Derivada y Diferencial

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DERIVADA Y DIFERENCIAL 
 
 
Esp. María de las Mercedes Moya 
 
Derivada 
 
Introducción 
 
Uno de los debates más agrios que registra la Historia de la Ciencia es el que 
sostuvieron Newton y Leibniz y sus respectivos partidarios sobre la prioridad del 
descubrimiento del Cálculo Infinitesimal. Esto ocurrió a fines del siglo XVII. La gran 
disputa era sobre quién había copiado a quién. Lo más curioso del caso, es que el asunto 
en litigio no existía realmente, puesto que las investigaciones de Leibniz y de Newton 
eran completamente distintas. 
Newton y Leibniz son dos espíritus diferentes. Newton es inglés y Leibniz alemán: 
Newton permanece fiel a la tradición griega, y Leibniz sueña con una combinatoria 
universal, Newton es un poco arbitrario y artificial y Leibniz es un metodista que se 
acerca más a Descartes que su ilustre adversario; Newton es un enamorado de lo bello y 
armonioso, lo que le obliga a oponerse al carácter mecánico del Álgebra y Leibniz se 
siente irresistiblemente atraído por el idioma universal simbólico de las generalizaciones 
algebraicas, que le conduce a hacer asumir al racionalismo categoría de dogma. 
Con el tiempo, se demostró que ninguno de ellos copió al otro. Newton fue el primero 
en concebir las principales ideas, pero Leibniz las descubrió independientemente. 
¿Inmensa casualidad? ¡NO!, el momento histórico lo propiciaba y ellos, los genios, 
estaban allí. 
¿Qué tuvo aquella época que favoreció el descubrimiento del cálculo diferencial? La 
matemática lo estaba pidiendo para poder resolver, por ejemplo los complicados 
problemas astronómicos que con la invención del telescopio habían surgido. 
Pero la matemática (y las Ciencias en general) no son más que algunas manifestaciones 
de una época en la que se rompe con las concepciones estáticas de épocas anteriores y 
se atiende al movimiento, al dinamismo. 
 
1. El problema de la Tangente 
 
A lo largo de la historia, se plantearon dos problemas que en un principio parecen 
distintos, pero guardaban en su esencia la misma idea. 
El primer problema es muy antiguo; data del gran científico griego Arquímedes (287 – 
212 a.C), nos referiremos a ese problema como el de la línea tangente. 
El segundo problema es más reciente. Creció con los intentos de Kepler (1571 – 1630), 
Galileo (1571 – 1642), Newton (1642 – 1727), Leibniz (1646 – 1716) y otros, por 
describir la velocidad de un cuerpo móvil. Es el problema de la velocidad instantánea. 
Los dos problemas, uno geométrico y el otro físico, parecen no tener mucha relación. 
Las apariencias engañan, ya que los dos problemas son idénticos. 
Comenzaremos a describir el problema de la recta tangente y luego el de la velocidad. 
La noción de Euclides de una tangente como una línea que toca a la curva en un solo 
punto es correcta para la circunferencia. Esta definición es muy restrictiva pero a la vez 
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muy amplia. Con esta definición, la circunferencia admitiría una tangente (Fig. 1). En 
la Fig. 2 la curva no admitiría ninguna tangente, y en la Fig. 3 la curva admitiría dos 
tangente en el punto marcado. 
 
 
 
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 
 
Es necesario entonces pensar en otra manera de definir la tangente a una curva en un 
punto dado. 
La idea intuitiva es esta: La recta tangente 𝐿 debe ser la línea recta que pasa a través de 
un punto arbitrario 𝑃 de una curva 𝑓 y que tiene la misma dirección que la curva en 𝑃. 
Ya que la dirección de una recta queda determinada por la dirección de su pendiente, el 
plan para definir la recta tangente equivale a encontrar una fórmula de “predicción de la 
pendiente”, que dará la pendiente aproximada de la recta tangente. 
Como conocemos las coordenadas del punto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)), podemos encontrar otra recta 
cuya pendiente podemos calcular. 
 
Consideremos una función continua en un punto 𝑥 = 𝑎. Sea ℎ ≠ 0 y los puntos 
𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) y 𝑄(𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎 + ℎ)) distintos. La ecuación de la recta que pasa por los 
puntos 𝑃 y 𝑄 es de la forma: 
𝑦 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
=
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
𝑎 + ℎ − 𝑎
 en consecuencia 
𝑦 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
=
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 
y por lo tanto, la ecuación quedará de la forma: 
𝑦 =
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ⏟ 
𝑷𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
∙ (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 
 
Esta recta así definida, 
no es otra cosa que la 
“secante” que pasa por 
los puntos 𝑃 y 𝑄. 
La diferencia de las 
abscisas de los puntos 𝑃 
y 𝑄 la llamaremos ℎ, o 
“incremento”, o 
“cambio”, en el valor de 
las 𝑥. Análogamente 
podemos pensar en la 
diferencia de las 
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ordenadas de los puntos 𝑃 y 𝑄, el cual será 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎). 
 
Interpretación geométrica: 
Sabemos que 𝑚 = tg𝜑 1 =
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
 
La idea es encontrar la recta tangente en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)) como límite “en algún 
sentido” de estas secantes, cuando ℎ se aproxima a cero. Hasta ahora no hablamos de 
límites de rectas pero podemos hablar de límites de sus pendientes. Cuando ℎ → 0 será 
que 𝑎 + ℎ → 𝑎 y las rectas secantes tienden a hacerse tangentes en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)). 
 
Imaginemos el punto 𝑃 
fijo y que el punto 𝑄 se 
desplaza por la curva en 
dirección a 𝑃; es decir, 
𝑄 se aproxima a 𝑃. Esto 
equivale a decir que ℎ 
tiende a cero. Conforme 
esto sucede, la secante 
gira sobre el punto fijo 
𝑃. Si esta recta secante 
tiene una posición 
límite, es ésta posición 
límite la que deseamos 
sea tangente a la gráfica 
en 𝑃. Se desea así que la 
pendiente de la recta 
tangente a la gráfica en 𝑃 sea el límite de 𝑚 cuando ℎ tiende a cero, si dicho límite 
existe. 
 
Resulta necesario fijar la idea de que una recta tangente en un punto 𝑃 a una curva dada, 
es una recta que se aproxima tanto como se quiera a la curva en un entorno del punto 𝑃. 
De modo tal que en las cercanías del punto 𝑃, la recta y la curva se confunden. (Luego 
se visualizará esto, mediante un ejemplo). 
Si el límite de la pendiente cuando ℎ tiende a cero da +∞ ó −∞, la recta 𝑃𝑄 se 
aproxima a la recta que pasa por 𝑃, la cual es paralela al eje 𝑦. En este caso tenemos que 
la recta tangente a la gráfica en 𝑃 es la recta 𝑥 = 𝑎. 
Este análisis nos lleva a la siguiente: 
 
Definición: 
Supongamos que 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎. Entonces, “la recta tangente” a la gráfica de 
𝑓 en el punto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) es: 
 
1
 Recordar que en un triángulo rectángulo, de ángulo agudo 𝜑, se define 𝑡𝑔𝜑 =
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
 
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i) La recta a través de 𝑃, cuya pendiente es 𝑚(𝑎) que se define como: 
𝑚(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
, si dicho límite existe. 
ii) La recta 𝑥 = 𝑎 si: 
lim
ℎ→0+
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= +∞ y lim
ℎ→0−
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= +∞ 
O bien: 
lim
ℎ→0+
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= −∞ y lim
ℎ→0−
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= −∞ 
Si no se cumple i) y tampoco ii), no existe una recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el 
punto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)). 
 
