Operaciones Fundamentales en tercera dimension

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Coleccion Temas Selectos ae
Operaciones
Ffundamentales
Jaa
Teoria y practica
 
 
I=
umboret
Edil
Johnny Mejia Rojas rt ig
| Asociacién Fondode Investigadoresy Editoresa
Operaciones
fundamentales |
enZ
Teoria y practica
 Aritmética
| Johnny Mejia Rojas Lumbréras
OPERACIONES FUNDAMENTALESEN Z*. Teoria y practica
Niveles basico - intermedio - avanzado
Aritmética
Autor: Johnny Mejia Rojas
© Titular de la obra: Asociacién Fondode Investigadoresy Editores
Editor: Asociacién FondodeInvestigadoresy Editores
© Asociacién Fondo de Investigadoresy Editores
Av. Alfonso Ugarte N.° 1426- Brefia. Lima-Peru.Telefax: 332-3786
Parasu sello editorial Lumbreras Editores
Pagina web: www.elumbreras.com.pe
Primera edicién: marzo de 2016
Tiraje: 3000 ejemplares
ISBN: 978-612-307-560-6
Registro del proyecto editorial N.° 31501051600155
“Hecho el depésito legal enla Biblioteca Nacionaldel Pera” N.° 2016-03958
Prohibida su reproducciéntotalo parcial. Derechos reservadosD. LEG. N.° 822
Distribuciényventas ai por mayor y menor
Teléfonos:Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713,
‘ ventas@elumbreras.com.pe
 
Esta obra se terminé de imprimir en lostalleres gréficos dela Asociacion
Fondo de Investigadoresy Editoresen el mes de marzo de 2016.
Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perd.Teléfono: 336-5889
Y”)
 
"Wi PRESENTACION.
"W INTRODUCCION
“a OPERACIONES FUNDAMENTALESEN Z*
1. Adicion.... 
 
1.1. Sumasnotables 
2. Sustraccion .........
2.1. Propiedades
2.2. Complementoaritmético (CA).........
3. Multiplicacién
3.1. Multiplicacién en otrossistemas de numeracién .
4. Division.....
4.1. Clases
4.2. Propiedades..
4.3. Alteracionesdela divisi6n inexacta
 
 
 
4.4. Determinaciéna priori de la cantidad de cifras de un cociente y un producto
"Wd PROBLEMASRESUELTOS
Nivelbasico......
Nivel intermedio
Nivel avanzado
Bi PROBLEMAS PROPUESTOS
Nivel basico
Nivel intermedio
Nivel avanzado
"B CLAVES
" BIBLIOGRAFIA
11
12
15
16
17
19
21
22
22
22
23
24
26
63
80
95
107
112
116
118
 
PRESENTACION
 
 a
La Asociacién Fondode Investigadores y Editores- Afined, promotora de
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto
Operaciones fundamentales en Z*, perteneciente a una nueva serie de
temas escogidos dondesereaizael valor analitico y critico en la ense-
fianzg delasciencias.
La nueva Coleccién Temas Selectos se caracteriza por brindar a los
alumnospreuniversitarios contenidos dinamicosy precisos que afianzan
sus conocimientos en temas especificos en los cursos de matematicas,
ciencias naturales, razonamiento matematico y ciencias sociales. De
esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva linea de publicaciones
poniendo énfasis en el enfoque didactico y cuidadosoen fa relacion
teoria-practica.
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor
profundizacién y analisis para la comprensién y resolucién de los
ejercicios, por eso nuestra editorial seguira publicando nuevostitulos
hasta completar una nutrida coleccién que permita mantener el
reconocimientoy la confianza de los estudiantes, al manejar una teoria
sucinta, directa, con problemas resueltos y propuestosporniveles.
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que
ha significado esta publicacién, en la cual ha participado un grupo de
profesionales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental
a nuestro anhelo de una educacién cientifica y humanistica integral.
—n este proceso, deseamosreconocerla labor del profesor Johnny
Christian Mejia Rojas, de la plana de Aritmética de las academias Aduni
y CésarVallejo, por su labor en la elaboracién del presente material,
gracias a su valiosa trayectoria en la ensefianza preuniversitaria.
Asociacién Fondode Investigadores y Editores
 
INTRODUCCION
 
 =
El presente libro tiene por finalidad profundizar y complementar las
operacionesbasicas que tienela aritmética; asimismo buscatener la mayor
variacién de problemas de este tema, para que un alumnopreuniversitario
esté preparado para su examende admisién.
El objetivo de este trabajo es dominar las operaciones basica con los
numeros enteros, pues nossirve en el buen entendimiento de la adicién,
sustraccién, multiplicacién y divisién, y las observaciones que tiene cada
subtema, porquela correcta interpretacién de textos y el planteamiento
que se debe seguir, nos permite desarrollar nuestra capacidad deanilisis,
ademasde nuestro nivel de esquematizacién, organizacin y resolucién de
problemas.
 
En el dia a dia siempre. hacemosusodelas operaciones basicas; cuando
hacemosgastos del dia, sumamosnuestras ganancias; repartimos cierta
cantidad de dinero; es el uso comun a las propiedades mas simples cuando
se utilizan las operacionestradicionales. En siglos pasados las operaciones
matematicas fueron desarrolladas para ayudar a la manipulacién de
unidades compuestas en particular a las aplicaciones comerciales, las
ayudas més comuneseranporejemploen lascajas registradoras mecanicas;
mientras que en la era modernala introduccién de programas de conversion
incorporados en la calculadora. Este hecho representé un movimiento
notable en el desarrollo axiomatico de la tendencia predominante en las
matemiaticas superiores.
Estamossegurosde que los contenidos tematicos presentados seran de
gran ayuda y apoyo académico, para jévenes preuniversitarios en el ingreso
a las universidades nacionalesy particulares como también para todos en el
uso de nuestra vida cotidiana.
# OPERACIONES FUNDAMENTALESEN Z*
ADICION
£s una operacién matematica que consiste en
reunir dos o mascantidades tlamadas suman-
dos para obtenerunacantidad llamada suma.
6+3+7=16
Nt-z ft
sumandos suma
total
 
donde
- A;B; C; sumandos
- S:sumatotal
En otra base
 a
Enel primer orden: 2+5+7=14=16,
En el segundo orden: 1+3+6+5=15=17,
En el tercer orden: 1+5+7+4=17=21,
En el cuarto orden: 2
APLICACION 1
Se sabe que (a+b+c)*=289. Calcule la suma
b7a+cBb+a9c.
Resolucion
De (a+b+c)?=289 se. tiene que a+b+c=17.
Luego veamos
En el primer orden
a+b+c=17, se escribe 7 y lleva 1
En el segundo orden
14+7+8+9=25,se escribe 5 y lleva 2
En el tercer orden
2+b+c+a=19, se escribe 9 y lleva 1
En el cuarto orden
Lo que Ilevé fue 1 y solo se escribe 1
 
b7a+
c8b
a
 
 
| c
19:57
11
LUMBRERAS EDITORES a
 
 Observacién ; 7 
Si uno de los sumandos
serepite en el resultado,
entoncesfos otros dos
sumanla base; es decir
10.
APLICACION 2
“Halle a+b+nsi se sabe que ab+b3+8a=n2b.
 
Resolucién
1.€F orden: vemos que b
ab se repite en el resultado,
b3 entonces
z 3+a=10 + a=7
8a
n2b 2.9 orden:lleva 1, luego 1
+0+b+8=n2, observamos
que o=7, b=6 yn=2.
at+bt+n=15
APLICACION 3
Si se sabe que an+bc=134 y qr+xz=116,
calcule angr+bcxz.
Resolucién
Ordenamos en formavertical
rN(or
GrqT+ [De alli calculamos lo
que nos piden. En cada
“
l
e
“
l
s
“
h
e
“
h
e +
 
bcexz bloquededos cifras, la
11 67 de 3orden es 1, la
cual pasa al orden
134 inmediato superior.
13516
angr+bexz=13 516
12
 
1.1.SUMAS NOTABLES
1.1.1. Suma delos primeros nimerosnaturales
14+24+3+..4n= alnet)
 
1,1.2.Sumade los primeros nimeros pares
24+446+...+2n=n(n+1)
‘nsumandos
 
1.1.3. Suma de los primerosnumeros impares
14+3+5+...4(2n-1)=n?24545+...42n=
nsumandos
 
1.1.4.Suma de los primeros cuadrados perfectos
PrPasternantMansy)
 
1.1.5. Sumade los primeros cubos perfectos
423433 +..4n7ee
 
1.1.6. Suma de las potencias con una misma base
1+b +b? +63 +...+b"=
 
w.
 
1.1.7. Sumade los primeros nimeros consecu-
tivos dos a dos
n(n+1(n+2)
1X24+2x343x4+...t(n+)= 3
 
1.1.8. Sumade los primeros niimeros consecu-
tivos tres a tres
1xX2x34+2xX3X44+3x4X5+...
n(n+1)(n+2)(n+3)
2
..ta(n+1)(n+2)=
 
APLICACION 4
Dela siguiente operacién,calcule a+m.
a+01,+023+03,+..:+a9=mm0
Resolucién
En cada sumando, vamos a descomponerpoli-
némicamente.
1 Recuerde_
felideteachets 
 
Luego tendriamos
a+(2a+1)+(3a+2)+(40+3)+...+(10a+9)=mm0
Ordenamos
a+2a+3a+...+100+1+2+3+..+9=mm0De alli
ao(14+2+3+...+10)+(1+2+3+...49)=mm0
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
Luego
attoxay 2x0—
55a+45=mm0,¢ on
1 110
 
> a=1lam=1
a+m=2
APLICACION 5
Si 1+2+3+...+n=aa, ademés a es impar, halle
el valor de a+n.
 
Resolucion
Se tiene que
1+2+3+...tn=aa
a(nt+1)_—
=aaq
2
n(n+1)=2xaa
n(nt+1)=2x11xa
a(n+1)=20x11
wrt
wu 5
— a=5 y n=10
a+n=15
APLICACION 6
Halle a+b+c+dsi
27447+67+...+30*=abed.
Resolucién
Se tiene que
2?+47+67 +...+30°=abed
(2-1)?+(2-2)?+(2-3)*+...+(2-15)?=abed
Ox12422?4032+...x15?=abed
13
LUMBRERAS EDITORES
Factorizamos 27
(1? +2? 43? +...415?)x =abed etete tere
15x16x31
6
5
> afSAIS=abed
1
2x5x16x31 =abed
4960 = abcd 5
— a=4; b=9; c=6; d=10
a+b+c+d=19
Lise
4960
APLICACION 7
Halle la sumasecifras de N.
N=2+6412+20+...+420
Resolucion
Se tiene que
N=2+6+12+20+...+420
Se observa que cada sumandoesel producto de
dos numerosconsecutivos.
> N=1x2+2x3+3x4+4x5+...2+20x21
Aplicamos la suma de los primeros nuimeros
consecutivos dos a dos.
7
_ 20x2x22
B
1
N=20x7x22
aN
— N=3080
{sumadecifras de N) =3+0+8+0=11
14
 
Sumade numerales decierta forma
APLICACION 8
Calcule la suma de todos los numerales de la
forma a(a+3).
Resolucién
Para sumar todos los niimeros de la forma
a(a+3}utilizamos el método de sumasparcia-
les, es decir
 
a(a+3)
a
14
25
3 6
4 7 1.*suma parcial
S 8 (44+5+6+7+8+9)
6 9 .ot
(4) <— 2° sumaparcial
Tag «((1+2+34+445+6)
 
Porlo tanto, la suma de todos los numerales de
a(a+3) es 249.
APLICACION 9
Calcule fa suma de todos los numerales de la
forma ab(b+4).
Resolucién
Primero calculamosla cantidad de numerales
dela forma
O
M
Y
A
N
A
W
N
E
H
K
G
9x6 =54 numerales
© on . vossea OPERACIO
 
Luego sumamoslos 54 numerales usando el método de sumasparciales.
ab (b+4)
tos
> 2g Totaldenumerales —> 54
3 2 6 Cantidadddevalores —> 6
4 3 7 delacifra de primer
54 8 orden
6 &. 9
7
8
9
“GS1"suma parcial(4+5+6+74+8+9)x@) gg
<— 23 suma parcial: (o+14243+445)x@6
_— 3.3 sumaparcial: (1+2+3+... +9)A
2:08
°7
01
9
Porlo tanto, la suma de todos los numerales de ab(6+4)es 28 701.
twitter.com/calapenshko
SUSTRACCION
 
 
Es una operacién inversa a la adicién, donde . =S+D
dos términos llamados minuendoy sustraendo M+M=M+S+D
hacen corresponderun tercer numero llamado
diferencia.
35 - 23 = 12 ~
4 ft APLICACION1
Minuendo Sustraendo _Diferencia
(mM) () (0) En unasustraccién,la suma de términos de una
sustraccién es 90; ademas,el sustraendo es dos
vecesla diferencia. Halle el sustraendo.
Ademés Resolucion
* M-S=D Sea la sustraccibn M—S=D.
Luego M+S+D=90wer
2M =90 — M=45
 
15
LUMBRERAS EDITORES
 
Dealli, $+D=45; ademas por dato S=2D
20+D=45
Luego 3D=45 — D=15
Finalmente
$=2D=2-:15 — S=30
2.1, PROPIEDADES
a. Para un numero dedoscifras
Si ab,—ba,=%Yn,
entonces
xXty=n~1
 
 
Ejemplos
6 3- 8 1- 7 5e)-
3 6 18 5 I)
27 63 1%)
suman 9 suman 9 suman 8
b. Para un numerodetrescifras
Si abc,—cha,=xyzn,
entonces =
x+z=n-1; y=n-1
 
Ejemplos
731- 513- 64 w=
137 315 24 Gg
5@4 1@8 3@a4
NZ NOS NZ
suman 9 suman 9 suman7
16
 
¢. Para un numero decuatro cifras
Si abed-deba=xyzw,
entonces
¢ Sib>c,se cumple que
w+x=10; y+z=8
Sib<c,se cumple que
w+x=9; y+z=9
Si b=c, se cumple que
y=z=9; wtx=9
 
Ejemplos
Hs _
™~ mm
6 8 2 3- § 22 1-
3286 1225
3537 399622S! a2
Lascifras centrales Cada cifra central
suman la base -2, y las representa un 9,
cifras extremas sumanla lascifras extremas
base de dicho numeral. suman9,
<
“~~
935 2-
2539
6 8 1 3oS
lascifras centrales
suman 9.
lascifras extremas
suman9.
 
