Álgebra Teoría y Práctica

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David Gonzáles López
ÁLGEBRA BÁSICA 
Teoría y práctica
A L G E B R A B A S IC A 
T e o r ía y P rác tica
© David G onzáles López 
Prim era Edición 2009
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2 0 0 9 - 16362
Segunda Edición 2011 
Lam bayeque, d iciem bre 2011 
Im preso en Im presiones M ontenegro 
C alle M anco C ápac 485 - Chlclayo 
500 ejem plares
Consultas y sugerencias al e-mail del autor: david252412@ hotm ail.com
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cua lqu ier m edio, sin la autorización 
escrita del autor.
mailto:david252412@hotmail.com
Presentación
JtLl Á lgebra es el lenguaje de las m atem áticas y una de sus ram as que estudia a la cantidad del
m odo m ás general posible. Las m atem áticas son, esencia lm ente, la expresión o reducción de 
ideas com ple jas y sofis ticadas m ediante sím bolos, y operaciones sobre sím bolos. Una vez que 
tenem os los sím bolos y las operaciones aparece el álgebra.
El Á lgebra tiene por objeto sim plificar, genera lizar y reso lver las cuestiones re la tivas a la 
cantidad, determ inando las operaciones que hay que efectuar para llegar a c ierto resultado, 
transform ando las expresiones a lgebraicas en otras equivalentes y adquiriendo las bases para 
m as ta rde poder hacer p lanteam ientos m atem áticos que representen la realidad.
El dom inio del Á lgebra elem ental tiene una enorm e im portancia para el dom inio de la 
m atem ática porque en él se conjugan capacidades, hab ilidades y destrezas; ya que en cada 
uno de sus tem as el a lum no deberá poner en juego un alto grado de práctica y abstracción.
El propósito de este m aterial es hacer llegar a los postu lantes a universidades y centros de 
estudios superiores el desarro llo teórico, práctico y form ativo de algunos tem as del á lgebra, los 
cuales son m uy necesarios y re levantes para el aprendiza je del á lgebra y la m atem ática en 
general. S irve tam bién com o m ateria l de consulta para los estudiantes de cursos avanzados de 
matem áticas.
Cada tem a desarro llado tiene parte teórica, e jercic ios resueltos y propuestos para una cabal 
retroalim entación. Estos tem as se han desarro llado m inuciosam ente, para una fácil 
com prensión por el lector; en m uchos casos, se ha optado por dos o m ás fo rm as de solución, 
dándole al estud iante un m ayor panoram a en cuanto los criterios a tom ar fren te a un problem a 
determ inado.
En la segunda edición se han inclu ido el tem a de logaritm os, e jerc ic ios adic iona les de los tem as 
de á lgebra tra tados en este m ateria l y preguntas de á lgebra en los exám enes de adm isión de 
algunas univers idades del País.
Espero que este m aterial logre convertirse en un im portante auxilia r pedagógico para todos los 
estudiantes egresados de secundaria; y a través de él, logre aportar en su preparación 
preuniversitaria y en su posterior desarrollo profesional.
El Autor
ÍNDICE
Presentación
1.1. CONCEPTOS P R E V IO S .................................................................................................................... 01
C onjuntos num éricos / El con junto de los núm eros natura les / El con junto de los núm eros 
enteros / El conjunto de los núm eros raciona les / El conjunto de los núm eros irrac iona les / El 
conjunto de los núm eros rea les / El conjunto de los núm eros complejos.
1.2. EXPRESIONES A L G E B R A IC A S ...................................................................................................... 04
Álgebra / Expresiones a lgebraicas / té rm ino a lgebraico / té rm inos sem ejantes / 
c lasificación de las expresiones a lgebraicas / G rado de una expresión a lgebra ica / 
Polinom ios especia les / va lo r num érico de expresiones algebraicas.
1.3. O PERACIONES CON POLINOMIOS E N T E R O S ........................................................................ 11
Adición y sustracción de polinom ios / M ultip licación de polinom ios / Productos notables / 
División de polinom ios / Teorem a del resto / Teorem a del fac to r / C ocientes notables.
1.4. F A C T O R IZ A C IÓ N ................................................................................................................................... 28
Polinom io prim o sobre un conjunto num érico / M étodos para facto riza r una expresión 
algebraica.
1.5. FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES .......................................................................... 43
Fracción a lgebra ica / C lases de fracc iones / s ignos de una fracción / s im plificación de 
fracc iones/ O peraciones con fracc iones / sim plificación de fracciones com plejas / Fracciones 
parciales.
1.6. TEO R ÍA DE EXPO NENTES ............................................................................................................... 59
Potenciación / Radicación / Leyes de exponentes.
1.7. R A C IO N A L IZ A C IÓ N ............................................................................................................................... 68
Factor racionalizante / casos que se presentan para racionalizar.
1.8. L O G A R ÍT M O S ............................................................................................................................................ 70
Definición / identidad fundam enta l del logaritm o / propiedades genera les del logaritm o / 
Antilogaritm o / C ologaritm o / S istem a de logaritm os / Ecuación logarítm ica / Inecuación 
logarítm ica.
1.9. EJERCICIOS A D IC IO N A L E S ................................................................................................................ 86
Grado, po linom ios y va lo r num érico / D ivisión de polinom ios / Productos notables / 
Factorización / Fracciones a lgebraicas raciona les / Teoría de exponentes / Logaritmos.
1.10. PREGUNTAS DE Á LG EB R A EN LOS EXÁM ENES DE A D M IS IÓ N ................................. 99
Universidad Nacional Pedro Ruiz G a llo (U N PR G ) / Universidad Nacional M ayor de San 
M arcos (UN M SM ) / Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
ÁLGEBRA BÁSICA - TEORÍA Y PRÁCTICA
1.1. CONCEPTOS PREVIOS 
Conjuntos numéricos
Los conjuntos num éricos que se estudian en las m atem áticas son: Los núm eros naturales, 
núm eros enteros, núm eros racionales, núm eros irracionales, núm eros reales y núm eros 
com plejos.
El conjunto de los números naturales ( N )
Es el conjunto denotado por N cuyos e lem entos son em pleados para realizar la operación de 
contar.
N = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 ,. . . , n , . . . }
N = { x / x es un número natural}
El conjunto de los números enteros ( Z )
C ontar con núm eros m ás y m ás grandes no era problem a, contar en fo rm a descendente era 
asunto d istin to : 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ¿Pero qué ven ia después de cero?. Sin em bargo, si se habla
de deudas, tem peraturas m uy fr ias y aún de las cuentas regresivas en los lanzam ientos a la 
luna, debem os tener una respuesta. Enfrentándose a este problema, los m atem áticos 
inventaron un cúm ulo de núm eros: - 1 , - 2 , - 3 , - 4 , - 5 , . . . llam ados enteros negativos, que 
jun to con los núm eros natura les form an el conjunto de los núm eros enteros, denotado por Z .
Z = -1 1 , . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . .,1 1 ,...}
Z = { x / x es im núm ero e n te ro }
Del conjunto Z podem os obtener los sigu ientes subconjuntos :
Z = { . . , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 }
Z + = { 1, 2, 3, 4, . . . }
Z~ = { . . . , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 }
z ; = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,. . . }
El conjunto de los números racionales ( Q )
Enfrentados a la necesidad de dividir, los m atem áticos decid ieron que el resu ltado de d ivid ir un 
entero entre otro entero d istin to de cero se pod ia ve r com o un número. Esto significa
que: — , et c. son núm eros con todos los derechos y priv ileg ios de los enteros e
H 4 8 3 - 1 5 2
inclusiveun poco m ás. S iem pre es posib le d iv id ir excepto entre cero. De m anera natural esos 
núm eros se llam an núm eros raciona les (una razón de núm eros). El conjunto de los núm eros 
raciona les se denota por Q .
1
DAVID GONZALES LOPEZ
x / x = — ; m ,n e Z , n ^ 0 
n
Q =
¿Cuándo un núm ero decim al es racional?
a ) Los núm eros decim ales fin itos son racionales
2?
0,23 = — e Q 
100
b) Los núm eros decim ales periód icos puros y periód icos m ixtos son núm eros racionales.
3 I 2 4 1 - 2 239
0,3333... = - = - e Q 0,2414141... = ~ = — e Q
9 3 990 990
21 7 2 7 2 — 2 1 22
0,212121... = — = — e Q 1,2323232... = 1+ = — e Q
99 33 990 99
El conjunto de los números Irracionales ( I )
Está fo rm ado por todos los núm eros decim ales que no se pueden expresar de la form a — con
n
m ,n e Z y n 0 . El conjunto de los núm eros irracionales se denota por I .
I = { x / x tiene representación decim al in f in ita nop re iód ica }
Hay dos núm eros irracionales m uy im portantes en las m atem áticas, d ichos núm eros son:
a ) El núm ero p i ( » , cuya aproxim ación decim al es: n * 3,1416
Una prim era referencia del va lo r de n aparece en la Biblia. En el prim er libro de los Reyes,
capítu lo 7, versícu lo 23. Aquí el va lo r de t c es 3, inexacto po r supuesto.
El núm ero t i se obtiene de la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su
diám etro, es decir:
CTI =
2R
C : L o n g itu d de la circunferencia 
R : Radio de la circunferencia
b) El núm ero e(épsilon ), cuya aproxim ación decim al es: e = 2,7182 
El conjunto de los números Reales ( R )
El con junto de los núm eros reales denotado por R , es la reunión de los núm eros naturales, 
enteros, racionales e irracionales
A s í : R = N w Z u Q u I , adem ás Q n I = <j> . Tam bién R = Q u I .
Intu itivam ente los núm eros rea les se representa por una recta y la llam am os RECTA REAL
2
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
1
1
— “3 
2
i
2 > 
V
< 5 r r 
1 « 5
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3
4
I R
II 5 , . . , 1 , . . . , 2 , . , V 2 8 , . . .9 9 9 * 5 9 9 9 > 1 > ' 9 9 9 ^ 9 9 9 9 J
R = { x / x es un núm ero raciona l o ir ra c io n a l}
El conjunto de los números Com plejos ( C )
Sean las ecuaciones
x : +1 = 0 y x : + 4 = 0
desarro llando se tiene
x ' = —1
V x ^ = + V - T
x = ± i
x : + 4 = 0
x = + V ^ 4 
x = ± 2 i
Am bas ecuaciones no tienen solución en el con junto de los núm eros reales. Frente a esta
situación aparece el núm ero i = V —T que satisface i : = - l .D escartes fue el prim ero en 
llam arlo núm ero im aginario. Es asi com o aparecen los núm eros complejos:
2 i, - 4 i, 3 + 2 i, - i , — + 4 i, 7 - 2i, 5 + 0i, 3 - V 2 i , e t c .
3 2
Los núm eros com plejos se denotan po r C .
C = { x / x = a + bi ; a , b e R , i = V —1 }
Los núm eros com plejos se representan de la s igu iente form a 
a + b i : fo rm a binóm ica
(a ,b ) : form a cartesiana , donde a : parte real
b : parte im aginaria
Conclusión
- Todo núm ero es com plejo
- N c Z c Q c R c C
I es d isjunto de N ,Z y Q
Gráfica
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
1.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Álgebra
Parte de la m atem ática elem ental que estudia a las cantidades en su form a m ás general, 
haciendo uso para ello de le tras y núm eros. Teniendo com o objetivo transform ar, generalizar, 
s im plificar y reso lver cuestiones re la tivas a la cantidad.
Expresiones algebraicas
L lam am os expresión a lgebraica a toda com binación de núm eros y le tras (variab les) unidas 
entre s i por los signos de d iferentes operaciones aritm éticas: adición, sustracción, 
m ultip licación, división, potenciación y radicación en una cantidad lim itada de veces (cuyos 
exponentes a lo m ás son núm eros racionales).
3 o ’ e 6 x 3 - - 5 4 x 3y z : 3 . /—
Ejem plos: x y , 2 x , 2 x ' y - 5 y , ; , — , x + 4 J y
3 x - - 6 y x - y
No son expresiones algebraicas: 8X, cosx , lo g 4 x 
O bservación
Los tres ú ltim os ejem plos son expresiones trascendentes o no a lgebraicas, denom inadas: 
exponencial, trigonom étrica y logarítm ica respectivam ente.
Término algebraico
Es aquella expresión a lgebraica donde no se encuentran presentes las operaciones de adición 
y sustracción.
Ejemplo: ♦ coeficiente
_l_ 2 x 3 -------- * exPonente
signo * ► p arte literal
O tros e jem plos : 7x~3 , - 3 x ' : y , - 4 x y 1/: , x A/ y 3z 
Térm inos semejantes
Son aquellos té rm inos que tienen iguales letras a fectadas de igua les exponentes 
Ejemplos: a) 4 x y , ~ 3 x y , ^ -x y son térm inos sem ejantes
b ) ^ - x 3y 2 , - 2 x 3y : , >/3 x 3y : , - ^ - x 3y : son té rm inos sem ejantes
Clasificación de las expresiones algebraicas
A. Por su form a o naturaleza
Se clasifican de acuerdo a la form a de sus exponentes que afectan a sus variables,
a) Expresión algebraica racional (E.A.R.)
Una expresión a lgebraica es racional cuando los exponentes de la parte litera l( le tras) son 
núm eros enteros.