El tipo de límite de la definición dada en i) sirve para determinar la pendiente de una 
recta tangente y es uno de los conceptos más importantes del cálculo. Es un concepto de 
uso muy frecuente y recibe un nombre específico. 
 
2. Derivada 
 
Definición: 
Sea 𝑓 definida en un entorno del punto 𝑎 2 de semiamplitud 𝛿 > 0. La derivada de 𝑓 en 
el punto 𝑎 está dada por: 
𝑓′(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
, si dicho límite existe. 
 
Se lee: Derivada de 𝑓 en el punto 𝑎; o bien, simplemente 𝑓 prima de 𝑎. 
También decimos que 𝑓 es derivable en 𝑥 = 𝑎. 
Por lo tanto de acuerdo a la definición anterior,
decimos que la derivada de una función 
en un punto es un número, que geométricamente representa “la pendiente de la recta 
tangente a la curva en el punto de abscisa 𝑥 = 𝑎”. 
 
Notar que la definición de derivada, así como la de límite y de continuidad es una 
definición “puntual”, por lo tanto hablamos de la derivada de una función en un punto 
determinado. 
 
Podemos extender la idea, pensando en una función, que calcule la derivada en 
cualquier punto de un conjunto, en el que exista la derivada. 
 
 
2
 Esto implica que 𝑎 es punto interior y de acumulación del dominio de la función. 
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Definición: 
Para cualquier 𝑓 designamos por 𝑓’ a la función cuyo dominio es el conjunto de todos 
los 𝑥 tales que 𝑓 es derivable en 𝑥 y cuyo valor para ese tal 𝑥 viene dado por: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
, si dicho límite existe. 
𝑓′(𝑥) se llama “función derivada” 
 
Además, cuando decimos que el 𝑓′(𝑥) existe significa que: 
𝑓+
′(𝑥) = lim
ℎ→0+
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 existe y 𝑓−
′(𝑥) = lim
ℎ→0−
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 existe 
𝑓+
′(𝑥) se llama derivada lateral por la derecha 
𝑓−
′(𝑥) se llama derivada lateral por la izquierda 
Y por tanto, 𝑓′ existe cuando 𝑓+
′(𝑥) = 𝑓−
′(𝑥). 
Veamos ahora otras maneras de escribir la función derivada. 
 
Si llamamos: 
𝑥: variable independiente 
𝑥 + ℎ: variable incrementada en un ℎ 
𝑓(𝑥): función valuada en el punto 𝑥 
𝑓(𝑥 + ℎ): función incrementada 
Δ𝑦 = Δ𝑓 = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥): incremento de 𝑓 
Δ𝑥 = ℎ: incremento de la variable independiente 
 
En el punto 𝑥 = 𝑎, podemos llamar ℎ = 𝑥 − 𝑎, entonces 𝑥 = 𝑎 + ℎ. De esta manera la 
definición de la derivada de la función en el punto 𝑎 quedará: 
𝑓′(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑎 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑎)
Δ𝑥
= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 
 
Además existen diferentes notaciones para indicar la función derivada o la derivada de 
una función en un punto. Algunas de ellas son: 
Función Derivada Derivada de una función 𝒇 en el punto 𝒂 
𝑓′(𝑥) 𝑓′(𝑎) 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
|
𝑎
 
𝐷[𝑓(𝑥)] 𝐷[𝑓(𝑎)] 
𝑦′ 𝑦′(𝑎) 
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Ejemplo 1: 
Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2, encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto de 
coordenadas (2,4) y luego la función derivada. 
Solución: 
La ecuación de la recta que pasa por un punto tiene la expresión: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0), 
donde 𝑚 indica la pendiente de la recta. Por lo tanto para calcular 𝑚 debemos calcular 
la derivada de la función 𝑓 en el punto de coordenadas (2,4). Así: 
𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ
= lim
ℎ→0
(2 + ℎ)2 − 4
ℎ
= lim
ℎ→0
4 + 4ℎ + ℎ2 − 4
ℎ
 
= lim
ℎ→0
ℎ(4 + ℎ)
ℎ
= 4 
∴ 𝑚 = 4, y por ende, 𝑓′(2) = 4. 
La ecuación de la recta tangente en el punto de coordenadas (2,4) será: 
𝑦 = 4(𝑥 − 2) + 4 = 4𝑥 − 8 + 4 = 4𝑥 − 4, o bien, realizando las cuentas 
correspondientes 
𝑦 = 4𝑥 − 4 
 
El dibujo muestra la gráfica de la función 𝑓 y la de su 
recta tangente en el punto de coordenadas (2,4) 
 
Se puede observar que la recta corta al gráfico de 𝑓 en un 
único punto (en este caso particular): 
𝑦1 = 𝑥
2 ∧ 𝑦2 = 4𝑥 − 4 
Así: 
𝑥2 = 4𝑥– 4 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0, de donde resulta que 
(𝑥 − 2)2 = 0 y por lo tanto 𝑥 = 2 (raíces dobles reales 
iguales). La recta corta a la gráfica en el único punto (2,4) 
 
¿Cuál es la función derivada? 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
 
= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
= 2𝑥 
∴ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
 
 
Derivada 
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El dibujo muestra el gráfico de la función 𝑓 (parábola) y el de la función derivada de 
𝑓 (recta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Encontrar la derivada en 𝑥 = 0 de la siguiente función: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥
1 + 𝑒
1
𝑥
𝑥 ≠ 0
0 𝑥 = 0
 
Solución: 
Para ello, encontramos primero la derivada de la función 𝑓 en el punto 𝑥 = 0, aplicando 
la definición: 
𝑓+
′(0) = lim
ℎ→0+
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
 
𝑓+
′(0) = lim
ℎ→0+
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ
1 + 𝑒
1
ℎ
− 0
ℎ
= lim
ℎ→0+
1
1 + 𝑒
1
ℎ
= 0 
∴ 𝑓+
′(0) = 0 
𝑓−
′(0) = lim
ℎ→0−
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
 
𝑓−
′(0) = lim
ℎ→0−
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0−
ℎ
1 + 𝑒
1
ℎ
− 0
ℎ
= lim
ℎ→0−
1
1 +
1
𝑒
1
ℎ
= 1 
∴ 𝑓−
′(0) = 1 
 
Por lo tanto, aunque existen las derivadas laterales, resulta 𝑓+
′(0) ≠ 𝑓−
′(0) entonces 𝑓 no 
es derivable en 𝑥 = 0. 
 
 
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El dibujo muestra el gráfico de la función 𝑓. Se 
puede observar que como la función no es 
derivable en 𝑥 = 0 la gráfica de la misma 
presenta una punta en el origen. Esta es una 
manera visual de distinguir cuando una función 
es o no derivable en un punto. 
 