 
APLICACION 2
Se tiene que abc=cba—mn4.Halle m-n.
Resolucién
Ordenando mn4=cba—abc tendriamos que
 
° S| a-
 
a S| °
 
am+4=9,-mn
m=5 |
La cifra central es 9.
n=9
En consecuencia
mxn=5x9
mxn=45
APLICACION 3
Si a-c=7 y annc—cnna=xyyz,halle la suma de
cifras de yz+xy.
Resolucién
Ordenamosverticalmente
 
Vemosque lacifra de 1.¢°
orden es c~a: r. Por lo
tanto,el valor de z ser 3. 
xyyz
c-a=3 0 c-a=3
i 4
129 18
Para amboscasos: a=9 y 8; b=2y 1, ladiferencia
dec—a siempre sera 3. .
OPERACIONES FUNDAMENTALES 
En la propiedadc,la diferencia de un numero de
cuatro cifras con el mismo numero pero con las
cifras invertidas, los extremos suman 9 y las ci-
fras centrales serancifras maximas.
> x=6; y=9; 2=3
yz+xy=93+69=162
2.2.COMPLEMENTO ARITMETICO(CA)
El complemento aritmético de un numero
entero positivo es igual a la cantidad de unida-
: des quele falta a dicho numero para serigual
a.una unidad del orden inmediato superior con
respecto a su cifra de mayor orden.
Ejemplos
© CA(3)=10-3=7
* CA(6)=10-6=4
© CA(17)=100-17=83
© CA(264)=1000-264=736
© CA(6438)=10000-6438=3562
En general, sea N el numeralquetiene cifras.
Entoncesel complementoaritmético de N seré
 
Formapractica
Se coloca {a cifra maxima sobre cada cifra del
numero, y la base-sobrela cifra de 1.£° orden.
Luego dichascifras las restamos conlas cifras
del numero del complemento aritmético. Si el
numero termina en ceros, se coloca la base en
la cifra significativa de dicho numero.
17
LUMBRERAS EDITORES
 
 
Ejemplos
1. CA(3 845 6) 2. CA(47264000)
999910- 999910. -
CA(3 8456) CA(4 7264000)
61544 52736000
3. CA(3 1647 2g)
777778-
CA(3 1647 23)
461306,
ts Nota 
APLICACION 4
siel ca(abede)=257,
halle el valor de a-c+d+e-b.
Resolucién
9999 10-
cala bc de)
257
Vemos que 9—a=0 y 9-b=0
— a=9 y b=9
Ademas 9-c=2; 9-d=5; 10-e=7
> c=7;d=4;e=3
 
a-c+d+e-b=9-7+4+3-9=94
18
 
APLICACION 5
Si calabe) cba) Fe 199, calcule el maximo
valor de a+b+c.
Resolucién
Del dato CA[ abe) - cba.) |=199. Al valor de
199lo llevamosa base 7, y tendriamos 403(7).
Aplicamosla nota
ca[abe (ay84 (7) }=403)
A)
Dealli
De la cifra de 3." orden a~1-c=2
97553, donde 6 y 3 son los
a@bem—) © 3 :
a” valores maximos para a y c. Luego
CB OF) 6:0;1;2;3;4; 6
maximo
264 ” > a=6; c=3 y b=6.
 
Porlo tanto,el maximovalordea+b+c=6+3+6
es 15.
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
 
MULTIPLICACION
 
 
Es una operacién matematica donde dos nume-
ros A y B son llamados multiplicando y multipli-
cador, respectivamente. Luegose halla un tercer
numero P llamadoproducto,el cual se compone
de tantas veces el multiplicando como veces in-
dica el multiplicador.
A+tAtAt..t4=P
Bveces
AxB
 
multiplicando producto
multiplicador
Ejemplo
Multipliquemos 2568por 547.
1 2 5 3X — muttiplicando
4 6 2 —+multiplicador
productos 2506.
parciales 7518
o12
5 78 8 8 6 —producto
Observacion 
suma de ‘nuttipli- suma de
B] Productos L ania \ cifras del
parciales(SPP) multiplicador,
APLICACION1
En una multiplicacién, si al multiplicando se
le suma 12 unidades, el producto aumenta en
360. Halle el multiplicador.
Resolucién
Sea la multiplicacié6ninicial AXB=P.
Por dato tenemos
{A+12)xB=P+360
AxB+12xB=P+360
12xB=360
B=30
Porlo tanto, el multiplicador es B=30.
APLICACION 2
Al multiplicar mnp por 416 se obtiene que la
suma de productosparciales es 7975. Halle el
valor de m+n+p.
Resolucién.
Del enunciado,la multiplicacién es
mn px
416
mnp-6
mnp-1
mnp-4
 
 
 
 
producto
Por dato
: {sumade productosparciales)=7975
mnp:6+mnp:1+mnp-4=7975
mnp:11=7975
mnp=725
 
> m=7;n=2;p=5
m+n+p=14
19
 
RAS EDITORES
APLICACION 3
Al multiplicar ab por ab se obtiene que la suma
de productosparciales es 115. Halle el valor de
axb.
Resolucién
Se tiene la multiplicacién abxab, ademas
(SPP)=115
Obx(a+b)=115
abx(a+b)=23x5
> Gb=23 y a+b=5
a=2 y b=3
axb=2x3=6
% Observacién 
abcdyx(k—-1Xk-1Xk—-1Kk—-D,
APLICACION 4
Sise cumple que
abedx9999=...5(a+1)3¢,
halle el valor de (axb+cxd).
 
20
 
Resolucién
Se tiene que abedx9999=...5(a+1)3c
Entonces dela observaciénanterior se cumple
que ca(abed) =5(a+1)3¢
Porla forma prdctica, tendremos que
99910
ca(abed) =5(a+1)3c
e 9-a=5 > a=4
° 9-b=a+1 — 9-b=5 — b=4
© 9-c=3 > c=6
e 10-d=c > 10-d=6 — d=4
(axb+cxd)=4x4+6x4=40
APLICACION 5
Si se cumple que abcjq)X728=...275(9),
halle el valor de a+bt+c.
Resolucion
Del enunciado, tenemosque
abc(a) -275(9)8 
 
FBC)X888,o)
 
75(9)
Entoncesde la observacion anterior se cumple
que
839
CA(abe(gy )= 27540)
En consecuencia
* 8-a=2 > a=6
© 8-b=7 > b=1
e 9-c=5 + c=4
at+b+c=11
 
Observacién 
APLICACION 6
Si se cumple que abe7) X(666) =...243(),
halle el valor de a+b—c.
Resolucién
Se tiene que abc(7) x (666,7)) = +243(9)
Entonces dela observacién.anterior se cumple
que abc¢7)=243(7)
a+b~-c=2+4-3=3
APLICACION 7
Si se cumple que @4b6x9999""!4="Jcid,
calcule (a+b+c+d).
Resolucion
Se tiene que 2Axs909(), 2c1d
Si el exponente es par, entonces se cumple
la observacién anterior.
 
 
 
Entonces
a4b6
a=2; c=4; b=1; d=6
a+b+c+d=13
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Zz
3.1. MULTIPLICACION EN OTROS SISTEMAS DE
NUMERACION .
Ejemplo
» Multipliquemos 425;7) por 35(7).
4 2.5ix
3 5
r—r 30 6 4m
161 1g——_
2220 4m.
2.2 producto parcial
 
 
_{ 1producto parcial
 
 
 
42 5)x 42 5x
507) 30)
306 47) "1611
 
APLICACION 8
Sise cumple que 36,,x452,=abc54,, halle el valor
dea+b+c+n.
Resolucién
Del enunciado, tenemos que
 
 
4 5 [2)inX
3 |6 hin
++ * |g
oie ee 2x6="4iq)
bc a 4 [Asay] 2x6=12=14%8)
 
n=8
Como n=8,entonces reconstruimosla multipli-
cacion
4S 2)x
3 6)
337 4
157 6
2135 4)
Entonces
a=2; b=1; c=3
at+tbtctn=14
21
LUMBRERAS EDITORES
 
(Gowision
Es unaoperaciéninversa a la multiplicacién que
consiste en que dados dos nuimeros Ilamados
dividendo(D)y divisor (d), se obtiene un tercer
numerollamadocociente (q), que nos indica ef
numero de veces quecontiene el dividendo al
divisor.
dividendo (0) I divisor (d)
124 12
“4 10
residuo (r) — +cociente'(q)
Se cumple que
124=12x10+4
algoritmo de
la division
 
4.1. CLASES
4.1.1. Exacta
Unadivision es exacta cuandoelresiduo es cero
(r=0); es decir, el dividendo contiene al divisor
un numero‘exacto de veces.
120 [8
o 15
Porel algoritmo dela divisién
120=8x15+0
120=8x15
 
4.1.2. Inexacta
Unadivisién es inexacta cuandoel residuo es
diferente de cero (r #0); ademas se puede rea-
lizar de dos maneras:por defecto y por exceso.
22
 
 
Ejemplo
87 [12 67. [12_
u-@ 5 e-® 6
67=12x(5)+7 67=12x(6)-S
 
 
 
4.2. PROPIEDADES
a. O<residuo<d
b. En unadivisioninexacta
. (residuo minimo)=1
¢ (residuo maximo)=d-1
Cc fgtre=d
d cociente \_/ cociente 41
* \por exceso} \por defecto,
APLICACION 1
La diferencia de dos ntimeroses 29 la divisién
entre ellos da como cociente 2 y un residuo
minimo.Halle el dividendo.
Resolucién
Sean A y B los numeros,tal que A > B.
Por dato
A 8B
1 2
A=Bx2+1
 
Ademas
A-B=29
(2B+1)~B=29
B+1=29
B=28
Nospideneldividendo (A).
A=Bx2+1
A=28x2+1
A=57
APLICACION 2
En unadivisién inexacta, el residuo por defecto
es el doble del residud por exceso; ademas,et
divisores 36. Calcule el dividendosi el producto
delos cociéntes es 56.
Resolucion
Del enunciadose tiene que
Por defecto Por exceso
D |36 D 136
raQn) a © a+t
Porla propiedad c se sabe que
fgtte=d
2rt+r=36
3r=36
r=12
Por dato, tenemosqueel producto de cocientes
es 56. En consecuencia
qx(q+1)=56-
q=7
Nospiden el dividendo(D). Por el algoritmo de
la divisién tenemos
D=dxq+rg
D=36x7+24
D=276
 
4.3. ALTERACIONESDELA DIVISION INEXACTA.
Primercaso. Es cuandosele afiade unidadesal
dividendo.
Ejemplo
Consideremosla siguiente division:
307 [15
7 20
¢ Si aumentamos 50 unidadesal dividendo,
tomamoselresiduoinicial y le afiadimoslas
50 unidades; luego efectuamosla divisién
 
7+50 |15
¢ variacién
del cociente
nuevo
residuo
Alfinal tenemos que
307+50 15
12 20+3
¢ Si aumentamos 70 unidadesal dividendo,
tomamoselresiduoinicialy le afiadimoslas
70 unidades; luego efectuamosla divisién
7+70 |15
variacién
on Oncociente?
nuevo
residuo
Al final tenemos que
307+70 15
2 -20+5
 
23
LUMBRERAS EDITORES
 
Segundo caso.Es cuandose multiplica por cierto”
 
numeroal dividendo.
Ejemplo
Consideremos Iasiguiente divisién:
24
95 [7
4 13
Si multiplicamospor5 al dividendo, toma-
moselresiduoinicial y lo multiplicamos por
5; luego efectuamosla division
4x5 |7_
® ®
nuevo
residuo
Al final tenemos que
95x5 7
3 «13x5+2
 
Si multiplicamos por 16al dividendo, toma-
mos elresiduoinicial y lo multiplicamos por
16; luego efectuamosla division
“4x16 [7_
@ ®
nuevo
fesiduo
 
Alfinal tenemos que
95x16 ik
7 13x16+9
 
 
Tercer caso. Es cuando.se multiplica por un
mismo numeroaldividendoy aldivisor.
Ejemplo
Consideremoslasiguientedivision:
a [s_
Ss a
Si multiplicamos por2 al dividendo al divisor
61x2 |8x2
5x2 7
 
entoncesel cociente novaria, pero el resi-
duo queda multiplicado por 2.
* Simultiplicamos por5 al dividendoy aldivisor
61x5 |8x5
5x5 7
entoncesel cociente novaria, pero elresi-
duo queda multiplicado por5.
4.4, DETERMINACIONAPRIORI DE LACANTIDAD
DE CIFRAS DE UN COCIENTE Y UN PRODUCTO
APLICACION 3
Siel numeroA esdeseiscifras, y el numero B es
A
de trescifras, écudntascifras tendré —?
B
Resolucion
© SiA tieneseis cifras, entonces
10° <A< 10°
107° < A‘ < 10%
 
* Si Btienetrescifras, entonces
10? <B< 10?
10° < 8° < 10°
ete
10° B* 10°
Luego
107° < a4 <10%
 
1on,00{§) <1000...00—— ———
Liceros 18ceros
Puedetener12;
13; 14; 15; 16;
17 0 18cifras.
. A
Porlo tanto, — puede tener como minimo 12
B
cifras y como maximo18 cifras.
APLICACION 4
Si los numeros M; N y P tienen 3; 4 y cifras,
respectivamente,écuantascifras, como maximo,
5 x ye
puedetener 
a
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z”
 
. Resolucién
* Si Mtienetrescifras, entonces
10?<M<10°
10° < MP < 10%
© SiNtienecuatro cifras, entonces
10° << 104
10** < N° < 10%
* Si tiene cinco cifras, entonces
10*<P<10°
10! < p*< 107°
1 oc1 1—<<
107° p* “1936
10° <m*< 101°
10° <ne<10% |x
i 14eet
10°? *p*~ 196
 
10°20"x5<M5xN>x-+<10"5x10xt.
10 P 10°
5S 6MP xn!
10° < <10%pe
1000...00<000...09
 
8ceros 23 ceros
Puedetener
9; 10; 11; i
21; 22 0 23 cifras.
 
5 x
Por lo tanto, um
4
23cifras.
 puede tener, como maximo,
25
i _PROBLEMAS RESUELTOS
 
twitter.com/calapenshko
Nivet BAsico
PROBLEMAN.° |
Si d4cb+635a=acd90, calcule a+b+c+d.
 