E jem plos: 4 y 3 - 5 xy + 7 z4 , — + 2 , -------— — , 5x~3 + ~y—
y ( x + y ) ' 7 x y '
No son expresiones a lgebraicas racionales: 6 x : + ^ /y , -Jxy + l , 5 x '/: + 3 x ' /4 + 7 V z
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
- Expresión a lgebra ica racional entera (E. A. R. E .).- Es aquella expresión a lgebraica racional 
que se caracteriza por presentar exponentes enteros positivos en su parte literal; es decir, no 
tiene parte literal en su denom inador.
5 x 3
Ejem plos: 4 x :y + —--------- , 7 x 3 - 6 x + 8
2 4
- Expresión a lgebraica racional fraccionaria ( E. A. R. F.).- Es aquella expresión algebraica 
racional que se caracteriza por p resentar exponentes negativos en su parte literal; es decir, 
tiene parte literal en su denom inador.
Ejemplos: -4 - , 7x~s + 6x~3 , —5 — 
x J x + y
b) Expresión algebraica irracional ( E. A. I. )
Una expresión a lgebraica es irracional cuando presenta exponentes fraccionarios en su parte 
literal.
Ejemplos: 5x~l/3 + 8x~ 'l : - 1 0 x ' l/s , V 5 x 9 - 6 x s + 4 V x , - ^ L + ó V x ^
v x
O bserva el s igu iente esquem a:
B. Por su número de térm inos
Pueden ser:
a) Monomio
Es una expresión a lgebra ica que consta de un só lo térm ino. D icho té rm ino es una expresión 
a lgebra ica en la que las únicas operaciones que afectan a las le tras son la m ultip licación y la 
potenciación de exponente natural.
Tam bién podem os decir, un m onom io es una expresión a lgebraica racional entera que consta 
de un sólo térm ino.
E jem plos: 4 x , 7 x sy 3 y V 5 x 4y 3z :
b) Multinomio
Es una expresión a lgebra ica que consta de dos o m ás térm inos algebraicos 
E jem plos: 3 x 4y + 2 x 3y 4 - 7 x : y 5 y 4 x 4 + 2 x ' 3y 5 - V x + 3
Un caso particu lar de éstos es el polinomio o polinomio entero.
Polinomio en te ro : es aquella expresión a lgebraica cuyos té rm inos son todos expresiones 
a lgebraicas racionales enteras.
Ejemplos: P (x) = 3 x 4 + 2 x 3 - 5 x + 4 y Q (x ,y ) = 3 x y 3 + 7 x y 4 + Vó x 4y s
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
Grado de una expresión algebraica
A. Grado de un m onom io
- G rado absoluto: está dado por la sum a de los exponentes de todas sus letras.
- G rado relativo: está dado por el exponente de la letra referida.
Ejemplo:
Sea el m onom io: 1 2 x 6y V 
G rado abso lu to ( G A ) : 6 + 3 + 9 = 18 
G rado re la tivo (G R )
G rado relativo respecto a x (G R X) es 6 
G rado re la tivo respecto a y (G R y) es 3 
G rado relativo respecto a z ( G R .)e s 9
B. Grado de un polinomio
- G rado absoluto: está dado por el m onom io de m ayor grado absoluto.
- G rado relativo: está dado por el m ayor exponente de la letra referida.
Ejemplo:
Sea el polinom io: 3 x 4y 3+ 8 x 3y - 5 y 
G rado absoluto:
G rado abso lu to (G A ) de 3 x 4y 3 es 4 + 3 = 7 
G rado abso lu to (G A ) de 8 x 3y es 3 + 1 = 4 
G rado abso lu to (G A ) de 5 y es 1 
Por lo tanto, el G rado absoluto (G A )d e l polinom io es 7 
G rado relativo:
G rado re la tivo respectoa x (G R X) es 4 ( m ayor exponente de la v a r ia b le x )
G rado relativo respecto a y (G R y) es 3 ( m ayor exponente de la v a r ia b le y )
Polinom ios especiales
A. Polinomio completo con respecto a una letra: es el polinom io que presenta todas las 
potencias de una letra, desde el m ayor grado hasta el cero inclusive. El té rm ino a lgebraico que 
tiene la letra de grado cero se llam a térm ino independiente.
Ejemplo: P (x ,y ) = 3 x 3y + 5 x : - 4 x y : - 8 
Este polinom io es com pleto respecto a x
B. Polinomio ordenado con respecto a una letra: es el po linom io cuyos exponentes de la 
letra considerada, van aum entando o d ism inuyendo, según sea ascendente o descendente la 
ordenación.
Ejem plo: P(x, y ) = 8 x 5y + 6 x 3y 4 - 7 x y ú - 9 y 3 
Este po linom io es ordenado con respecto a x
C. Polinomio completo y ordenado con respecto a una letra: es aquel po linom io que 
presenta las dos caracteris ticas anteriores.
Ejemplos:
P (x) = 8 x 5 + x 4 + x 3 - 3 x : - 4 x + 3
Q (x ,y ) = 5 x : y 4 + x y 3 + y : - 3 x 3y + 4 ( po linom io com pleto y ordenado con respecto a y )
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
D. Polinomio homogéneo: es el polinom io que presenta el m ism o grado abso lu to en todos sus 
térm inos.
Ejemplo. P (x ,y ) = 7 x :y 3 + 6 x 3y 2 - 4 x 5 - 2 x y 4
E. Polinom ios idénticos: son aquellos polinom ios que presentan en sus té rm inos semejantes, 
coefic ientes iguales.
Sea P (x ) = a x 3 + b x 3 + ex y Q (x ) = m x 3 + n x 3 + p x 
Decim os que P (x ) = Q (x ) <=>a = m , b = n , c = p
g
A s i : P (x ) = 3 x : y ~ — x + 1 es idéntico a Q (x ) = 3 x : y - 4 x + ( 4 - 3 )
F. Polinomio nulo: es aquel po linom io que tiene todos sus coefic ientes nulos o igua les a cero. 
Tam bién se le llam a polinom io idénticam ente nulo.
Sea P (x ) = a x 3 + b x 3 + ex + d , decim os que P (x ) = 0 <=> a = 0 , b = 0 , c = 0 , d = 0
G. Polinomio opuesto: es aquel po linom io que se obtiene cam biando de signo a todos sus
coefic ientes del polinom io dado
Sea P (x ) = a x 3 + b x : + e x + d
decim os que - P (x ) es su opuesto <=> - P (x ) = - a x 3 - b x : - ex - d
Asi : Sea P (x ) = 2 x 3 + 3 x : y - 4 x su opuesto es - P (x ) = - 2 x 3 - 3 x 2y + 4 x
Ejercicios 01: Grado de un polinomio y polinomios especiales
1. Hallar el grado absoluto de los sigu ientes polinom ios:
a ) x 3 + x 3 + x c) x 3y - x 3y 3 + x y 4 - y 4
b) 5 x - 3 x : + 4 x 4 - 6 d) x 5 - 6 x 4y 3 - 4 x :z + x : y 4 - 3 y 6
2. Hallar el grado de los s igu ientes polinom ios con relación a cada una de sus letras.
a) x + x ' - x y c ) x y + x _z + x y z '
b) x 4 + 4 x 3 - 6 x : y 4 - 4 x y 5 d) x 4y 3 - x y ú + 4 x 4y 3 - x s + y 15- z 11
3. Hallar a y b en el m onom io 5 x a' by a+b si el grado re la tivo respecto a x es 8 y respecto a 
y e s 12.
4. Hallar m y n sabiendo que el m onom io : (m + n ) x 3(m_1)y 3n tiene grado abso lu to igual a 17 y 
que adem ás su coefic iente tiene el m ism o va lo r que el grado re la tivo con respecto a x .
5. Si P (x ,y ,z ) = 7 x 3y 5z 8 ca lcu lar : . G R = + G A .
G R S + G R y
6. Si Q (x ,y ,z ) = 5 x '4y 5z 10 ca lcu lar : G R z + G A
G R y + G R í:
7. Sea el siguiente m onom io M ( x ,y ) = 5 x ay b y sabiendo que G R X = 2 a G A = 5 
ca lcu lar a 3 + b ;
8. Hallar el grado absoluto del s igu iente po linom io : P (x ) = ( x + 5 )4 + (1 - x ) 5
9. Sea P (x ,y ) = x n* :!y lS' n + x n" :y n+: . Si cada té rm ino tiene el m ism o grado absoluto, ha llar n .
10. Sea P (x , y ) = x a+1y a' 5 + x a' 3y a- : + x 3a~7y + x a-5y a . adem ás G R X (P ) = 7 
H allar el G A (P )
11. Hallar (a + b ) si P (x ,y ) = 3 x ay a"b + 2 x a+by a' b - 8 x s es hom ogéneo.
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DAVID GONZALES LOPEZ
12. Hallar ( a - b - c + d ) si P (x ) = ( 2 a - 1 2 ) x 3 + (4 b + 8 )x : + ( c - 5 ) x + d es nulo.
13. Sea el po linom io P (x ) = 5 x a-ls + 18xa~b+l5 + 7 x c_b+"s , ha llar a , b y c para que el polinom io 
P (x ) sea com pleto y ordenado en fo rm a descendente.
d escenden tem en te , ca lcu lar M = a + b + c + d .
16. Si el po linom io P (x ) = 3 x p*n*5 - 4 x n' m*3 + 7 x m' 6 es com pleto y ordenado ascendentem ente, 
calcular el va lo r de (2m - 3n + 4 p ) .
17. Determ inar (a + b + c) sabiendo que el po linom io P (x ) = 3 x : + a x - 5 + b x : - l l x + c es 
idénticam ente nulo.
18. Si P (x ) es idénticam ente nulo, ha llar ( a - b ) : en P ( x - a ) = a (x + 3) + b (x + 2) + 2 .
19. Hallar E = ab(a + b) si el po linom io P (x ,y ) = x a~:by a+b - 5 x by a+:ib + 7 x a_by s es hom ogéneo
20. En el polinom io hom ogéneo P (x ,y ) = ( x ay b) (a*b )+ ( x 3y )ab el grado re la tivo a x es 48. 
Indicar el va lo r de (a + b ).
21. Halle el núm ero de té rm inos del po linom io com pleto y ordenado 
P (x ) = (n - l ) x n-6 + (n - 2 )x " -5 + (n - 3 )x n~4 +. . .
22. Si el polinom io P (x ) es ordenado y com pleto. Indicar cuántos té rm inos tiene.
P (x ) = (n - 3 )x n~s + (n - 4 )x n~7 + (n - 5 )x n~ú +. . .
V a lo r n u m é ric o de e x p re s io n e s a lg e b ra ica s
Se denom ina va lo r num érico de una expresión a lgebraica al resu ltado de sustitu ir cada una de 
las le tras(variab les) por núm eros y rea lizar las operaciones indicadas.
