TRIGONOMETRIA_01_ANGULO TRIGONOMETRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

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TRIGONOMETRÍA 
 
SEMANA 01: ANGULO TRIGONOMETRICO Y 
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES 
01. De la figura mostrada, calcule 
𝛽
𝛼
 
A) 
61
3600
 
B) 
62
3600
 
C) 
63
3600
 
D) 
64
3600
 
E) 
65
3600
 
CEPRE_2018-I 
 
02. De acuerdo al gráfico, calcule b 2c
a 2b
+
+
 si 
además OB es bisectriz del ángulo AOC 
A) –6 
B) –4 
C) –3 
D) –2 
E) –1 
 
03. Determine el complemento de α, si 

 = + − grad 40 1
5
 
A) 9
180
 B) 
18
 C) 
10
 
D) 19
180
 E) 
9
 PARCIAL_2011-I 
 
04. La medida de un ángulo en el sistema 
sexagesimal es 𝑥𝑦̅̅ ̅° 𝑧𝑤̅̅̅̅ ’ y la medida del mismo 
ángulo en el sistema centesimal es 50g 50m 
Calcule: θ = 
x+y
z+w
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
05. Sabiendo que: 28’21’’ = 52mxs. Calcular x 
A) 45 B) 48 C) 50 
D) 52 E) 54 CEPRE_2018-II 
 
06. Si se cumple que: 
g g
m
6k 36 6 18k'
9'40
−  −
= 
Entonces el valor de k es: 
A) 1 B) 3 C) 6 
D) 8 E) 10 
07. En un nuevo sistema de medición angular, 
un ángulo de α grados sexagesimales mide α–3. 
Si un ángulo de π radianes mide 120 en el nuevo 
sistema, Calcule α–3 
A) 3 B) 6 C) 9 
D) 12 E) 15 
 
08. Si m y n son los números de minutos 
sexagesimales y minutos centesimales 
respectivamente que mide un ángulo α, siendo 
en el sistema radial π/20 rad. Halle n–m 
A) 410 B) 420 C) 440 
D) 460E) 480 PARCIAL_2010-I 
 
09. Si A representa la 40ava parte de un minuto 
centesimal y B representa la 600 ava parte de 
un segundo centesimal, calcule el valor 
aproximado de 
A 54B
A 54B
+
−
 
A) 1,01 B) 1,03 C) 1,05 
D) 1,07 E) 1,09 
 
10. Si se sabe que 25 grados de un nuevo sistema 
P equivalen a 30°, Calcule una fórmula de conver- 
sión entre el sistema P y el sistema radial R. 
A) P R
180 25
=

 B) P R
150
=

 C) P R
30
=

 
D) P 2R
150
=

 E) P 2R
180
=

 CEPRE_2005-II 
 
11. Si la razón de proporción de los 3 términos 
de la forma general de conversión de sistemas 
es igual al número de minutos sexagesimales 
contenidos en un ángulo disminuido en 10799. 
Calcule dicho ángulo en radianes 
A) 
9
 B) 
3
 C) 
2
 
D) π rad E) 2π 
 
12. Al medir un ángulo generado en el sentido 
antihorario se observa que los números que 
representan sus medidas en los sistemas con-
vencionales se relacionan en la forma siguiente: 
el doble del menor número más el número 
intermedio es 90 + π. Calcule la medida de 
dicho ángulo en radianes. 
A) π/8 B) π/4 C) π/2 
D) 3π/4 E) π 
 
13. Los números que representan la medida de 
un ángulo en los sistemas sexagesimales y 
centesimales son x100 y x100 + 1 respectiva-
mente. Calcule el valor del complemento del 
ángulo, expresado en radianes. 
α' 
α'’ 
β° 
O 
A B 
C 
D 
a° c° 
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A) 
7𝜋
20
 B) 
8𝜋
20
 C) 
9𝜋
20
 
D) 
10𝜋
22
 E) 
11𝜋
23
 
 
14. Si S y C representan los números de grados 
sexagesimales y centesimales que contiene un 
ángulo, los cuales verifican: 
S = 45(𝑥7 +
1
5
) y C = 20(𝑥7 +
1
2
) 
Calcule la medida de dicho ángulo en radianes. 
A) π/2 B) π/5 C) π/10 
D) π/15 E) π/2 0 CEPRE_2018-II 
 
