SEM 14 - ECUACIONES 2DO GRADO

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UNIDAD 5. Ecuaciones e Inecuaciones
de Primer y Segundo Grado.
Desigualdades
Se llama ecuación
diofántica a cualquier
ecuación algebraica, de
dos o más incógnitas,
cuyos coe�cientes
recorren el conjunto de
los números enteros, de
las que se buscan
soluciones enteras.
5.3 Ecuaciones Cuadráticas
Es toda igualdad condicional o proposición
abierta que se reduce a la forma general sigu-
iente:
ax2 + bx + c = 0, ∀a 6= 0
5.3.1. Métodos de Solución
5.3.1.1. Por factorización
5.3.1.2. Completando cuadrados
Dada la ecuación:
x2 − 6x− 3 = 0
x2 − 6x + (−3)2 − (−3)2 − 3 = 0
(x− 3)2 = 12
x− 3 = ±
√
12
x = 3±
√
12
5.3.1.3. Por fórmula general
Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0 tenemos:
x1 =
−b−
√
b2−4ac
2a y x2 =
−b+
√
b2−4ac
2a
5.3.2. Naturaleza de las Raíces
La discusión de las raíces x1 y x2 de la
ecuación cuadrática, depende de la cantidad
∆ = b2�4ac
Se denomina discriminante o invariante car-
acterístico.
Primer caso: ∆ = b2�4ac > 0,
Las raíces son reales desiguales,
* si ∆ = k2 (cuadrado perfecto), raíces
racionales.
* Si ∆ 6= k2 , raíces irracionales conjugadas:
x1 = m +
√
n y x2 = m−
√
n
Segundo caso: ∆ = b2�4ac = 0
Las raíces son reales iguales
x1 = x2 =
−b
2a
Tercer caso: ∆ = b2�4ac < 0,
No existe solución en el conjunto de los
números reales.
1
GESTIÓN
5.3.3. PROPIEDADES
a) Suma de raices (S)
S = x1 + x2 =
−b
a
b) Producto de raices (P)
P = x1x2 =
c
a
c) Diferencia de raices
| x1 − x2 |=| x2 − x1 |=
√
b2−4ac
a
NOTA
* Raices simétricas (contrarias, opuestas)
suma de raices, cero.
x1 + x2 = 0
* Raices Reciprocas (inversas)
producto de raices, la unidad
x1x2 = 1
5.3.4. Reconstrcción de una Ecuación
de Segundo Grado
x2 − Sx + P = 0
donde:
S = x1 + x2 y P = x1x2
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GESTIÓN
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
Semana 13
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. ¾Para qué valores de k la ecuación:
x2 + 3x + k − 4 = 0
No tienes raíces reales?
Solución. :
Respuesta: k > 25/4
2. ¾Para qué valores de k la ecuación:
x(2x + 3) + k = 5
Tienes raíces reales?
Solución. :
Respuesta: k < 49/8
3. Si la ecuación en �x�:
nx2 + (2n�1)x + n�2 = 0
Tiene raíces iguales, calcular el valor de
�n�.
Solución. :
Respuesta: −1/4
4. Calcular la suma de coe�cientes de una
ecuación de segundo grado, si una de sus
raíces es:
7−
√
2
Solución. :
Respuesta: 34
5. Determinar el valor de �m� para que las
raíces de la ecuación sean opuestas:
9mx2 + 7(m�1)x− 1 = 0
Solución. :
Respuesta: −1
6. Las raíces de la ecuación:
3x2 + 11x + 2 = kx− k
son recíprocas. ¾Cuál es el valor de la
constante �k�?
Solución. :
Respuesta: 1
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GESTIÓN
7. Una ecuación de segundo grado con una
incógnita tiene una solución igual a 3 y el
término independiente vale 15. Calcular
la ecuación.
Solución. :
Respuesta:
8. Si la ecuación:
x2 − 6x + n + 1 = 0
Admite como raíces a x1 ∧ x2, tal que:
1
2x1
+ 12x1 =
3
5
Encontrar el valor de n.