 
 
 
A) 21 8) 17 ¢) 19
D) 20 €) 22
Resolucién
Nospiden a+b+c+d.
1 1
)zeesad4cb+
635a
acd90 }
| (+b+a=10 > b=9
oF
1 coloca 0 lleva 1
1te+5=
4+3=d > d=7
d+6=1c
4 4
7+6=13
> a=1; b=9;
a+b+c+d=20
_cuve@
PROBLEMAN.° 2
Sing+qz+zn=nqz,calcule n+q+z.
A) 20 B) 14 c) 19
D) 17 E) 18
26
Resolucién
Nospiden n+q+z.
Ordenamosla suma en formavertical.
 
 
(a)
n1a+ Ler orden
3.erorden {42 ied
z{A
nalv 91
n=2% nXg)
2.° orden
1+n+q+z=nq
pry~7
14+14+9+@=19 > 72=8
— n=1; q=9; 2=8
n+q+z=18
_cuave©
PROBLEMAN.° 3
Halle m+p si se cumple que
Im+2m+3m+...+8m=p92.
A) 12
dD) 9
B) 4 Cc) 8
—) 7
 
 
 
 
¥ OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
Resolucién Resolucién
Nos piden m+p. Nospiden el maximovalor de A-B.
Ordenamos verticalmente. Para obtenerel maximo valor de A~B
a A debe | ible.ay . jebe ser jo mayor. post le.
Im «© Bdebeser lo menorposible.
3, m Luego
am A=nl+n2+n3+...4n9 1:1; 2; 3;...
p52 |
* 1.orden
mtmt..+ms...2ALU
8 veces
= 8-m=...2
| teva
8-@v=G2
_— 72
No cumple porque
enel 2.° orden no
coincide cifra 9.
* 2.° orden
34+14+2+3+...+8=p9
axg
3B+—— = 392
m+p=44+3=7
_cuave®)
PROBLEMA N.° 4
Halle el maximovalor de A-8si
A=ni+n2+n3+...+n9
8=90+Ba+7a+...+10
A) 384
D) 472
B) 396 Cc) 392
E) 286
A=91+92+93+...+99
Recuerde
Satyttyttyt.tt,
s=(2t4)n
 
Aplicamos sumasnotables.
an(228
 }s — A=855
B=9a+8a+70+..+1a > a:(); 2;3;..;
|
minimo
 
B=91+81+71+...411
o=(#42)9 i
max(A—B)=855—459=396
 B=459
_CLAVE ®
PROBLEMA N.° 5
Si ab+be+mm=(c—1)mm,halle axc+b.
A) 9
D) 12
8) 7 ©) 10
E) 13
27
LUMBRERAS EDITORES
Resolucién
Nospiden axc+b.
Ordenamosen formavertical.
 
2.° orden 2 1.2 orden segin
Tea+b=10 al la observacién
b+c=10
18) 5) a
mm 8 2
 
— a=1; b=8; c=2
axc+b=1x2+8=10
_cuve©
PROBLEMAN.° 6
Si mmg+ing+pp,=mnpg, halle m+n+p.
A) 17 B) 16 c) 15
D) 12 E) 14
Resolucién
Nos piden m+n+p.
1+m+n+p=Ing=17g=15
ted
1+1+7+6=17,eee
1s
> m=1; n=7; p=6
“.m+n+p=14
28
 
PROBLEMA N.°7
Si
4+444444+...4444:.,MA
52cifras
halle xy+zw.
A) 120 B) 116 Cc) 142
D) 130 E) 140
Resolucién
Ordenamosla sumaen formavertical.
 
leva
 
Neva z=4
lleva—
3.€ orden: 4x50+422=2
 
lleva y=2
 
 
 
Nos.piden
xt 8 2+
zw > 48
130
_cuve@
w. OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z* 
 
PROBLEMA N.° 8
Si se sabe que a+b+c=14; ademas
abcg+bcd,+cabg=pars,, halle p+q+r+s.
 
 
 
A) 20 B) 21 c) 18
D) 25 €) 17
Resolucién
Nos piden p+qtrts.
11a
a b Cet
bc ag
ca bg
PQT Se
yard deja ene!
17'7 6, =ungrupo atone
| L de la base \
Lo quellevaba a+b+c=14= ig)+6=16,
enel 3.orden tae |
24.2orden es 1.
Lta+b+e=15=173
,
1ta+b+e=15=17g
q
> p=; q=7; r=7; s=6
ptqtr+s=21
_cuve@
PROBLEMA N.° 9
Si GNXg+2X39+NGXg=PA74o,
calcule a+n+p+x.
A) 16
D) 18
B) 14 c) 15
E) 13
Resolucién
Nos piden a+n+p+x. Ordenamos la suma en
formavertical.
 
 
 
 
 
 
1
a 4+ 1. orden
v
x|3}9 aval Mooo
a[x|o Lo Letom
TIAly
2.° orden
3.¢orden Ltn+g+x=179=16a 240,
l+a+n+2=pdg 10° |
10 \|=
13 = 1,
— p=1; a=2; n=8; x=5
a+n+p+x=16
_cuve@
PROBLEMAN.° 10
$i Babc+a0ca+b7c9+ccab=24 023,
halle ab+bc.
 
A) 89 B) 98 ) 64
D) 124 E) 92
Resolucién
Ordenamosla sumaen formavertical.
222
Babct iordenv ,
a+b+c=14 04 
 
a0ca tal que o+b+c+9=23
b7c9
lleva
£6Ob! yvorden
24023; 230 /2tarbsere=22
eva 14 6 |
dena lleva
2+0+0+7+c=...0=20 ¢=6 > a+b=82
teva | |
5 6
a=5 > b=3
29
LUMBRERAS EDITORES
 
 
Nospiden .
ab+ 53+
be 36
89
cave®
PROBLEMA N.° II
Elmertiene S/.ab5; Alex tiene S/.c8c y Omartiene
S/.bac. Luego se dan cuenta quesijuntaran todo
el dinero, tendrian S/.nn6n. Halle (a+b)—(c+n).
A) 2 8) 3 4
D1 —) Ss
Resolucién
Nos piden {a+b)—(c+n).
Sumamoslo quetiene Elmer, Alex y Omar.
 
bS+
8c
a
 
5
 
 
nn6n
4
Puede ser 102.
* Sin=2 > 1.orden:5+c+c=...2 (cumple)
7
¢ Sin=1 > 1.orden:S+ct+c=...1 > c=3a
6 it
Lteva
Luegoenel2.° orden 1+b+8+a0=...6
N 7
b+a=7
Nos piden (a+b)—(c+n).
7-(34+1)=3
_cuve @
30
PROBLEMA N.° 12
Calcule la sumadecifras de M.
M=8+98+998+9998+...+999,..98
50cifras
 
A) 47 B) 48 c) 49
D) 50 E) 51
* Resolucién
Calculamosla suma de M.
50 cifras ota
M=8+98+998+...4999..98 /SSmames+1410 +1 +%-1
 
“50 veces (ae
mos 1
 
M=9, + 99 + 999+...+999...99-50
ewe SS ona
1+10-14107-1+10°-1
 
+10°°-1-1-50,
1410+107+10"+...410°°-1-1 ..-1-1-50 
 
 
50+1 50 veces
50+1_ (Sur +
10°=1_59-1-50 —[Testamnos 1!
10-1 :
Siceros ‘Sinueves
1000...0-1 999.99 _-mat101= 9 01
Sleifras
——
M=111...1111-101
M=111
5:
 
Nospiden la suma de cifras.
49 cifras
an
14+1+1+...41=49
: _cuve©
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
 
PROBLEMA N.° 13
Sabiendo que abc-cba=mnp, ademas m-p=5,
halle el valor de a” +c”.
A) 78 B) 79 Cc) 80
D) 81 E) 82
Resoluci6n
Ordenamosla resta verticalmente.
1
a
 
a S| ° '
 
. | Q
 
EI 3 7.
De alli vemos que
m+p=9+
mapes_
2m=14 — m=7 A p=2
Luego en el tercer orden
a~1-c=ma
a \
Solo a y c puedenserdeunacifra.
a-c=8
4
91-7 a=9 A c=1
a?+c7=97+17=82
_cuve©
PROBLEMAN.° 14
Calcule el valor de ptn+d en
9pnd—dn0p=5346.
A) 20
D) 17
B) 15 c) 18
E) 16
Resolucién
 
Nospiden calcular p+n+d.
A»= erpid |=een
 
3 2
 
 
 
w 2
 
En el 2.° orden, presté 1, luego resultd 4.
n-1=4 > n=5
> p=8; n=5; d=4
ptntd=17
_cuve
+ PROBLEMA N.° 15
la suma de las cifras de la diferencia de
Gbc,—cba, es 28. éCual es la base n?
“A) 14 B) 13 c) 15
D) 16 —) 17
Resolucién
Nos piden n.
Ordenamosla sustracci6n.
 
LUMBRERAS EDITORES
 
PROBLEMA N.° 16
En unasustraccién las sumas de sus términos
tomadosde 2 eri 2 son 380; 448 y 692. Halle el
minuendo.
A) 446
D) 345
B) 380 C) 692
E) 448
Resolucién
Sabemos que M-S=D.Nospiden M.
2M=M+S+D
Dato:
M+S 380
M+Dy 448 }+
S+D} 692
2(M+5S+D)=1520
M+S+D=760ae
2M =760
M=380
_cuve®
PROBLEMAN.° |7
Si la suma de términos de una sustraccién es
590, ademasel sustraendo es los del minuen-
do,halle la suma de cifras de la diferencia.
A)9 B) 10 om:]
D) 11 —) 12
Resolucién
Nospiden sumadecifras de D.
Sabemos que
 
Dato: M+S+D=590 — 2M=590
M=295
= S+D=295
32
Dato:
3S==M
5
s=2095) ~ $=177
Luego de prd=295
17
D=118
Nospiden la sumadecifras de D.
1+1+8=10
_cave®
"PROBLEMA NL? 18
Si se sabe que
mnp+CA(pnm)=abc7, halle a+b+c.
A) 12 8) 13 c) 11
D) 14 E) 10
Resolucién
Nos piden a+b+c.
Del dato
mnp+Ca(pnm)= abc7
*. mnp+1000-pnm=abc7
Elvalor dea
tiene que ser 1.
mnp=pnm=abc7-1000—
3 cifras
— mnp-pnm=bc7
297
— a=1; b=2; c=9
a+b+c=13
_cuve@
 IDAMENTALESE wt
PROBLEMA N-° 19
Calcule a+b+c+dsi CA(abed)=ab-+cd.
 
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Resolucién
Nospiden a+b+c+d.
calabed)=ab+ed
 
10 000-abcd
 
10 000-100. ab-cd
Analizamos
maximo—-— par: 0; 2; 4; 6;@maximo,
10 000=101-ab+2 cd
Wout
98 2x51as ee
9898 + 102
+ a=9; b=8; c=5; d=1
at+b+c+d=23
cave@
PROBLEMA N.° 20
Si ca{abed7, )= nabcds, calcule a+b+c+d.
 
A) 14 B) 18 ¢) 17
D) 15 E) 16
Resolucién
Nos piden a+b+c+d.
 
Del dato ca(abed?,
en formapractica
 
jabcds, lo ordenamos
 
Empezamosporelprimer orden.
88889
CA(a b c d 74))-
eed a)
6262
nabcdg
yhaud
26262
> n=2; a=6; b=2; c=6; d=2
a+b+c+d=16
_cuive©
PROBLEMAN.° 21
Si ca(abed, )= mnp@zy el
 
CA(a+b+c+d+m+n+p+q)=xy,halle x+y.
A) 9 B) Ss Cc) 7
D) 8 E) 10
Resolucién
Nos piden x+y.
 
ca(abed, )= mnpag Jo colocamos en forma
practica.
7778
calabed,) -
 
MnP
8-d=q >
7-c=p — ct+p=7
7-b=n. > b+n=7
7-a=m > a+m=7
d+q=8
at+b+ct+d+m+nt+p+q=29 :
33.
LUMBRERAS EDITORES
 
Luego
CA(at+b+c+d+m+n+p+q)=xy
4
CA(29) = 100-29=71
> xKX=7 A y=1
xt+y=8
_cuve@
PROBLEMA N.° 22
EI. CA de mnxy es un numero detres cifras iguales,
ademas m+n+x+y es 19. Calcule mx+ny.
A) 142
D) 134
B) 127 c) 131
E) 122
Resolucién
Nos piden mx-+ny.
Dato:
m+nt+xt+y=19
4
9 n+xt+y=10
cal
 
9]9 2.10 )_
CA(|m|n xy)?”
m=g-7 00a
 
 
 
9-n=a+
 10-y=a
28-(n+x+y)=3-a~
28 - 10 =3a
18 =3a > a=6
Luego
9-n=6 > n=3
9-x=6 > x=3
10-y=6 > y=4
34
 
 ]
Nospiden
x+ 93+
ny >. 34
127
_cuve®)
PROBLEMAN.° 23 .
Halle el mayor ntimero detres cifras tal que
la suma de las cifras de su complemento
aritmético sea 12. Luego dé comorespuesta la
cifra del segundoorden.
A) 4, B) 5 6
‘D) 7 E) 8
Resolucién
Sea abc el numero maximo. Nospiden b.
Para que sea maximo, a debe ser maximo a=9,
y b también debe ser maximo, entonces m debe
ser minimo.
m=3 a n=9
9 9 10
calo6 el).
96
mnBURL
39
Dato:
m+n=12
tod
nnOY
w
o
r
v
a
n
e
w
R
u
a
v
e
En el segundo orden
9-b=m — b=6ud
° _cuve©
twitter.com/calapenshko
we
PROBLEMAN.° 24
Sea cA(abe)=2m7.
 
