RESUMEN TEMA 3 ESPACIOS VECTORIALES

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente Responsable del curso: Ing. Augusto A. Estrada V
RESUMEN DEL TEMA 3
ESPACIOS VECTORIALES
3.1.- INTRODUCCION: Cuando estudiamos conjuntos y definimos entre sus elementos una
operación suma, muchos de ellos tienen la propiedad de que al sumar dos elementos del conjunto el
resultado es otro elemento del conjunto. Se dice en este caso que la operación suma es cerrada en el
conjunto. Asimismo dado un cuerpo de escalares, se puede definir el producto de un escalar por un
elemento del conjunto y si el resultado es otro elemento del conjunto, se dice que la operación
producto del escalar por el elemento del conjunto es cerrada
Por ejemplo nosotros sabemos que las operaciones aritméticas de suma y producto de dos
números reales es otro número real, la suma de dos vectores del plano 2 (o del espacio 3) es otro
vector de 2 (o 3) y el producto de un número real por un vector de 2 (o del espacio 3) es otro
vector de 2 (o 3)
De igual manera vimos que la suma de dos matrices, y el producto de un número real por una
matriz definidas en forma usual, (como lo hemos visto en el anterior capítulo) da como resultado otra
matriz de las mismas características que las del conjunto de matrices con las que estamos trabajando.
En todos los casos hemos visto además que esas operaciones cumplen una serie de propiedades.
Hay muchos conjuntos (simples o abstractos) en los cuales se verifica esta situación. En este
capítulo vamos a dar una definición general que caracterice a todos ellos y enunciar propiedades y
teoremas en forma general que sirvan tanto para los conjuntos simples como para los más abstractos
o arbitrarios llamando a esos conjuntos (que cumple con las propiedades antes mencionadas)
Espacios Vectoriales y a los elementos de los mismos vectores, sin perjuicio de que se trate de
vectores propiamente dichos (de 2, 3, , n), de matrices, funciones, polinomios, etc.
3.2.- ESPACIO VECTORIAL
Definición: Dado un conjunto no vacio y un cuerpo de escalares (que puede ser o ), una
operación suma () entre elementos de y una operación producto ( entre elementos del cuerpo
y elementos del conjunto . Diremos que es un espacio vectorial sobre el cuerpo si y solo si
La operación suma es cerrada en . Es decir:  U,V   (U  V  y cumple los siguientes
axiomas:
A1 :  U,V   U  V  V  U
A2 :  U,V,W   U  V  W  U  V  W
A3 :  U  / U  , U  U  U  U  U (U: neutro de la suma en )
A4 :  U  U  , U  U  U  U  U (U: inverso u opuesto de la suma en )
La operación producto es cerrada en . Es decir  U  ,      U  y cumple los
siguientes axiomas
M1 :  U ,V  ,  ,   U  V    U    V
M2 :  U  ,,  ,     U    U    U
M3 :  U  ,,  ,     U    U
M4 :  U  ,   ,   U  U
Así que para que un conjunto de vectores sea un espacio vectorial con las operaciones suma y
producto de un escalar por un vector, sobre un cuerpo de escalares deberá cumplir que estas
operaciones de suma y producto sean cerradas en el conjunto y cumplir con todas y cada una de
los axiomas antes expuestos
Notación: Para expresar que un conjunto es un espacio vectorial con las operaciones de suma
y producto, sobre un cuerpo se simboliza por ( , , , 
En general, en la asignatura trabajaremos con el cuerpo de los reales así que en lo sucesivo, a
menos que se diga lo contrario, será  . En este caso decimos que es un espacio vectorial
real.
Propiedades: Si es un espacio vectorial sobre entonces:
P1 :   ,      (siendo  el neutro de la suma en )
P2 : U  , 0  , 0  U  
P3 :   U      0  U   (o ambas cosas a la vez)
P4 : U  , 1  U  U (U opuesto de U)
3.3.- EL ESPACIO VECTORIAL
n
Si  n y  y se considera que n es el conjunto de matrices de 1  n ó de n  1,
entonces podemos probar que n es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por
un escalar definidas en el tema 2 para las matrices reales, ya que para el conjunto de las matrices
nm vimos que las operaciones suma y producto por un escalar son cerradas y cumplen con todas
los axiomas. Por lo tanto nm es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales con esas
operaciones.