15. Sean S°; Cg y Rrad las medidas de un ángulo 
en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial 
respectivamente, si 
𝑆+𝑅
𝜋+180
+
𝑆+3𝐶
260
+
𝑅–2𝐶
𝜋–400
= 2 
Calcule el número de grados centesimales de 
dicho ángulo. 
A) 60 B) 70 C) 50 
D) 90 E) 80 CEPRE_2019-II 
 
16. Sean S y C los números que representan la 
medida de un mismo ángulo en los sistemas 
sexagesimal y centesimal. Si se cumple 
(
2𝑆
𝑚 − 𝑛
)
𝑔
= (
3𝐶
𝑚 + 𝑛
)
°
 
Calcule el valor de 506[
1
11
(
𝑚
𝑛
) –
1
𝜋
] 
(Considere π= 
22
7
) 
A) –9 B) –7 C) –5 
D) –3 E) –1 CEPRE_2018-I 
 
17. Si S y C representan los valores de un 
ángulo en grados sexagesimales y centesimales 
respectivamente y se cumple que: 
C2 + S2 = 2C3 – 5 SC2 + 4S2C – S3 – 2SC 
Calcule el valor de C 
A) 
361
11
 B) 
3111
11
 C) 
3610
11
 
D) 
3670
11
 E) 
3680
11
 
 
18. Si el número de grados centesimales de un 
ángulo es al número de grados sexagesimales 
de su complemento: como 5 es a 3; calcule la 
medida del ángulo, en radianes 
A) π/9 B) 2π/9 C) π/4 
D) 3π/10 E) 2π/5 CEPRE_2017-II 
 
19. Sean dos ángulos, el primero mide p grados 
centesimales y el segundo q grados 
centesimales. La diferencia numérica de estas 
medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el 
sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal 
como estaban medidos originalmente son: 
A) 30 y 15 B) 45 y30 C) 60 y 45 
D) 475 385y
6 6
 E) 90 y 75 
 
20. Calcule la medida en el sistema sexagesimal 
de un ángulo agudo, si en la ecuación 
9R 4
5
R

+ =
 
R es el número de radianes de dicho ángulo. 
A) 53 B) 60 C) 70 
D) 75 E) 80 
 
21. Si S, C y R indican el número de grados sexa-
gesimales, número de grados centesimales y 
número de radianes de un mismo ángulo, y 
cumplen 
2S 4C 6R 3R C 57 5
3R C 57 2S 4C 6R 2
+ + + +
+ =
+ + + +
 
 2S+3R+3C > 57 
Calcule el número de radianes del ángulo que 
cumple dicha condición 
A) 3π/20 B) 7π/40 C) π/5 
D) 5π/18 E) 3π/10 
 
22. Dadas las condiciones: 
SC = CS … (1) 
y
x
x 20R
y
=

 … (2) 
Donde S, C y R son los números de grados 
sexagesimales, grados centesimales y radianes 
de un ángulo respectivamente, calcule (x – y) 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 
 
23. En un triángulo isósceles la medida de los 
ángulos iguales está dada en grados sexage-
simales por 4x + 
9
x 3−
; x > 3. Calcule el mayor 
valor que asume la medida del tercer ángulo en 
un nuevo sistema cuya unidad es la 40ava parte 
del ángulo de media vuelta. 
A) 88/3 B) 44/3 C) 51/2 
D) 98/3 E) 91/2 
 
24. Sea θ la medida en radianes de un cierto 
ángulo, tal que θ = p(4 – p), p ∈ ℝ. Entonces, 
calcule el mayor valor que puede tomar el 
ángulo θ en radianes. 
A) 1 B) 2 C) 4 
D) 6 E) 8 
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A O 
B 
C 
D 
LONGITUD DE ARCO Y AREA DE UN SECTOR 
CIRCULAR 
25. En cierto instante de un movimiento sísmi-
co un edificio gira 
m s12 73 cuando la parte más 
alta del edificio recorre 3 cms ¿cuántos metros 
de altura tiene el edificio? 
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 16 E) 17 
 
26. Se tienen dos circunferencias concéntricas, 
en las que se inscribe un ángulo central deter-
minando longitudes de arco sobre dichas 
circunferencias de 80 cm y 45 cm. Calcule 
r
16 2
R
− ; siendo r y R los radios (r < R) 
A) 7 B) 8 C) 9 
D) 10 E) 11 CEPRE_2005 
 