 
Ejemplo 3: 
Encontrar la función derivada de la función: 
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 𝑥 ≤ 0
𝑥 𝑥 > 0
 
Solución: 
Primero, vemos si la función es derivable en el punto 𝑥 = 0 aplicando la definición: 
 
𝑓+
′(0) = lim
ℎ→0+
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0+
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ − 0
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ
ℎ
= 1 
∴ 𝑓+
′(0) = 1 
𝑓−
′(0) = lim
ℎ→0−
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0−
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0−
ℎ2 − 0
ℎ
= lim
ℎ→0−
ℎ = 0 
∴ 𝑓−
′(0) = 0 
Por lo tanto, 𝑓+
′(0) ≠ 𝑓−
′(0) ⇒ 𝑓 no es derivable en 𝑥 = 0. 
 
Sin embargo podemos definir la función derivada para todos aquellos puntos diferentes 
de cero. Para ello también aplicamos la definición en un punto genérico 𝑥. Así nos 
quedaría: 
 
 Si 𝑥 > 0, 𝑓(𝑥) = 𝑥 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
= 1 
∴ 𝑓′(𝑥) = 1 
 Si 𝑥 < 0, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
 
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0
(2𝑥 + ℎ) = 2𝑥 
Derivada 
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∴ 𝑓′(2𝑥) = 2𝑥 
De esta manera: 
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 𝑥 ≤ 0
𝑥 𝑥 > 0
 
 
 
𝑓′(𝑥) = {
2𝑥 𝑥 < 0
1 𝑥 > 0
 
 
 
 
Ejemplo 4: 
Decidir si la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3 es o no derivable en 𝑥 = 0 
Solución: 
𝑓+
′(0) = lim
ℎ→0+
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0+
(0 + ℎ)
1
3 − 0
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ
1
3 − 0
ℎ
= lim
ℎ→0+
1
ℎ
2
3
= +∞ 
𝑓−
′(0) = lim
ℎ→0−
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0−
(0 + ℎ)
1
3 − 0
ℎ
= lim
ℎ→0−
ℎ
1
3 − 0
ℎ
= lim
ℎ→0−
1
ℎ
2
3
= +∞ 
∴ 𝑓−
′(0) = 0 
Por lo tanto, 𝑓 no es derivable en 𝑥 = 0. 
Cuando el límite es infinito por ambos 
lados (o menos infinito por ambos 
lados) la tangente atraviesa la curva; y el 
punto se llama “punto de inflexión”. 
Las dos semirrectas tangentes son 
opuestas. 
 
Geométricamente significa que 𝑓 tiene 
una tangente que es paralela al eje 
vertical. 
En algunos textos de Análisis Matemático, se dice que la función dada tiene derivada 
infinita en 𝑥 = 0. 
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Nosotros consideraremos que una función es derivable cuando el límite del cociente 
incremental es “finito”. Considerado desde ese punto de vista, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3: 
a) Es continua en 𝑥 = 0. 
b) No es derivable en 𝑥 = 0. 
c) Tiene recta tangente vertical en 𝑥 = 0; y la ecuación de la misma es 𝑥 = 0. 
 
Ejemplo 5 
Decidir si la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 es o no derivable en 𝑥 = 0. 
Solución: 
Para ello calculemos el límite del cociente incremental y analicemos los resultados. 
𝑓′(0) = lim
ℎ→0
(0 + ℎ)
2
3 − 0
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
2
3 − 0
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
2
3
ℎ
= lim
ℎ→0
1
ℎ
1
3
 
lim
ℎ→0+
1
√ℎ
3 = +∞ limℎ→0−
1
√ℎ
3 = −∞ 
 
Cuando el límite es infinito positivo por 
un lado y menos infinito por el otro; no 
existe recta tangente a la curva, de 
acuerdo a la definición dada 
anteriormente. 
 
Geométricamente significa que las dos semirrectas coinciden. El punto 𝑥 = 0 se llama 
“punto cuspidal o de retroceso”. 
 
En este caso, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3: 
a) Es continua en 𝑥 = 0. 
b) No es derivable en 𝑥 = 0. 
c) No existe recta tangente en el punto 𝑥 = 0. 
 
3. Derivabilidad en un intervalo 
 
Tal como definimos la continuidad de una función en un intervalo, podemos hacer lo 
mismo con la derivabilidad de una función 𝑓 en un cierto intervalo: 
 
Definición: 
Sea la función 𝑓. 
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i) Se dice que 𝑓 es derivable en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si lo es para todo 
número 𝑥 de dicho intervalo. 
ii) Se dice que 𝑓 es derivable en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], si lo es para todo 
número 𝑥 del intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y es derivable por derecha en 𝑥 = 𝑎 y por 
izquierda en 𝑥 = 𝑏, es decir, existen los límites dados por 
𝑓+
′(𝑎) = lim
ℎ→0+
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
 ∧ 𝑓−
′(𝑏) = lim
ℎ→0−
𝑓(𝑏 + ℎ) − 𝑓(𝑏)
ℎ
 
 
Se deja como ejercicio para el lector, plantear las siguientes definiciones de 
derivabilidad de una función 𝑓 en intervalos: 
iii) 𝑓 es derivable en el intervalo [𝑎, 𝑏). 
iv) 𝑓 es derivable en el intervalo (𝑎, 𝑏]. 
v) 𝑓 es derivable en el intervalo (𝑎,∞). 
vi) 𝑓 es derivable en el intervalo (−∞, 𝑏). 
vii) 𝑓 es derivable en el intervalo [𝑎,∞). 
viii) 𝑓 es derivable en el intervalo (−∞, 𝑏]. 
ix) 𝑓 es derivable en el intervalo (−∞,∞). 
 
4. Continuidad y Derivabilidad 
 
4.1. Relación entre derivabilidad y continuidad 
Si una función 𝑓 es derivable en el punto 𝑥 = 𝑎, entonces 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎 
Demostración: 
Por hipótesis 𝑓′(𝑎) existe y por lo tanto, de acuerdo a la definición: 
𝑓′(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
. Esto dice que 𝑓(𝑎) existe (se cumple la primera condición de 
continuidad para la función 𝑓 en 𝑥 = 𝑎), de lo contrario el límite anterior carecería de 
sentido. 
Para demostrar el teorema, alcanza con probar que lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0. 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
(𝑥 − 𝑎)
∙ (𝑥 − 𝑎) 
Esta igualdad se cumple ya que multiplicamos y dividimos por (𝑥 − 𝑎). 
Aplicando la propiedad de límite de producto de dos funciones (sabiendo que los límites 
de cada factor existen), tenemos: 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
∙ lim
𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎) = 𝑓′(𝑎) ∙ 0 = 0 
∴ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
lo cual dice que 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎. 
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13 
La recíproca del teorema enunciado no es válida; la misma es: 
“Si una función 𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒂, entonces 𝒇 es derivable en 𝒙 = 𝒂.” 
Para demostrar la falsedad de la implicación, basta con encontrar un contraejemplo. 
 
Ejemplo 1 
Consideremos la función 𝑓(𝑥) = |𝑥|, en 𝑥 = 0. 
Veamos si dicha función es continua en 
𝑥 = 0 
 
i) 𝑓(0) = 0 
ii) lim
𝑥→0
|𝑥| = 0 
iii) lim
𝑥→0
|𝑥| = 𝑓(0) 
Esto nos asegura que la función módulo de 𝑥 es continua en 𝑥 = 0. 
Veamos ahora si la función es derivable en 𝑥 = 0. Para ello debemos aplicar la 
definición de límite de cociente incremental en el punto 𝑥 = 0. 
 
lim
ℎ→0
|ℎ| − 0
ℎ
= lim
ℎ→0
|ℎ|
ℎ
 
= {
lim
ℎ→0+
|ℎ|
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ
ℎ
= 1
lim
ℎ→0−
|ℎ|
ℎ
= lim
ℎ→0−
−ℎ
ℎ
= −1
 
 
Como las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en 𝑥 = 0. 
La derivada de la función módulo es la función signo de 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑔𝑛(𝑥). 
Sin embargo, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥|, es derivable en 𝑥 = 0. 
 