Es decir ( n,, ,  es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por un
escalar definidas como: Si U  u1,u2, ,un  ny V  v1,v2, ,vn  n y  
Suma: U  V  u1  v1,u2  v2, ,un  vn
Producto por un escalar:   U  u1,u2, ,un
Las anteriores definiciones de suma y producto por un escalar suelen denominarse operaciones
de suma y producto por un escalar usuales o habituales en n
Como casos particulares tenemos:
Si n  2 será n  2 el conjunto de pares ordenados de números reales (vectores del plano) es
un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por un escalar usuales.
Si n  3 será n  3 el conjunto de ternas ordenadas de números reales (espacio
tridimensional) es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por un escalar
usuales.
3.4.- SUBESPACIOS
Definición: Dado un conjunto incluido en un espacio vectorial con las operaciones de suma
y producto sobre un cuerpo de escalares.
Decimos que el conjunto es un subespacio de si y solo si es un espacio vectorial con las
mismas operaciones de suma y producto definidas en y sobre el mismo cuerpo de escalares.
Teorema 3.1: incluido en un espacio vectorial es un subespacio de si y solo si
1  
2 U,V   U  V 
3 U,     U 
Teorema 3.2: Si es un subconjunto de un espacio vectorial , entonces:
es un subespacio de    ( elemento neutro de la suma en )
Teorema 3.3: Si y son subespacios de un espacio vectorial , entonces  es también un
subespacio de . Recordemos que:
  X  /X   X  y que   X  /X   X 
¿Será  también un subespacio de ?
Definición: Dados y subespacios de un espacio vectorial definimos la suma de y
como:
 W  U  V / U   V  }
Teorema 3.4: Si y son subespacios de un espacio vectorial , entonces  es un
subespacio de .
Teorema 3.5: El conjunto solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,
homogéneo, es un subespacio de n.
3.5.- COMBINACIONES LINEALES
Definición: Dado un conjunto finito de vectores  V1,V2, ,Vn de un espacio vectorial , y
W  . Decimos que W es una combinación lineal de los vectores V1,V2, ,Vn si existen escalares
i, i  1,2, ,n tal que:
1V1  2V2   nVn  W 1
O bien en forma equivalente:
i, i  1,2, ,n /
n
i1
 iV i  W 1
Analizando la definición, podemos ver que para que W sea combinación lineal de V1,V2, ,Vn,
requiere que existan los escalares i, i  1,2, ,n tales que se verifique la ecuación 1
La ecuación 1 es una ecuación vectorial, si aplicamos la definición de igualdad de vectores
será equivalente a un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los escalares i.
Decir que existan los i tales que se cumpla la 1 es equivalente a decir que el sistema
equivalente sea consistente. En consecuencia W será combinación lineal de los vectores
V1,V2, ,Vn, si el sistema de ecuaciones lineales equivalente a 1 es consistente.
Teorema 3.6: Si  V1,V2, ,Vn  , entonces el conjunto de todas las combinaciones
lineales de los vectores de es un subespacio de .
3.6.-SUBESPACIO GENERADO (por un conjunto finito de vectores)
Dado  V1,V2, ,Vn  , con un espacio vectorial.
Definición: Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de 
V1,V2, ,Vn se denomina Subespacio generado por y se denota por L  y a se denomina
conjunto generador de L . Es decir en forma simbólica será:
L   X  /
n
i1
 iV i  X‘
Definición: Decimos que un conjunto genera al espacio , o que es un conjunto generador
de si y solo si cualquier vector de puede expresarse como combinación lineal de los vectores
de . Es decir:
es un conjunto generador de si y solosí: X  
n
i1
 iV i  X
3.7.- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Dado un subconjunto finito de vectores  V1,V2, ,Vn de un espacio vectorial .
Definición: Se dice que el conjunto es Linealmente Dependiente si y solo sí el elemento
neutro (nulo) de la suma en , se puede expresar como combinación lineal de los vectores de , con
algún coeficiente no nulo. Es decir:
1V1  2V2   nVn   con i  0 para algún i 2
O bien e forma equivalente:
i / i  0 
n
i1
 iV i   2
Definición: Se dice que el conjunto es Linealmente Independiente si y solo si el elemento
neutro (nulo) de la suma en , se puede expresar de una única manera, como combinación lineal de
los vectores de . Es decir:
1V1  2V2   nVn    i  0 i  1,2, ,n 3
O bien en forma equivalente:
n
i1
 iV i    i  0 i  1,2, ,n 3
Analicemos las anteriores definiciones:
Si hacemos X   en la definición de combinación lineal, ecuación 1
n
i1
 iV i  W,
obtenemos:

i1
n
iV i  , igualdad que aparece en las definiciones de dependencia e independencia lineal.