27. En la figura, m<ABC=
30

(x+2)°, LAC= (3x‒
4)m y el radio de la circunferencia tiene por 
medida 3m; calcule x. 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
28. En la figura mostrada con centro O, A y B, se 
trazan los arcos de circunferencia 𝐴�̂�, 𝐶�̂� y 𝐷�̂� 
respectivamente. Calcule el perímetro de la 
región sombreada (en u), si OA = 5u 
A) 
15𝜋
6
 
B) 
7𝜋
4
 
C) 
25𝜋
6
 
D) 
35𝜋
3
 
E) 
82𝜋
5
 CEPRE_2018-I 
 
29. Calcular el valor del ángulo “θ” (en radia-
nes) mostrado en la figura; si: L1 = 4n y L3 = 8n 
“O” centro de los sectores circulares 
A) 1 rad 
B) 2 rad 
C) 
2
3
rad 
D) 
3
2
rad 
E) 
1
2
rad 
30. Calcule A = 1θ− ‒  
A) ‒1 
B) 2 
C) 1/2 
D) ‒2 
E) 3 
 
31. De la figura AOB, COD y EOF son sectores 
circulares, calcule: m–1 + n–1 
A) 
1
4
 
B) 
1
2
 
C) 1 
D) 
3
2
 
E) 2 
 
32. Determine el valor de θ a partir del gráfico 
mostrado 
 
 
 
 
 
 
 
A) 3 1− B) 3 1+ C) 2 1+ 
D) 2 1− E) 2 3− CEPRE_2005 
 
33. Calcular el menor valor entero posible de R, 
según el gráfico. 
A) 9 
B) 5 
C) 1 
D) 3 
E) 2 
 
34. Si las medidas de los arcos AD, BE y CF son 
números que están en progresión geométrica 
de razón 2 y OA 2= , calcule el máximo valor 
entero de la suma de las longitudes de dichos 
arcos. 
 
 
 
 
 
A) 83 B) 84 C) 85 
D)86 E) 87 
A 
C 
B 
O 
B 
D 
F 
E 
C 
A 
n m 2 
 
 
O 
θ θ 
θ 
L1 
L2 
L3 
n n 
rad 
rad 
rad 
a+b 
a 
θrad 
b 
a 
2a b 
b 
7
R
R
O 
A 
D 
B 
E 
C 
F 
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35. En la figura mostrada AOB es un sector 
circular, donde OA = OB = 8 cm, 𝐿𝐴�̂�= Lcm, 
m∠AOB=75g y el área de dicho sector es S cm2, 
calcule 3L + 2S 
A) 21π 
B) 24π 
C) 27π 
D) 30π 
E) 33π 
CEPRE_2019-I 
 
36. Un conejo, en el campo, se encuentra 
amarrado en una esquina de una cabaña a una 
cuerda de 80 cm de longitud. Calcule el área (en 
m2) en el que se puede desplazar. 
A) 0.8 B) 1.0 C) 1.5 
D) 1.8 E) 2.0 
37. En el gráfico se cumple que 31 2
SS S
2 3 4
= = 
donde: 
S1: Área del sector circular AOB 
S2: Área del trapecio circular ABCD 
S3: Área del trapecio circular CDFE 
Calcule: 
2 2
1 2
2
3
9
 +
 
 
 
 
A) 7/9 
B) 5/4 
C) 1/8 
D) 2/3 
E) 7 
CEPRE_2013-II 
 
38. De la figura mostrada AOB, COD y EOF son 
sectores circulares, donde el área de las 
regiones EOF, COD y AOB son: s, 3s, 6s, 
respectivamente. 
Si 𝑆𝐿𝐴�̂� = 4 unidades 
Calcule 𝐿𝐶�̂� + √3𝐿𝐸�̂� 
A) 2√2 
B) 3√2 
C) 4√2 
D) 5√2 
E) 6√2 
 
39. En los sectores AOB y COD. Si 𝐿𝐴�̂�= a √3u, 
OC = b, calcule m∠AOB 
A) a/5 
B) a/b 
C) a 
D) b 
E) ab 
40. Sean AOB, COD y EOF sectores circulares. Si 
la longitud del 𝐴�̂� = a; OE = a, Calcule el área 
de la región AOB si las áreas de las regiones 
EOF, ECDF y ABDC son iguales. 
A) 
a2√3
5
 