Halleel resultado de abcig)—cbajgy.
A) 176) —B) 275) C): 3744)
D) 47346) E) 572g)
Resolucién
Nospidenel resultado de abcig)~cba).
Llevamosa la formapractica.
calabe).woe
7
 
2m7
> a=7 a c=3
Luego nos piden
 
U8) 1/8)
abCg)- 7 b3g)-
a >
cb ae) 3b 7%)
374(8)
t
Cifra maxima
dela base 8
_cuve ©
PROBLEMAN.° 25
Si el CA de abc resulta 8a+6b+3c, halle la suma
de cifras del mayor numero abc que cumple
dicha condicién.
A)7
D) 11
B) 8 cq 9
E) 13
1ONES FUNDAMENTALESEN Z*
 
Resolucién
Nospiden la sumadecifras max(abc).
Dato:
ca(abe)=80+6b+3c
1000-abe=8a+6b+3c
1000-(100a+10b+c)=8a+6b+3c
1000-100a—10b-c=80+6b+3c
max1
1000=108-a+16-b+4c
 
1000 = 972 + 28
ghee? 13” maximo
Ngo07x minimo
méx(abc)=913
=9+143=13
_cuve©
PROBLEMAN.° 26
La sumade los complementosaritméticos de los
numerales
Ta2; 203; 304; ...; 8a9 es 4196.
Halleelvalor de a.
A) 2 B) 1 Cc) 7
D) 3 E)
Resolucién
Nospiden calcularel valor de A.
ca(Ta2)+-ca(3a3)+ca(Saa)+...cA(8a5)=4196
1000-102+1000-2a3+-...+1000-809=4196
8000-4196=102+203+304+...+809 ©eee
3804
35
LUMBRERAS EDITORES-
Ordenamosenformavertical.
24
1a2
2a3
3a4 |+
a
e+
re
 
w © o a
En el primer orden
tleva
1
24+3+44..49=44
En el segundo orden
4+8a=...0
| te
448-2=20¥
4+8-7=60% 7
e no cumple
Enel tercer orden
Heva (2)+14+2+3+..48=38
{leva @) —no cumple
a=2
_cuve@
PROBLEMA N.° 27 |
El producto de tres numeros consecutivos es
4080.Halle la suma de los numeros.
A) 46 B) 51 Cc) 49
D) 47 E) 48
ResoluciénSean los nuimeros (a~1);a y (a+1).
Por dato (a—1)xax(a+1)=( 4080
Descomponiendo 4080entodoslos factores
2x2x2x2x3x5Xx17Ree eho
16 15
36
— a |
Adecuadamenteagrupamosentresfactores.
Luego
(a-1)=15 > a=16
{a+1)=17
(a-1)+a+(a+1)=15+16+17=48
cave ©
PROBLEMA N.° 28
En una multiplicaci6n de Nx143, se obtuvo
como sumadeproductosparciales a 992. Calcule
la sumadecifras de dicha multiplicacién.
A) 20 8) 18 C) 22
D) 24 —) 17
Resolucién
Nos piden la sumadecifras de (Vx 143).
Dato:
suma de productos
parciales de Nx143eee
Nx(14+4+3)Uxutar?
Nx8
> N=124
Luego
Nx143
124x143=17 732
Nos piden la suma decifras de 17 732.
1+7+7+3+2=20
_cuve @)
w.
PROBLEMAN.° 29
Si abex999=...143,
halle a+b+c en base 7.
 
C) 31,
E) 23,
A) 15,
D) 16,
B) 26,
Resolucién
Nos piden (a+b+c) en base 7.
Dato:
abex 999=...143
—_— ——
abcx(1000-1)
we
a@bc000-abe=...143
ve
a b cC@@OW-
abc
143
L.10-c=3 > c=7
9-b=4 > b=5
 
 
9-a=1 > a=8
a+b+c=8+5+7=20 y a base 7 es 267.
CLAVE®
PROBLEMAN.° 30
Halle la suma de cifras de mnpsi la suma de
productos parciales de mnpx849 resulta
16 716.
A) 19 B) 24 Cc) 20
D) 21 E) 22
OPERACIONES FUNDAMENTALESEN Z
Resolucién
> Nos piden m+n+p.
Dato:
( sumade productos
parciales de mnpx849
——
)s6 716
mnpx(8+4+9)
mnpx21=16 716
mnp=796
m+n+p=22
cave©
PROBLEMA N.°31 |
El producto de dos numerosque sediferencian
en dos unidadeses 528.Halle la sumadecifras
del mayor de dichos numeros.
A) 5 B) 6 7
D) 8 E) 9
Resolucién
Nospiden la sumadecifras de (n+2).
Sean los numerosny (n+2).
Dato: nx(n+2)=528
—————
2x11x2x2x2x3CAE
22 x «424
 
Luego
n=22 > (n+2)=24
“ 2+4=6
~ _cuve®
37
LUMBRERAS EDITOR’
 
PROBLEMAN.° 32
En una multiplicaci6n, si al multiplicando se le
disminuye 5 unidades,el producto disminuye en
175; pero si al multiplicador se le dismninuye
en 12 unidades,el producto disminuye en 216
unidades. Halle la suma de productosparciales
de dicha multiplicacién.
A) 118 B) 126 C) 144
D) 120 E) 232
Resolucién
Sea la multiplicacién
AxB=P
. (A-5)xB8=P-175
4XB-5xB=P-175
5xB=175
B=35
© Ax(B-12)=P-216
AxB-12A5P-216
12A=216
A=18
Luego AxXB=18x35
Nospidenla sumade productosparciales.
18x(3+5)=144
8
_cuve@
PROBLEMA N.° 33
Si12N=...552 y SN=...730,
calculelastres ultimascifras de 39N.
A) 157
D) 294.
B) 258 C) 384
E) 740
38
 
 
Resolucié6n
Nospidenlastres ultimascifras de 39N.
Formaremosel ntimero 39N.
Sumamoslas
Ultimascifras.
 
Porto tanto,las tres ultimascifras de 39N es 294.
_cuve ®)
PROBLEMA N.° 34
En una multiplicacién, si el multiplicando °
aumenta en 18 unidades, el producto se incre-
menta en 1206 unidades. Calcule la suma de
cifras del multiplicador.
A) 13 B) 14 c) 12
O) 11 E) 15
Resolucién
Nos piden la sumadecifras del multiplicador.
Sea la multiplicaciéninicial
> multiplicando —, —muttiplicador
AxB=P
+producto
Dato: . (A+18)xB=P+1206
Ywy
(AxB}+18B=P+1206
=
+ 1885741206
18B=1206
B=67
6+7=13
_cuve®
wf
PROBLEMAN.° 35
 
La suma de productos parciales al efectuar
mnpxmnpes 1687.Calcule la suma decifras de
npmxnm. —
A) 13 B) 14 c) 18
D) 15 E) 11
Resolucién
Nospidenla sumadecifras de npmxnm.
Dato:
Sumade productosparciales de
mnpxmnp=1687
Se descompone en
dos factores, y com-
parando solo hay2
Unicosfactores.
 
Luego
npmxnm=412x42=17 304
1+7+3+0+4=15
_cave @
PROBLEMAN.° 36
Siaunnumerode4 cifras del sistema cuaternario
se le multiplica por 255, su producto termina en
1231,4). Calcule la sumadecifras del ndmero.
A) 5
d) 8
B) 6 -Q7
E) 10
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
Resolucién
Nos piden a+b+c+d.
Sea abcd, el numero.
Dato:
abcd,x255=...12314
abase 4
abed,x3333,=...1231, 
aM
abcd,x(10 000,—1)=...1231,
abcd0000,-abcd,=...12314
3.334
abcd0000,-
abcd,
234,
3-0=1 > a=2
 
 
— abcd=2103
a+b+c+d=6
_cuve®
PROBLEMA N.° 37
Si a(2a)x{a+1)7=nnn, halle la sumadecifras
_ detca(an). .
A) 13 B) 12 ou
D) 9 E) 8
Resolucién
Nospiden CA(an).
a(2a)x(a+1)7=nnn
ore
nx3x37
Sn
Vemos que (a+1)7=37
Ee
a=2
 
 
39
LUMBRERAS EDITORES
Luego
a(2a)=nx3
24=nx3
n=8
Piden
ca(an) > CA(28)=72
74+2=9
_cave @
PROBLEMAN.° 38
Calcule la sumadecifras de P.
P=6666...666x8
502 cifras
 
A) 1612
D) 1510
B) 1256 C) 1277
E) 1515
Resolucién
Calculamosla suma deP.
502 cifras
—_
lleva —- 5555 55544
6666...66666 x
eet
P=53333...33328eee
500 veces
— 5+500x3+2+8=1515
Porlo tanto, la sumadecifras. de P es 1515.
cave ®
 
PROBLEMAN.° 39
En unadivisién entera, el cociente es 7 y el
residuo 23.Si la suma delos cuatro términoses
325,halle el dividendo.
A) 251
D) 247
B) 302 C) 261
€) 292
40
 
Resolucién
Nospidenel dividendo D.
Seala division entera
DOtd
a td > D=7-d+23
23 7
_ Dato:
_D+d47+23=325
7d+23+d+30=325
8d+53=325
8d=272
d=34
Luego
D=7x(34)+23
D=261
 
PROBLEMAN.° 40
La sumade dos numeroses 983, su cociente es
41 y su residuo 17. Halle ja sumadecifras del
numero mayor.
A) 14 B) 13 c) 15
D) 16. E) 12
Resolucién
Nospiden la sumadecifras de A.
Sean los numeros A y B (A > B)
A |B
= [B. — A=41xB+17
17 41
Dato:
A + B=983
—_——
418+17+B=983
42B=966
B=23
 
Luego
A=41x(23)+17 — A=960
9+6+0=15
_cuve®
PROBLEMA N.” 41
éCudntos numerosenteros positivos existen tal
queal dividirlos entre 90 dan comoresiduo el
cuadruple del cociente?
A) 21 B) 22 ©) 23
0) 20 E) 19
Resolucién
Nospiden el numerode valores de N.
Sea N el numero.
N [90
4qq
> N=909+4q
N=94q
Para sabercudntosvalores toma N dependede q.
residuo< divisor
4q<90
q<22,5
 Ez
Porlo tanto, habrd 22 valores para N.”
_cuave®
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
PROBLEMAN.° 42
Yuly al repartir N caramelos a sus 3 sobrinosles
tocé q caramelos a cada unoy les sobré 2; pero
si hubiera repartido a sus 9 alumnos,les hubiera
tocado q—11 caramelos y sobrado5. Halle la
cantidad de caramelosquetenia Yuly.
A) 60 B) SO C) 47°
D) 72 E) 48
Resolucién
Nospiden N.
N: cantidad total de caramelos
Datos:
N 3 +-sobrinos 9 <—alumnos
206q 5 q-ii
N=3q+2 — N=9-(q-11)+5
3q+2=9q-99+5
96=6q
16=q
Luego
N=3xq+2 — N=3x16+2
N=50
_cuve®
PROBLEMA N.° 43
Al dividir N entre d se obtiene comoresiduo por
defecto 13 y residuo por exceso a 17. Ademas
la sumade cocienteses 71. Halle el valor de N.
A) 1241
D) 987
B) 963 C) 1063
€) 1125
41
LUMBRERAS EDITORES
 
Resolucién
Nos piden N.
Pordefecto Por exceso
Nid N Ld
130 q 17 (q+1)
Dato:
qt(qt+1)=71 — qz=35°
Sabemosr,+r,=divisor
13+17=d — d=30
Luego
N=d-q+13 — N=30-35+13
N=1063
cave©
PROBLEMAN.° 44
Al dividir A entre B por defecto y por exceso se
obtiene comoresiduo 14y 19, respectivamente.
Halle A si los cocientes suman 163.
B) 2312A) 1239 c) 2346
D) 957 £) 2687
Resolucién
Nospiden A.
Por defecto Por exceso
B A 8B
 
a= q (a+1)
A=Bxq+14 rgtr,=divisor g+q+1=163
q=8114+19=B
B=33
Nos piden A=Bxq+14
A=33x81+14
A=2687
 
42
Aa 
PROBLEMAN.° 45
Aldividir el ntimero jmr entre mr se obtiene 11
de cociente y 80 de residuo.Hallej+m+r.
A) 17 B) 20 c) 21
D) 18 E) 19
Resolucién
Nos piden j+m-+r.
jmr |mr
80 11
jmr=11-mr+80
==
j00+mr
Ademas
residuo < divisor
80< mr
4
av
9x
aed
10-j=mr+8
Iu
10-9=82+8eee
90 90
 
> j=9; m=8; r=2
j+m+r=19
CLAVE ©
PROBLEMA N.° 46
éCuantos numerales de tres cifras pueden ser
dividendodeunadivisién cuyo cociente es 11 y
su residuo es 24?
A) 54 8) 83
D) 68
C) 64
E) 72
w.
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
Resolucién
Nospiden el ndmero devalores para abc.
Sean abc los ntimerosdetrescifras.
mle
24 11
2a<d
Gbc=dx11+24 — debe ser detrescifras.
11-d+24 < 1000 :
1id<976
d <88,72
Luego
24<d<88,72
aS
64
Por lo tanto, hay 64 valores para d; es decir,
habrd 64 numerosdetrescifras para abc.
_cave©
PROBLEMAN.° 47
En unadivisién,el divisor es dos veces mas que
elcociente, y este es el triple del residuo. Halle
la sumadecifras del dividendo si es el mayor
posible detrescifras.
A) 19 B) 22
D) 24
c) 16
E) 26
Resolucién
Seala division
D|9n0
n 3)
= |dos veces mas
L4t
eltriple
 
— D=9nx3n+n
max — D=27xn?+n< 1000
14
a
u
a
w
e
D
u
a
w
s
Hallamos D.D=27x6'+6 — D=978
Nospiden la sumadecifras de D.
9+7+8=24
_cuve ®
PROBLEMAN.° 48
En unadivisidn,la suma de sus términoses 121;
perosi se triplica el dividendoy divisor, y luego
se realiza fa divisién, la suma de sus términos
serd 349. Halle el cociente.
 