Ejemplos:
x + y
-----------------=— 3
Solución
1 5
E =
5 - 9 4
3
2 2
3 3
2. Si P (x + 1 ) = x + 3 , ha llar E = P (-3 ) + P(4)
Solución
Primera forma:
Haciendo x + l = k => x = k - l
Escrib iendo la expresión orig inal en té rm inos de k tenem os:
P (k ) = k - 1 + 3 => P(k) = k + 2
Una vez reducida se hace: k = x y se tiene P (x ) = x + 2 
ha llam os P (-3 ) = - 3 + 2 = - 1 y P (4) = 4 + 2 = 6 
Luego E = P (-3 ) + P (4) = ( - 3 + 2) + (4 + 2) = - 1 + 6 = 5
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Segunda forma:
R eem plazam os x p o r x - 1 para hallar el P (x )
P (x + l ) = x + 3
P( ( x - 1 ) + 1 ) = ( x - 1 ) + 3
P ( x ) = x + 2
hallam os P (-3 ) = - 3 + 2 = - 1 y P (4) = 4 + 2 = 6 
Por lo tan to E = P (-3 ) + P (4) = -1 + 6 = 5
Tercera forma:
Escrib iendo (x + 3) en función de x + 1 :
P (x + 1) = ( x + 1) + 2
luego donde aparezca ( x + 1) se colocará x :
P (x ) = x + 2
Por lo tan to E = P (-3 ) + P (4) = ( - 3 + 2) + (4 + 2) = 5 
Cuarta forma:
Para ca lcu lar la expresión pedida podem os hacer:
x +1 = - 3 => x = - 4 
x + l = 4 => x = 3
Estos va lores se reem plazan en la igualdad original ( P (x + l ) = x + 3 )
P (-3 ) = - 4 + 3 = - 1 y P (4) = 3 + 3 = 6 
Luego, E = P (-3 ) + P (4 ) = -1 + 6 = 5
Ejercicios 02: Valor numérico de expresiones algebraicas
Hallar el va lo r num érico de las s igu ientes expresiones a lgebraicas
para x = - 2 , y = - 1 , z = -1
2. E = x ; y 3 - 3 x 3y + 3 para x = - l , y = - 1 / 2
para x = - l / 2 , y = l / 3 , z = —1 / 2
2 z - x + y
2 3x - y - z
para x = -1 , y = 1 / 2 , z = - 2
 para x = - l , y = l , z = - 2
xz
6. E = ^ + ^ - ^ + (x + y - z ) : - ( y + z - x ) ( x - y ) para x = 1 , y = - 1 , z = - 2
z y x
7 E = x + y _ x - - y - 
x y
1 1 v
8. E = ( ---------) + ( - - x )
para x = - 2 , y = -1 /2
para x = - 1 / 3 , y = -1 /2
x y x
9
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
9. E = — — y ,+ 3 y para x = - 1 / 2 , y = - 2 
1 - ^ 1
X
x 2 - y
10. E = — para x = - 1 / 2 , y - - 1
2 x y - x x - y
11. E = - -v/ k ( k - x ) ( k - y ) ( k - z ) para x = 5 , y = - 2 , z = 6 sabiendo que 3k = x + y + z
12. E = ̂ x ( x - a ) ( x - b ) ( x - c) donde x = a + t) + c ; a = 2 + V 2 , b = 2 - V 2 y c = 2^¡3
._ _ 5 x + 2 y 5 x - 2 y , x 4 y ,
13. E = ---------- - si se cum ple que — + — = 2
x + 2 y 3 x + 2 y y y x
Resolver los s igu ientes e jercic ios sobre va lo r num érico de un polinom io
14. Sea P (x ) = x : - x + 4 , c a lc u la r : E = +
P (-D + P (-3)15. Sea P (x ) = 4 x 2 + 3 x + 2 , ca lcular E = P (P (0)) + P (P (-1 ))
16. Si P (x + 7) = x - 3 , ca lcu lar E = P ( - 1 / 2) + P(1 / 2)
17. Sea P ( V x - l ) = 2 x - 5 , ha lla r P(4)
18. Sabiendo que P (2 x + l ) = x : + x + l y Q (x + 2) = x 2 - x + 1 .c a lc u la r P (Q (2))
19. SI tenem os que P ( 4 x - l ) = x + 2 , Q (3 x + l ) = x + 3 y R ( 2 x - l ) = x + 4
calcu lar E = V P (3) + Q (4 ) + R ( l) + 4
20. SI P (x ) = ^ ha llar P (P (x ))
x - 3
21. S i P ( x ) = — — - adem ás P (P (x )) = l , ha llar el va lo r de E = V 8 x + 5
x — 1
22. SI P (in x + n ) = " - x ha lla r P (-3 )
m x - n n
23. SI P (Q (x )) = y Q (x ) = — . ha llar P (x )
x x — 1
24. Si P (x + a) = x 2 - a x + b y Q ( x - b ) = x 2 - b x + a , determ inar P (Q (0))
25. Si P (x + l ) = 3 x : - b x + l , Q ( x - l ) = a x : + cx + 3 y P (x ) = Q (x + l ) , ha llar E = a + b + c
26. Sabiendo que P (x + 1) + P ( x + 2) = 5 x y P(3) = 2 .hallar E = P(5) — P(2)
27. Se definen P ( f ( x - 1) + 2) = x + 2 y P ( x - l ) = x + 7 , a base de ello determ inar f (7 )
28. Si P (x ) = 4 x + 5 y P (g (x ) + 3) = 8 x + 5 .h a lla r g (4 )
10
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
1.3. O PERACIONES CON POLINOMIOS ENTEROS 
Adición y sustracción de polinomios
La adición de polinom ios es una operación que tiene por objeto reunir dos o m as polinom ios 
(sum andos) en una sola expresión( suma)
La sustracción de polinom ios es la operación que consiste en sum ar al po linom io m inuendo el 
opuesto del po linom io sustraendo para obtener el polinom io diferencia.
La adición y la sustracción de polinom ios consiste en la reducción de té rm inos sem ejantes 
Asi, sean los polinom ios P , Q , R y S
P + Q = R y P - Q = P + ( - Q ) = S 
Ejemplos
1. Hallar la sum a de 2 x 2 - 3 x y 2 + y 2 ; - 2 y 2 + 3 x y 2 - 3 x 2 ; 4 x 2 + 7 x y 2 - y 2 - 3
Solución
Sea S = 2 x : - 3 x y 2+ y 2 + - 2 y 2+ 3 x y : - 3 x 2 + 4 x 2 + 7 x y 2 - y 2 - 3 
Agrupando té rm inos sem ejantes y reduciéndo los se tiene:
S = ( 2 x : - 3 x ; + 4 x 2) + ( - 3 x y 2 + 3 x y 2 + 7 x y 2) + ( y 2 - 2 y 2 - y 2) - 3
S = 3 x 2 + 7 x y 2 - 2 y 2 - 3
2. Sea P = 5 x 3 + 2 x 2y 2 - 2 y - 3 y Q = 2 x 3 - 5 x : y 2 - 2 x - 3 hallar P - Q
Solución
P - Q = P + (—Q) = 5 x 3 + 2 x 2y 2 - 2 y - 3 + - ( 2 x 3 - 5 x 2y 2 - 2 x - 3)
= 5 x 3 + 2 x :y : - 2 y - 3 - 2 x 3 + 5 x 2y 2 + 2 x + 3 
= (5 x 3 - 2 x 3) + ( 2 x : y 2 + 5 x 2y 2) + ( - 3 + 3) - 2 y + 2x 
= 3 x 3 + 7 x 2y 2 - 2 y + 2x
3. D e x 2y + y 2 - 5 x y resta r - 2 x : y + 3 y 2 - 7xy
Solución
Sea M = x 2y + y : - 5 x y - ( - 2 x : y + 3 y : - 7 x y )
M = x 2y + y 2 - 5 x y + 2 x : y - 3 y : + 7 x y 
M = ( x : y + 2 x :y ) + ( y ; - 3 y 2) + ( - 5 x y + 7 x y )
M = 3 x 2y - 2 y 2 + 2 xy
Ejercicios 03: Adición y sustracción de polinomios enteros
Hallar la sum a de :
1. x 2 - 3 x y + y 2 ; - 2 y : + 3 x y - 3 x : ; x : + 7 x y - y ;
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
A 4 *> * 2 3 3 3 4 5 3 3
4. x - x " + 5 ; — x — x - 3 ; — x + - x — x
3 8 5 6 4
r- 4 1 0 2 4 5 4 3 > -> 1 3 l á 5 ; l o o 1 4
5. x - 2 x - y - + - y ; - - x + - x - y - - x y - — y ; - - x y - - x y + - y
7 6 8 6 14 6 4 7
c 5 2 3 4 , 5 3 , 1 2 4 1 3 1 ,
o. x — x + —x ; - 3x h— x ' h x ; — x + —x — X '
3 5 8 10 3 6 4
7 2 3 5 1 1 3 3 , 7 1 3 2 3 1 , 1
7. —a + —a x ' — x ; — a " x — a x ‘ — x ; — a + —a ' x — ax '
9 6 3 7 8 9 3 2 4
r\ 5 5 1 3 "» 3 4 1 5 3 4 5 , 3 1 5 / , d 2 3 , 1 58. x - y ; x y — xy — y ; — x y — x _y — x ; 2x y — x y — y
10 4 6 5 6 9 5 3
Resolver
9. De x : + y : - 3 xy restar - y 3 + 3 x 2 - 4 xy
10. De y 2+ 6y 3- 8 resta r - 2 y 4 - 3 y 3+ 6 y
11. De x 3- 9 x + 6 x : - 1 9 resta r - l l x : + 2 1 x - 43 + 6x 3
12. De y 5 - 9 y 3 + 6 y : - 3 1 restar - 1 l y 4 + 3 1 y 3 - 8 y : - 1 9 y
13. R estar 6x 3- 9 x + 6x : - 7 de x 4 - 8x 3 + 2 5 x : +15
14. R estar x 5 - x : y 3 + 6x y 4 + 2 5 y 5 de - 3 y 5 - 8 x 3y 3 - 1 9 x 5 - 1 5 x y 4
15. R estar 2 3 y 3 + 8y 4 — 15y5 - 8 y - 5 de - 3 y 5 - 8y 3+ y 4 + 9
16. R e s t a r - - x : y + - x 3+ 6 de - x y 3- - x 3+ x 3y - -
6 4 8 9 y 2
17. Hallar la expresión que sum ada con x 3- x 3 + 5 da 3 x - 6
18. Hallar la expresión que sum ada con - 5a + 9b - x da 8x + 9a
19. De - a 3- i b 3 resta r la sum a de - i a 3b + i - a b 3 con i a 3b - i a b 3+ —b 3
2 3 2 4 8 6 3
o n r , , 2 , 3 1 , 1
20. De la sum a de - x ‘ — x y + —y con —x y — y " + — resta r la sum a de
5 6 9 2 3 4
2 , 2 , 1 17 , 22 3 , 1
—x ' — y + —x y con — x ' x y — y —
9 3 9 45 9 2 2
Multiplicación de polinomios
La multiplicación de polinom ios es la operación que consiste en obtener una expresión 
llam ada producto, conociendo otras dos llam adas m ultip licando y m ultip licador 
Asi, sean los polinom ios P ,Q y R
P -Q = R
P rop iedades: x m - x n = x m+n y ( x m) n = x mn 
Ejemplos
9 9
1. Sea P = 3 x 3 - 2 x y + - j y 3 y Q = ^ - x - y hallar P -Q
12
DAVID GONZALES LOPEZ
Solución
P.Q = ( 3 x - - 2 x y + 6 y : ) ( | x - y )
P.Q = (3 x 2) ( | x ) + (3 x : ) ( - y ) + ( - 2 x y ) ( | x ) + ( - 2 x y ) ( - y ) + ( 6 y 2) ( | x ) + ( 6 y 2) ( - y )
P.Q = 2 x 3 - 3 x - ’ y - | x :y + 2 x y 2 + 4 x y 2 - 6 y 3 
P.Q - 2 x 3 + ( - 3 x 2y - | x 2y ) + (2 x y 2 + 4 x y 2) - 6 y 3 
P.Q = 2 x 3 - ^ x :y + 6 x y : - 6 y 3
2. Sea P = 3 x n - y 2 y Q = 2 x : n - x ny : + y 4 hallar P .Q
Solución
P . Q = (3 x n - y 3) ( 2 x 2n - x ny 3 + y 4)
= (3 x n) ( 2 x 3n) + (3 x n) ( - x ny 3) + (3 x n) ( y 4) + ( - y : ) (2 x :n) + ( - y 2) ( - x ny : ) + ( - y 3) ( y 4)
= 6 x 3n - 3 x 2ny 2 + 3xny 4 - 2 x 2ny 2 + x ny 4 - y ú 
= 6 x 3n + ( - 3 x 2ny 2 - 2 x 2ny 2) + (3 x ny 4 + x ny 4) - y 6 
- ó x 3n - 5 x 2ny : + 4 x ny 4 - y 6
Productos notables
Son productos ind icados que tienen una fo rm a determ inada, de los cuales se puede recordar 
fácilm ente su desarro llo sin necesidad de e fectuar la operación.
Los m ás im portantes son:
1. Binom io al cuadrado ( Trinom io cuadrado perfecto)
• ( x + y ) ( x + y ) = ( x + y ) ; = x~ + 2 xy + y ;
• ( x - y ) ( x - y ) = ( x - y ) 2 = x 2 - 2 x y + y 2
• (ax + b y )(a x + b y ) = (ax + b y )2 = a ;x : + 2abxy + b : y :
• (ax - b y )(a x - b y ) = (ax - b y )2 = a 2x 2 - 2abxy + b 2y 3
2. Trinom io al cuadrado
• ( x + y + z ) (x + y + z ) = ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 xz + 2yz
• (ax + b y + cz)(ax + b y + cz) = (ax + b y + c z )2 = a ' x 2 + b 2y 2 + c 2z 2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz
3. Binom io al cubo
• ( x + y ) (x + y ) ( x + y ) = ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x : y + 3 x y 2 + y 3 = x 3 + y 3 + 3 x y (x + y )
• ( x - y ) ( x - y ) ( x - y ) - ( x - y ) 3 = x 3 - 3 x 2y + 3 xy2 - y 3 = x J - y 3 - 3 x y ( x - y)
• (ax + b y )(a x + b y )(a x + by ) = (ax + b y )" = a Jx J + 3 a ' x ' b y + 3axb2y ' + b Jy J
• (ax - b y )(ax - b y )(ax - by ) = ( a x - b y ) 3 = a 3x 3 - 3 a 2x 2by + 3axb2y 2 - b 3y 3
13
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
4. Trinom io al cubo
(x + y + z ) (x + y + z ) (x + y + z ) = ( x + y + z ) 3 = x 4 + y 4 + z 4 + 3 (x + y ) ( y + z ) (x + z) 
( x + y + z )3 = x 3 + y 3 + z 4 + 3 (x + y + z ) (x y + yz + xz ) - 3xyz
5. Producto de una sum a por su diferencia) D iferencia de cuadrados)
( x m + y n) ( x m - y " ) - ( x m) 2 - ( y “ ) 2 = x 2m - y 2n 
(x + y ) ( x - y ) = x : - y 2
(ax + b y ) (a x - by) = (a x )2 - ( b x ) 2 = a 2x 2 - b 2y 2
6. Producto de un binom io po r un trinom io que da una sum a o d iferencia de cubos
( x ra + y n) ( x 2m - x my " + y 2n) = x 3m + y 3n 
( x m - y n) ( x 2m + x my " + y 2n) = x 3m - y 3n 
(x + y ) ( x 2 - x y + y 2) = x 4 + y 3 
( x - y ) ( x 2 + x y + y 2) = x 3 -y 3
(ax + b y )(a 2x 2 - a b x y + b 2y 2) = (a x )3 + (b y )3 = a 3x 3 + b 3y 3 
( a x - b y ) ( a 2x 2 + abxy + b 2y 2) = (a x )3 - ( b y ) 3 = a 3x 3 - b 3y 3
7. Identidad de AR G AN D
( x 2m + x my " + y 2n) ( x 2m - x my " + y 2n) = x 4m + x 2my 2n + y 4n 
n i y n : núm ero par
( x 2m + x my m + y 2m) ( x 2m - x my m + y 2m) = x 4m + x 2my 2ra + y 4m 
( x 2k + x k + l ) ( x 2k - x k + 1 ) = x 4k + x 2k + 1 
( x 2 + x + l ) ( x 2 - x + l ) = X 4 + x 2 + 1 
( x 2 + x y + y 2) ( x 2 - x y + y 2) = x 4 + x 2y 2 + y 4
8. Producto de b inom ios con un té rm ino com ún
(x + a )(x + b ) = x 2 + (a + b )x + ab
(x + a )(x + b ) (x + c) = x 3 + (a + b + c ) x 2 + (ab + ac + b c )x + abe
9. Producto de b inom ios de la form a (ax + b )(cx + d)
(ax + b )(c x + d ) = a c x 2 + (ad + b c )x + bd
10 .