Ejemplo 2 
Demostrar que 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| es derivable en 𝑥 = 0 y hallar su función derivada. 
Demostración: 
𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥| 
𝑓+
′(0) = lim
ℎ→0+
ℎ|ℎ|
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ ∙ ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ2
ℎ
= 0 
𝑓−
′(0) = lim
ℎ→0−
ℎ|ℎ|
ℎ
= lim
ℎ→0−
ℎ ∙ (−ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0−
−ℎ2
ℎ
= 0 
Así, 𝑓´(0) = 0 
 Si 𝑥 > 0, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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14 
 Si 𝑥 < 0, 𝑓(𝑥) = −𝑥2 y 𝑓′(𝑥) = −2𝑥 
La función derivada es 𝑓′(𝑥) = {
 2𝑥 𝑥 ≥ 0
−2𝑥 𝑥 < 0
 
 
La importancia del Teorema reside en el hecho de que podemos utilizar la contra 
recíproca del mismo para decidir si una función es o no derivable en un punto. Pues si 
una función no es continua en un punto, la función no será derivable en el mismo punto. 
Esto es: 𝒇 es derivable en 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒂. Lo cual es equivalente a 
probar (por la contra recíproca) que: 𝒇 no es continua en 𝒙 = 𝒂 ⇒ 𝒇 no es derivable en 
𝒙 = 𝒂. Esto es muy práctico, ya que algunas veces necesitamos saber si una función es 
o no derivable y si ya encontramos que “no es continua”, seguro que “no es derivable”. 
 
Si negamos el antecedente de la implicación, esto es: 𝑓 no es derivable en 𝑥 = 𝑎 no 
podemos asegurar nada acerca de la continuidad de 𝑓 en el punto. Esto se debe a que 
cuando el antecedente de una implicación es falso, el consecuente puede ser verdadero o 
falso y la implicación sigue siendo verdadera. Esto nos lleva a decir solamente que en 
estos casos “no podemos aplicar el teorema”. 
 
5. Álgebra de derivadas 
 
5.1. Derivada de una constante 
Cualquiera sea 𝑥 real, si 𝑓(𝑥) = 𝑘, con 𝑘 un número real cualquiera, entonces 𝑓 es 
derivable y 𝑓′(𝑥) = 0. 
Demostración: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑘 − 𝑘
ℎ
= 0 
 
5.2. Derivada de la variable independiente 
Cualquiera sea 𝑥 real, si 𝑓(𝑥) = 𝑥, entonces 𝑓′(𝑥) = 1 
Demostración: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
= 1 
 
5.3. Derivada del producto de una constante por una función 
Sean 𝑘 un número real cualquiera y 𝑓 una función derivable en 𝑥, entonces la función 
𝐹(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) es verivable en 𝑥 y su derivada se calcula como 𝐹′(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥). 
Demostración: 
𝐹′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑘 ∙ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)
ℎ
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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15 
= lim
ℎ→0
𝑘 ∙ [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]
ℎ
= 𝑘 ∙ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥) 
 
5.4. Derivada de la suma de dos funciones 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables en 𝑥; entonces la función “suma” 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 
es también derivable en 𝑥 y su derivada se calcula como la suma de las derivadas. 
Demostración: 
𝐹′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]
ℎ
 
= lim
ℎ→0
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] + [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
ℎ
 
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
Así, si 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), entonces 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥). 
 
5.5. Derivada como Operador Lineal 
El significado fundamental de la palabra lineal, como se utiliza en matemáticas, es el 
que se da a continuación. 
 
Definición: 
Dado un conjunto 𝐴, para el cual se definen las operaciones suma y producto por un 
escalar, la función 𝐿: 𝐴 → 𝐴 recibe el nombre de operador lineal si satisface las 
siguientes condiciones: 
i) ∀𝑢 ∈ 𝐴, ∀𝑘 ∈ ℝ, 𝐿(𝑘 ∙ 𝑢) = 𝑘 ∙ 𝐿(𝑢) 
ii) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝐴, 𝐿(𝑢 + 𝑣) = 𝐿(𝑢) + (𝑣) 
 
Los operadores lineales desempeñan un papel central en el álgebra lineal. 
Notemos que las funciones que nosotros conocemos de toda la vida, dadas por 𝑓(𝑥) =
𝑚𝑥 + 𝑛, 𝑚 ≠ 0, se denominan de esta forma a causa de su relación con las líneas 
rectas. Esta
terminología puede ser confusa, ya que no todas las funciones lineales son 
lineales, en el sentido de operadores. Para ver esto, observemos que 
𝑓(𝑘𝑥) = 𝑚(𝑘𝑥) + 𝑛 
mientras que 
𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ (𝑚𝑥 + 𝑛) 
Por lo tanto, 𝑓(𝑘𝑥) ≠ 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) a menos que 𝑛 = 0. 
 
Ahora bien, dada esta definición, y teniendo en cuenta las propiedades 5.3 y 5.4, 
podemos decir que: 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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16 
 
La derivada es un operador lineal. 
 
Es decir, se cumple que, si 𝑓 y 𝑔 están definidas en un mismo conjunto 𝐷, entonces 
i) ∀𝑘 ∈ ℝ, [𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)]′ = 𝑘 ∙ [𝑓(𝑥)]′ = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥) 
ii) [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′ = [𝑓(𝑥)]′ + [𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
 
Seguiremos estudiando más operadores lineales a lo largo de la materia. 
 
Una propiedad de los operadores lineales, es que verifican la diferencia. 
 
5.6. Derivada de la resta de dos funciones 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables en 𝑥; entonces la función “resta” 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
es también derivable en 𝑥 y su derivada se calcula como la resta de las derivadas. 
Demostración: 
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + [−𝑔(𝑥)] 
⇒ 𝐹′(𝑥) = [𝑓(𝑥) + [−𝑔(𝑥)]]
′
=⏟
Por 5.4 
[𝑓(𝑥)]′ + [−𝑔(𝑥)]′ =⏟
Por 5.3 
[𝑓(𝑥)]′ − [𝑔(𝑥)]′ 
∴ 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) 
 
5.7. Derivada del producto de dos funciones 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables en 𝑥. Entonces la función producto 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 
es derivable en 𝑥 y su derivada se calcula como 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥). 
Demostración: 
𝐹′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
ℎ
 
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
ℎ
 
= lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] + 𝑓(𝑥) ∙ [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
ℎ
 
= lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) ∙
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)]
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥) ∙
[𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
ℎ
 
= 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 
∴ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) 
 
 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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17 
5.8. Derivada del cociente de dos funciones 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables en 𝑥, con 𝑔(𝑥) ≠ 0. Entonces la función cociente 
𝐹(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 es derivable en 𝑥, y su derivada se calcula como 
𝐹′(𝑥) =
𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
. 
Demostración: 
𝐹′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑔(𝑥 + ℎ)
−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
ℎ
 
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
ℎ ∙ [𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥)]
 