A)S B) 6 °9
dD) 8 £) 7
Resolucién
Nospiden q.
x3 x3
DO\|d 3D 3d
rose@ 3r q
“ee”
x3
e,21 3D+3d+q+3r=349=349
hg +3q+3q+: ae)
+3d+q+ a)
og1414
q=7
43
LUMBRERAS EDITORES
 
PROBLEMAN.° 49
En una divisién inexacta, el cociente y el
residuo son 43 y 10, respectivamente; pero si
se disminuye el dividendo en 256 unidades,el
cociente disminuye en 9 unidadesy el residuo
aumenta en 5 unidades. Halle !a suma decifras
del dividendo.
A) 12 B) 15 c) 18
Dd) 9 €) 21
Resolucién
Nospiden la suma decifras del dividendo
Did D-256 d
10 43 34
+5,
 
 
D=43d+10
D -256=34d+15
—-,
43d+10-256=34d+15
9d=261
d=29
HallamosD.
D=43d+10 — D=43x29+10
D=1257
14+24+5+7=15
_cuve®
Sa 
’ PROBLEMA N.° 50
Alex tiene N naranjas y Wilmertiene 11 naranjas
més queAlex.Si estelas divide entre 5,le sobran
2 naranjas, y Wilmersi divide también entre 5, su
cociente aumenta 2 y su residuo resulta 3. Si la
suma de naranjas que tiene Wilmery su cociente
resulta 51, halle cudntas naranjastiene Alex.
A) 32 B) 34 C) 45
O) 28 €) 47
Resolucién
Nos piden el numerode naranjas de Alex.
Alex Wilmer
WLS N+11 [5
2 q@ 3 qt2
N=5q+2
 
Dato:
(N+11)+(q+2)=51
—
5q+2
= 6q+15=51
6q=36
q=6
Luego
N=5q+2
N=5x64+2
N=32
Porlo tanto, el numero de naranjas que tiene
Alex es 32.
 
 
gf. 7 OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
PROBLEMA N.°51 Resolucién
Calcule M,- MM)si Nos piden 7.
My=15+16+17+18+...+85
M,=40+38+36+34+...+12
A) 3500 B) 2850 C) 3160
D) 3550 £) 3840
Resolucién
Nos piden M,~M).
Vemos que M,=15+16+17+...+85 es la suma
de numeros naturales, pero comienza del 15.
© 5x86m== x 14x15
 
2 2
M,=3655-105 —> M,=3550
 
luego M)=12+14+16+...+38+40 es la suma
de numerospares que comienza del 12.
M,=20x21-30
M,=420-30
M,=390
Finalmente
M,-M=3550-390
M,-M,=3160
_cuve©
PROBLEMA N.° 52
Siab+bc=114, ademas a+b=12-c,calcule
 T=
a-3
A) 3 8) 6 c) 4
Dd) 5 —) 9
Ordenamoslos datos.
ab+
be
114
En el primer orden tenemos
b+c=4V v b+c=14x
Leva
En el segundo orden tenemos
a+b=11V v 1+a+b=11*
10
Ademas
a+b=12-coo §
1 iv
10° 2x
> atb=11 a c=11; b+c=4 > a=8
 
 
31
Nos piden
paGxbte _Bx3+1_25_
a-3 8-3
T=5
PROBLEMA N.° 53
Se tiene que 1+8+27+64+...+729=mnmp.
Halle mxp.
A) 12
D) 18
8) 15 c) 10
E) 14
45
LUMBRERAS EDITORES
 
 
Resolucién
Nos piden mxp.
1+8+27+64+...+729=mnmp
13+23+33+43+...+9%=mnmp
9x10)
2 =mnmp
2025=mnmp
 
 
 
— m=2; n=0; p=5
mxp=10
_cuve©
PROBLEMAN.° 54
Halle la suma de todos fos numerales de la
forma ab3.
A) 10103 B) 20103 C) 1020;
0) 11205 £) 21203
Resolucién
Nospiden la suma de todos los numerosde la
forma ab3.
Calculamosla cantidad de numerales.
3
n
e
o b.4
°
i
—2
'x3=6 numerales
Luegorealizamoslas siguientes sumas parciales:
Primera sumaparcial
$(0+1+2)=6=20,
Segunda sumaparcial
£+2)=9=100,
46
 
a Sa
Luego sumamos
203 + ‘
1003”
10203
_cuve©
PROBLEMAN.° 55
Halle un numero dedoscifras; en el cual la suma
desuscifras es 10, tal queal invertir el orden de
suscifras es 10 y el numeraldisminuye en 36.
A) 91 B) 58 Cc) 85
D) 73 E) 62
Resolucién
Sea el numero ab.
Dato: a+b=10
También ab—ba=36; a>b
[5
1
S>
-
w a
En el segundo orden tenemos
a-1-b=3
a-b=4 « a+b=10 s
Luego
 
wf.
PROBLEMAN.° 56
Calcule a+bsi b x a0a x bOb x a = 367 236.
 
A) 6 B) 8 c) 3
Dd) 5 FE) 9
Resolucién
Nospiden a+b.
Se tiene b x a0a x BOb x a=367 236
bxaxOf x 101x b x a=367-236
axb?=36 > axb=6
14
2 3 —+ atb=5V (sihay clave)
6 1—+ a+b=7X (nohay clave)”
_cuve®
at+b=5
PROBLEMAN.° 57
En unadivision el dividendoes99 el residuo
es 8. Calcule la sumadel divisor con el cociente
porexceso.
A) 7 B) 13 c) 20
D) 21 E) 24°
Resolucién
Nos piden d+(q+1).
Por defecto tenemos
99 [d
rg=8 q
Notamos que 8<d
99=dxq+8 — 91=dxq
4
7x13 X
13x7 ¥
— d=13 a q=7
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
El cociente por exceso (q+1)=7+1=8
d+(q+1)=13+8=21
cave®
PROBLEMA N.° 58
Calcule la suma de todos los numerales de la
forma pqrs.
A) 224400, 8B) 314400, C) 211300,
D) 214300, E) 232300,
Resolucién
Primero calculamos la cantidad de numerales
de pqrs.
 
a
u
n
e
r
s
lI
mw
n
H
o
-
g
J
S
w
n
H
o
n
m
a
 
4x5x5=100 numerales
Luego, calculamoslas sumasparciales.
Primera sumaparcial
100
HyOtd+243+4)= 200= 1300,
Segunda sumaparcial
100
(041424344)=200= 1300,
‘Tercera sumaparcial
100
mqt2+344)=250 = 2000,
Sumamoslos resultados
1300,+
1300,
2000;
214300,
_cuve@)
47
 
LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.° 59
Halle a?+b?+c? si
£=11+134+15+17+...431=abe.
A) 13 B) 14 c) 15
D) 16° E) 20
Resolucién
Vemosque E es una suma de ntimeros impares.
Utilizamosla suma de impares.
2(16)~1
py
11+13+15+17+..431
14345+74+9411413+15+17+..431- (143454749)
es
B1=2n-1 25
32=2n
16=n -— Lasuma de impares es n”.
Agregarlos primeros cinco nimeros impares y
luego restarles los mismos.
Entonces la suma de impares es 167=256-25
luego £=231=abe
> a=2; b=3; c=1
+b+72431714
_cuve®
PROBLEMA NEO 60
Si se sabe que abc—cba=5xy,calcule
xy-CA(x-y).
A) 43 B) 54 Cc) 30
D) 36 E) 61
Resolucién
El dato abc—cba=5xy lo ordenamosen forma
vertical.
48
 
Q 3] ° '
° 3 Q
 |
w
w
x
a > x=9 A y=4
Nos piden xy-CA(x-y)
94-CA(9-4)
94—-CA(36)
94-64=30
_cuve©
PROBLEMAN.° 61
Si abe -cha=pqr, halle p3q+78q+qqq
 
 
 
A) 1997 B) 2129 C) 1927
D) 2027 €) 2007
Resolucién
Nospiden p3q+r8q+qqq.
Ordenamosen formavertical.
abc-
cba
pqr
: q=9
ptr=9
9
Luego
— 22
p3qt 39 +
r8q 89
99q 999
2027
PROBLEMA N.° 62
Unestudiante quiere multiplicar un nimero por
80, pero olvida colocarel cero de la derecha del
producto, obteniendo una diferencia de 7992
del producto correcto. Determine el producto
correcto.
A) 8880 B) 7720 Cc) 9022
D) 8580 £) 8910
Resolucién
Nos piden Nx80.
Correcto: Nx80=
Incorrecto: Nx8 =
 
Nx72= 7992 — N=111
cave@
111 x80=8880
PROBLEMAN.° 63
Encudntasvecesel valor del producto de tres
factores habré aumentado sabiendo que uno de
ellos auments en su duplo,otro ensutriple y el
tercero.en su cuddruplo.
B) 59A) 24 Cc) 23
D) 60 E) 71
Resolucién
Nos piden el numero de veces que aumentoP.
Inicio: P=x-y-z
Luego decada factor: (x+2x)(y+3y)(z+4z)
queda 3x-4y-5z
B-4-Sexyz
60-x-y-z
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
Al final queda: 60P
Inicio Final
P 60P
ars
Elndmerode veces que aumenté es 60P—P=59P
Por lo tanto, aumenté 59 veces.
_cave@
PROBLEMAN.° 64
Un numerodetrescifras dividido entre la suma
de suscifras resulta 11 de cociente y residuo 0.
Indique la sumacifras de dicho numero.
Ag B) 18 © 27
D) 19 E) 25
Resolucién
Sea abc el ntimero de tres cifras. Nos piden
atbtec.
Dato:
abe [a+bec
0 1
Luego
Gbc=11(a+b+c)
100a+10b+c=11a+11b+11c
89q=b+10c
19 8wa FO
89=9+80
> a=1; b=9; c=8
a+b+c=18
_ciave®
49
LUMBRERAS EDITORES
 a 
PROBLEMAN.° 65
En unadivision inexacta, al residuo por defecto
le faltan 8 unidades para ser igualal divisor. El
residuo por defecto excedeal residuo por exce-
so en 7, El cociente eseltriple del residuo por
exceso.Calcule el valor del dividendo.
A) 501 B) 567 Cc) 514
D). 519 E) 613
Resoluci6n
Nospidenel dividendo D.
Por defecto Por exceso
D|d+8 D_|d+8
d 3(d-7) (d-7)
Delos datos ya ordenados vemos
gt fe=divisor
d+(d-7)=d+8 + d=15
Luego
D=(d+8)x3(d-7)+d
D=23x3x8+15
D=567
PROBLEMAN,” 66
Determine la suma de todos los numerales de
la forma mnp3.
A) 1021003
D) 101100,
B) 102200; C) 2201103
E) 111100;
50
 
Resolucién
Nos piden la suma de todos los numeros de la
forma mnp3
Hallamosla cantidad de numerales.
 
m
4
1
2 H
e
s
H
o
v
B
22
2x3x3=18 numerales
 
Luego, calculamoslas sumasparciales.
Primera suma parcial
Poori+2)= 18=200,
Segunda sumaparcial
Fo+1+2)=18=200,
Tercera sumaparcial
Ba+2=27=1000,
Sumamos{os resultados.
200; +
200;
1000;
1022003
Ciave(
PROBLEMAN.° 67
Si abe- cha =mp(m+1),calcule m?+p?.
A) 63
D) 90
B) 91 Cc) 97
€) 78
 
v a OPERACIONES FUNDAMENTALES ENZ”
Resolucién Resolucién
Ordenamosenformavertical. NospideneldividendoD.
ab - D d
c ba r=20 q=8
m_p (m+1) > D=dxq+r > D=dx8+20
9 m+(m+1)=9 Dato:
p29 m=4
m?+p?=4?+9°=97
CLAVE|
PROBLEMAN.° 68
* Calcule el valor de at+b+c+d+esi
abcde7x5=7abcde.
A) 17 B) 18 c) 19
D) 20 E) 21
~ Resolucién
Nospiden a+b+ctdte.
Reconstruimosla multiplicaci6n.
abcde7 x
5 >
7abcde
 
 
Luego
a=1; b=4; c=2; d=8; e=5
at+b+c+d+e=20
cave®
PROBLEMAN.° 69
En unadivision inexacta, la suma desus términos.
es 336.Halle el dividendosiel cociente es 8 y el
residuoes 20.
A) 226
D) 276
B) 236 C) 256
E) 296
D+d+q+r=336
—
8d+20+d+8+20=336
9d+48=336
9d=228
d=32
D=8(32)+20=276
_cave®
PROBLEMAN.° 70
Si el dividendo y el divisor de una divisién
inexacta son multiplicadospor6, el residuo au-
menta en 30 unidades.Halle el residuoinicial.
A) 6 B) 5 Q7
D) 12 —E) 3
Resoluci6n
Sabemosquesial dividendoy al divisor se les
multiplica por un numero, también queda mul-
tiplicado el residuo.
Inicio_» x6_ Final
ola ‘60 [6d.
rq 6r q
a
Aumentamos
(6r-r) — 5r=30
r=6
cave ®
51
LUMBRERAS EDITORES
 
 
 
PROBLEMA N.° 71
éEn qué sistema de numeracién se cumple que
201-45=112?
 