Ella es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, que sabemos siempre es
consistente. En consecuencia puede tener infinitas soluciones o única solución. En el último caso la
solución es la nula (trivial).
Si interpretamos ambas definiciones, la 2 o la 3, la primera requiere que el elemento neutro
de la suma, , se pueda expresar como combinación lineal de los vectores V1,V2, ,Vn con algún
coeficiente no nulo. Esto equivale a que el sistema equivalente tenga infinitas soluciones, ya que en
este caso, al existir variables libres, podremos expresar esa combinación lineal con algún
coeficiente no nulo (algún i  0). Esto es equivalente a que el vector nulo (neutro de la suma en )
se pueda expresar de muchas maneras como combinación lineal de los vectores V1,V2, ,Vn del
conjunto
En cambio en la segunda se exige que el , se pueda expresar como combinación lineal de los
vectores V1,V2, ,Vn solo si todos los coeficientes son nulos. Esto equivale a que el sistema
equivalente tenga única solución y eso es equivalente a que el vector nulo (neutro de la suma en 
se pueda expresar de una única manera como combinación lineal de los vectores V1,V2, ,Vn del
conjunto .
Teorema 3.7: Cualquier conjunto unitario es linealmente independiente si y solo si su único
vector es no nulo
Teorema 3.8: Cualquier conjunto de vectores que contenga al vector nulo es Linealmente
Dependiente
Teorema 3.9: Un conjunto de vectores es Linealmente Dependiente si y solo si uno de sus
vectores es combinación lineal de los restantes
Teorema 3.10: Cualquier conjunto que contenga un subconjunto Linealmente Dependiente es
también Linealmente Dependiente
Teorema 3.11: Cualquier subconjunto de un conjunto Linealmente Independiente es también
Linealmente Independiente
3.8.- BASE Y DIMENSION
Definición: Dado un subconjunto de un espacio vectorial . Se dice que es una base de si
y solo
1 es Linealmente Independiente
2 es un conjunto generador de
Teorema 3.12: Si  V1,V2, ,Vn es una base de entonces cualquier vector W  puede
expresarse de una única forma como combinación lineal de los vectores de .
Teorema 3.13: Si 1  V1,V2, ,Vn y 2  V1,V2, ,Vm son bases de un mismo espacio
vectorial , de dimensiòn finita, entonces m  n
Definición: Decimos que un espacio vectorial es de dimensión finita si contiene un conjunto
finito de vectores que es una base de él, y en este caso definimos como:
Dimensión de al número de vectores que contiene una base de
Teorema 3.14: La máxima cantidad de vectores de un conjunto Linealmente Independiente de
un espacio vectorial de dimensión finita n, es n. Es decir:
Si  V1,V2, ,Vm es Linealmente Indepemdiente y  y Dim  n, entonces m  n
Teorema 3.15: La mínima cantidad de vectores de un conjunto generador de un espacio
vectorial de dimensión finita n, es n. Es decir:
Si  V1,V2, ,Vm es Generador de y Dim  n, entonces n  m
Teorema 3.16:  V1,V2, ,Vn  y Dim  n entonces: es Linealmente Independiente
si y solo es un generador de
Teorema 3.17: La dimensión de un subespacio (espacio) es el número de variables libres de la
solución general de su ecuación (elemento genérico del espacio)
Base canónica de
n
Un vector de n es una n  upla ordenada de números reales. Es decir X  x1,x2, ,xn tal que
x i  i  1,2, ,n
Si consideramos la suma usual en n podemos demostrar por inducción que:
x1,x2, ,xn  x1
n
n
1,0, , 0 x2
n
0,1,0, , 0   xn
n
0,0, , 1
Es decir podemos decir que X es combinación lineal de los n vectores:
I1  1,0, , 0, I2  0,1, , 0,, In  0,0, , 1 de n
En consecuencia si aplicamos la definición de conjunto generador, podemos afirmar que el
conjunto n  I1,I2, , In es un generador de n
Además si aplicamos el Teorema 3.17 podemos afirmar que la dimensión de n es n (número de
variables libres del vector genérico de n
Ahora bien aplicando el Teorema 3.16 ya que n  I1,I2, , In es un conjunto de n vectores
de n cuya dimensión es n, como n  I1,I2, , In es un generador de n será Linealmente
Independiente y en consecuencia n  I1,I2, , In es una base de n
A esta base la denominamos base canónica (o estándar) de n
Si n  3 tendremos que 3  1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 es la base canónica de 3
Si n  2 tendremos que 2  1,0, 0,1 es la base canónica de 2
3.9.- COORDENADAS DE UN VECTOR
Definición: Dado un espacio vectorial de dimensión finita n, V1,V2, ,Vn una base
ordenada de y U 
Llamamos coordenadas de U respecto a la base o representación de U en la base a los
coeficientes de la expresión de U como combinación lineal de los vectores de .