= lim
ℎ→0
𝑔(𝑥) ∙ [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] − 𝑓(𝑥) ∙ [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
ℎ ∙ [𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥)]
 
= lim
ℎ→0
𝑔(𝑥) ∙
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
− 𝑓(𝑥) ∙
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥)
 
=
lim
ℎ→0
𝑔(𝑥) ∙ lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ − limℎ→0
𝑓(𝑥) ∙ lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥)
 
=
𝑔(𝑥) ∙ 𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
∴ 𝐹′(𝑥) =
𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
 
Ejemplos: 
Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 3. Calculemos las derivadas de la 
función suma, producto y cociente de ambas: 
 
 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′ = 2 + 3 = 5 . Por lo tanto la derivada de la función suma es la 
función constante 5. 
 [𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ = 2 ∙ (3𝑥 − 3) + (2𝑥 + 1) ∙ 3 = 6𝑥 − 6 + 6𝑥 + 3 = 12𝑥 − 3. 
Por lo tanto la derivada de la función producto es la función 𝐹(𝑥) = 12𝑥 − 3 
 [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]
′
 =
[2∙(3𝑥−3)−(2𝑥+1)∙3]
(3𝑥−3)2
=
6𝑥 – 6 –6𝑥 –3
(3𝑥−3)2
= −
9
(3𝑥−3)2
 
 
6. Derivada de funciones elementales 
 
Calculemos la derivada de algunas funciones elementales: 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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18 
 
6.1. Función Potencial 
Como consecuencia del álgebra de derivadas, tenemos lo siguiente: 
𝑓0(𝑥) = 𝑘, con 𝑘 constante, es derivable ∀𝑥 ∈ ℝ y 𝑓0
′(𝑥) = 0. 
𝑓1(𝑥) = 𝑥 es derivable ∀𝑥 ∈ ℝ y 𝑓1
′(𝑥) = 1. 
𝑓2(𝑥) = 𝑥
2 es derivable ∀𝑥 ∈ ℝ y 𝑓2
′(𝑥) = 2𝑥, como vimos en el ejemplo 3. 
Veamos qué pasa con otras funciones potenciales: 
𝑓3(𝑥) = 𝑥
3 = 𝑥2 ∙ 𝑥, entonces por la derivada del producto entre dos funciones, 𝑓3 es 
derivable ∀𝑥 ∈ ℝ, y además 
𝑓3
′(𝑥) = [𝑥2]′ ∙ 𝑥 + 𝑥2 ∙ [𝑥]′ = 2𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥2 ∙ 1 = 2𝑥2 + 𝑥2 = 3𝑥2 
∴ 𝑓3
′(𝑥) = 3𝑥2 
Siguiendo este proceso iterativamente, llegamos a que: 
 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 entonces 𝑓 es derivable ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ y 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1. 
Demostración: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)𝑛 − 𝑥𝑛
ℎ
 
Llamando 𝑡 = 𝑥 + ℎ, 𝑡 → 𝑥 y ℎ = 𝑡 − 𝑥 
𝑓′(𝑥) = lim
𝑡→𝑥
𝑡𝑛 − 𝑥𝑛
𝑡 − 𝑥
= lim
𝑡→𝑥
(𝑡 − 𝑥)(𝑡𝑛−1 + 𝑡𝑛−2𝑥 + 𝑡𝑛−3𝑥2 +⋯+ 𝑡𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−1)
𝑡 − 𝑥
3 
= lim
𝑡→𝑥
(𝑡𝑛−1 + 𝑡𝑛−2𝑥 + 𝑡𝑛−3𝑥2 +⋯+ 𝑡𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−1) 
= 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑥 + 𝑥𝑛−3𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−1 
= 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1⏟ 
𝑛 términos
= 𝑛𝑥𝑛−1 
∴ 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 
 
Teniendo en cuenta este resultado, y que se puede generalizar la regla de la derivada de 
la suma para 𝑛 funciones, y la derivada del producto de una constante por una función, 
podemos decir que: 
Dadas las constantes 𝑘0, 𝑘1, 𝑘2, …, 𝑘𝑛 ∈ ℝ, si definimos la función 
𝑃(𝑥) = 𝑘0 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2𝑥
2 + 𝑘3𝑥
3 +⋯+ 𝑘𝑛𝑥
𝑛 
la función 𝑃 es derivable ∀𝑥 ∈ ℝ. Es decir: 
Toda función polinómica de grado 𝒏 es derivable en la recta real. 
 
 
3
 Esto en virtud del sexto caso de factorización de polinomios: 
𝑧𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑧 − 𝑎)(𝑧𝑛−1 + 𝑧𝑛−2𝑎 + 𝑧𝑛−3𝑎2 +⋯+ 𝑧𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1) 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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19 
Ejemplo 1: 
Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 6𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 1, entonces 
𝑓′(𝑥) = [3𝑥4 + 6𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 1]′ = [3𝑥4]′ + [6𝑥3]′ − [2𝑥2]′ + [𝑥]′ − [1]′ 
= 3[𝑥4]′ + 6[𝑥3]′ − 2[𝑥2]′ + [𝑥]′ − [1]′ = 3 ∙ (4𝑥3) + 6 ∙ (3𝑥2) − 2 ∙ (2𝑥)′ + 1 − 0 
∴ 𝑓′(𝑥) = 12𝑥3 + 18𝑥2 − 4𝑥 + 1 
 
Podemos extender la regla de derivación a funciones con exponente entero. 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑝, con 𝑝 ∈ ℤ, tenemos tres posibilidades: 𝑝 > 0, 𝑝 = 0, 𝑝 < 0. 
Los primeros dos casos son inmediatos, pues si 𝑝 > 0, el exponente seria natural, y es lo 
que hemos demostrado; mientras que si 𝑝 = 0, la función sería 𝑓(𝑥) = 𝑥0 = 1, es decir, 
constante, que también ya se ha probado. 
Si 𝑝 < 0, como 𝑝 ∈ ℤ, entonces podemos escribirlo como 𝑝 = −𝑛, con 𝑛 ∈ ℕ. De esta 
forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑥−𝑛 =
1
𝑥𝑛
 
Aplicando la regla del cociente, se tiene que: 
𝑓′(𝑥) =
0 ∙ 𝑥𝑛 − 1 ∙ 𝑛𝑥𝑛−1
(𝑥𝑛)2
=
−𝑛𝑥𝑛−1
𝑥2𝑛
= −𝑛𝑥𝑛−1𝑥−2𝑛 = −𝑛𝑥𝑛−1−2𝑛 = −𝑛𝑥−𝑛−1 
Dado que 𝑝 = −𝑛, entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑝𝑥𝑝−1. 
 
Ejemplo 2: 
Si 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
= 𝑥−1, entonces 𝑓′(𝑥) = (−1) ∙ 𝑥−2 = −
1
𝑥2
 
 
Y más aún, la regla puede extenderse para exponentes racionales, es decir: 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑟 , 𝑟 ∈ ℚ ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑟𝑥𝑟−1 
 
Ejemplo 3: 
Si 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥
1
2, entonces 
𝑓′(𝑥) =
1
2
∙ 𝑥−
1
2 =
1
2𝑥
1
2
=
1
2√𝑥
., si 𝑥 ≠ 0. 
¿Qué pasa en 𝒙 = 𝟎? 
Veamos por definición: 
 
No tiene sentido estudiar la derivabilidad por izquierda de 𝑥 = 0, dado que para valores 
negativos, la función no está definida. Estudiemos entonces la derivada lateral derecha: 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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20 
𝑓+
′(0) = lim
ℎ→0+
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0+
√ℎ − 0
ℎ
= lim
ℎ→0+
√ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0+
1
√ℎ
= +∞ 
 
Vemos así que la función no es derivable en 𝑥 = 0, a pesar de que esté definida en 
𝑥 = 0. 
Volveremos sobre esto más adelante. 
 