 
A) base 6 B) base 7 C) base8
D) base 9 £) base 11
Resolucién
Sea nelsistema.
tn“~
201,-
45,
112,
En el primer orden tenemos
1(n)+1-5=...2,
n-4=2
n=6
cave@
PROBLEMA N.° 72
Halle la suma de todos los numerales de la
forma ab(2a)5.
A) 2030, —B) 4210, C): 4010
D) 4320, £) 4140,
Resolucién
Nospiden la suma de todos los numeralesdela
forma ‘ab(2a)s.
Primero calculamosla cantidad de numerales.
2 x5=10numerales
$2
Luegohallamoslas sumasparciales,
Primera sumaparcial
2e+4)=30=110,
Segunda suma parcial
Plor1+2+3+4)=20=40,
Tercera suma parcial
10
Fat2)=15= 305,
Finalmente sumamos
1105 +
40;
305
4010,
 
_cuve@
PROBLEMA N.° 73
Halle MD+MXDsi se sabe que
MM+DD+443=MDM.
A) 84 B) 92 Cc) 94
D) 59 E) 98
Resolucién
Nos piden MD+MxD.
El dato MM+DD+443=MDMlo ordenamos en
formavertical.
11
MM+ 55+
DOD = 7
443 443
MoM 575
405 (cumple con 5)
xv
wf. 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z.*
 
En el primer orden tenemos a
M+0+3=..M
tou 4
5 7 15
_Ileva
En el segundo orden tenemos
14+M+D+4=..D
44 |
S 2 v7
—Heva
En el tercer orden tenemos
14+4=M
4
5
 
Finalmente
M=5 a D=7
MD+MxD=57+5x7=92
_cuave@)
PROBLEMAN.° 74
Halle la suma delas cifras de un numero de
cuatro cifras sabiendo que al ser multiplicado
por 43 se obtiene como sumade sus productos
parciales un ndmero que termina en 5543.
A) 20 B) 22. C) 24
D) 25 E) 23
Resolucién
Sea abcd el numero de cuatrocifras.
Nos piden a+b+c+d.
Dato:
abcdx43
Hallamosla suma de productosparciales.
SPP=...5543
SPP=abedx(4+3)=...5543
abedx7=...5543
 
 
> 36
 
x
w
e
a
a
s
b
a
o d
4
9
7
25543
a=3; b=6; c=4; d=9
a+b+c+d=22
_cuve®
PROBLEMAN.° 75
La sumadelos términos de una multiplicacién
es 503.Si el multiplicandosetriplica, entoncesla
suma de los nuevostérminosseria 1475.Halle el
multiplicador.
A) 28 8) 17 Cc) 30
D) 32 E) 36
Resolucién
Sea la multiplicacién AxB=P.Nos piden B.
Dato 1:
A+B+P=503
Dato 2:
AxB=P — (3A)xB=3P
De alli
3A+B+3P=1475 (a)
Del dato 1 multiplicamos (x3) y lo restamos con
lo anterior.
+3B+3P=1509 —
BA+B+AP=1475
B3434
B=17
_cuve®
53
LUMBRERAS EDITORES
PROBLEMAN.° 76
Aumentando7 a cada uno de los dos factores
de una multiplicacién, el producto aumenta en
364. Calcule el productooriginalsila diferencia
de susfactoreses 5.
A) 492
D) 500
B) 512 C) 485
—) 490
Resolucién
Sea la multiplicacién AXB=P.
Nospiden P.
Dato:
(A+7)(B+7)=P+364
AB+7A+7B+49=P+364
P+7(A+B)=P+315
7{A+B)=315
> A+B=45
Ademias,del dato
A-B=5 y A+B=45
Luego
A+B=45 +
 
A=25
Nos piden P=AXB=25x20=500
— B=20
P=500
_cuve ®
PROBLEMAN.° 77
éCudntos ndmeros enteros positivos existen
que al ser divididos entre 49 se obtiene un
residuo igualaltriple del cociente, mas cuatro
unidades?
54
 
A) 12
D) 15,
B) 13 c) 14
E) 16
Resolucién
Nospidenla cantidad de valores del dividendo.
Ordenamos
D_|49.
3q+4 q
— D=49xq+(3q+4)
D=52q+4
 
Para hallar D, este depende de q.Porlo tanto,
relacionamos
Residuo < Divisor
Es decir
3q+4<49
3q<45
q<15
 
Porlo tanto, existen 14 valores para D.
_cuve©
PROBLEMAN.° 78
La suma de los 25 numerosenterospositivos y
consecutivos es 900. Halle la suma delos nimeros
positivos anteriores a dichos 25 numeros.
A) 276 B) 726 C) 672
D) 267 E) 467
Resolucion
Sean los 25 numeros enteros y consecutivos
n+(n+1)+(n+2)+...+(n+24)=900
 
 
Ordenamos
ntn+nt...+Nt14+2+3+...+24=900
25n 24x25 _ggg
25n=900-300
25n=600
— n=24
Luego los numerosanteriores an son
1; 25.3; 4)... 23:7
24
Nospiden la suma
23x24
 14243+...423= =276 |
_cuve®
PROBLEMAN.° 79
Halle la sumade todoslos numeros de cuatro
cifras que comiencen y terminenconla cifra 3.
A) 358400 B) 349800 C) 549600
D) 224950 €) 647600
Resolucién
Sean 3ab3 los nimerosdecuatrocifras.
ntérminos
3003; 3013; 3023;
Rae 4
Para calcular la suma de todos los numeros,
usaremosla sumade términos. 
o
m
N
H
O
n
g
,
n=10x10=100 términos
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
Finalmente, hallamosla suma.
5 = (200532100
5-8x100
$=349800 ~
_cuve®
PROBLEMAN.° 80
En unasustraccién, la suma de-sus términoses.
108; ademas, el minuendo es dos veces mas
que el sustraendo.Calculela diferencia.
A) 34
D) 28
B) 36 C) 24
E) 40
Resolucién
Nospiden D.
Sabemos que M-S=D
Ademas M+S+D=2M
Dato:
M+S+D=108 — 2M=108
bm
5454 M=54
Dato:
M=3S
> 35=54
“s=18
En consecuencia
S+D=54 — D=36a
18
D=36
CLAVE
55
LUMBRERAS EDITORES
 
PROBLEMA N.° 81
Halle un numerodetrescifras que multiplicado
por 27, termine en 471, y dé como respuesta la
sumadecifras de dicho numero.
A) 12 B) 13 Cc) 14
D) 15 E) 16
Resolucién
Sea el numerodetrescifras mnp.
Nos piden m+n+p.
 
 
 
Dato:
mnpx27=...471
Se reconstruye
mnp x 573
27 27
---- ~~ _011
=ifS
ATL ATL
> m=5; n=7; p=3
m+n+p=15
_cuve @
PROBLEMA N.° 82
Halle el producto de xyz por 248 sabiendo que
el producto de sus productosparciales es 9007.
A) 50800 B) 52600 C) 55800
D) 57500 E) 56800
Resolucién
Nos piden xyzx248.
56
 
Luego
xyz
248
 
Del producto de productosparciales tenemos
8x4x2-xyz*=900?
43.xyz*=9007
4-xyz=900?
xy2=225
Finalmente piden xyzx 248
225x248=55 800
_cwve©
PROBLEMA N.° 83
éCudntos nuimeros menores que 400 pueden
ser dividendos de unadivisin, cuyo cociente es
12 y el residuo es 14?
c) 11A) 12 B) 14
D) 13 —) 18
Resolucién
Nospidenla cantidad de valores de N.
Dato:
N<400
Ademas
Nd
14 12
Sabemos queresiduo<divisor > 14<d
Luego N=12xd+14
© 
Para hallar N necesitamoselvalor de d.
Pero como N<400
— 12d+14<400
12d<386
d<32,16
Ordenamos d
14<d<32,16
——
15; 16;17;...;36 — 18 numeros para d
 
Porlo tanto, habra 18 valores para N.
_cove@
PROBLEMA N.° 84
Determine a+b si se sabe que al dividir abab
entreba,el cociente es 76 y el residuo es ab.
A) 12
Dd) 8
B) 10 cq) 15
E) 13
Resolucién
Nospiden a+b.
Ordenamos
abab (Ba
ab «76
> abab=76xba+ab
100ab+gb =76xba+gb
190x ab= 74 xba
25xab=19ba
 
ab _19x3--57
ba 25x3-+75
a
+ a=5 A” b=7
a+b=12
OPERACIONES FUNDAMENTALESEN Z. 
PROBLEMA N.° 85
Se tiene el ntimero 5733333...3 de 20 cifras y
fe sumamoslos 25 primeros numeros impares
consecutivos. ¢En quécifra terminard esta suma?
A) 5 B) 4 Q9
D) 6 —E) 8
Resolucién
Nos pidenla ultimacifra de
57333...3+1+34+5+7+...+49
20 cifras
 
25 numeros
De la sumade impares: 257=625
Luego
. 57333...33 +
625
 
PREGUNTAN.° 86
Sabiendo que at+b+c=16, halle la suma de
todos los numerosdetrescifras diferentes que
se puedan formar empleandolascifras a; by c.
A) 4553 B) 4558 C) 5664
D) 3552 E) 6446
Resolucién
Nos piden la suma de todoslos nimerosde tres
cifras diferentes,
Teniendolas cifras a; b y c, se formaran los
ntimerosdetres cifras diferentes: abc; acb; bca;
bac; tab y cba.
57
LUMBRERAS EbiTores
Luego
32.
abc +ach
bea
bac
cab
cba
3552
En el primer orden
c+b+at+ct+b+q=32
 
16 5 tea
En el segundo orden
3+bt+c+c+ata+b=
2atb+e) lleva
16
Sabemospor dato a+b+c=16
En el tercer orden
3+atatbtb+c+c¢=35Ores
2(a+b+c)——
16
Porlo tanto, la suma de todoslos nimeros que
cumplalo indicado es 3552.
cave®
PREGUNTAN.° 87
sica(abe)= cab,calcule axb+c:
A) 25 B) 27 c) 29
D) 36 E) 42
Resolucién
Nos piden axbtc.
ca(abc) = cab
1000-abc=cab
1000=abce+cab =
58
 
 
Ordenamosverticalmente
iu
abc + U:c+b=10
cab sD: 1+b+a=10 > b+a=9
1000 C:1ta+c=10 > atc=9
De ey Ademas b+4=9
)*
 
PREGUNTAN.° 88
El producto de dos numeros es 1620. Si a uno
de ellos se le disminuye 15 unidades, el nuevo
producto es 945. ¢Cualesla diferencia entre los
dos numerosoriginales?
A)7 B) 8 9
D) 10 —) 11
Resolucién
Sea el producto AxB=1620.
Nospidenla diferencia de A y B.
Dato:
(A-15)B=945
AB-15B=945
1620-945=15B
675=15B — B=45
Luego
AxB=1620 — A=36
&
B-A=9
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
PREGUNTAN.° 89
El producto de dos numerospares consecutivos
es 5328. éCual es el mayor de dichos ntimeros?
A) 72 B) 74 Cc) 76
D) 78 E) 82
Resolucién
Seanlos numeros pares ny (n+2).
Nospiden el nimero mayor(n+2).
Dato: n(n+2)=5328
Para determinarlos factores, al ndmero 5328 se
le debe descomponerenfactores.
5328 4
1332 4
333 )3
111) 3
37 37
1
> §328=4x4x3x3x37
=2x2x4x3X3x37SAIN
 
Luego n(n+2)=5328
—
n ™
Porlo tanto, el mayor(n+2) es 74.
cave®
PREGUNTAN.° 90
En unadivisidn inexacta,la sumade los cocien-
tes por defecto y exceso es 23, y la suma de sus
respectivos residuos es 17. {Cudl es la suma del
cociente y el divisor?
 
A) 26 B) 28
D) 40 é
c) 30
E) 24
 
 
Resolucién
Nospiden d+q.Seala divisién
Por defecto Por exceso
old Did
fq 12 Te ti
Dato: q+(q+1)=23
= 2q+1=23
2q=22
q=11
fgtte=d
Ademésry+r,=17
gq+d=11+17=28
 
PREGUNTAN.° 91
Si se sabe que
ca(abed) = 765 y CA(mmpq) =(b+c)(a—d),
calcule (m+p—q).
AS B) 6 Q 7
D) 8 —) 9
Resolucién
Nos piden m+p-q.
Del primer dato (forma practica)
99910
CA(a bc d)-
se
9235
765
> a=9; b=2; c=3;d=5
59
LUMBRERAS EDITORES
Del segundo dato tenemos
cA(mmpq)=(b+c)a—d) = (2+3)(9—5) =54
ca(mmpq) =54
5335)
CA(mm pq) \-Ke bea
9946
54
—> m=9; p=4; q=6
m+p-q=7
_cuve@
PREGUNTAN.° 92
Halle n? si
T=2+6412+20+...+(n?+n)=1360
A) 100 B) 256 c) 289
D) 225 E) 324
Resolucién
Nos piden n?.
Ordenamos
T=2+6+412+20+...+(n*+n)=1360
T=124+2343-4445+...t(n+1)=1360
nin+In42)569
n(n+1)(n+2)=3 x 136x10 Pando,TT 3x8x17X2xS_nimeros
1516 17) [™=— FT
consecutivos
Vemos que n=15
n?=15*=225
 
PREGUNTAN.° 93
Halle a+b+-c,si se sabe que
N=64+81+100+121+...+529=abca.
A) 13 8) 15 c) 11
D) 12 E) 16
Resolucién
Nospiden a+b+c.
N=64+81+100+121+...+529
Vemos que son numeros cuadradosperfectos.
N=87+97+107+11"+...+23?=abea
Agregamoslos 7 primeros nimeros cuadrados
perfectosy luego le restamos los mismos.
242743? 447457467477 487497 +..4237—
SO
23-24-47
6
 
-(?+2+..47)
_ 140
N=4324-140=abca
N=4184=abca
> a=4; b=1; c=8
a+b+c=13
_cuve@
_PREGUNTAN.° 94
De la siguiente suma:
M=169+1444121+...+4+1=(a? +4)b(3c-3),
halle a+b+c siendo{a; b; c} c Z*.
A) 5
D)7
B) 8 c) 6
—E) 9
ft
 
 
 
Resolucién
Nos piden a+b+c. Vemos que M esla suma de
ndmeros cuadrados perfectos.
M=16941444121+...+4+1=(a? +4)b(3c-3)
M=132+127 4117 +..42 427
13-14-27
6
 
m=819=(d? +4)b(3c-3)
SSS
a+4=8 b=1 3c-3=9
a=2 c=4
at+b+c=7
cave
PREGUNTAN.° 95
Si ca[mnpas)| =776,halle la sumadecifras de E.
E=m4+3n+pm+mm
 
A) 8 B) 13 C6
D) 11 E) 16
Resolucién
Del dato
calmnpia |=276
Uevar a la base 12
776=546,32)
Luego
111112
calm ieBu})-
676
54642
> m=6;n=7; p=6
E=m4+3n+pm+mm
m4 + 64+
in 37
pm > 66
om 86.
— 233
Porlo tanto, la sumade cifras de Ees 2+3+3=8.
_cuve®
PREGUNTAN.° 96
Sea P el producto de cuatro factores. Si cada
uno de dichos factores aumenta en su doble,
éen cuantas veces P aumentaré su valor?
A) 16 B) 80 Q 8
D) 32 £) 81
Resolucién
Sea P el producto. Nospiden el numero de veces
que aumentaP.
P=axbxcxd... (inicio)
Cada factor aumenta en su doble
(a+2a)(b+2b)(c+2c)(d+2d)
3ax3br3cx3dSoreRaasd
Bixaxbxcxd.... (final)
B1xP
Luego
Inicio Finalom a
Pp 81-P
‘Aumenta en 80P.
“Porlo tanto, el numero de veces que aumenta
Pes 80.
_cuve®
61
LUMBRERAS EDITORES.
 