11.
dentidades de Legendre
( x + y ) 2 + (X _ y ) :! = 2 (x 2 + y 2)
(x + y ) 2 - ( x - y ) 2 = 4 xy 
(ax + b y ) 2 + ( a x - b y ) 2 = 2 (a : x 2 + b 2y 2)
(ax + b y )2 - (ax - b y )2 - 4abxy
dentidades de Lagrange
(ax + b y )2 + ( a y - b x ) 2 = (a 2 + b 2) ( x 2 + y 2)
(ax + b y + c z )2 + ( a y - b x ) 2 + ( a z - c x ) 2 + ( b z - c y ) 2 = ( a 2 + b 2 + c 2) ( x 2 + y 2 + z 2)
14
DAVID GONZALES LOPEZ
O bservación
Id e n tid a d e s co m p le m e n ta ria s
1. Condicionales:
S ia + b + c = 0 se verifica que:
• a : + b : + c 2 = -2 (a b + be + ac)
• (ab + bc + c a )2 = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2
• a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
• a + b + c = 2 (a ‘ b " + a ' c " + b " c " )
• ( a 2 + b 2 + c 2) 2 = 2 (a4 + b 4 + c4)
• a5 + b 5 + c 5 = -5 a b c (a b + bc + ac)
2 . (a + b )4 - (a - b )4 = 8ab(a2 + b 2)
3. Identidad de Gauss
• (a + b + c )(a : + b : + c 2 - a b - a c - b c ) = a 3 + b 3 + c 3 -3 a b c
• (a + b + c)(ab + be + ca) = (a + b )(b + c)(c + a) + abe
E je m p lo s
1. S im plificar E = [ ( x + y ) : + (V x + A/ y ) ; ( V x - J y ) 2 ] ( x 4 - x :y 2 + y 4)
Solución
O rdenando la expresión
E = { ( x + y ) 2 + [ ( V ^ + V y ) ( V x - , / y ) F } ( x 4 - x 2y 2 + y 4)
aplicam os d iferencia de cuadrados
E = [ ( x + y ) 2 + ( x - y ) 2 ] ( x 4 - x 2y : + y 4)
en el corchete aplicam os identidad de Legendre
E = 2 (x 3 + y 2) ( x 4 - x 2y 2 + y 4)
los paréntesis dan d iferencia de cubos
E = 2 (x ú + y 6)
2. S im plificar E = ( x 2m + x my n + y 2n + x m - y n) 2 - ( x 2m + x my n - x m + y 2n + y n) 2 + 4 y 3n
Solución
O rdenando cada expresión
E = [ ( x 2m + x my n + y 2n) + ( x m - y n) ] 2 - [ ( x 2“ + x ray " + y 2n) - ( x m - y “ ) ]2 + 4 y 3n 
haciendo x 2m + x my n + y 2n = a y x m - y n = b se tiene 
E = (a + b )2 - (a - b ) 2 + 4 y 3n 
aplicando la identidad de Legendre 
E = 4ab + 4 y 3"
reem plazando los va lo res de a y b
E = 4 ( x 2m + x my n + y 2n) ( x m - y n) + 4 y 3n 
de los paréntesis resulta d iferencia de cubos
E = 4 ( x 3m- y 3n) + 4 y 3n 
E - 4 x 3m - 4 y 3n + 4 y 3n 
E = 4 x 3m
15
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
Ejercicios 04: Multiplicación de polinomios enteros- Productos notables
Multiplicar
1. ( x 4 - 9 ) (x 4 - 7)
2. ( n r + l ) ( n r - 5 )(m 2 - 4)
3. ( x + y + 3 )(x - y + 4)
4. ( 2 x + l ) ( 4 x 2 - 2 x + 1)
_ A 3 1 1 j . . 2 3 .
5. (—x ' — x y + — y ) ( — x — y)
2 3 4 3 2
n , 2 7 1 1 7v/ 3 7 — 7 7
6. ( - x - + - x y - - y - ) ( - x - + 2 y - - x y )
7. ( - x 2 + —x - —) ( 2 x 3 x + 2)
8 4 5 a 3
8. ( - a x - —x 2 + —a 2) (—x 2 - a x + —a 2)
3 2 2 2 3
/7 / 1 3 1 1 4 1 1 1 7 / 3 7 1 7
9. (—y + —x ' y — x + —x )(—x y x )
2 3 4 4 2 10
10. ( x n+1 + 2 x n+2- x n+3) ( x 2 + x )
11. ( x n+2 - 2 x n + 3 x n+l) ( x n + x n+l)
12. ( Xa* 2 - X a + 2 x a+l ) ( x at3 - 2 x a*‘ )
13. (3 x n_1 + x ” - 2 x n_2) ( x " - x n_1 + x n_2)
Simplificar
14. E = (x + l ) ( x - l ) ( x 2 + l ) ( x 4 + l ) ( x 8 + l)
15. E = ( y - k ) ( y + k ) ( y 2 + k y + k 2) ( y 2 - k y + k 2)
16. E = (x + 1)2(x - 2 ) 2 - ( x - 5 ) 2( x + 4 ) 2 - 3 6 ( x 2 - x )
17. E = ( x + 2 ) 2( x - l ) 3 - ( x + l ) 2( x - 2 )2
18. E = ( x y + x - y) ( x y - x - y ) ( x 4y + 1 + x - 41')
19. E = [ ( x y + y " y) 2 + ( x y - y " y) 2 ] ( x 2y - y ' 2y) ( x Sy + x 4yy ' 4y + y " 8y)
20. E = (V x + l ) ( x + l ) ( V x + l ) ( V x - l ) ( x 4 + x 2 +1)
21. E = [ ( 2 x + 3 y )2 + ( 2 y - 3 x )2 ] ( y 2 - x 2) ( x 8 + x 4y 4 + y 8)
22. E = ( x 4 - y 2) ( x 4 + x 2y + y 2) ( x 4 - x 2y + y 2)
23. E = ( x 2 + x y + y 2) ( V x - 7 y ) ( V x + V y )
24. E = ( x 3 - l ) ( x + l ) ( x 2 - x + 1)
25. E = 0 + (x - l ) ( x + l ) ( x 2 + l ) ( x 4 +1)
26. E = ( x + y + z ) : + ( x + y - z ) 2 + ( x - y + z ) 2 + ( - x + y + z ) : - 4 ( x 2 + y 3 + z 2)
27. E = ( x + — ) 2 ( x 2 + - L - 1 ) 2 - ( x - — ) 2 ( x 2+ A - + 1 ) 2
X X " X X '
28. E = (b + c - a) (a + c - b) + (a + b + c)(a + b - c)
16
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
29 E = ( * 3- y : ) 7( * ; y >4 ,
(y _ x ) ( - x - y ) ( x - y ) '
30. E = ( x : + x + l ) ( x : - x + l ) ( x 4 - x : + l ) ( x 8 - x 4 + 1 ) . . . hasta n factores 
Resolver
31. Si x + y = 8 y x y = 16 .h a lla r x ; + y :
32. Si x - — = 2 hallar x 4 + x ' 4
x
33. Si a + b = 5 y ab = 2 ca lcu lar E = ( a : + b : ) + ( a 3+ b 3) + ( a 4 + b 4)
34. Si x + y + z = 12 y x y + xz + yz = 60 . ha llar M = ( x + y ) 2 + ( x + z ) : + ( y + z ) :
35. Si p + q + r = 20 y p 3 + q 3 + r : = 300 hallar el va lo r de E = (p + q ) 3 + (p + r ) 3 + ( q + r ) :
36. S ¡ x + y + z = 0 s im plificar E = ( » y ) ‘ + ( y ^ ) ' + ( z « ) -
x y + y z + zx
D iv is ió n de p o lin o m io s
La d iv is ió n de polinom ios es una operación que consiste en hallar el polinom io cocien te dados 
el po linom io dividendo y el polinom io divisor.
En la d ivisión de polinom ios se cumple:
P R
P = Q -C + R ó — = C + —
Q Q
donde P = Polinom io dividendo C = Polinom io cociente
Q = Polinom io d iv isor R = Polinom io resto o residuo
C + — = C ociente com pleto
En la d ivisión exacta de polinom ios R = 0 y se cum ple que:
^ = C o P = Q -C donde Q * 0
x m
Propiedad : — = x , donde x * 0
X
C a so s de la d iv is ió n
- C u a n do se tra ta de d o s m o n o m io s
Reglas o pasos a seguir:
• Se dividen los signos m ediante la regla de signos
• Se dividen los coefic ientes
X m
• Se dividen la letras aplicando la propiedad: — - x m~ " , donde x * 0
x
- 1 2 x V z s
Ejemplo: D ivid ir E =
- 4 x 2y 5z 4
17
DAVID GONZALES LOPEZ
Efectuando
E = 3 x4- y - 5zs~4 = 3 x :y 3z
- Cuando se trata de un polinomio y m onom io
Reglas o pasos a seguir:
• Se escribe la d ivisión com o una sum a del cociente de 2 m onom ios
• Se divide cada cociente de m onom ios
Efectuando
- Cuando se trata de dos polinomios
Para efectuar la división entre dos polinom ios se conocen varios m étodos. Presentarem os a 
continuación a lgunos de ellos.
a. Método clásico o normal
R eglas o pasos a seguir:
1) Se ordenan los polinom ios, genera lm ente en fo rm a decreciente con respecto a una sola 
letra o variable
2) En caso existan dos o m as variab les se asum irá solo a una de e llas com o tal y las dem ás 
harán el papel de núm eros o constantes.
3) Se divide el p rim er té rm ino del dividendo, por el prim er térm ino del divisor, obten iéndose el 
p rim er té rm ino del cociente. Luego este se m ultip lica por cada uno de los té rm inos del d iv isor y 
el resu ltado se resta del dividendo.
4 ) Se baja el térm ino siguiente del dividendo, y se repite el paso anterio r tantas veces hasta que 
el resto sea a lo m ás un grado m enos que el grado del divisor. O en todo caso si la d ivisión es 
exacta el resto será un polinom io idénticam ente nulo.
E jem plos
1. D ividir P (x ) = 6 x 4 - 5 x 3 - 4 x 3 + 8 x+ 4 entre Q (x ) = 2 x 3 - 3 x + 2
Solución
6 x 4 - 5 x 3 - 4 x 3 + 8 x + 4 
- 6 x 4 + 9 x 3 - 6 x 3 3 x 3 + 2 x - 2
2 x : - 3 x + 2
4 x 3 - 1 0 x 3 + 8 x + 4 
- 4 x 3 + 6 x 3 - 4 x
- 4 x 3 + 4 x + 4 
4 x 3 - 6 x + 4
- 2 x + 8
Luego, el po linom io cociente es C (x ) = 3 x ' + 2 x - 2 y el resto R (x ) = - 2 x + 8
18
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
2. D ividir P (x ,y ) - 6 x 5 - 2 6 x 3y 2 + 5 x 4y + 3 3 x 2y 3 - 2 4 x y 4 + 6 y 5 e n tre Q (x ,y ) - 2 x : - 3 x y + y 2
Solución
6 x 5 + 5 x 4y - 2 6 x 3y 2 + 3 3 x 2y 3 - 2 4 x y 4 + 6 y 5 
- 6 x 5 + 9 x 4y - 3 x 3y 2
2 x 2 - 3 x y + y 2
3 x 3 + 7 x 2y - 4 x y 2 + 7 y 3
14x4y - 2 9 x 3y 2 + 3 3 x 2y 3
- 1 4 x 4y + 2 1 x 3y 2 - 7 x 2y 3
- 8 x 3y 2 + 2 6 x : y 3 - 2 4 x y 4 
8 x 3y 2 - 1 2 x :y 3 + 4 x y 4
1 4 x 2y 3 - 2 0 x y 4 + 6 y 5 
- 1 4 x 2y 3 + 2 1 xy4 - 7 y 5
x y 4 - y 5
Luego, el po linom io cociente es C (x ) = 3 x 3 + 7 x :y - 4 x y 2 + 7 y 3 y el resto R (x ) = x y 4 - y 5 
Observación
- Teorem a ( A lgoritm o de la división de polinom ios)
Dados un polinom io P (x ) de grado 11 > 1 y un polinom io Q (x ) de grado m , con 1 < m < n ; 
entonces existen po linom ios únicos C (x ) y R ( x ) , que tienen la propiedad de que: 
P (x ) = Q (x ) C (x ) + R (x ) , donde el grado de R (x ) es m enor que el grado de Q ( x ) .