6.2. Función Logaritmo Neperiano de 𝒙 
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
Demostración:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
ln(𝑥 + ℎ) − ln 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ln (
𝑥 + ℎ
𝑥 )
ℎ
 
= lim
ℎ→0
1
ℎ
∙ ln (
𝑥 + ℎ
𝑥
) = lim
ℎ→0
[ln (
𝑥 + ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] = ln [lim
ℎ→0
(
𝑥 + ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] = ln [lim
ℎ→0
(1 +
ℎ
𝑥
)
1
ℎ
] 
 
Si llamamos 𝑢 =
ℎ
𝑥
 entonces, cuando ℎ → 0, será 𝑢 → 0. Por otro lado, ℎ = 𝑢 ∙ 𝑥, 
entonces 
1
ℎ
=
1
𝑢∙𝑥
. Por lo tanto, con ese cambio de variables, quedaría: 
ln [lim
𝑢→0
((1 + 𝑢)
1
𝑢)
1
𝑥
] = ln [𝑒
1
𝑥] =
1
𝑥
∙ ln 𝑒 =
1
𝑥
 
∴ 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
 
Ejemplo 4: 
Como aplicación, calculemos la derivada de la función 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 
Solución: 
Sabemos que 𝑥 = 𝑒ln𝑥 y 𝑥 = 𝑎log𝑎𝑥 
Igualando las dos expresiones tenemos: 𝑒ln𝑥 = 𝑎log𝑎 𝑥. 
Aplicando logaritmo natural en ambos miembros: ln 𝑥 ∙ ln 𝑒 = log𝑎 𝑥 ∙ ln 𝑎. Entonces: 
ln 𝑥 =
log𝑎 𝑥 ∙ ln 𝑎
ln 𝑒
⇒ ln 𝑥 = log𝑎 𝑥 ∙ ln 𝑎 ∴ log𝑎 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
 
 
Hemos expresado la función 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 =
ln𝑥
ln𝑎
 como producto de una constante por 
una función que conocemos su derivada. Por lo tanto aplicando la regla de derivación 
de producto de una constante por una función, la derivada de la función 𝑓 será: 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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21 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
∙
1
ln 𝑎
 
 
Así, obtuvimos la derivada de las funciones logarítmicas: 
Función Función Derivada 
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ∙ ln 𝑎
 
 
A medida que continuemos con el desarrollo de este tema, encontraremos por definición 
la derivada de otras funciones elementales, quedando para el lector la demostración de 
otras. 
 
7. Derivada de funciones compuestas 
 
7.1. Regla de la Cadena 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑢) donde 𝑢 = 𝑔(𝑥). Si 𝑔 es derivable en 𝑥 y 𝑓 es derivable en 𝑢, entonces la 
función 𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑓[𝑔(𝑥)] es derivable en 𝑥 y su derivada se calcula como 
𝑦𝑥
′ = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑥). 
Demostración: 
Por definición: 
𝑦𝑥
′ = lim
Δ𝑥→0
𝑓[𝑔(𝑥 + Δ𝑥)] − 𝑓[𝑔(𝑥)]
Δ𝑥
 
Multiplicando y dividiendo dentro del límite por la expresión 𝑔(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑔(𝑥) que 
suponemos no nula, se tiene: 
𝑦𝑥
′ = lim
Δ𝑥→0
𝑓[𝑔(𝑥 + Δ𝑥)] − 𝑓[𝑔(𝑥)]
Δ𝑥
∙
𝑔(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑔(𝑥)
 
= lim
Δ𝑥→0
𝑓[𝑔(𝑥 + Δ𝑥)] − 𝑓[𝑔(𝑥)]
𝑔(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑔(𝑥)
∙ lim
Δ𝑥→0
𝑔(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑔(𝑥)
Δ𝑥
 
 
Como 𝑢 = 𝑔(𝑥) y llamando Δ𝑢 = 𝑔(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑔(𝑥) entonces 𝑔(𝑥 + Δ𝑥) = 𝑢 + Δ𝑢. 
Además si Δ𝑥 → 0, entonces Δ𝑢 → 0. 
Por lo tanto: 
𝑦𝑥
′ = lim
Δ𝑢→0
𝑓(𝑢 + Δ𝑢) − 𝑓(𝑢)
Δ𝑢
∙ lim
Δ𝑥→0
𝑔(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑔(𝑥)
Δ𝑥
= 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑥) 
Así, 𝑦𝑥
′ = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑥). 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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22 
 
Ejemplo 1: 
Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 2) 
Solución: 
Llamamos: 𝑓(𝑢) = ln 𝑢; 𝑢 = 𝑥2 + 2. Entonces: 𝑓′(𝑢) =
1
𝑢
; 𝑢′ = 2𝑥 
En consecuencia: 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥2 + 2
∙ 2𝑥 
 
Ejemplo 2: 
Calcular la derivada de la función: 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 3𝑥2 + 1)1 2⁄ 
Solución: 
𝑔′(𝑥) =
1
2
∙ (𝑥3 + 3𝑥2 + 1)−
1
2 ∙ (3𝑥2 + 6𝑥) =
3𝑥2 + 6𝑥
2√𝑥3 + 3𝑥2 + 1
 
En general: 
𝑥 ⟼
ℎ
𝑣 ⟼
𝑔
𝑢 ⟼
𝑓
𝑦 
Será 𝑦 = (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) = 𝑓[𝑔(ℎ(𝑥)]. Entonces: 𝑣 = ℎ(𝑥); 𝑢 = 𝑔(𝑣); 𝑦 = 𝑓(𝑢) 
𝑦′ = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑣). ℎ′(𝑥) 
 
Ejemplo 3: 
Calcular la derivada de la función: 𝑓(𝑥) = ln √𝑥2 + 1 
Solución: 
𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥2 + 1
∙
1
2√𝑥2 + 1
∙ 2𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 1
 
 
8. Derivada de funciones inversas 
 
8.1. Derivada de la función inversa 
Si la función 𝑓: 𝐼 → 𝐽|𝑦 = 𝑓(𝑥) es biyectiva y derivable en un intervalo 𝐼, con 𝑓′(𝑥) ≠
0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, entonces existe su función inversa 𝑓−1: 𝐽 → 𝐼|𝑥 = 𝑓−1(𝑦), derivable en 𝐽, y 
su derivada se calcula como [𝑓−1(𝑦)]′ =
1
𝑓′(𝑥)
. 
Demostración: 
Como 𝑓: 𝐼 → 𝐽|𝑦 = 𝑓(𝑥) es biyectiva ∀𝑥 ∈ 𝐼, existe su función inversa a la que 
denominamos 𝑓−1: 𝐽 → 𝐼|𝑥 = 𝑓−1(𝑦). 
Sean 𝑥, 𝑥 + Δ𝑥 ∈ 𝐼, también por la biyectividad de 𝑓, se cumple que 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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23 
𝑥 ≠ 𝑥 + Δ𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) 
Además, sea 𝑦 + Δ𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) ∈ 𝐽 
⇒ Δ𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥) ≠ 0 
∴ Δ𝑦 ≠ 0 
También se cumple que, como existe la inversa: 
𝑦 + Δ𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) ⇒ 𝑓−1(𝑦 + Δ𝑦) = 𝑥 + Δ𝑥 ⇒ Δ𝑥 = 𝑓−1(𝑦 + Δ𝑦) − 𝑥 
∴ Δ𝑥 = 𝑓−1(𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓−1(𝑦) 
Ahora, si Δ𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, ∀𝑦 ∈ 𝐽 
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
=
1
Δ𝑥
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
=
1
𝑓−1(𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓−1(𝑦)
Δ𝑦
 
