2016-1C Resuelto de problema de parcial

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Problema de parcial 20160511 
El torneo de fútbol argentino AFA se compone de 30 equipos con 11
jugadores cada uno. Cada equipo disputa 16 partidos, cada uno de ellos de
90min de duración (dos tiempos de 45 minutos).
Los jugadores de fútbol reciben amonestaciones (tarjetas) con una ley que
puede modelarse por un promedio de 1 amonestación cada 100min de juego.
Si en un partido el mismo jugador recibe dos tarjetas (la amarilla primero y
la roja luego) debe abandonar el partido y además no se le permite jugar el
partido siguiente.
Suponga que si un jugador termina un partido con solamente una tarjeta
amarilla (una amonestación), la misma se olvida y no se tiene en cuenta para
el partido siguiente.
A) Calcule la probabilidad de que un jugador sea expulsado en un partido
cualquiera.
B) Calcule la probabilidad de que en un partido cualquiera a un equipo le
expulsen el arquero y el delantero central.
C) Calcule la probabilidad de que en un partido cualquiera, un equipo
reciba exactamente tres amonestaciones pero que no tenga ningún
expulsado.
D) Calcule la probabilidad de que un jugador específico (al cual el técnico
lo quisiera tener siempre de titular) sea expulsado únicamente en el primer y
en el último partido del torneo.
Resolución A)
Existe un proceso tipo Poisson donde el evento es recibir una amonestación, el
continuo es el tiempo jugado, y la tasa de eventos es λ=0,01 amonestación /minuto .
Pero hay que tener en cuenta una salvedad, cuando se recibe la segunda
amonestación en un mismo partido (si se recibe) el continuo deja de fluir porque
el jugador es expulsado.
Se define el evento:
A={''Ser explusado en un partido''} (1)
Y se define la V.A.:
T : V.A. tiempo jugado hasta obtener la segunda amonestación (2)
T→Γ(t k=2; λ=0,01) (3)
f T (t)= λ
k
Γ(k )
⋅t k−1⋅e−λ⋅t=
0,012
(2−1) !
⋅t2−1⋅e−0,01⋅t=
1
10000
⋅t⋅e−0,01⋅t ; t≥0 (4)
Entonces la probabilidad pedida se calcula como:
P(A)=P(T≤90)= ∫
t=0
t=90
1
10000
⋅t⋅e−0,01⋅t (5)
P(A)=0,2275 (6)
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Problema de parcial 20160511 
Resolución A método alternativo)
Se define la V.A.:
Y : V.A. cantidad de amonestaciones recibidas en 90min. de continuo (7)
Entonces Y tiene un modelo probabilístico:
Y→POISSON (k= y t=90 ;λ=0,01) (8)
pY ( y)=
e−λ⋅t⋅(λ⋅t )k
k !
=
e−0,01⋅90⋅(0,01⋅90)y
y !
=
0,4065⋅0,9y
y !
; y=0,1,2,… (9)
Así expresada, la probabilidad pedida se calcula como:
P(A)=P(Y≥2)=1−P(Y=0)−P(Y=1) (10)
P(A)=1−
0,4065⋅0,90
0 !
−
0,4065⋅0,91
1!
(11)
P(A)=0,2275 (12)
Resolución B)
Se puede plantear un proceso dicotómico tipo Bernoulli donde el experimento
es tomar un jugador y ver si es expulsado en un partido (n=11) , y se define
éxito como ser expulsado de forma que la probabilidad de éxito será
P(''e'')=P(A)=0,2275 .
Sin embargo la V.A. tipo Binomial no modela este caso ya que no se pregunta
la probabilidad de tener dos expulsados cualesquiera sino dos expulsados
específicamente el arquero y el delantero central.
Se define el evento:
B :{''Que expulsen al arquero y al delantero central en un partido''} (13)
Note que de los restantes nueve jugadores no se pide ninguna condición, de
forma que si se expulsaran a los once jugadores del equipo se estaría en un caso
favorable para B . El espacio utilizado para este punto ΩB solamente considera
al arquero y al delantero central.
