Ejercicios con Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadraticos

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Ejercicios con Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadraticos
Ejercicio 1:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 2x + y = 5
Ecuación 2: x^2 + y = 9
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 1
en la Ecuación 2:
2x + y = 5
y = 5 - 2x
Sustituyendo en la Ecuación 2:
x^2 + (5 - 2x) = 9
x^2 - 2x + 5 = 9
x^2 - 2x - 4 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos posibles valores para x: x = -1 y x
= 3.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 1, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = -1: 2(-1) + y = 5
-2 + y = 5
y = 7
Para x = 3: 2(3) + y = 5
6 + y = 5
y = -1
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (-1, 7) y (3, -1).
Ejercicio 2:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 3x + 2y = 10
Ecuación 2: x^2 + y^2 = 25
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 1
en la Ecuación 2:
3x + 2y = 10
2y = 10 - 3x
y = (10 - 3x)/2
Sustituyendo en la Ecuación 2:
x^2 + ((10 - 3x)/2)^2 = 25
x^2 + (100 - 60x + 9x^2)/4 = 25
4x^2 + 100 - 60x + 9x^2 = 100
13x^2 - 60x = 0
x(13x - 60) = 0
Esto nos da dos posibles valores para x: x = 0 y x = 60/13.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 1, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = 0: 3(0) + 2y = 10
2y = 10
y = 5
Para x = 60/13: 3(60/13) + 2y = 10
180/13 + 2y = 10
2y = 10 - 180/13
y = (130 - 180/13)/2
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (0, 5) y (60/13, (130 -
180/13)/2).
Ejercicio 3:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: x^2 + y^2 = 16
Ecuación 2: 2x + y = 4
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 2
en la Ecuación 1:
2x + y = 4
y = 4 - 2x
Sustituyendo en la Ecuación 1:
x^2 + (4 - 2x)^2 = 16
x^2 + 16 - 16x + 4x^2 = 16
5x^2 - 16x = 0
x(5x - 16) = 0
Esto nos da dos posibles valores para x: x = 0 y x = 16/5.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 2, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = 0: 2(0) + y = 4
y = 4
Para x = 16/5: 2(16/5) + y = 4
32/5 + y = 4
y = 4 - 32/5
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (0, 4) y (16/5, 4 -
32/5).
Ejercicio 4:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: x^2 + y^2 = 25
Ecuación 2: 3x + 4y = 10
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 2
en la Ecuación 1:
3x + 4y = 10
4y = 10 - 3x
y = (10 - 3x)/4
Sustituyendo en la Ecuación 1:
x^2 + ((10 - 3x)/4)^2 = 25
x^2 + (100 - 60x + 9x^2)/16 = 25
16x^2 + 400 - 240x + 36x^2 = 400
52x^2 - 240x = 0
x(52x - 240) = 0
Esto nos da dos posibles valores para x: x = 0 y x = 240/52.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 2, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = 0: 3(0) + 4y = 10
4y = 10
y = 10/4
Para x = 240/52: 3(240/52) + 4y = 10
720/52 + 4y = 10
4y = 10 - 720/52
y = (520 - 720/52)/4
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (0, 10/4) y (240/52,
(520 - 720/52)/4).
Ejercicio 5:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 2x + y = 7
Ecuación 2: x^2 + y^2 = 10
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 1
en la Ecuación 2:
2x + y = 7
y = 7 - 2x
Sustituyendo en la Ecuación 2:
x^2 + (7 - 2x)^2 = 10
x^2 + 49 - 28x + 4x^2 = 10
5x^2 - 28x + 39 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos posibles valores para x: x = 3 y x =
13/5.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 1, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = 3: 2(3) + y = 7
6 + y = 7
y = 1
Para x = 13/5: 2(13/5) + y = 7
26/5 + y = 7
y = 7 - 26/5
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (3, 1) y (13/5, 7 -
26/5).
Ejercicio 6:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: x^2 + y = 10
Ecuación 2: 2x + y = 7
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 2
en la Ecuación 1:
2x + y = 7
y = 7 - 2x
Sustituyendo en la Ecuación 1:
x^2 + (7 - 2x) = 10
x^2 - 2x + 7 = 10
x^2 - 2x - 3 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos posibles valores para x: x = -1 y x
= 3.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 2, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = -1: 2(-1) + y = 7
-2 + y = 7
y = 9
Para x = 3: 2(3) + y = 7
6 + y = 7
y = 1
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (-1, 9) y (3, 1).