⇒
𝑓−1(𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓−1(𝑦)
Δ𝑦
=
1
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
 
donde sabemos que 
𝑓(𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)
Δ𝑥
≠ 0. Si Δ𝑥 → 0 entonces Δ𝑦 → 0. Así, tomando los 
límites correspondientes 
lim
Δ𝑦→0
𝑓−1(𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓−1(𝑦)
Δ𝑦
= lim
Δ𝑥→0
1
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
 
Como 𝑓′(𝑥) = lim 
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥+Δ𝑥)−𝑓(𝑥)
Δ𝑥
≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, entonces 
lim
Δ𝑦→0
𝑓−1(𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓−1(𝑦)
Δ𝑦
= lim
Δ𝑥→0
1
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
=
lim
Δ𝑥→0
1
lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
 
⇒ [𝑓−1(𝑦)]′ =
1
𝑓′(𝑥)
 
O bien, 𝑥′ =
1
𝑓′(𝑥)
. También podemos escribirlo como: 𝑦′ =
1
𝑥′
 
 
Ejemplo: 
Calculemos la derivada de la función exponencial: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1. 
Solución: 
Sea 𝑦 = 𝑎𝑥 entonces por definición log𝑎 𝑦 = log𝑎 𝑎
𝑥 . Entonces 𝑥 = log𝑎 𝑦. 
Ahora: 𝑥′ =
1
𝑦∙ln𝑎
, por lo tanto la derivada será: 𝑦′ =
1
𝑥′
 
∴ 𝑦′ = 𝑎𝑥 ∙ ln 𝑎 
En particular, si 𝑎 = 𝑒, tenemos que 𝑦 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑒𝑥. 
 
Así, obtuvimos la derivada de las funciones exponenciales: 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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24 
 
Función Función Derivada 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln 𝑎 
 
9. Derivada de funciones trigonométricas 
 
9.1. Derivada de la función seno 
Si 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 entonces 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 
Demostración: 
Apliquemos la definición: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
sen(𝑥 + ℎ) − sen 𝑥
ℎ
= 4 lim
ℎ→0
2 ∙ sen (
𝑥 + ℎ − 𝑥
2 ) ∙ cos (
𝑥 + ℎ + 𝑥
2 )
ℎ
 
= lim
ℎ→0
2 ∙ sen (
ℎ
2) ∙ cos (
2𝑥 + ℎ
2 )
ℎ
= lim
ℎ→0
2
ℎ
∙ sen (
ℎ
2
) ∙ cos (
2𝑥 + ℎ
2
) 
= lim
ℎ→0
sen (
ℎ
2)
ℎ
2
∙ cos (
2𝑥 + ℎ
2
) = lim
ℎ→0
sen (
ℎ
2)
ℎ
2
∙ lim
ℎ→0
cos (
2𝑥 + ℎ
2
) = 1 ∙ cos 𝑥 
∴ 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 
 
9.2. Derivada de la función coseno 
Si 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 entonces 𝑓′(𝑥) = − sen 𝑥 
Demostración: 
Considerando que el seno de cualquier ángulo es igual al coseno de su complemento y 
recíprocamente, el coseno de cualquier ángulo es igual al seno de su complemento, por 
lo que podemos escribir: 
cos 𝑥 = sen (
𝜋
2
− 𝑥) 
Aplicando la derivada de funciones compuestas resulta: 
𝑓′(𝑥) = cos (
𝜋
2
− 𝑥) ∙ (−1) = − cos (
𝜋
2
− 𝑥) = − sen 𝑥 
∴ 𝑓′(𝑥) = − sen𝑥. 
 
 
4
 En el segundo paso, hemos aplicado la relación trigonométrica: 
sen 𝑥 − sen 𝑦 = 2 ∙ sen (
𝑥 − 𝑦
2
) ∙ cos (
𝑥 + 𝑦
2
) 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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25 
9.3. Derivada de la función tangente 
Si 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 entonces 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥 
Demostración: 
Para la demostración ocuparemos la regla del cociente, ya que a la tangente de 𝑥 la 
podemos escribir como el cociente entre el seno de 𝑥 sobre el coseno de 𝑥. 
𝑓(𝑥) = tg 𝑥 =
sen 𝑥
cos 𝑥
 
Por lo tanto, aplicando la regla de derivada de cociente de dos funciones: 
𝑓′(𝑥) =
cos 𝑥 ∙ cos 𝑥 + sen 𝑥 ∙ sen 𝑥
cos2 𝑥
=
cos2 𝑥 + sen2 𝑥
cos2 𝑥
=
1
cos2 𝑥
= sec2 𝑥 
∴ 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥 
 
9.4. Derivada de otras funciones trigonométricas 
Sabiendo que: 
cotg 𝑥 =
cos 𝑥
sen 𝑥
 ; sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
 ; cosec 𝑥 =
1
sen 𝑥
 
y aplicando la regla
de derivada de cociente de dos funciones, se puede probar 
fácilmente que: 
 
Función Función Derivada 
𝑓(𝑥) = cotg 𝑥 𝑓′(𝑥) = − cosec2 𝑥 
𝑓(𝑥) = sec 𝑥 𝑓′(𝑥) = sec 𝑥 ∙ tg 𝑥 
𝑓(𝑥) = cosec 𝑥 𝑓′(𝑥) = − cosec 𝑥 ∙ cotg 𝑥 
 
Ejemplo 1: 
Dada la función: 𝑓(𝑥) = sen√𝑥2 + 2, encontrar su función derivada. 
Solución: 
Como la función es compuesta, debemos aplicar la regla de la cadena. Así nos quedaría: 
𝑓′(𝑥) = cos√𝑥2 + 2 ∙
1
2 ∙ √𝑥2 + 2
∙ 2𝑥 =
𝑥 ∙ cos √𝑥2 + 2
√𝑥2 + 2
 
Ejemplo 2: 
Dada la función: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 ∙ sen (
𝜋
𝑥
) 𝑥 ≠ 0
0 𝑥 = 0
 
i) Calcular la función derivada. 
ii) Decidir si la función derivada es continua en 𝑥 = 0. 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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26 
Solución: 
i) Para calcular la función derivada, primero debemos averiguar si la función es o 
no derivable en el punto 𝑥 = 0. Para ello aplicamos la definición: 
𝑓′(0) = lim 
ℎ→0
ℎ∙sen
𝜋
ℎ
−0
ℎ
= lim 
ℎ→0
sen
𝜋
ℎ
 y sabemos que este límite no existe. 
∴ 𝑓′(0) no existe. 
Ahora bien, para los otros puntos 𝑥 ≠ 0, calculamos la derivada aplicando las 
reglas de derivación conocidas. De esta manera nos queda: 
𝑓′(𝑥) = 1 ∙ sen
𝜋
𝑥
+ 𝑥 ∙ cos
𝜋
𝑥
∙ (−
𝜋
𝑥2
) = sen
𝜋
𝑥
−
𝜋
𝑥
∙ cos
𝜋
𝑥
 