PREGUNTAN.° 97
Si al multiplicando de una multiplicaci6n se le
aumenta en 9 unidades, el resultado aumenta
en S49. Halle el multiplicando sabiendo quela
diferencia de factores es 18.
A) 64
D) 85
B) 58 c) 79
E) 89
Resolucién
Seala multiplicacién
AxB=P
multiplicando —! | LL producto
multiplicador
Nospiden A.
Luego por dato
{A+9)-B=P+549
A-B+9B=P+549
P+9B=7+549
9B=549
B=61
También por dato
A-B=18
 
PREGUNTAN.° 98
Halle las dosultimas cifras de 18xN, y luego
indiquela sumadecifras si se sabe que
32XN=...68
 
B) 8
 
Resolucién
Primero hallamoslas dos ultimascifras de 18N.
Del dato
32N=...
23N:
ON:
18N:
 
 
En consecuencia,las dos Ultimascifras son 3 y 2.
34+2=5
 
PREGUNTAN.° 99
Se divide un numero entre 7, su residuo por
defecto es minimo,y el cociente Pordefecto es
5. Halle dicho numero.
 
A) 20 B) 25 c) 29
D) 32 £). 41
Resolucién
Sea el ntimero N.
Por defecto Por exceso
n |7 N|7
cs El cociente por
fg=1 4 —
esata. defecto sera am
Pordato,el cociente por exceso es 5, entonces
el cociente por defecto sera 4.
Luego
N=7x4+1 — N=29
_cuve ©
wt...
PREGUNTAN.° 100
Halle a+b+c si se sabe que
M=6+24+60+120+...+1320=abc0
 
A) 14 8) 15 c) 16
D) 18 E) 20
Resolucién
Nos piden a+b+c.
M=6+24+60+120+...+1320=abc0
Descomponemosen factores cada sumando
M=1xX2X3+2xX3X4+3x4x5+4x5x6+...
w+10x11x12=abc0
Vemosque es una sumanotabletal que
10x11x12x13 =abc0M=
4290=abc0
> a=4; b=2; c=9
a+b+c=15
_cave@)
NIVEL INTERMEDIO
PROBLEMAN.° 101
Si se cumple que .
Tab+2ab+3ab+...+9ab=cd12,
halle el valor de a+b+c+d.
A) 15
D) 21
B) 17 Cc) 20
—) 23 -
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
Resolucién
Del enunciado del problema, tenemos que
on N
 
 
 
S
e
]
 
w
r
e
e
|
-
8
/
e
l
s
)
©
 
14243+..49+6=0d
si=cd
 
— a=6; b=8; c=5; d=1
a+b+c+d=20
_cuve©)
PROBLEMAN.° 102
En una sustracci6n se cumple que si al
sustraendo le sumamos 150 y le restamos
el cuddruplo de la suma del sustraendo mas
la diferencia, se obtiene el minuendo.Halle la
suma decifras del sustraendo sabiendo que
la sumadecifras del minuendoes 7.
A) 2 B) 3 Qs
D). 6 —) 7
Resolucion
Consideremosla sustraccioninicial
M-S=D >
 
63
LUMBRERAS EDITORES
 
 
Por dato
(S+150)—4(5+D)=M
$+150-45-40=$+D
150=5-D+4-S
~~ aS
5 5 w
o
e
Luego
150=5-D+4-S
260 «5 > M=31
22 10 > M=32
 
18 15 + M=33
1420 — M=34)¥
10. 25 + M=35
6 30 > M=36
20 35 + M=37
“+ M=34;$=20; D=14
(suma decifras del S)=2+0=2
_cuve®
PROBLEMAN.° 103
Calcule la suma de todos los numerales de la
forma a(b+1)3(2a)b, y dé como respuesta la
sumadecifras del resultado.
A) 19 B) 23 Cc) 25
D) 27 E) 30
Resolucién
Calculamosla cantidad de numerales que exis-
ten de la forma.
64
7a
a(b+1)3(2a)b
t 4
1 0
2 x
3 =
4 3
4
5
6
7
8
4 x 9=36
Ahora sumamoslos 36 numeralesutilizando el
método de sumasparciales.
(6+ 1)3(2a)b
e
e
r
o
u
n
u
n
n
co
nn
pi
et
ce
uc
es
144 — (0+1+2+3+...+8)x4=144
180. — (2+4+6+8)x9=180
108 — 3x36=108
180 — (14+243+...49)x4=180
90 — (1+2+3+4)x9=90
1092744
Nospidenla sumadecifras de 1092744.
14+0+94+24+7+4+4=27
_cuve®
PROBLEMA N.° 104
Halle la sumadelastres ultimascifras de N.
N=1+12+123+1231+12312+..,
‘90sumandos
A) 10
Dd) 8
B) 15 cy) 12
E) 9
Resolucién
Expresemosla operacién en formavertical yuti-
licemos tas sumasparciales.
 
1+
12
123
1231
12312
123123 (90sumandos
1..231231
12..312312
123..123123
1 8 0 — (1+2+3)x30=180
177
175
 
Luego
N=...450
44+5+0=9
_cuve©
PROBLEMA N.° 105
Si se cumple que
abcd7+abby7)+baci)=cd5by7),
halle el valor de axb-c.
A) 1
D) 4
B) 2 Cc) 3
—) 5
OPERACIONES FUNDAMENTALESEN Z*
Resolucién
Tenemos
111
abcd,+
a bby b+c=7
bald
 
 
1+b+a+b=1d,
+
4
5+2b=1d,
Como b+c=7—> b=2
|
5
> a=4; b=2; c=5
axb-c=3
_cuve@
PROBLEMAN.° 106
La suma de los términos de una sustraccién
tomadosde dos en dos son 7413; 8424 y 5279.
Halle el sustraendo si es menorquela diferencia,
y dé comorespuestala sumadecifras.
A) 10
D) 11
B) 23 Cc) 13
€) 17
65
LUMBRERAS EDITORES
 
 
 
Resolucién
Consideremos Ia siguiente sustraccién:
M-S=D; S<D<M
Por dato
© M+D=8424 (i)
©) M+S=7413 (i)
. S+0=5279 (ul)
M
ReemplazamosenII
M+S=7413
5279+S=7413
S=2134
(suma de cifras de $)=2+1+3+4=10
_cuve@
PROBLEMAN.° 107
Si se cumple que
a3(a+b)—b{b+1)7=30c,
halle la suma devalores de (a+b+c).
A) 15 B) 18 Cc) 20
D) 23 E) 24
Resolucién
Del enunciado del problemase tiene que
@3(a+b)—b(b+1)7=30c
@3(a+b)-30c=b(6+1)7
€xpresamosla operacién en formavertical.
 (o+b)~c=7 0 1(atb)-c=7daa
Se presentan doscasos.
66
 
 
 
 
Reemplazamos
(a+b)-c=7 (5+2)-c=7
c=0
 
Caso2
 
 
 
 
3
Oo
he 
a
3
ey
 
 
Luego tenemosdossoluciones:
© Primera solucién
a=5; b=2;c=0 —» a+b+c=7
* Segundasolucién
a=4;b=1;c=8 > a+b+c=13
Nospiden la suma de valores de a+b+c.
“.7+13=20 .
_cuve©
wf...
PROBLEMA N.° 108
Si se cumple que
 
© abc+cba=x5(c—l)y
* abc-cha=1wz
calcule el valor de (at+b+c+x+y+w+z).
A) 38 B) 41 Cc) 43
D) 45 E) 46
Resolucién
Se tiene que
© abe-cha=iwz
a
198 — porpropiedad
* abc+cba=x5(c—i)y
4
1
Luego
abe-cHa=198
a zo Dt
abe+¢ha= 15(c—i)y
2-abe=198+15(c—1)y
1
par
 
2-abc=198+15(c—1)y
864 15 3 Ox
876 as 5 4lv
esse 15 7 BK
— a=8; b=7; c=6; x=1; y=4; 2=8; w=9
atb+c+x+y+w+z=43
_cave ©
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
PROBLEMAN.” 109
si cA(abe)=2c+axb, calcule la sumadecifras
del complementoaritmético de bacy,,.)-
A) 11 B) 12 Cc) 13
D) 14 —) 15
Resolucién
Se tiene que
ca(abe)=2c+axbectaxo.
como maximoresulta
tun némero de dos cifras
> a=9
Reemplazamos
cA(SBe)=2c+9xb
1000-9bc=2c+9b
1000-—(900+10b+c)=2c+9b
1000-900-10b-c=2c+9b
* 100=19b+3c
14
4 8
> b=4 na c=8
Nospiden la sumade cifras del CA de baciy,..)-
fests 111112
CA(bac.-))=CA(4 9 82)
CA(Bae4<))= 72442)
74+2+4=13
_cuve@
67
LUMBRERAS EDITORES
 
PROBLEMA N.° 110
Si sumamos los complementosaritméticos de
30 ndmeros enteros consecutivos, se obtiene
1305. Halle la sumade cifras del mayor de los
numeros.
A) 6 B) 7 c) 8
Dd) 9 E) 10
Resolucién
Consideremosa los 30 numerosenteros conse-
cutivos a
n; nt1; +2; +3; 3 N+29
Por dato
CA(n)+CA(n+1)+CA(n+2)+CA(n+3)+...+CA(n+29)=See
Para que esta suma sea 1305,
necesariamente los nimeros
debenserde dos cifras.
=1305
Luego
[100-—n] +[100—(n+1)]+[100—(n+2)]+
+[100—(n+3)] +...+[100—(n+29)]=1305
(100+100+...+100)—[n+(n+1)+(n+2)+
ees
30 sumandos
+(n+3)+...4(n+29)}=1305
3000 _n+(n+29) 30 =1305
Z 15
1
3000-(2n+29)-15=1305
1695=(2n+29)-15
113=2n+29
84=2n
42=n
68
 
Luego los 30 ntimeros son
42; 43; 44; 45; ...5 71
‘+ mayor nimero
 
( sumadecifras
. =74+1=8
del mayor numero
_cuve©
PROBLEMAN.° III
Si sumamoslos CA de N; 2N y 3N,se obtiene
9768. Halle la sumadecifras de N.
A) 10 8) 11 ©) 12
D) 13 E) 15
Resolucién
Del enunciado del problema tenemos que
CA(N)+CA(2N)+CA(3N)=9768
© SiN; 2Ny 3N son de doscifras
CA(N)+CA(2N)+CA(3N)=9768
(100—N)+(100-2N)+(100-3N)=9768
300-6N=9768
—9468=6N
-1578=N (no cumple)
© SIN; 2Ny 3N sondetrescifras
CA(N)+CA(2N)+CA(3N)=9768
(1000—N)+(1000—2N) +(1000-3N)=9768
3000-6N=9768
-6768=6N
-1128=N (no cumple)
 
© SiN; 2Ny 3N son de cuatro cifras
CA(N)+CA(2N)+CA(3N)=9768
(10000-N)+{10000-21N)+(10000-3N)=9768
30000-6N=9768
20232=6N
3372=N
— 2N=6744 y 3N=10116 (no cumple):fenbeat
S cifras
Para que se cumpla la condicién, N y 2N debe
serdetres cifras y 3N de cuatro cifras.
CA(N)+CA(2N)+CA(3N)=9768
(1000-N)+(1000-—2N) +(10 000-3N)=9768
12000-6N=9768
2232=6N
372=NV
— 2N=744 y 3N=1116 (si cumple)
(suma decifras de N)=3+7+2=12
cave®
PROBLEMAN.° 112
Si la suma de todoslos nuimeros capicuas de
cuatrocifras del sistemaoctal es abcdefig), halle
la sumadecifras del CA(abc).
c) 13°
€) 15
A) 11
D) 14
B) 12
‘UNDAMENTALES EN Z*
 
Resolucién
Calculamos la suma de todos los capictias de
cuatro cifras del sistemaoctal.
 
7x8=56
Son 56 nuimeros capictias de cuatro cifras del
sistema octal.
menor mayor
suma de todoslos | |
+7777,
capictias de cuatro -(eee),56
cifras del sistema octal 2 /
ee cantidad de
. ndmeros
28
abcdef, = uM7 x56
1
abcdef,=11 000,28
 
 
abcdef,=11 000x345
abcdef,=374 000,
~ a=3; b=7; c=4; d=0; e=0; f=0
Calculemosel CA(abe).
ca(abe)=ca(374)
ca(abe)=1000-374=626
(“ decifras
—, |=6+2+6=14
de cA(abc) }
_cuave ®
69
LUMBRERAS EDITORES
 
 
 
PROBLEMAN.° 113
Si
ca(cbay,)) = acb6) ya(a+b)cx999 =...mnp,
 
halle el valor de (m+n-p).
A) 5 B) 4 c) 3
D) 2 —)1>
Resolucién
Del enunciado del problema,se tiene que
+ ca(cha,)=acb,
Usamosla formapractica
556
 caleba,)=aeb,
5-c=a — 5=a+e
5-b=c > sect)
6-a=b — 6=b+a
16=2a+2b+2c
8=atb+cas
5
 
 
 
> c=3; b=2; a=4 -
 
 
© a{a+b)cx999=
463
463x99:
np
 
 
np
Aplicamosla propiedad
mnp=CA(463)
mnp=537
Luego
m=5; n=3; p=7
m+n-p=1
70
 
PROBLEMA N.° 114
El producto de dos nuimeros es 1599.Si dichos
nuimeros son divididos entre un tercer numero,
los cocientes son 4 y 5, obteniendoen el primer
caso un residuo maximo y en el segundo unresi-
duo minimo.Halle la suma de dichos numeros.
A) 62 B) 75 Cc) 80
D) 72 E) 25
Resolucién
Sean A y B los nimeros mencionadostal que
AxB=1599 (*)
Ademas
> A=c4+e-1 B=c-5+1
A=Sce-1 B=Sce+1
Reemplazamosen (*)
AxB=1599
(5c-1)x (Se +1) = 1599
(Sc? -1? =1599
25c? -1=1599
B=5x(8)+1
B=41
_cuve©
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
 
PROBLEMAN.° 115
Al multiplicar abc por (n+7)n(n+2)n se obtuvo
4579 como sumade productosparciales. Halle
el residuo por exceso que se obtieneal dividir
aben entre cb.
A) 6 B) 8 C9
D) 10 €) 11
Resolucién
Del problema, tenemos que
abex
(n+1)n(n+2)n
nxabe
(n+2)x@bC~\ productos
nxabe. parciales
(n+1)xabe
Por dato
ge deen)4579
parciales
nxabe+(n+2)xabe+nxabc+(n+1)xabe=4579
abex[n+(n+2)+n+(n+1)]=4579
abex(4n+3)=4579
~~ eS
,m1 19
— a=2; b=4; c=1; n=4
Nospidenelr,,-eso al dividir abcn entre ob.= fines
2414 14
2414 14
2422 173
8
Porlo tanto,el residuo por exceso es 8. *
_cuave®
 