Es decir: Si 1V1  2V2   nVn  U entonces 1,2, ,n son las coordenadas de U
respecto a la base y se simboliza por:
U 
1
2

n
Teorema 3.18: Las coordenadas de un vector de un espacio vectorial, respecto a una base de ese
espacio vectorial, son únicas
Coordenadas de un vector de n respecto a la base canónica
Anteriormente vimos que el conjunto I1,I2, , In es una base de n llamada Base Canónica y
que para todo vector X  x1,x2, ,xn es:
X  x1I1  x2I2   xnIn, por lo que de acuerdo a la definición de coordenadas de un vector
respecto a una base, x1,x2, ,xn son las coordenadas del vector X respecto a la base canónica de
n.
Si V1,V2, ,Vn es una base cualquiera de n distinta de la canónica, y queremos
determinar las coordenadas del vector X  x1,x2, ,xn  n respecto a la base según la
definición de coordenadas de un vector serán:
X 
1
2

n
Siendo 1,2, ,n los coeficientes que resultan de expresar a X como combinación lineal de
los vectores de la base . Es decir:
X  1V1  2V2   nVn
Esta última ecuación es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales consistente y por el
Teorema 3.18 esta combinación lineal es única
Este sistema de ecuaciones lineales puede escribirse en forma matricial como:
X  PX
Donde X 
x1
x2

xn
, X 
1
2

n
y Pnn  V1/V2/ /Vn (matriz cuyas columnas son los
vectores V i de la base 
X : Coordenadas de cualquier vector de n respecto a la base canónica
X : Coordenadas de cualquier vector de n respecto a la base
Pnn : Matriz de cambio de coordenadas (cambio de base)
3.10.- ESPACIO FILA, ESPACIO COLUMNA, ESPACIO SOLUCION y RANGO DE
UNAMATRIZ
Dada una matriz A  mn llamamos:
Espacio fila de A: Al subespacio generado por las filas de A consideradas como vectores de n.
Lo simbolizamos por E fA. Es decir si llamamos F i i  1,2, ,m a las filas de A será:
E fA  LF1,F2, ,Fm  n
Espacio Columna de A: Al subespacio generado por las columnas de A consideradas como
vectores de m. Lo simbolizamos por EcA. Es decir si llamamos Ci i  1,2, ,n a las columnas
de A será:
EcA  LC1,C2; ,Cn  m
Espacio solución de A : o espacio nulo de A Al conjunto solución del sistema AX  . Lo
simbolizamos por EsA
EsA  X  n / AX  
Teorema 3.19: Si A,B son matricesequivalentes por filas entonces el espacio fila de A es igual
al espacio fila de B
Teorema 3.20: Si A  mn entonces el espacio fila de A es igual al espacio columna de AT
Teorema 3.21: Las filas no nulas de una matriz escalonada y sus correspondientes en la matriz
original constituyen un conjunto Linealmente Independiente
Teorema 3.22: La dimensión del espacio fila y del espacio columna de cualquier matriz son
iguales
Rango de A : Se denomina rango de una matriz A a la dimensión del espacio fila o del espacio
columna de la matriz A (que son iguales) lo simbolizamos por RangoA
Teorema 3.23: (De Rouche Frobenius)
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas AX  B, tiene solución si y solo si el rango
de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada son iguales
Corolario:
Si RangoA  RangoAB  n, el sistema tiene solución única
Si RangoA  RangoAB  r  n, el sistema tiene infinitas soluciones
.
Ing Augusto A. Estrada V.