Sesión_2

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VECTORES EN EL ESPACIO 
 
 
VECTORES 𝑹𝟑 
• En el espacio de tres dimensiones construimos un sistema de 
coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente 
ortogonales (x,y,z). El punto en el que estos ejes se cortan se llama 
Origen 
 
 
 
Por Componentes 
• El vector, si está en el origen, 
puede representarse mediante 
las coordenadas de su extremo 
final. 
 
 
• Si no está en el origen, el vector 
también puede representarse 
mediante la diferencia de las 
coordenadas de sus extremos 
 
REPRESENTACIÓN DE UN VECTORES 𝑹𝟑 
Por Coordenadas 
MODULO DE UN VECTOR EN 𝑹𝟑 
• Se halla el módulo aplicando dos veces el Teorema de 
Pitágoras 
VECTORES UNITARIOS EN 𝑹𝟑 
• Así como en el plano existen dos 
vectores unitarios 𝚤̂ y 𝚥̂ , en el 
espacio tenemos tres vectores 
unitarios a lo largo de los ejes x, y, 
y z y lo simbolizan con 𝚤̂ , 𝚥̂ y 𝑘�. 
• También, un vector unitario se 
caracteriza por que su longitud 
es la unidad y se define por: 
 
 
 
𝜇𝐴 =
𝑨
𝐴
 
 Dirección 
 sentido 
𝜇𝐴 = 1 
𝑨 = 𝐴𝑥�̂� + 𝐴𝑦�̂� +𝐴𝑧𝑘� 
𝜇𝐴 =
𝑨
𝐴 =
𝐴𝑥
𝐴 𝚤̂ +
𝐴𝑦
𝐴 𝚥̂ +
𝐴𝑧
𝐴 𝑘� 
 
COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR 
• Se llaman cosenos directores del vector 𝑨 a los cosenos de los 
ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un 
plano tridimensional se representan: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea el vector 𝑨 = 𝐴𝑥𝚤̂ + 𝐴𝑦𝚥̂ +𝐴𝑧𝑘� , determinar los cosenos directores 
 
 
 
 
COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR 
• Para determinar α, β y γ, vamos a considerar las proyecciones del 
vector A sobre los ejes x, y, z, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea el vector 𝑨 = 𝐴𝑥𝚤̂ + 𝐴𝑦𝚥̂ +𝐴𝑧𝑘� , los cosenos directores son 
 
 
 
 
 
 
Para sumar vectores en el espacio se debe conocer las 
comp0nente de los vectores a lo largo de cada eje. 
, 
OPERACIONES DE VECTORES EN EL ESPACIO 
𝑨 = 𝐴𝑥𝚤̂ + 𝐴𝑦𝚥̂ +𝐴𝑧𝑘� 
𝑩 = 𝐵𝑥𝚤̂ + 𝐵𝑦𝚥̂ +𝐵𝑧𝑘� 
𝑨 + 𝑩 = 𝐴𝑥 +𝐵𝑥 𝚤̂ + (𝐴𝑦+𝐵𝑦)𝚥̂ + (𝐴𝑧++𝐵𝑧)𝑘� 
𝑛𝑨 = 𝑛𝐴𝑥𝚤̂ + 𝑛𝐴𝑦𝚥̂ +𝑛𝐴𝑧𝑘� 
VECTOR POSICIÓN 
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