PROBLEMA N.° 116
Un numero N se multiplica por 2; 5; 6; 7; 8 y
11 resultando, respectivamente,los siguientes
productos: abcdef; bedefa; cdefab; defabc;
efabcd y fabcde. Halle el productodecifras de
orden impar del numero N si se cumple que
a+b+c+d+e+f=27.
A) 84
B) 144
c) 108
D) 189
E) 75
Resolucién
Sumamoslos seis numerales.
Del enunciado, tenemos que
22222
2xN=abcdef
5xN=bedefa
6xN=cdefab
IxN=defabc
8xN=efabcd
lixn=Fabede
39xN=2999997
N=76 923
( producto decifras
=3x9x7=189
de orden impar de N
_cuve
71
LUMBRERAS EDITORES
 
PROBLEMA N.° 117
Al multiplicar abx465, la suma de productos
parciales es excedida en 4005 por la suma de
productos parciales de 465xab. Halle el valor
de axb.
A) 28 B) 24 c) 21
D) 18 E) 15
Resolucié6n
Del problema, ‘tenemos que
suma de suma de
,
|
productos productos Z
parciales de || parciales de |
46Sxab abx465
Luego
465x(a+b)—abx(4+6+5)=4005
465x(a+b)-abx75=4965
31 1 267
31x(a+b)-ab=267
(310+31b)-(10a+b)=267
21-0+30-b=267
17 0
147+30-b=267
30-b=120
b=4
_cuve@
axb=28
PROBLEMA N.° 118
Si se cumple que 7xN=...184 y 9xN=...808,
halle la sumadela tres tiltimascifras de 26xN.
A) 11
0) 4
B) 8 Cc) 13
E) 5
72
 
Resolucién
Del problema, tenemos que
pes
 
Luego
13x(2xN)=(...624)x13
26XN=...112
sumadelastres Ultimas
cifras de 26xN )-tste2=4
®
 
PROBLEMA N.° 119
En una divisién inexacta, al resto le faltan 33
unidades para ser maximo y el cociente por
exceso es 63. Si el dividendo es par y esta
comprendidoentre 5500 y 5600,halle la suma
decifras del dividendo.
A) 10 B) 11 Cc) 13
D) 15 E) 16
Resolucién
Del problema, tenemos que
a © r4338=G—D rng
‘D> r=d-34
ele © Gexc=63 > Adef=62
Luego
|
d-34 62
— D=dx62+(d-34)
D=63-d-34 (*)
wf
Ademas
 
5500 < D< 5600
+¢34( 5500 < 634-34 < 5600
5534< 63-d < 5634wel’$7824 < 0A
88089
Reemplazamosen(*)
D=63-d-34
4 4
5510 aay
5873 89 x (pues D es par)
sumadecifras
del dividendo
J=s4se140=31
cave®
PROBLEMAN.° 120
Al dividir abcmnp,7, entre mnpy se obtiene
@b¢_7) de residuo. Halle mxn-+psi el cociente
resulté ser una unidad mésqueelresiduo.
 
 
A) 18 B) 24 C) 28
D) 32 E) 42
Resolucién
Del problema, tenemos que
abemnpi7, mnpy7y
abeq) abegst
 
Aplicamosel logaritmodela divisién.
abemnp=mnp7)x(abc(7)+1)+abc,
 
@Bc0007) +mp)=MNP7)abC7)+
+mnpi7,+ab¢;7)
 
 
@6c000,.)=mnpj7)+aBC7) +ab¢7)
PeiyxP=i)x9 ein) +OBC7)
 
7 P97)+ 1
3
P-1=mnp7)
Numeral formado
porcifras maximas.
666()=mnP(7)
mxn+p=42
_cuve®
PROBLEMAN.° 121
Al dividir mnpp entre pp se obtiene 37 de
cociente y mn deresiduo.Halle la suma de va-
lores de m+n+p.
A) 89 B) 84 C) 83
D) 81 —) 78
Resolucién
Del problema,se tiene que
 
mnpp
mn 37
 
Aplicamosel algoritmo deIa divisién.
 
mn00+pp=37 -pp+mn
100-mn-+pp=37-pp+mn
99-mn=36-pp
11-mn=4-pp
sm=a-pep
73
LUMBRERAS EDITORES
 
mn=4-p
4 4
12 3 > m+n+p=6
16 4 mtn+p=11
20 5 > mtn+p=7
24 6 > m+ntp=12
28 7 > m+ntp=17
32 8 3 m+n+p=13
36 9 > m+ntp=18
suma de
valores |=6+11+7+12+17+13+18=84
de m+n+p.
_cuve ®)
PROBLEMAN.° 122
Si a un numero de cinco cifras del sistema
senario se le multiplica por 1295, su producto
termina en 32144.Calcule la sumadecifras del
numero.
A) 11 B) 12 0123
D) 14 E) 15
Resolucié6n
Sea abcde, el numero pedido.
Pordato se tiene que
 
Numeraldecifras
méaximas en base 6.
 
 abcde, x(5555¢)=.-.32144,
 
abcde, x(10 000, —1)=...32144,
abcde0000,-abcdeg=...32144,
74
 
 
Analicemosla sustraccién en formavertical.
+
5556
abcde0000,-
abcde,
321446
 
Entonces
t N
i B
 
r
7
a Wr e
L
l
b
d
i
d
i
a+b+c+d+e=14
_cuve@)
PROBLEMA N.° 123
Al dividir un numerodetrescifras entre otro
de doscifras, se obtiene 11 de cociente y 25 de
residuo. Luego se toma el complementoaritmé-
tico de ambos numerosy se les vuelve a dividir;
esta vez el cociente es 7 y el residuo 19. Halle la
sumadecifras del dividendo.
A) 16
D) 14
B) 17 Cc) 18
£) 15
Resolucién
Del problema, tenemos que
abe xy
25 41
>> abe=xy-11+25
a@bc=11-xy+25 (*)
Ademés
ca(abe) caGy)
19 7
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 Ww...
 
—» calabe)=calxy)x7+19
1000-abc=(100-xy)x7+19
1000-(11-xy+25)=700-7-xy+19
975-11-xy=719-7-xy
256=4-xy > 64=xy
En (*)
abc=11 -xy+25
64
abe=729
sumadecifras
de abc
)=7+2+9-18
_cave©
PROBLEMAN.° 124
éCudntos numerosdetres cifras que terminan
en cinco podran ser dividendosde unadivisién
inexacta en la cual se cumple queel cociente es
igualal residuoy este ultimo resulta maximo?
A) 3 B) 4 Qs
D) 6 —) 7
Resolucién
Del enunciado,se tiene que
abs d
d-1 d-17
residuo
maximo
Aplicamosel algoritmodela division.
a TNS
abS=d-(d-1)+d-1
abS=a°-d + f-1
ab5=d"—-1
 
abe=d"bold
TI
196 14?
256 167
576 24
676 26
4 soluciones
Porlo tanto, existen 4 numeros que cumplen la
condicién dada.
_cave®
PROBLEMAN.° 125
Al dividir el numeral 6xyz5 entre otro numero
se obtiene comoresiduos parciales 144 y 87.
Calcule (x+y—z) si el residuofinal fue 62.
 
 
Ayo B) 10 c) 11
D) 12 —) 13
Resolucién
Del enunciado,se tiene que
oxy i S| d
144® oo0
8 76)
62
 
 
LUMBRERAS Epito!
 
PREGUNTAN.° 126
Determinela sumade valores que puede tomar
a en abc-cha=mp(m-1).
A) 18 B) 24 Cc) 21
D) 28 E) 20
Resoluci6n
Nospiden la sumade valores de a.
Ordenamosla resta en formavertical
1
=
5
6
p(m-1)anes
m+m-1=9
m=5
 
a °
 
3
/
0 Q
En el tercer orden
a-1-c=m
4
5
a-c=6
4
9-3Bvalores al >
posibles
Sumamoslosposibles valores de a.
94+84+7=24
_cuve ®
PREGUNTAN.° 127
Halle el numeral detrescifras tal que sumen 24
y quealinvertir el orden de suscifras disminuye
en mn(m+7).
A) 789
D) 897
B) 987 C) 798
E) 879
76
 
Resolucién
Sea abc el numeral
Dato:
a+b+c=24
A
abc
cba
m n(m+7)
en
 
 
m+(m+7)=9
m=1
Luegoen el tercer orden
a-1-c=m
+
1
c=2
4
Tv
6x
Del dato
a+b+c=24
| b |
9 Vv
8dd6*
Se observa que a y c no pueden ser minimos,
sino lo mayorposible para que b sea de unacifra.
abc=987
_cuve®
PREGUNTAN.° 128
Si CAabecba) |=199, calcule el maximo
dea+btc.
A) 12
D) 14
B) 11 c) 15
€) 13
z
Resolucién
Nos piden max(a+b+c).
Del dato
calabe-chain]=199
llevar a base 7
199=403,,
 
mnPca)
Luego
ca[imnp;|=403,
667
ol nar, |
264
403,
> m=2; n=6; p=4
 
En abc7)-Cba7)=mp7)=264(7)
Ordenamosen formavertical.
abe) -
barr)
256(7)
Vemosqueb:0; 1; 2; 3;...; 6
+
max
En el tercer orden tenemos
a-(1)-c=2
re
mix-[63)
52*
41x
méax(a+b+c)=6+6+3=15
- _cave©
PREGUNTAN.° 129
si abe [mn y cACabe) calmn)
35 il I9 (7
halle el valor de abc+mn.
 
A) 397
D) 973
B) 693 Cc) 793
E) 853
 
Resolucién
Nos piden abc+mn.
abe mn.
3s i
> abc=mn-11+25
ca(abe) ca(mn)
1 7
— ca(abe)=ca(mn)-7+19
1000- abe = (100-mn)-7+19
1000-(11-mn+25)=700-7-mn +19
1000-11 -mn-25=719-7-mn
256=4-mn
64=mn
Luego
abe=11-mn+25
abe=11-64+25
abc=729
abc-+mn=729+64=793
_cuve©
PREGUNTAN.° 130
En cierto producto,si al multiplicandosele dis-
minuye 4 unidades, entonces el producto es
disminuido en 640; perosi al multiplicador se
le aumenta 4 unidades, entonces el producto
aumenta en 120. éCual es el producto?
A) 2400 B) 4200 ¢) 6400
D) 4800 —) S000
Resolucién
Sea el producto
AxB=P
muttiplicando | LL. producto
multiplicador
77
LUMBRERAS EDITORES
 
Nospiden P.
Dato:
(A-4)-B=P-640
AB-48= fF -640
-4B=-640
4B=640
B=160
También A(B+4)=P+120
AE+4A=+120
4A=120
A=30
P=AXxB=30x160=4800
_cuve®
PREGUNTA N.° 131
Calcule la sumadelas tres ultimas cifras del
producto de NxS9 sabiendo que
Nx4=...544 y Nx7=.,..702
A) 18
D) 20
8) 16 c) 15
€) 17
Resolucién
Nospiden x+y+z.
NXx59=...xyz
De los datos
NX4=..,544
NxX7=...702
x6{ «5|
 
78
 
> x=7; y=7; 7z=4
xty+z=18
_cuve ®)
PREGUNTAN.° 132
Halle el menor numero entero tal que multipli-
cado por 41 dé como producto un numero for-
madosoloporcifras 6. Luego dé comorespuesta
la sumadecifras de dicho numero.
A) 12 B) 15 c) 18
dD) 6 —) 8
Resolucién
Sea el menornumero entero N.
NX41=6666...6peg)
Ndmero formado
Por cifras de 6
Realizamoselalgoritmo dela division.
[——— 666...6 41.
Se van agregando 0 N
cifras 6 hasta que
ladivision resulte
exacta.
66666 41
41 162641 1626,
256 N
246
106
2
246
246
0
N=1+6+2+6=15.
_cuve ®
wf...
PREGUNTAN.° 133
Si dividimos LUCE entre CE, se obtiene 65 de
cociente y 32 de residuo. Calcule (L+U+C+E)
sabiendo que LUCEes lo maximoposible.
 
A) 16
D) 26
B) 12 c) 13
£) 20
Resolucién
Nos piden L+U+C+E.
Del dato
Luce |ce
RD 65
TUCE=65 -CE+32
1U00+CE=65-CE+32
1U00=64-CE+32—o
+005 ...68 +32
Para que 64-CE termineen 68, CE debe ser
v
cE = 97; 92; 87; 92;...
maximo
Luego
[U00 = 64-CE+32
7
LU00=64x87+32
LU00=5600
L=5; U=6; C=8; E=7
L+U+C+E=26
_cave@
PREGUNTAN.° 134
En unadivisién entera,el resto es 20 eldivisor
es 59. Si queremos que el cociente aumente
en 3 unidades, écudl es el minimo valor que
debemos aumentarleal dividendo?
 
OPERACIONES FUNDAMENTALES EN Z*
 
A) 117 B) 127 C) 137
D) 147 —) 157
Resolucién
Seala solucioninexacta
N159 _, ya599+20
20 9
Sea x el minimo valor que debemosagregar a N
para queel cociente q aumente en-3 unidades,
porfa cual el residuo seria lo menor posible
(residuo=0).
N+x [59
443
= N+x=59(q+3)
—
59G +20+x= $99 +177
20+x=177
x=157
_cuve®
PREGUNTA N.° 135
Halle la suma delas cifras del mayor numero
detrescifras tal que dividido entre 36 dé como
residuos por defecto y por exceso dos numeros
cuyo productoes 320.
A) 25 B) 23 c) 22
D) 21 E) 20
Resolucién
Sea el numero detrescifras abc.
Nos piden a+b+c.
Del dato
Por defecto Por exceso
abc 36 ‘abc 36
‘mq ‘m q+1
abc=36q+m abc=36(q+1)—n
79
LUMBRERAS EDITORES
 
 
Ademas, por dato
#p%q=320 —> 320=4x4x5x4
20x16
Formamosdos nimeros cuya suma sea 36
rgtt.=36
m+n=36
+4
20 16 v maximo
16 20x
Luego
abc=36q+m
36q+20< 1000
36q <980
q<27,2
4
27°
abc=36x27+20=992
a+b+c=20
_cuve®
NIVEL AVANZADO
PROBLEMAN.° 136
Si se cumple