- Si al d iv id ir P (x ) entre Q (x ) se obtiene R (x ) = 0 , es decir si P (x ) = Q ( x ) . C ( x ) , se d ice que 
Q (x ) divide o es d iv isor o fac to r de P ( x ) .
b. División sintética
La división s intética es un procedim iento práctico para encontrar el cociente y el resto de la 
división de un polinom io P ( x ) d e grado 2 o m as, entre un binom io de la form a Q (x ) = x - r (o 
cualquier otra expresión transform able a ésta). A la d ivisión sintética tam bién se le conoce con 
el nom bre de "Regla de Ruffini"
Si d iv id im os P (x ) = anx n + a n_ ,xn_l+ . . . + a , x + a a de grado n entre Q (x ) = x - r , entonces
por el a lgoritm o de la división de polinom ios existe C (x ) = b n_,xn~‘ + b n_ ,x n~2 + . . . + b, de grado 
n - 1 y R (x ) un polinom io constante ta lque : P (x ) - C (x ) (x - r ) + R (x )
Por división s intética podem os hallar el polinom io cociente C (x ) y el polinom io resto R (x ) .
Reglas o pasos a seguir:
- Se com pletan y ordenan los polinom ios con respecto a una sola letra o variable. En caso fa lte 
un térm ino este se com pleta con cero.
- En caso hubiesen dos o m as variables se considera so lo a una de e llas com o tal y las dem ás 
harán el papel de núm eros o constantes. Se distribuyen en fo rm a horizontal los coefic ientes del 
d iv idendo; en form a parale la a este paso se iguala el d iv isor a cero ( 0), se despeja la variab le y 
ésta se coloca en el ángulo izquierdo del gráfico.
19
DAVID GONZALES LOPEZ
- Se baja el prim er coefic iente del polinom io d iv idendo siendo este el p rim ero del polinom io 
divisor. Luego se m ultip lica po r el va lor despejado de la variab le y el resu ltado se coloca debajo 
de la siguiente colum na
- Se reduce la co lum na sigu iente y se rep ite el paso anterior tan tas veces hasta que la última 
operación e fectuada caiga debajo del ú ltim o coefic iente del polinom io dividendo. L legado este 
m om ento se reduce la colum na que fa lta , y siem pre se cum plirá que la ú ltim a colum na le va ha 
pertenecer al resto, y este s iem pre será un va lor num érico.
O bservaciones
- La división s intética tam bién es aplicab le cuando el d iv isor es un binom io de la form a a x - r .
- La división s intética es tam bién aplicab le cuando el d iv isor es un polinom io de segundo grado 
factorizable de la f o r m a ( x - r ) ( x - s ) o no factorizable, o un polinom io de grado 2 o mas. Esta 
división se realiza por el llam ado M étodo de Horner
E jem plos
1. D ividir P (x ) = 2 x 3 — 5 x " + x — 2 entre Q (x ) = x - 2
Solución
Hacem os x - 2 = 0 => x = 2
Aplicando división s intética tenem os
2 2 - 5
4
i
- 2
- 2
_ ?
W
' R (x )
« 
Tii
- 1 - 1 - 4
r + 3 entre Q (x ) = x + 3
Solución
Hacem os x + 3 = 0 => x = - 3 
Aplicando división s intética tenem os
- 3 3 2
- 9
- 1
21
0
- 6 0
3
180
3 - 7 20 - 6 0 183
L u e g o , C (x ) = 3 x 3 - 7 x 2 + 2 0 x - 6 0 y R (x ) = 183
3. D ividir P (x ) = 18x5 - 2 9 x 3 - 5 x : + 1 2 x - l entre Q (x ) = 3 x + 2
Solución
Hacem os Q (x ) = 3 x + 2 = 3 (x + - ) 
Ap licando división s intética tenem os
3 ( x + - ) = 0 
3
2
x = — 
3
2 18 0 - 2 9 - 5 12 - 1
3
- 1 2 8 14 - 6 - 4
18 - 1 2 - 2 1 9 6 - 5
20
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
C ociente prim ario A ( x ) - 1 8x4 - 1 2 x 3 - 2 1 x 3 + 9 x + 6
D ivid iendo todo el cociente prim ario entre 3 , porque es el prim er coefic iente del d iv isor se tiene:
+ . 1 8x4 - 1 2 x 3 - 2 1 x 3 + 9 x + 6
El cociente ve rdadero C (x ) = ---------------------
C (x ) = 6 x 4 - 4 x 3 - 7 x 2 + 3 x + 2 y R (x ) = - 5
„ „ 6 x 36 + 1 7 x 27 - 1 6 x ls + 2 x 9 + 1 2
4. D ividir ------------------------ 5-------------------------
3 x +1
Solución
O bservam os que los exponentes del d ividendo son m últip los del exponente 9 del divisor, luego 
se puede ap licar el m étodo de la división sintética.
H acem os x 9 = y . A l transform ar el d ividendo y reem plazar el cam bio de variab le se tiene
6 (x 9) 4 + 1 7 ( x 9) 3 - 1 6 ( x 9) 2 + 2 x 9 + 12 6 y 4 + 1 7 y 3 - 1 6 y 2 + 2 y + 12
3 x +1 3 y + 1
Tam bién hacem os Q (y ) = 3 y + l = 3 (y + - ) 
Ap licando división s intética tenem os
3 ( y + I ) = 0
1
3
6 17 - 1 6 2 12
- 2 - 5 7 - 3
6 15 - 2 1 9 9
C ociente prim ario A (y ) = 6 y 3 + 1 5 y 2 - 2 1 y + 9
D ivid iendo todo el cociente prim ario entre 3 , porque es el prim er coefic iente del d iv isor se tiene: 
El cociente ve rdadero en té rm inos de y , C (y ) = 6y— — 21Y + 9
C (y ) = 2 y 3 + 5 y 2 - 7 y + 3
reem plazando y = x 9
tenem os el cociente verdadero en té rm inos de x , C (x ) = 2 x 27 + 5 x 18 - 7 x 9 + 3 
y el resto R (x ) = 9
c. Método de Horner
S e em plea para d ivid ir un polinom io P (x ) de grado n entre un polinom io Q (x ) de grado 111 
donde P (x ) = anx n + a n_1x n_1 + . . . + a , x + a 0
Q (x ) = b mx m + b m_,xm-1 + . . . + b ,x + b 0 , n > m , an a b in * 0 
Reglas o pasos a seguir:
- Se com pletan y ordenan los polinom ios. En caso fa lte un té rm ino este se com pletará con cero.
- En caso existan dos o m as variab les se asum e a una de e llas com o tal y las dem ás harán el 
papel de núm eros o constantes.
21
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
- Se distribuyen en fo rm a horizonta l los coefic ientes del dividendo, y en form a vertica l los 
coefic ientes del divisor, todos cam biados de signo a excepción del prim ero.
- Se divide el p rim er coefic iente del d ividendo po r el prim ero del divisor, obten iendo el prim ero 
del cociente. Luego este se m ultip lica po r cada uno de los coefic ientes del d iv isor que han 
cam biado de signo, y los resu ltados se colocan dejando una colum na de lado.
- Se reduce la s igu iente co lum na y se rep ite el paso anterior, tanta veces hasta que la última 
operación e fectuada caiga debajo del ú ltim o coefic iente del dividendo. L legado este m om ento 
se reduce las co lum nas que falten; separando los coefic ientes del cociente y el resto 
respectivam ente.
E jem plos
1. D ividir P (x ) = 2 x 4 + 6 x 3 + 4 x : - 5 x - l entre Q (x ) = 2 x : + 2 x - 3
Solución
2 2 6 4 - 5 - 1
_ 2 - 2 3
3 4 - 4 6
3
- 3
9
2
1 2 3 
2
- 2
7
2
L u e g o , C (x ) = x : + 2 x + -
2
y R (x ) = - 2 x + Z 
2
2. D ividir P (x ) = 6 x 5 - 4 x 3 + 9 x : - 5 entre Q (x ) = 3 x 3 + x - 2
Solución
3 6 0 - 4 9 0 - 5
0 O 1 io 4
- 1 0 0 0 0
2 - 6 0 2 - 4
2 O 1 io 13 2 - 9
L u e g o , C (x ) = 2 x : - 2 y R (x ) = 1 3 x : + 2 x - 9
3. Hallar E = m + n + p si la división12x5 - 9 x 4 + 1 4 x 3 - m x : + n x - p 
3 x 3 + 2 x - 6
es exacta.
Solución
U tilizando el m étodo de Horner, el resto debe ser un polinom io idénticam ente nulo
22
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
3 12 - 9 14 - n i n - p
0 0 - 8 24
- 2 - 9 0 6 - 1 8
6 6 0 - 4 12
4 - 3 2 30 - m - 2 2 + n 12 - p
Luego, el resto es R (x ) = ( 3 0 - m ) x ; + ( - 2 2 + n )x + ( 1 2 - p ) = 0 x : + 0 x + 0 
Asi tenem os que: 30 - m = 0 => n i = 30
-22 + n = 0 => n = 22
12 - p = 0 => p = 12
Finalm ente E = m + n + p = 30 + 22 + 1 2 = 64
. 8 x 5 + 14x4y + 5 x V + 1 6 x : y 3 + 2 y 5
3. D ividir — ; ;— ---------— con respecto a x .
4 x ' + x y + 3 y
Solución
Utilizando el m étodo de H orner se tiene:
4 8 14 5 16 0 2
- 1 - 2 - 6
- 3 12 - 3 - 9
- 4 1 3
8 - 2 - 6
2 3 - 1 2 1 - 4
Luego, el resto es C (x ,y ) = 2 x 3+ 3 x :y - x y : + 2 y 3 y R (x ,y ) = x y 4 - 4 y 5 
Teorem a de! res to
Si P (x ) es un polinom io de grado n y Q (x ) = x - r , entonces el resto o residuo de dividir 
P (x ) po r Q (x ) esta dado por P (r) = R .
Dem ostración
En efecto, por el a lgoritm o de la división
P (x ) = ( x - r ) C (x ) + R
C om o esta igualdad es vá lida para todo x , en particu lar para x = r entonces
P (r) = ( r - r ) C (r) + R 
Entonces P (r) = R
Ejem plos
1. Hallar el resto de d ivid ir P (x ) = x 3 + x 2 - 4 x - l entre Q (x ) = x + 2
Solución
Hacem os x + 2 = 0 => x = - 2
Luego el resto es R = P (-2 ) = ( - 2 ) 3 + ( - 2 ) 3 - 4 ( -2 ) - 1 = 3
23
DAVID GONZALES LOPEZ
3 x - 2
Solución
2
Hacem os 3 x - 2 = 0 => x = —x = —
2
33
1 1 1 1 1 ( 
Luego el resto es R = P ( - ) = 9 ( - ) 3 - 1 8(—) ' + — 2 =V 3 3 3 3
3. Hallar el resto de
x s - 2 x 5 - 3 x 4 - 8 x : - 5 x + 8
x 5 + 2
Solución
Hacem os x 3 + 2 = 0 => x 3 = - 2 j no se saca ra iz !
Dando la form a al dividendo
P (x ) = ( x 3) 2 x 2 - 2 ( x 3) x : - 3 ( x 3) x - 8 x 2 - 5 x + 8
reem plazando
R = ( - 2 ) 2 x 2 - 2 ( - 2 ) x 2 - 3 ( -2 )x - 8 x 2 - 5 x + 8 
efectuando resulta 
R = x + 8
. . ( x 2 + 5 x + l ) 3 - 3 ( x 2 + 5 x + 2 ) 2 + 4
4. Hallar el resto de — --------
x + 5x — 1
Solución
Hacem os que x : + 5 x - l = 0 => x : + 5 x = l
Reem plazando en el dividendo
R = ( l + 1)3 -3 (1 + 2 ) 2 + 4 = 8 - 2 7 + 4 
R = - 1 5
5. Hallar el resto de *~X— — — —— —
Hacem os que x + 2 y = 0 => x = - 2 y
Reem plazando en el d ividendo
R = ( - 2 y + y ) 5 - ( - 2 y ) 5 - y 5 = - y 5 + 3 2 y 5 - y 5 
R = 3 0 y 5
Teorem a del factor
Dado un polinom io P (x ) de grado n , un núm ero r es una raíz de P (x ) si y so lo si 
Q (x ) = x - r es un fac to r de P ( x ) .
Dem ostración
i) En efecto, por el a lgoritm o de la división
P (x ) = ( x — r ) C (x ) + R
Por el teorem a del resto P (r) = 0 , entonces R = 0
Por lo tanto, P (x ) = ( x - r ) C (x ) , luego x - r es un fac to r de P (x )
x + 2 y
Solución
24
DAVID GONZALES LOPEZ
¡i) Recíprocam ente, si Q (x ) = x - 1 es un facto r de P ( x ) , entonces P (x ) = ( x - r )C (x ) 
C om o el resto R = P (r) = 0 , entonces P (r) = ( r - r ) C (x) = 0 
S ignifica que r es una ra iz de P ( x ) .
Ejemplos
1. Determ inar si Q (x ) = x + 2 es fac to r de P (x ) = x 3 - x : + 5 x + 4
de grado n > 1, un núm ero r se llama raíz o cero del polinomio P (x ) si P (r) = 0 .
Ejem plo: Sea P ( x ) : x 3 - x 3 - 4 x + 4 , el núm ero x = - 2 es una raíz o un cero de P (x ) puesto 
que P ( - 2 ) = 0 
Cocientes notables
Son d iv is iones ind icadas de dos expresiones b inóm icas. Se denom inan notab les porque no se 
requiere e fectuar la operación, d irectam ente se escribe el cociente.
