Tema 26 - Potenciación

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79UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 26
POTENCIACIÓN
ARITMÉTICA
I. POTENCIACIÓN
A. Definición
Es una operación matemática que consiste en mul-
tiplicar un número por si mismo varias veces.
Así tenemos: n
nfactores
P K x K x K x ... x K K 
Donde: 
 
 
 
 
+
+
K : Base ( K )
n : Exponente ( n )
P : Potencia perfecta de grado "n "




Observación
Un mismo número puede ser potencia perfecta
de varios grados. Tal es el caso del número 64.
B. Teorema fundamental
Para que un número entero positivo sea potencia per-
fecta de grado "n" es condición necesaria y suficiente
que los exponentes de los divisores primos, en su des-
composición canónica, sean múltiplos de "n".
Ejemplos:
Observación:
Un número es potencia perfecta de varios grados si
y solo si es potencia perfecta del MCM de dichos
grados.
 
II. CASOS PARTICULARES
A. Potencia perfecta de grado 2 o cuadrado perfecto
o o o
2 2 2 2K a x b x c ....(D.C.)
Observación: Un número es cuadrado perfecto si
y solo si tiene una cantidad impar de divisores.
B. Potencia perfecta de grado 3 o cubo perfecto
o o o
3 3 3 3K a x b x c .... (D.C.)
III. CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLU-
SIÓN DE CUADRADOS Y CUBOS PER-
FECTOS
Según su última cifra:
Concluimos que: Ningún número cuadrado perfecto
puede terminar en cifras 2, 3, 7 u 8.
A. Por la terminación en cifras cero
• Para un cuadrado perfecto:

o
2 2
n cifras
abc...d 0...0 K n 2 abc...d N    
De donde:
 
2
2
2mcifras mcifrasN
Si abc...d 0...0 K K N 0...0  
DESARROLLO DEL TEMA
80UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
POTENCIACIÓN
TEMA 26
Exigimos más!
• Para un cubo perfecto:

o
3 3
n cifras
abc...d 0...0 K n 3 abc...d N    
De donde:
 
3
3
ncifras mcifrasN
Si abc...d 0...0 K K N 0...0  
B. Por la terminación en cifras 5
• Para un cuadrado perfecto:
2a...bc5 K c 2 a...b N(N 1)     
Además: b 0 b 2 b 6    
De donde: 2
N(N 1)
Si a...bc5 K K N5

  
• Para un cubo perfecto:
3a...bc5 K (c 2 c 7)    
Problema 1
¿Cuantos números de tres cifras son
potencias perfectas de grado 3?
A) 6 B) 5 C) 8
D) 9 E) 4
Resolución:
3
3
5 valores
abc k
100 abc 999
100 k 999
4,... k 9,...
k :5; 6;...;9

 
 
 

Respuesta: B) 5
Problema 2
Sea el número: N
A) 12 B) 16 C) 17
D) 18 E) 20
Resolución:
35N N k
13
 
318 N k
13

N
2
2 1 3 32 3 (2 3 13 m ) k
13


   
2 1
minimoN 2 3 13 156
(Sumade cifras) 12
 

 
Respuesta: A) 12
Problema 3
La señorita Cynthia sale de compras y
lleva una cantidad de dinero en soles
que es un cubo perfecto y capicúa de
tres cifras, al llegar a una óptica de
inmediato compra unos lentes de con-
tacto con una cantidad de dinero que
es el mayor número de 2 cifras que
tenga una cantidad impar de diviso-
res, luego pasa a otra tienda y se ena-
mora de una colonia cuyo precio es
un número de 2 cifras que es una po-
tencia perfecta de grado 2 y 3 a la vez
y la compra. Como a ella le gustan las
matemáticas, piensa por un momento y
dice si a la cantidad de dinero que aun
me queda le extraigo su raíz cuadrada
el residuo por exceso sería de la forma
ab. ¿Cuántos números de la forma
(7)xyxy existen y que sean potencias
perfectas del mismo grado que ab?
A) 3 B) 1
C) 7 D) 4
E) 2
Resolución:
3mnm k
entonces :mnm 343
Lentes de contacto: 2wz 9 81 
Colonia:
2 3 6 6pq pq 2 64        
Le queda :343 81 64 198  
198 14,...
2 3
excesor 15 198 27 ab     
(cubo perfecto)
(7)xyxy dado que del mismo grado que ab.
Entonces:
3
(7)xyxy  
Por descomposición en bloques:
3
(7)50 xy  
(7)xy
2 1 1 2 3 35 2 (5 2 )  

   
1 2 3
(7)xy 5 2  
(7) (7) (7)10 xy 66 
1 2 3
(7) (7)10 5 2 66   
1(único valor) 
Respuesta: B) 1
C. Por criterios de divisibilidad
• Con respecto al módulo 4: Para todo K   , se
cumple que (en forma exclusiva):
• Con respecto al módulo 9:
Para todo K   , se cumple que (en forma
exclusiva):
problemas resueltos