Ejercicio 7:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: x^2 + y^2 = 25
Ecuación 2: 3x - 2y = 4
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 2
en la Ecuación 1:
3x - 2y = 4
2y = 3x - 4
y = (3x - 4)/2
Sustituyendo en la Ecuación 1:
x^2 + ((3x - 4)/2)^2 = 25
x^2 + (9x^2 - 24x + 16)/4 = 25
4x^2 + 9x^2 - 24x + 16 = 100
13x^2 - 24x - 84 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos posibles valores para x: x = -2 y x
= 6/13.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 2, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = -2: 3(-2) - 2y = 4
-6 - 2y = 4
-2y = 10
y = -5
Para x = 6/13: 3(6/13) - 2y = 4
18/13 - 2y = 4
-2y = 4 - 18/13
y = (52 - 18/13)/2
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (-2, -5) y (6/13, (52 -
18/13)/2).
Ejercicio 8:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: 2x + y = 5
Ecuación 2: x^2 + y^2 = 13
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 1
en la Ecuación 2:
2x + y = 5
y = 5 - 2x
Sustituyendo en la Ecuación 2:
x^2 + (5 - 2x)^2 = 13
x^2 + 25 - 20x + 4x^2 = 13
5x^2 - 20x + 12 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos posibles valores para x: x = 2 y x =
6/5.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 1, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = 2: 2(2) + y = 5
4 + y = 5
y = 1
Para x = 6/5: 2(6/5) + y = 5
12/5 + y = 5
y = 5 - 12/5
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (2, 1) y (6/5, 5 - 12/5).
Ejercicio 9:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: x^2 + y^2 = 20
Ecuación 2: 3x + 2y = 8
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 2
en la Ecuación 1:
3x + 2y = 8
2y = 8 - 3x
y = (8 - 3x)/2
Sustituyendo en la Ecuación 1:
x^2 + ((8 - 3x)/2)^2 = 20
x^2 + (64 - 48x + 9x^2)/4 = 20
4x^2 + 64 - 48x + 9x^2 = 80
13x^2 - 48x + 16 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos posibles valores para x: x = 4/13 y
x = 16/13.
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 2, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = 4/13: 3(4/13) + 2y = 8
12/13 + 2y = 8
2y = 8 - 12/13
y = (104 - 12/13)/2
Para x = 16/13: 3(16/13) + 2y = 8
48/13 + 2y = 8
2y = 8 - 48/13
y = (104 - 48/13)/2
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = (4/13, (104 - 12/13)/2)
y (16/13, (104 - 48/13)/2).
Ejercicio 10:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ecuación 1: x^2 + y^2 = 26
Ecuación 2: 2x - y = 5
Solución:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones sustituyendo el valor de y de la Ecuación 2
en la Ecuación 1:
2x - y = 5
y = 2x - 5
Sustituyendo en la Ecuación 1:
x^2 + (2x - 5)^2 = 26
x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 26
5x^2 - 20x + 1 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos dos posibles valores para x: x = (20 ±
√(20^2 - 4(5)(1)))/(2(5)).
Simplificando la expresión, obtenemos x = (20 ± √(400 - 20))/(10), que es igual a x = (20
± √380)/(10).
Sustituyendo estos valores de x en la Ecuación 2, encontramos los valores
correspondientes de y:
Para x = (20 + √380)/(10): 2((20 + √380)/(10)) - y = 5
(40 + 2√380)/10 - y = 5
(40 + 2√380)/10 - y = 5
y = (40 + 2√380)/10 - 5
Para x = (20 - √380)/(10): 2((20 - √380)/(10))- y = 5
(40 - 2√380)/10 - y = 5
(40 - 2√380)/10 - y = 5
y = (40 - 2√380)/10 - 5
Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son: (x, y) = ((20 + √380)/10, (40 +
2√380)/10 - 5) y ((20 - √380)/10, (40 - 2√380)/10 - 5).