- Primer caso — — = x " '1 + ax"~3 + a 3x n~3 + ... + an' 3x + a " '1
x - a
donde: n es par o im par 
E jem plos
Y 4 3 2 2 3 4 — = x + x y + x y + x y + y
Solución
H acem os x + 2 = 0 => x = - 2
Entonces R = P ( -2 ) = ( - 2 ) 3 - ( - 2 ) : + 5 ( -2 ) + 4 = -1 8 
Luego Q (x ) = x + 2 no es fac to r de P (x ) = x 3 - x : + 5 x + 4
2. Determ inar si Q (x ) = 2 x - 1 es facto r de P (x ) = 4 x 3 + 1 2 x 3 - x - 3
Solución
Hacem os 2 x - l = 0 => x = —
2
Entonces R = P ( - ) = 4 ( - ) 3 + 1 2 ( i ) 3 - (—) - 3 = 0
2 2 2 2
C om o R = 0 entonces Q (x ) = 2 x - 1 es facto r de P (x ) = 4 x 3 + 1 2 x : - x - 3
O bservación
- Raíces de un polinomio: De acuerdo al teorem a del facto r se conoce que dado un polinom io
x - y
„ x s - y s _ ( x 3) 4 - ( y 3) 4
x - - y - x ' - y
- Segundo caso 
donde n e s par
x + a
25
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
Ejemplo
- ( x ' ) 3 - ( x 2) 2( y 5) + ( x 2) ( y s) 2 - ( y 5) 3
x ‘ + y" x ‘ + y
- Tercer caso
x + a
donde n es im par
- Caso
x - a
donde n es par o im par 
Por el Teorem a del resto: x - a = 0 => x = a
Luego, R = an + an = 2an j División in e x a c ta !, por lo tanto NO ES C O C IEN TE NOTABLE.
x + a 
donde n es im par 
Por el Teorem a del resto: x + a = 0 => x = - a
Luego, R = ( - a ) n - an = - 2 a n j División in e x a c ta !, po r lo tan to NO ES C O C IEN TE NOTABLE.
x + a 
donde n es par 
Por el teorem a del resto x + a = 0 => x = - a
Luego, R = ( - a ) n + an = a “ + a " = - 2 a n ¡ División in e x a c ta !, po r lo tan to NO ES CO CIENTE 
NOTABLE
Ejercicios 05: División de polinomios enteros- Cocientes notables
Dividir
1. 3 x : y 3 - 5 x ; y entre - 3 x : y
2. 4 x 8 - 1 0x6 - 8 x 4 entre 2 x 3
3. 2 1x lsy ,s - 3 5 x 12y V - 7 x sy lüz s entre - 7 x 5y
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
^ 3 3 2 ->■>•> 5 I 4 3 + 56. —x y z — x " y _z ' + —x y z — x y z entre — xyz 
4 3 6 2 6
7. x m+2 - 1 5 x m + 6 x m+1 - 9 x m_1 entre 3xm"2
8. —x ntl — —x 11-1 x ” entre - x ”' 3 
3 4 5 3
Dividir por el método clásico y por división sintética
9. x 3 - 2 x : + 3 x - 2 entre x + 3
10. 2 x 4 - 3 x : + 3 x - l entre x - 2
. . 3 3 2 7 5 1 . 1
11. - x - - x - + - x - - entre x —
4 3 6 2 2
12. 4 x 4 - 3 x 3 + x - 2 entre 2x + l
Dividir por el método clásico y por el método de Horner
13. x 4 - 3 x 3 + x 3 - x + 1 entre x : - x + 2
14. 2 x 5 - 2 x 3 + 3 x 3 +1 entre 2 x : - x - 2
15. - x 4 - — x 3 - x 3 + x - l e n t r e 3 x : + 2 
3 3
16. x 5 - 3 x 4 - x 3 + x - 2 entre 2 x 3 - x 2 + 3 x - l 
Resolver
17. Calcular ab si la siguiente división es exacta — f 2x 3x + a x ^
18. Hallar 111 y n si la d ivisión es exacta
x 3 + 2 x - 5 
x 4 - 3 x J + m x - 2 n 
x 3 - 2 x + 4
19. C alcu lar a + b si la d ivisión — — H x + 1-*x + a x — ^ deja com o resto: 2 x - 9
5 x - x - 2
20. C alcu la r a.b.c si el polinom io x 4 + 3 x 3 + a x 3 + b x + c es divisible por x 3 + 2 x 3 - x - 2
x 4 + 2 x ' - m 3x : + m x - m
21. Hallar el resto en
22. H allar el resto en
23. Hallar el resto en
x - ni + 1
x 80 + 8x 77 + 2x + 5 
x + 2
x 37 + 243x 33 + x + 4 
x + 3
24. El residuo de d ivid ir 8 x +_j x + ax + b x + c es - 5X = -t-1 l x -+ 7 , hallar E = Vabc
2 x + x ’ + 3
25. Determ inar m + n sabiendo que m x 4 + n x 3 - 7 x 3 + 1 6 x + 15 es divisible por x 3 - 3 x + 5
«o r- , • • x • •• 3 x 4 - x 3+ 2 x 3 + a x + a , .
26. En la siguiente división el residuo no es de prim er grado. Calcular
X ' + x - l
dicho resto.
27. Si P (x ) = x 3 - b x : - ( 4 b + 3 )x + c es divisible entre ( x + 3 )(x - 4) , ha llar P (l)
28. Escrib ir el cociente sin e fectuar la división :
27
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
. 81x — 16 y . 1024x - 1 X 3 2 x 5 + 2 43 y5 , 5 1 2 x s + y 9
a ---------------— c e — g —
3 x - 2 y 2 x - l 2 x + 3 y 2 x + y
x 5 - 243 1 6x : y 4 - 2 5m 6 6 4 x ‘ - 3 4 3 y 9 . a i s - b 18
b ) --------------------------------- d ) , - . 3 f ) , - - 3 h ) 3 , 3x - 3 4xy~ + 5m 4 x - 7 y a + b
x ^ + 1 ( x + l ) n + l ( x i - 3 ) 4 - ( y i + 2 ) 4 ( x ; - 3 ) 3 - ( y 2 - 2 ) 3
v 3 , \ ) i 2 i ' 1 0 c
x + 1 x x + y - 1 x + y -5
1.4. FACTORIZACIÓN
Factorizar es la transform ación de un polinom io en una m ultip licación ind icada de dos o m as 
polinom ios prim os dentro de cierto cam po de núm eros
Factorizar tam bién significa, convertir una sum a a lgebraica en producto de facto res primos. 
P o lin o m io p r im o s o b re un c o n ju n to n u m é rico
Es aquel po linom io de grado m ayor que cero que no adm ite se r transform ado en m ultip licación 
indicada. Todo polinom io prim o tiene com o únicos d iv isores a el m ism o y a cua lqu ier constante 
no nula de un cierto cam po de núm eros. Un polinom io prim o tam bién es denom inado 
p o lin o m io ir re d u c tib le y fa c to r p rim o
Ejemplos
1. 3 x + 2 es prim o en Q , R y C
2. x : - 5 es prim o en Q . No es prim o en R
3. x ' — x +1 es prim o en Q y R . No es prim o en C
G eneralm ente traba jarem os en los racionales (Q ) salvo que se indique lo contrario. Pero debe
tenerse en cuenta lo siguiente:
* P (x ) = ( x : + l ) ( x : - 3 )(x + 4 )(x - 2) está factorizado en Q .
* P (x ) = ( x : + l ) ( x + V 3 )(x - V 3 )(x + 4 )(x - 2) está factorizado en R .
* P (x ) = ( x + i ) ( x - i ) ( x + V 3 )(x - V 3 )(x + 4 )(x - 2) está facto rizado en C .
El núm ero de factores primos, com o lo hem os visto anteriorm ente depende del conjunto 
num érico en el que se trabaje. En el conjunto num érico de los racionales, el núm ero de factores 
p rim os se calcula contando los facto res bása les (que figuran com o bases y que contengan a las 
variab les, denom inados tam bién facto res a lgebraicos). A s i po r ejemplo:
* P (x ) = ( x + 3 ) : ( x - 4 ) 3 tiene 2 factores prim os
* P (x ) = x ( x + 2 ) ( x - 2 ) : ( x - 3 ) 3 tiene 4 facto res prim os
* P (x ) = x ' y : ( x + 3 y ) 5( x - 2 y ) 4 tiene 4 fac to res prim os
28
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
M étodos para factorizar una expresión algebraica
A. Método de facto r común
B. M étodo de identidades
C. M étodo del aspa simple
D. Regla de Ruffini
E. M étodo de los artificios:
a) Cam bio de variab le o agrupaciones convenientes
b) Q uita y pon o reducción a d iferencia de cuadrados
c) Sum as y restas especiales_______________________
A Método de factor común
Factor com ún de dos o m ás expresiones a lgebraicas es la parte num érica y /o literal que está 
repetida en d ichas expresiones.
El m étodo consiste en extraer el o los facto res com unes y de jarlos com o un producto indicado. 
El fac to r com ún puede ser:
• Factor com ún M ONOM IO
• Factor com ún PO LINO M IO
• Factor com ún POR AG R U PAC IÓ N DE TERM INO S
Ejemplo:
1. Factorizar la s igu iente expresión: P = 3 x 2y 2 + 6 x 3y 5 + 1 2 x 2y 4
Solución
El fac to r com ún es 3 x : y : . es un m onom io
P = 3 x 2y 2( l + 2 x y 3 + 4 y 2)
2. Factorizar la s igu iente expresión: P = 7 2 x :ay b + 4 8 x a+ly bt' + 2 4 x ay :b
Solución
El fac to r com ún es 2 4 x ay b , es un m onom io
P = 2 4 x ay b(3 x a + 2 x y + y b)
3. Factorizar la s igu iente expresión: P = ( x + 1)7 ( x 2 + 1 )10 - ( x + 1)5 ( x : + 1 )11
Solución
El fac to r com ún es (x + l ) 5( x : + 1 )10 , es un polinom io
P = ( x + 1)5 ( x : + 1)1D [ ( x + 1 ) 3 - ( x 2 + 1 ) ]
P = (x + 1)5 ( x 2 + 1)10 ( x 2 + 2 x +1 - x 2 - 1 )
P = (x + l ) 5( x 2 + l ) ' ° ( 2 x )
4. Factorizar N = a ( x - l ) - b ( l - x ) + c x - c
Solución
Extrayendo facto r com ún "c " en los dos ú ltim os térm inos
N = a (x - 1 ) - b ( l - x ) + c (x - 1 )
29
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
Extrayendo facto r com ún - 1 en el té rm ino central
N = a (x - 1 ) + b (x - 1 ) + c (x - 1 )
Extrayendo facto r com ún ( x - 1)
N = ( x - l)(a + b + c)
5. Factorizar M ^ a ^ x 3 + a 3x : b + a 3x 3c + a 3x 3d + abcx + abdx + acdx + bcd
Solución
Agrupando de dos en dos
M = (aJx 3 + a 3x 3b ) + (a : x : c + abcx) + (a : x : d + abdx) + (acdx + bcd)
Extrayendo facto r com ún en cada paréntesis 
M = a 3x 3(ax + b ) + acx(ax + b ) + adx(ax + b ) + cd (ax + b)
Extrayendo facto r com ún (ax + b)
M = (ax + b )(a 3x 3 + a c x + a d x + cd)
Agrupando de dos en dos en el segundo paréntesis 
M = (ax + b)[(a 3x 3 + acx) + (adx + cd)]
Extrayendo facto r com ún dentro del corchete
M = (ax + b )[a x (ax + c) + d (a x + c )]
M = (ax + b )(ax + c)(ax + d)
B. Método de identidades
Para este caso se utilizará los productos notables en fo rm a inversa; entre los m as im portantes 
tenem os:
• Trinomio cuadrado perfecto.
Se caracteriza por:
- Tener dos té rm inos que son cuadrados perfectos.
- El otro térm ino es el doble producto de las ra íces cuadradas de los cuadrados perfectos.
- Los cuadrados perfectos s iem pre deben tener s igno positivo.
El trinom io con estas características se reduce a un b inom io al cuadrado. Para facto rizarlo se 
extrae la ra iz cuadrada del prim er y te rce r té rm ino y entre ellas va el s igno del segundo térm ino.
Form a g e n e ra l: a ) x 3m + 2 x my " + y 3n = ( x m + y n) 2
b) x 3m- 2 x my n + y 3n = ( x m - y “ ) 3
Ejemplos:
1. x ; + 2 x y + y 3 = ( x + y ) 3
2. 4 x 4y 6 - 4V3 x 3y 3 + 3 x 3 = ( 2 x : y 3 - V 3 x ) 3
• Diferencia de cuadrados.
Es una d iferencia de dos cuadrados perfectos. Para facto riza r se extrae la raíz cuadrada de los 
cuadrados perfectos y se form a el p roducto de la sum a de las ra ices m ultip licada por la 
d iferencia de ellas.