ΩB={
''No expulsan ni al arquero ni al delantero central'';
;''Expulsan solamente al arquero'';
;''Expulsan solamente al delantero central'';
;''Expulsan al arquero y al delantero central''
} (14)
Se procede a calcular por definición.
P(B)=P(''Que expulsen al arquero y al delantero central en un partido'') (15)
P (B)=P (''Que expulsen al arquero'')⋅P (''Que expulsen al delantero central'' ''Fue expulsado el arquero'') (16)
Dado que cada jugador tiene independencia del resto respecto de sus faltas,
incluido el delantero central respecto del arquero, la probabilidad condicional es
igual a la probabilidad incondicionada.
P(B)=P(''Que expulsen al arquero'')⋅P(''Que expulsen al delantero central'') (17)
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P(B)=P(''e'')⋅P (''e'')=[P (A )]
2
=[ 0,2275 ]
2
(18)
P(B)=0,05176 (19)
Resolución C)
Lo primero que se debe notar es que el experimento “observar las
amonestaciones que tiene un jugador de un equipo” no es un experimento
dicotómico sino tricotómico. Hay una probabilidad de no recibir ninguna
amonestación, de recibir una, y de recibir dos y por lo tanto ser expulsado.
Definiremos entonces:
p0 : Probabilidad de que un jugador en un partido cualquiera no reciba
ninguna tarjeta.
p1 : Probabilidad de que un jugador en un partido cualquiera reciba una
amonestación.
p2 : Probabilidad de que un jugador en un partido cualquiera sea expulsado.
Así definidas, estas probabilidades pueden calcularse en función de la V.A. Y
definida en la resolución alternativa del punto a)
p0=P(Y=0)=
0,4065⋅0,90
0 !
=0,4065 (20)
p1=P(Y=1)=
0,4065⋅0,90
0 !
=0,3659 (21)
p2=P(Y≥2)=P(A)=0,2275 (22)
Note que en el caso de recibir dos amonestaciones el jugador es expulsado y
el continuo se interrumple. En el proceso Poisson ideal el continuo fluye
continuamente, por eso la probabilidad de recibir dos amonestaciones y ser
expulsado no se calcula como P(Y=2) sino como si el continuo no dejara de fluir
(incluso recibida la segunda amonestación) y el jugador pudiera recibir por
ejemplo 5 amonestaciones en el mismo partido P(Y≥2) .
Sea el evento:
C={''Un equipo recibe tres amonestaciones en un partido pero ningun expulsado''} (23)
El cálculo de P(C) se modela por una probabilidad multinomial, donde hay 11
experimentos multinomiales, 8 deben ser correspondientes al tipo p0 , 3 deben
corresponder a p1 , y 0 (ninguno) deben caer en el caso p2 . La probabilidad
multinomial para este caso particular toma la forma:
p(N0 ; N1 ;N 2)(
(n0 ;n1 ;n2)
p0 ; p1; p2)=
(n0+n1+n2)!
n0!⋅n1 !⋅n2 !
⋅p0
n0⋅p1
n1⋅p2
n2 (24)
Para este caso particular se calcula:
P(C)=
11!
8 !⋅3!⋅0!
⋅0,4065
8
⋅0,3659
3
⋅0,2275
0
(25)
P(C)=0,006035 (26)
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Resolución D)
Sea el evento:
D={''Ese jugador específico es expulsado unicamente en el primer y último partido''} (27)
La probabilidad pedida se puede calcular como:
P (D)=P(''Ser expulsado en el 1ro''∩''No ser expulsado en el 2do''∩…∩''Ser expulsado en el 16vo'' ) (28)
Todos estos eventos son independientes entre si a excepción de “No ser
expulsado en el 2do”. Resulta que el evento “No ser expulsado en el 2do dado
que fue expulsado en el primero” es un evento cierto. De hecho, si fue expulsado
en el primer partido, no juega el segundo partido y por lo tanto no puede ser
expulsado.
Como la probabilidad de ser expulsado un partido cualquiera es P(A) , la
probabilidad pedida queda:
P(D)=P(A)⋅1⋅P( Ā)⋅P ( Ā )⋅…⋅P( Ā)⏟
13 veces
⋅P(A)=(0,2275)2⋅(0,7725)13 (29)
P(D)=0,001805 (30)
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