia en el Elba.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 
Proposición Simple
Proposición Simple
Proposición Simple
Proposición Simple
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Problema 13
Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados:
 .2 4, .
.2 4 5, .
.2 4 5, .
IV.2 4 5, .
I es una proposición simple
II x es una proposición simple
III x es una proposicióncompuesta
es una proposicióncompuesta

+ =
+ 
+ 
a) FFVV b) FFFV c) VFVV d) VFVF
ó
ó
ó
ó
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Problema 17
Solución
Si la proposición es falsa. Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? ( ) ( )p q p r → →
 .
.
.
I p q es falso
II r q es verdadero
III q p es verdadero

→

a) I y II b) I y III c) II y III d) Todas 
 ( ) ( )p q p r → → F
V F
V F V F
( ).I p q falso
V F
V
( ).II r q verdadero→
F F
V
( ).III q p verdadero
V V
V
Son verdaderas II y III
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Conector Principal
Problema 6
Solución
Si el valor de verdad de la proposición ~ ~𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 → 𝑞 ∧ ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 → 𝑡 ∨∼ 𝑝 es verdadera , halle
el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
I. 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑡
II. 𝑞 △∼ 𝑡 → 𝑟 ∧∼ 𝑝
III. ∼ 𝑟 →∼ 𝑞 → 𝑝
a) FVV b) VFV c) FVF d) FFF
( ) ( ) ( ) ( )p q r q p q t p     →   →     V
Conector PrincipalV V
F
p q F•  
F
p V
q F
r q F• → 
r V
F V
V
V
F
( ).I p q t− → 
V
F
( ) ( ).II q t r p−  → 
V F
F
V
V
t V• 
F F
F
F V
F
( ).III r q p− → → V
FVV
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Problema 14
Solución
Al construir la tabla de verdad: ( ) ( )p q p q → 
El número de valores verdaderos en el operador principal es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 
p q 𝒑 ∨ ∼ 𝒒 → 𝒑 ∧ ∼ 𝒒
V V
V F
F V
F F
Conector Principal
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
El número de valores 
verdaderos en el operador 
principal es 2
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Problema 9
Solución
El siguiente esquema :
𝑝 → 𝑞 → 𝑝 ∧ ∼ 𝑝 → 𝑝 ∧ 𝑞 es equivalente a:
a) p b) q c) 𝑝 ∧ 𝑞 d) 𝑝 ∨ 𝑞
p q 𝒑 → 𝒒 → 𝒑 ∧ ∼ 𝒑 → 𝒑 ∧ 𝒒
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
p
( ) ( )p q p p p q   → →  →     p
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Problema 11 
Solución
En el siguiente cuadro se muestra operaciones lógicas con proposiciones simples p, q y r.
↔ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑟 ∨∼ 𝑟
𝑝 △ 𝑞 x
∼ 𝑝 → 𝑞 y F
∼ 𝑝 z
Determine el valor de verdad de x, y ,z en ese orden
a) FVV b) VVF c) FFV d) FFF
( ) ( )p q r r F• →   
VF
F F
( ) ( )p q p q y• →    () ( )p q r r x•     ( )p r r z•   
V F
F
F F
F
V
V
F F
F
F
V
V
V
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Problema 10
Solución
Cierto día, Juan plantea el siguiente problema a sus estudiantes: Si el valor de verdad de la siguiente
proposición compuesta.
∼ 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑞 ∧ 𝑝 ↔ 𝑝 → 𝑟 ↔ 𝑝 △~𝑝 → 𝑟 ∨ 𝑝 ↔ 𝑟 ∧ 𝑞 es falsa calcule el valor de verdad de
p, q y r, en ese orden.
Si Juan desea premiar al primer estudiante que responda correctamente con cierta cantidad de soles
guiándose de la siguiente tabla.
SI ES FALSO 
RECIBE
SI ES VERDAD 
RECIBE
p S/. 4 S/. 5
q S/. 6 S/. 7
r S/. 8 S/. 9
¿Cuánto recibe el primer estudiante que resuelva de manera correcta dicho problema?
a) 10 b) 20 c) 17 d) 18
( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )p q q p p r p p r p r q      →   →   →         F
V F
VUsando tablas de verdad podemos encontrar el equivalente 
( ) ( )p q q p p →   18
( ) ( )  ( ) ( )p p r p p r p r q    →   →       F
V F
V VF
V F
F
F
V
V
V
:De p r V→ 
V V
:De r q F 
V F
SI ES FALSO 
RECIBE
SI ES VERDAD 
RECIBE
p S/. 4 S/. 5
q S/. 6 S/. 7
r S/. 8 S/. 9
:5
:6
:9
p
q
r
El Alumno que resuelve el 
problema recibe 20 soles
19
4A 5D 7D 8C 15C
16D 18D 19B 20A 
20
Problema 15
Solución
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La siguiente proposición compuesta: es una
a) Tautología b) Contradicción c) Contingencia d) Equivalencia 
 ( ) ( )p q p q → 
p q 𝒑 ∨ ∼ 𝒒 → 𝒑 ∧ 𝒒
V V
V F
F V
F F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F