Forma g e n e ra l: x 3m- y 3n = ( x m + y n) ( x m - y n)
Ejemplos:
1. x 3 - y 3 = ( x - y ) (x + y )
2. 9 x V - 5 y 8 = ( 3 x 3y + V 5 y 4) ( 3 x : y - V 5 y 4)
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
• Suma o diferencia de cubos
Se caracterizan por tene r 2 cubos perfectos, para factorizar se recuerda el p roducto notable 
Form a general a) x 3m + y 3n - ( x m + y n) ( x 2m - x my n + y 2n)
b ) x 3m - y 3n = ( x m - y ” ) ( x 2m + x my “ + y 2n)
Ejemplos:
1. x : + y* = ( x + y ) ( x : - x y + y 2)
2. 8 x 3z 6 - 2 7 y 9 = (2 x z 2 - 3 y 3) ( 4 x 2z 4 + 6 x y 3z 2 + 9 y a)
O tros ejem plos
1. Factorizar P = n r - 4 p 2 + 4nm + 4 n 2
Solución
Agrupando el 1o , 3o y 4o térm ino 
P = ( m 2 + 4 n m + 4 n : ) - 4 p :
Factorizando el paréntesis 
P = (m + 2 n )2 - 4 p 2 
Factorizando toda la expresión 
P = (m + 2n + 2p) (m + 2n - 2p)
2. Factorizar P = a4 + b 4 + 2 a b ( a ; + b 2) + 3a :b :
Solución
Sabem os que: 3a 2b 2 = 2a 2b 2 + a 2b 2 J u e g o 
P = a4 + b 4 + 2ab(a : + b 2) + 2a 2b 2 + a 2b : 
agrupando adecuadam ente 
P = (a 4 + 2 a :b : + b 4) + 2ab(a : + b 2) + a 2b 2 
Factorizando el trinom io cuadrado perfecto 
P = (a 2 + b 2) 2 + 2 a b ( a ; + b 2) + a ; b :
Toda la expresión es un trinom io cuadrado perfecto 
P = [ (a 2 + b 2) + ab ] '
P = (a 2 + b 2 + ab )2
3. Factorizar E = x ( x 2 + yz ) + z ( x : + y 2) - y 3
Solución
Efectuando las operaciones indicadas
E = x 3 + x y z + x 2z + y 2z - y J 
Agrupando adecuadam ente 
E = ( x 3 - y 3) + ( x y z + x 2z + y 2z)
Factorizando los paréntesis 
E = ( x - y ) ( x 2 + x y + y 2) + z (x y + x : + y ; )
El fac to r com ún es ( x 2 + x y + y 2)
E = ( x 2 + x y + y 2) ( x - y + z)
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
4. Factorizar P = x 3+ x 2 + x - 3
Solución
Sabem os q u e : - 3 = - 1 - 1 - 1 Ju e g o
P = x 3 + x 2 + x - l - l - l 
Agrupando adecuadam ente 
P = ( x 3 - l ) + ( x 2 - l ) + ( x - l )
Factorizando en el 1o y 2o paréntesis 
P = (x - l ) ( x : + x + 1) + ( x - l ) ( x + 1) + ( x - 1 )
El fac to r com ún es: ( x - 1 )
P = (x - l ) ( x : + X + 1 + X + 1 + 1)
P = (x - l ) ( x 3 + 2 x + 3)
C M étodo del aspa simple
Se utiliza para facto riza r trinom io de la forma:
a) x 2n+ b x n ± c ó b) a x 2n± b x n ± c 
Para facto riza r se hace lo siguiente:
- Se descom pone en dos facto res el prim er térm ino, estos factores se colocan en las puntas de 
la izquierda del aspa.
- Se descom ponen en dos facto res el té rm ino independiente, incluyendoel signo, estos factores 
se colocan en las puntas de la derecha del aspa.
- El té rm ino central debe se r igual a la sum a de los productos del aspa.
- Los facto res son las sum as en form a horizontal de los extrem os del aspa.
Ejemplos
1. Factorizar F = 8 x : + 1 4 x - 1 5
Solución
F = 8 x 2 + 1 4 x - 15
4 x - 3 => - 6 x
2 x 5 => 2 0x
"l4 x ”
La expresión facto rizada es: F = 8 x 3 + 1 4 x - 1 5 = ( 4 x - 3 ) ( 2 x + 5)
2. Factorizar F = 2 5 x 4 - 1 0 9 x 2 + 36
Solución
F = 2 5 x 4 - 1 0 9 x 2 + 3 6
2 5 x 3 - 9 => - 9 x 2
x 2 - 4 => - lOOx2
- 1 09 x2
La expresión factorizada es: F = 2 5 x 4 - 1 0 9 x : + 3 6 = (2 5 x ; - 9 ) ( x : - 4)
F = 2 5x4 - 1 0 9 x 2 + 36 = (5 x - 3 )(5 x + 3 )(x - 2 ) (x + 2)
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
3. Factorizar F = 6 4 x 12y 3 - 6 8 x sy 7 + 4 x 4y “
Solución
El fac to r com ún de la expresión es 4 x 4y 3
F = 4 x 4y 3(16 x8 - 1 7 x 4y 4 + y s)
Aplicam os aspa sim ple en el paréntesis y tenem os 
F = 4 x 4y 3(16 x4 - y 4) ( x 4 - y 4)
Factorizando las d iferencias de cuadrados tenem os 
F = 4 x 4y 3( 4 x 2 - y 2) ( 4 x 2 + y 2) ( x 2 - y 2) ( x 2 + y 2)
Factorizando las d iferencias de cuadrados en el p rim er y te rcer paréntesis 
F = 4 x 4y 3( 2 x - y ) (2 x + y ) ( 4 x 2 + y 2) ( x - y ) ( x + y ) ( x 2 + y 2)
4. Factorizar M = (a + b ) 2 + ( c + 4)(a + b ) - 2 c : + 5c + 3 
Solución
Extrayendo el signo m enos en los tres ú ltim os térm inos
M = (a + b ) 2 + (c + 4)(a + b ) - ( 2 c 2 - 5c - 3 )
Aplicando aspa sim ple en el ú ltim o paréntesis 
M = (a + b ) 2 + (c + 4)(a + b ) - (2c + l) (c - 3)
Aplicando aspa sim ple en toda la expresión
M = (a + b ) 2 + (c + 4)(a + b ) - (2c + l) (c - 3)
(a + b ) ( 2 c + 1) => (a + b )(2c +1)
(a + b ) - ( c - 3 ) => (a + b ) ( - ( c - 3))
(c + 4)(a + b)
La expresión factorizada es:
M = (a + b ) 2 + (c + 4)(a + b ) - 2 c 2 + 5c + 3 = (a + b + 2c + l)(a + b - c + 3)
O bservación 
Recordem os que:
- Sea P (x ) un polinom io de grado n (n > 1 ), " r " es raíz o cero de P (x ) P (r) - 0 
Es decir, raíz o cero es el va lo r que anula al polinom io.
D. Regla de Ruffini
La reg la de Ruffini se basa en el s igu iente teorem a:
Sea P (x ) = anx n + a n_1x n' 1 + . . . + a , x + a 0 , an # 0 y a0 * 0 un polinom io de grado n cuyos 
coefic ientes son enteros. Si el núm ero racional — , expresado en fo rm a irreductible, es una
q
ra iz de P ( x ) , entonces p es d iv isor exacto de a 0 y q es d iv isor exacto de an .
La Regla de Ruffini perm ite facto riza r po linom ios de grado 2 o m ás que acepte facto res de 
prim er grado de la fo rm a x ± r ó sx + r .
Tam bién, podem os decir que la Regla de Ruffini sirve para hallar los divisores binóm icos de 
un polinom io.
Pasos a seguir
- Determ inación de las posib les raíces racionales ( o ceros ) de un polinom io de grado 2 o más:
33
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
*Si el po linom io tiene com o prim er coeficiente la unidad, las posib les raíces o ceros estarán 
dados po r los d iv isores del té rm ino independiente con su doble signo.
*Si el coefic iente del prim er té rm ino es diferente a la unidad, se procede com o en el caso 
anterio r y adem ás se consideran las fracciones que resultan de d iv id ir todos los d iv isores del 
té rm ino independiente entre los d iv isores del prim er coeficiente.
Asi:
Posibles raíces raciona les de un polinom io ( PRR)
Dado: P (x ) = anx n + an_1x n 1 + . . . + a , x + a0 , donde a „ * 0 , a0 * 0 y n e z '
PRR = ±
D ivisores positivos de a
D ivisores positivos de a r
- Luego, se utiliza la Regla de Ruffini ( o división s in tética) tantas veces com o ceros o raíces 
tenga el polinom io.
Ejemplos:
1. Factorizar P (x ) = x 3 - x 3 - 4 x + 4
Solución
Posibles raíces o ceros: P R R = +1, + 2 , ± 4
1 1 - 1 - 4 4 
1 0 - 4
2 1 0 - 4 
2 4
0
_ 2 1 2
_ 2
0
1 O
Luego, el po linom io factorizado es igual a: P (x ) = x 3 - x 3 - 4 x + 4 = ( x - l ) ( x - 2 )(x + 2)
2. Factorizar P (x ) = x 4 + 3 x 3 - x : - 5 x + 2
Solución
Posibles raíces o ceros: P R R = ± 1 , ± 2
1 1 3 - 1 - 5 2 
1 4 3 - 2
- 2 1 4 3 - 2
- 2 - 4 2
0
1 2 - 1 0
El polinom io factorizado es igual a: P (x ) = x 4 + 3 x 3 - x : - 5 x + 2 = ( x - l ) ( x + 2 ) ( x : + 2 x - l )
34
DAVID GONZALES LOPEZ
3. Factorizar P (x ) = 1 2x3 + 2 0 x : + x - 3
Posibles ra lees o ceros: PRR =
P R R = J
Solución
± 1 , ± 3
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12
Tam bién llegam os a factorizarlo de la s igu iente manera:
C om o (x + ^-) es facto r de P (x )
? x + l 2 x + l
Tenem os P (x ) = (------ — ) (12 x 2 + 1 4 x - 6 ) = ( ---------) 2 (6 x 2 + 7 x - 3) = (2 x + l) (3 x - l) ( 2 x + 3)
4. Factorizar P (x ) = 2 x 5 - x 4 + 2 x 2 - x
Solución
Factorizam os x en el polinom io y lo expresam os com o P (x ) - x (2 x 4 - x 3 + 2 x - 1 ) 
U tilizam os la Regla de Ruffini para facto riza r en el paréntesis
±1
Posibles ralees o ceros: PRR =
PRR =
± 1 , ± 2 , 
± l , ± y
1 2 - 1 0 2 1
2
1 0 0 1
- 1 2 0 o :2 0
- 2 2 2
2 - 2 2 0
35
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
El polinom io facto rizado es igual a
P (x ) = 2 x 5 - x 4 + 2 x 2 - x = x ( 2 x 4 - x 3 + 2 x - 1 ) = x ( x - i ) ( x + l ) ( 2 x 2 - 2 x + 2)
Tam bién llegam os a factorizarlo de la s igu iente manera:
C om o ( x - —) es facto r de P (x )
2
Tenem os P (x ) = x ( x - - ) ( x + l ) ( 2 x : - 2 x + 2) = x ( - X 1) ( x + l ) 2 ( x : - x + 1)
P (x ) = x (2 x - 1 ) (x + l ) ( x 2 - x +1)
E. Método de los artificios:
a) Cam bio de variable o agrupaciones convenientes
Mediante transform aciones u operaciones adecuadas se pueden log rar expresiones iguales 
para luego proceder a un cam bio de variable, de ta l m anera que se obtenga una fo rm a de 
factorización m as sim ple po r los m étodos ya estudiados.
Ejemplos
1. Factorizar F = ( x - 2 )(x - l ) ( x + 2 )(x + 3) + 3
Solución
Agrupando adecuadam ente y efectuando en la form a ind icada se tiene
F = [ ( x - 2)(x + 3) ] [ (x + 2 )(x -1 ) ]+3
F = ( x 2 + x - 6 ) ( x 2 + x - 2 ) + 3
Haciendo: x : + x = m
F(m ) = (m - 6 )(m - 2) + 3
F (m ) - (m : - 8m + 1 5 ) = (m - 3)(m - 5)
R eem plazando y escrib iendo en térm inos de x
F (x ) = ( x 2 + x - 3 ) ( x : + x + 5)
2. Factorizar F = 1 + x ( x + l ) ( x + 2 )(x + 3)
Solución
Agrupando adecuadam ente y efectuando en la form a ind icada se tiene
F = 1 + [ x ( x + 3) ] [ ( x + l ) ( x + 2) ]
F = 1 + ( x 2 + 3 x ) ( x 2 + 3 x + 2)
Haciendo: x : + 3 x = a
F(a) = 1 + a(a + 2) = a 2 + 2a +1 = (a + 1)3
R eem plazando y escrib iendo en térm inos de x
F (x ) = ( x 2 + 3 x + 1 )2
3. Factorizar F = ( x 2 + x ) ( x 2 + 5 x + 6) + ( x 2 + 3 x + l ) 2 +1
Solución
Expresando en su fo rm a de facto res al p rim er sum ando
F = x ( x + l ) ( x + 2 )(x + 3) + ( x 2 + 3 x + 1)2 +1 
Agrupando y efectuando en la fo rm a indicada
F = ( x 2 + 3x ) ( x 2 + 3x + 2) + ( x 2 + 3x + 1)2 +1
36
DAVID GONZÁLES LÓPEZ
Haciendo: x 2 + 3 x - m
F (m ) - m (m + 2) + (m + l ) 2 +1 = 2 n r + 4m + 2 = 2 (m 2 + 2m + 1 ) - 2 (m + l ) 2
R eem plazando y escrib iendo en térm inos de x
F (x ) = 2 (x 2 + 3 x + l ) 2
4. Factorizar F (x , y ) = ( x + y + 1)4 - 5 (x + y ) 2 - 1 0 (x + y ) - 1
Solución
Haciendo: x + y + l = m => x + y = m - l 
F (m ) = m 4 - 5 ( i i i - 1 ) 2 - 1 0 (m - 1 ) - 1
F (m ) = m 4 - 5 m ; - l O m - 5 - l Om + 1 0 - 1 = m 4 - 5 m 2 + 4 = ( n i2 - l ) ( m 2 - 4)
F (m ) = (m - l) (m + l) (m - 2)(m + 2)
Reem plazando y escrib iendo en té rm inos de x e y
F (x ,y ) = ( x + y + l - l ) ( x + y + 1 + l ) ( x + y + 1 - 2 )(x + y +1 + 2)
F (x , y ) = ( x + y ) (x + y + 2 ) (x + y - l ) ( x + y + 3)
b) Quita y pon o reducción a diferencia de cuadrados
C onsiste en sum ar y restar una m ism a expresión en form a conveniente de m odo tal que al 
hacer agrupaciones, el objetivo, sea llegar a una d iferencia de cuadrados.