Solución. :
Respuesta:
9. Determine la solución de la siguiente
ecuación
(x2 − 1)
(x− 1)
+
2
3
=
98
3
Solución. :
Respuesta:
10. Una pieza rectangular es 4 cm más larga
que ancha. Utilizando dicha pieza como
base, ella se construye una caja de 840
cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de
lado en cada esquina y doblando los bor-
des. Calcular las dimensiones de la pieza
rectangular.
Solución. :
Respuesta:
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GESTIÓN
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Determinar los valores que debe tener �k�
en la ecuación:
9x2 + k = 4
para que las soluciones sean números
reales.
Solución. :
ordenando la ecuación
9x2 + 0x + (k − 4) = 0
raices reales
4 = b2 − 4ac ≥ 0
02 − 4(9)(k − 4) ≥ 0
k − 4 ≤ 0 ⇒ k ≤ 4
Respuesta: k ≤ 4
2. Calcular el valor de m sabiendo que las
raíces de la ecuación:
(m + 3)x2 + 2m = (2m�5)x + 10,
son recíprocas.
Solución. :
Ordenando
(m + 3)x2 − (2m�5)x + (2m− 10) = 0
a = m + 3, b = −(m− 5) y c = 2m− 10
Por propiedad: x1x2 = ca
1 = (2m−10)m+3 ⇒ m = 13
Respuesta: m = 13
3. Calcular m para que la ecuación:
mx2+(2m�1)x+m = 0 tenga raíces igua-
les.
Solución. :
Tenemos
a = m, b = 2m− 1 y c = m
raices reales. 4 = 0
b2 − 4ac = 0
(2m− 1)2 − 4(m)(m) = 0
4m2 − 4m + 1− 4m2 = 0
m = 14
Respuesta: m = 14
4. Determinar los valores que debe tener �k�
en la ecuación:
2x2 + k = 4− 2x
para que las soluciones, no sean números
reales.
Solución. :
Respuesta: k > 92
5. Calcular el valor de m sabiendo que las
raíces de la ecuación:
mx2 + 2mx = (m + 2)x− 7
son simétricas.
Solución. :
Respuesta: m = 2
6. Calcular m para que la ecuación:
x2 − 2 = 3mx− 11 tenga raíces iguales.
Solución. :
Respuesta: m = ±2
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NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
TAREA DOMICILIARIA
1. Dada la ecuación:
x2�6x�9 = 0
si sus raíces son r y s, calcular: r2 + s2
Respuesta: 54
2. Calcular el valor de m sabiendo que las raíces de la ecuación:
(m)x2 + 2mx = 5x− 6
son simétricas.
Respuesta: m = 5/2
3. Se corta un alambre de 12m de longitud en dos partes y cada una de ellas se dobla para
formar un cuadrado. Si el ´area total comprendida es de 5m2. Entonces la longitud del
trozo del alambre mayor en metros es.
Respuesta:
4. Señale el valor positivo de m para que la ecuación:
2x2 + (m + 1)x + 54 = 0
tenga una raiz que sea el triple de la otra.
Respuesta:
5. Un jard�n rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho esta rodeado por un camino de
arena uniforme. Halle la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
Respuesta:
6. Si el ingreso (R) semanal por la venta de docenas de manzanas es:
R = x(2 − x) en millones de dólares, y el costo (C) para los productores de manzana,
esta dado por C = 0, 5x + 0, 25 en millones de dolares. ¾Cuantos millones de docenas de
manzanas deberan vender los productores para asegurar una utilidad de 0,25 millones?
Respuesta:
7. Calcular la suma de coe�cientes de una ecuación de segundo grado, si una de sus raíces es:
−5 +
√
5
Respuesta:
8. Determine la solución de la siguiente ecuación
(x2 − 4)
(x + 2)
+
2
3x
=
56
3x
Respuesta:
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