B) 
a2√3
4
 
C) 
a2√3
3
 
D) 
a2√3
2
 E) a2√3 
41. En la figura mostrada 1
2
A
A
= 4, longitud de 
𝐴𝐵⏜ = 4π cm. m∡ AOB = π/3. Calcule el área A0 
(en cm2) 
A) 
2

 
B) 
3
4

 
C) 
9
4

 
D) 
3
2

 
E) 
7
3

 PARCIAL_2015_I 
 
42. En la figura mostrada las áreas de las 
regiones ABCD y DOE son iguales, así mismo A 
y F son puntos medios de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐸̅̅ ̅̅ 
respectivamente. Si OG = 4 cm. Calcule el área 
del sector circular FOG (en cm2) 
A) 4π 
B) 2 π 
C) π 
D) π/2 
E) π/4 CEPRE_2019-I 
 
43. En la figura mostrada, la medida del ángulo 
central AOB es 60°, P, Q y T son puntos de 
tangencia, el radio del circulo inscrito esde 2u. 
Calcule S2 – S1 (en u2 ) 
A) 2π 
B) 3π 
C) 4π 
D) 5π 
E) 6π 
 
A 
D 
O 
E 
C 
A 
O 
B 
A 
F 
O 
E 
C 
D 
B 
A 
B 
C 
D
F 
O
F 
F 
E 
𝓁1 𝓁2 𝓁3 
2S S 
D 
B 
A 
C 
O 
b 
A 
B 
O
F 
x 
A0 A2 A1 
60° 
S1 
P 
A 
T 
B Q O 
O’ 
S2 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
O 
F 
B 
EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
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44. En la figura mostrada AOB y COD son 
sectores circulares tales que OB = 2BD. El 
sector circular AOE y el trapecio circular BECD 
tienen perímetros iguales, calcule el número de 
radianes del ángulo AOE 
A) 
𝜋+2
7
 
B) 
𝜋–2
7
 
C) 
2𝜋
7
 
D) 
5𝜋–4
14
 
E) 
2𝜋–3
14
 
CEPRE_2019-II 
 
45. En la semicircunferencia de centro O, si OD 
= DC = 2,5 u entonces al calcular aproximada-
mente el área de la región sombreada se 
obtiene (en u2) 
A) 2,32 
B) 4,32 
C) 6,32 
D) 8,32 
E) 10,32 
PARCIAL_2014-I 
 
46. Si a un trapecio circular definido por dos 
círculos concéntricos y dos radios, le quintupli-
camos el radio mayor, le cuadruplicamos el ra-
dio menor y le dividimos por la mitad el ángulo 
formado por los radios, el área del nuevo 
trapecio circular formado es igual a trece veces 
el anterior. Calcule la razón entre los radios 
mayor y menor del trapecio inicial. 
A) 7 B) 10 C) 13 
D) 15 E) 17 PARCIAL_2016-I 
 
47. Si el volumen y la altura de un cono circular 
recto son 96π cm3 y 8 cm, respectivamente; 
entonces el ángulo (en radianes) del sector 
circular que genera la superficie lateral de 
dicho cono es: 
A) 
12
11

 B) 
10
9

 C) 
8
7

 
D) 
6
5

 E) 
4
9

 PARCIAL_2015-II 
 
 
 
48. En la figura mostrada AOB y COD son 
sectores circulares, donde AC = BD = 2 cm; 
AB
 
= (3x + 1) cm; 
CD
= (2x + 3) cm. Calcule el área 
(en cm2) del trapecio circular ABDC cuando x 
adopta su mayor valor entero 
A) 82 
B) 74 
C) 70 
D) 64 
E) 58 
CEPRE_2014-II 
 
49. Se tiene una malla de longitud L con la que 
se desea cercar un terreno que tiene la forma de 
un trapecio circular. Calcule el área máxima del 
terreno que se puede cerrar con dicha malla. 
A) L2 B) 
𝐿2
2
 C) 
𝜋𝐿2
4
 
D) 
𝜋𝐿2
8
 E) 
𝐿2
16
 
 
50. En un trapecio circular su perímetro P es 
constante y su área es máxima. Si el producto de 
las longitudes de sus dos arcos es P2/32, calcule 
el ángulo central, en radianes 
A) 2 /2 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 2 
 
PROF: RAUL ALEJO 
 
 
 
B O 1 D 
C 
E 
A A 
C 
O 
D 
B 
A O B 
D 
C