Ejemplos
1. Factorizar F (x ) = x 4 + 4
Solución
Sabem os que: ( x : + 2 )2 = x 4 + 4 x : + 4
Q uitando y poniendo 4 x 2
F (x ) = x 4 + 4 + 4 x 2 - 4 x 2
F (x ) = ( x 4 + 4 x 2 + 4) - 4 x 2
El paréntesis es un trinom io cuadrado perfecto
F (x ) = ( x 2 + 2 )2 - 4 x 2
Por lo tan to la expresión factorizada es:
F (x ) = ( x 2 - 2 x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 2)
2. Factorizar F (x ) = 2 5 x 4 +1 l x : + 4
Solución
Sabem os que: (5 x 2 + 2 )2 = 2 5 x 2 + 2 0 x + 4 
Q uitando y poniendo 9 x :
F (x ) = 2 5 x 4 +1 l x 2 + 4 + 9 x 2 - 9 x 3
F (x ) = (2 5 x 4 + 2 0 x 2 + 4) - 9 x 2
El paréntesis es un trinom io cuadrado perfecto
F (x ) = ( 5 x 2 + 2 )2 - 9 x 2
Por lo tan to la expresión factorizada es:
F (x ) = (5 x 2 - 3 x + 2 ) (5 x 2 + 3 x + 2)
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
3. Factorizar F (x ,y ) = 4 x 4 + 4 x y : - y 4 +1
Solución
Sabem os que: ( 2 x : + 1)2 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 y ( 2 x - y 2) 2 = 4 x : - 4 x y 2 + y 4 
Q uitando y poniendo 4 x :
F (x , y ) = 4 x 4 + 4 x y : - y 4 +1 + 4 x 2 - 4 x 2 
Agrupando en fo rm a adecuada
F (x ,y ) = ( 4 x 4 + 4 x 2 + 1 ) + ( - 4 x 2 + 4 x y 2 - y 4)
F (x ,y ) = (4 x 4 + 4 x 2 + 1 ) - ( 4 x 2 - 4 x y 2 + y 4)
Factorizando am bos paréntesis ( trinom io cuadrado perfecto)
F (x ) = ( 2 x 2 + 1)2 - (2 x - y 2) 2
Por lo tan to la expresión factorizada es:
F (x ) = ( 2 x : - 2 x + l + y 2) ( 2 x : + 2 x + l - y : )
c) Sum as y restas especiales
C onsiste en sum ar y resta r una expresión en fo rm a conveniente de m odo tal que se obtenga 
po r lo general ( x 2 + x + l ) o ( x 2 - x + 1) am bos com ponentes de una d iferencia o sum a de 
cubos; en otros casos se puede buscar otro tipo de expresiones que conduzcan a la 
factorización del polinom io.
Ejemplos
1. Factorizar F (x ) = x 5 + x +1
Solución
Sum am os y restam os x :
F (x ) = x 5 + x + l + x 2 - x :
Agrupam os en form a adecuada y factorizam os
F (x ) - ( x 5 - x : ) + ( x : + x + l)
F (x ) = x ' ( x 3 - l ) + ( x 2 + x + l )
F (x ) = x 2 ( x - l ) ( x 2 + x + 1 ) + ( x 2 + x +1)
Extrayendo facto r com ún ( x : + x + 1) la expresión queda factorizada
F (x ) = ( x 2 + x + l ) [ x 2( x - l ) + l ]
F (x ) = ( x 2 + x + l ) ( x 3 - x 2 +1)
2. Factorizar F (x ) = a5 + a - 1
Solución
Primera forma
Sum am os y restam os a 2
F (x ) = a5 + a - l + a 2 - a 2
Agrupam os en form a adecuada y factorizam os
F (x ) = (a 5 + a : ) + ( - a 2 + a - 1 )
F (x ) = a 2 (a 3 + 1 ) - ( a 2 - a +1)
F (x ) = a 2 (a + l ) ( a 2 - a + 1 ) - (a 2 - a + 1 )
Extrayendo facto r com ún (a 2 - a + 1 ) la expresión queda factorizada
F (x ) = (a 2 - a + 1 ) [ a 2 (a - 1 ) - 1 ]
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
F (x ) = (a 2 - a + l ) ( a 3 + a 2 - 1 )
Segunda forma
Com pletando el po linom io sum ando y restando: a4 + a 3 + a 3
F (x ) = a5 + a - l + a 4 + a 3 + a 3 - a 4 - a 3 - a ;
O rdenando convenientem ente y factorizando tenem os
F (x ) = (a 5 - a4 + a 3) + (a4 + a : - a 3) + ( a - l - a 2)
F (x ) = a 3 (a 3 - a + 1 ) + a 3 (a 3 - a + 1 ) - (a 3 - a +1)
F (x ) = (a 3 - a + 1 ) (a 3 a 2 — 1)
3. Factorizar F (x ) = x 10 + x 8 +1
Solución
Primera forma
Haciendo x 3 - m => F (m ) - n i5 + m 4 +1 
Sum ando y restando m 3 y luego agrupando
F (m ) = n i5 + n i4 +1 + m 3 - m 3 
F (m ) = n i3 (m 3 - 1 ) + (n i4 + m 3 +1)
Factorizam os m 3 — 1 y i n 4 + m 2 + l ( Identidad de ARG AND)
F (m ) = 1113 (m - l ) ( m 3 + m +1) + ( m 3 + m + l ) ( m 3 - m +1)
Luego, la expresión factorizada es 
F (m ) - ( m 3 + m + l ) ( m 3 - m +1)
Reem plazando el va lo r de m y escrib iendo en térm inos de x
F (x ) = ( x 4 + x 3+ l ) ( x 6 - x 3 + l )
F (x ) = ( x 3 + x + l ) ( x 3 - x + l ) ( x s - x 3 +1)
Segunda forma 
Com pletando con: x 6, x 4, x 3
F (x ) = x lü + x s +1 + x 6 + x 4 + x 3 - x 6 - x 4 - x 3
F (x ) = x 10 + x s + x ú + x 4 + x 2 +1 - x 6 - x 4 - x 3
F (x ) = x 6 ( x 4 + x 3 + 1 ) + ( x 4 + x 3 + 1 ) - x 3 ( x 4 + x 3 +1)
F (x ) = ( x 4 + x 3 + l ) ( x ú +1 - x 3) = ( x 3 + x + l ) ( x 3 - x + l ) ( x 6 - x 3 +1)
Ejercicios 06: Factorización
Factor com ún y/o agrupación de térm inos
1. F = x 3 - 2 x 3y + x y 3 - 2 y 3
2. F = x ( x 2 - y 2 + xz ) - y :z
3. F = x 7 - 2 x 6 + x 4 - 2 x 3
a r- 3 ó *> ■ * ' ) ’>
4. F = x - x y + x ' y - y + x ' - y
5. F = ( z - x - y ) ( 2 a - b ) - ( x + y - z ) ( a + 2b)
6. F = x n+p + x " y p + y mx p + y m+p
7. F = 3(m - n )3 (m + n) - 3(in + n )3 (ni - n) - 111(111 + n)(m - 11)
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
8. F = p ( q 2 + r 2) + q ( r 2 + p 2)
9. F = m n ( x : - y 2) + x y ( n r - n 2)
10. F = (m + 2)(m + 3)(m + 4) + (m + 3)(m + 4) + (m + 4)
11. F = x yy x + x y + x y+1 + y x+1
12. F = x m+a + x " ’y b + x ay n + y n+b + z px a + z py b
Identidades
13. F = (3x + y ) 2 - ( 3 y - x ) 2
14. F = (ax - 3 b )2 - ( b x - 3 a )2
15. F = x 6 - x 2 - 8 x - 1 6
16. F = x 7 + a 3x 4 - a 4x 3 - a 7
17. F = 1 + 3 a 2 - 3a - a 3
18. F = x ' y 2 + y Jz : - x ' z 2 - y 5
19. F = m 2 + 2m + m n + n + 1
20. F = (1 + m x ) 2 - (m + x ) 2
21. F = 8 - 1 2 a 2 - 6 a 4 + a ó
22 F = x 2 + 4 x y + 4 y + 2 x + 4 y 2
Aspa simple
23. F = 8 x 2 + 1 0 x - 3
24. F = 1 5 x 4 + 2 x 2 - 8
25. F = 5 x 6 - 1 4 x 3 - 3
26. F = 4 a 4b - 4 a 3b 2 - 24a 2b 3
27. F = 1 2 ( x - y ) 2 + 1 3 ( x - y ) - 4
28. F = 6 x 2 + 1 9 x y + 1 5 y 2
29. F = x 2a+4 + 5 x a+4 - 5 0 x 4
30. F = ( x - 1 ) 4 + ( x - l ) 2 - 6
31. F = 4 x 2m+2- 4 x m+2- 3 x 2
32. F = 3 2x+2- 3 x+1- 3 0
Regla de Ruffini
33. F = x 3 - 3 x 2 - x + 3
34. F = x 3 + 2 x 2 - x - 2
35. F = x 3 + 6 x 2 + 1 l x + 6
36. F = x 4 + 3 x 3 - 3 x 2 + 3 x - 4
37. F = x 5 + 4 x 4 - 1 0 x 2 - x + 6
38. F = x 3 + 6 x 2 + 1 5 x + 14
39. F = 2 x 3 - 5 x 2 - 4 x + 3
40. F = 1 2 x 3 + 1 6 x 2 + 7 x + 1
41. F = 2 x 5 - x 4 - 1 0 x 3 + 5 x 2 + 8 x - 4
42. F = 1 2 x 5 - 8 x 4 - 1 3 x 3 + 9 x 2 + x - l
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
43. F = 8 x 3 - 1 2 x 2 + 6 x - 6 5
44. F = 3 0 x 3 + 1 9 x 2 - 1
Cam bio de variab le o agrupaciones convenientes
45. F = (x - 3 )(x - 2 ) (x + l ) ( x + 2) - 1 2
46. F = ( x + l ) ( x + 2 )(x + 3 )(x + 4) +1
47. F = ( x - 2 )(x + 3 )(x + 2 )(x - 1 ) + 3
48. F = (x + 1 )2 ( x - 3 )(x + 5) + 63
49. F = -1 0 + x ( x - 3 ) ( x - 2 )(x + 1)
50. F = (x + l ) ( x - 2 ) (x + 3 )(x - 4) + 24
51. F = ( x : + x + l ) 2 + 3 x 2 + 3 x - 1 5
52. F = ( x - l ) ( x + 2 )(x - 3 )(x - 6) + 7 x 2 - 2 8x +1
53. F = ( x - 2 ) 2( x 2 - 4 x + 6 ) - 1 5
54. F = ( x 2 + x ) ( x : + 5 x + 6) + ( x 2 + 3 x + 1 )2 +1
Quita y pon o reducción a d iferencia de cuadrados
55. F = x 4 + x 2+ l
56. F = m 4 + m 2n 2 + n 4
57. F = m 4 + 2 n r n 2 + 9 n 4
58. F = x 8 - 1 2x4 + 1 6
59. F = 4 x 4 + 3 x 2y 2 + y 4
60. F = x 4 + 2 x : + 9
61. F = x 4 + 4 y 4
62. F = a4b 4 + 64c4
63. F = x 4 + 5 x : y 2 + 49y4
64. F = x 4 + y 4 - 2 7 x 2y 2
Sum as y restas especiales
65. F = a 5 + a + l
66. F = x 5 + x - 1
67. F = x 7 + x 5 - 1
68. F = (a + 1)5 + a + 2
69. F = (m + 1)5 + m
70. F = x 5 + x 4 +1
71. F = x ' ° + x 2 + 1
72. F = m 10 + m s +1
73. F = x s - x + 1
74. F = x ’° + x 2 - 1
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DAVID GONZÁLES LÓPEZ
Factorizar y s im plificar
75 . E = ( i . + y ) 4 - ( * - y ) 4
76. E =
8x 3y + 8xy3 
(x + y) (x3 - y 3) + ( x - y ) ( x 3+ y 3) 
x 4 - /
77. E = (—r — — — ------) ( X , 12X 64 )
x - - 2 4 x + 128 x - - 4 x - 3 2
x 3 - x y - y - 1
78. E =
79. E =
80. E
81. E =
82. E =
83. E -
84. E =
85. E =
86. E -
87. E =
88. E =
89. E =
90. E =
x' - x y - 2 x + y + l
a 3 +2ab + b 3- c 3 a 3- 2 a c + c 3- b