De este modo la función derivada quedaría: 
𝑓′(𝑥) = {
sen
𝜋
𝑥
−
𝜋
𝑥
∙ cos
𝜋
𝑥
𝑥 ≠ 0
No existe 𝑥 = 0
 
También podemos escribir: 
𝑓′(𝑥) = sen
𝜋
𝑥
−
𝜋
𝑥
∙ cos
𝜋
𝑥
, 𝑥 ≠ 0 
Sabemos que 𝑓 es continua en 𝑥 = 0, pues: 
a) 𝑓(0) = 0 
b) lim 
𝑥→0
𝑥 ∙ sen
𝜋
𝑥
= 0 
c) lim 
𝑥→0
 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) 
Sin embargo, demostramos que la función NO ES DERIVABLE en 𝑥 = 0. 
ii) Veamos ahora si la función derivada es o no continua en 𝑥 = 0. 
a) 𝑓′(0) no existe. Por lo tanto, éste solo hecho nos garantiza que la función 
derivada NO ES CONTINUA 
en 𝑥 = 0. 
b) ∄lim 
𝑥→0
(sen
𝜋
𝑥
−
𝜋
𝑥
∙ cos
𝜋
𝑥
) 
Por lo tanto podemos decir que la función 𝑓′ 
no es continua en 𝑥 = 0 y además presenta 
una discontinuidad esencial de segunda 
especie. 
La figura muestra el gráfico de la función 𝑓. 
 
Ejemplo 3: 
Dada la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 ∙ sen
𝜋
𝑥
𝑥 ≠ 0
0 𝑥 = 0
 
i) Calcular la función derivada 
ii) Decidir si la función derivada es continua en 𝑥 = 0 
Solución: 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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27 
𝑓 es continua en 𝑥 = 0, ya que: 
a) 𝑓(0) = 0 
b) lim 
𝑥→0
𝑥2 ∙ sen
𝜋
𝑥
= 0 
c) lim 
𝑥→0
 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) 
 
i) Veamos ahora cual es la función derivada de 𝑓. Para ello, primero 
analicemos si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 0. 
lim
ℎ→0
ℎ2 ∙ sen
𝜋
ℎ
− 0
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ ∙ sen
𝜋
ℎ
= 0 
∴ 𝑓′(0) = 0. 
Ahora bien, para los otros puntos 𝑥 ≠ 0, calculamos la derivada aplicando 
las reglas de derivación conocidas. De esta manera nos queda: 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ∙ sen
𝜋
𝑥
+ 𝑥2 ∙ cos
𝜋
𝑥
∙ (−
𝜋
𝑥2
) = 2𝑥 ∙ sen
𝜋
𝑥
− 𝜋 ∙ cos
𝜋
𝑥
 
De este modo la función derivada quedaría: 
𝑓′(𝑥) = {
2𝑥 ∙ sen
𝜋
𝑥
− 𝜋 ∙ cos
𝜋
𝑥
𝑥 ≠ 0
0 𝑥 = 0
 
 
ii) Nos queda por ver si la función derivada es o no continua en 𝑥 = 0 
a) 𝑓(0) = 0 
b) ∄lim 
𝑥→0
2𝑥 ∙ sen
𝜋
𝑥
− 𝜋 ∙ cos
𝜋
𝑥
 
 
Por lo tanto 𝑓′ no es una función continua en 
el punto 𝑥 = 0. Y presenta una 
discontinuidad esencial de segunda especie 
en el origen. 
La figura muestra el gráfico de la función 𝑓. 
 
10. Derivada de funciones hiperbólicas 
 
10.1. Funciones Hiperbólicas 
Llamaremos coseno hiperbólico y seno hiperbólico de 𝑥, a las funciones definidas por: 
 
𝐂𝐡𝒙 =
𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
𝟐
 ; 𝐒𝐡𝒙 =
𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙
𝟐
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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28 
Para realizar un estudio de las mismas, veamos si las funciones dadas son pares o 
impares. 
Ch(−𝑥) =
𝑒−𝑥 + 𝑒𝑥
2
= Ch𝑥 ; Sh(−𝑥) =
𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥
2
= −Sh𝑥 
 
Esto nos dice que la función Ch 𝑥 es una función par y el Sh𝑥 es una función impar. Por 
lo tanto la función coseno hiperbólico de 𝑥 es una función que es simétrica con respecto 
al eje de las ordenadas y el seno hiperbólico de 𝑥 es una función simétrica con respecto 
al origen de coordenadas. 
Además, Ch(0) = 1 y Sh(0) = 0. 
Para construir la gráfica de Ch 𝑥 y Sh 𝑥 se construyen las gráficas de 𝑒𝑥 y 𝑒−𝑥, 
simétricas entre sí. Basta tomar respectivamente la semisuma y la semidiferencia de sus 
ordenadas. 
Para entender mejor esto, grafiquemos Ch 𝑥 como la semisuma de las funciones 𝑒𝑥 y 
𝑒−𝑥. Donde se ha nombrado: 
 
𝑓1(𝑥) = 𝑒
𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑒
−𝑥, 
𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) = 𝑒
𝑥 + 𝑒−𝑥 
Ch𝑥 =
𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥)
2
 
 
La gráfica del Coseno Hiperbólico de 𝑥 es una curva llamada “Catenaria”; pues es de 
la forma que toma un cable suspendido por sus extremos bajo la acción de la gravedad. 
Aunque la gráfica se parezca a una parábola, NO debe confundirse como tal, ya que las 
coordenadas de dicha función no corresponden a una función polinómica de grado dos. 
Como: 
Ch 𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 ; Sh 𝑥 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 
Ch 𝑥 − Sh 𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
=
2𝑒−𝑥
2
= 𝑒−𝑥 
Ch 𝑥 + Sh 𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 + 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
=
2𝑒𝑥
2
= 𝑒𝑥 ∴ 𝑒𝑥 = Ch𝑥 + Sh 𝑥 
 
Hemos encontrado otro modo de definir la función exponencial 𝑦 = 𝑒𝑥 en términos de 
las funciones hiperbólicas. 
También: 𝑒−𝑥 = Ch𝑥 − Sh 𝑥 
Esto explica el comportamiento mutuo de las gráficas de Ch𝑥 y Sh 𝑥. 
Si multiplicamos ambas igualdades, obtenemos: 
 
𝑒−𝑥 ∙ 𝑒𝑥 = (Ch 𝑥 − Sh 𝑥) ∙ (Ch 𝑥 + Sh 𝑥) 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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29 
𝑒𝑥−𝑥 = Ch2 𝑥 − Sh2 𝑥 ∴ Ch2 𝑥 − Sh2 𝑥 = 1 
 
De aquí se obtiene la expresión de cada función en términos de la otra. 
Ch 𝑥 = √1 + Sh2 𝑥 y Sh𝑥 = √Ch2 𝑥 − 1 
También podemos definir las otras funciones 
hiperbólicas de la siguiente manera: 
 
Tgh𝑥 =
Sh 𝑥
Ch 𝑥
=
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 
Ctgh 𝑥 =
1
Tgh𝑥
=
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
 
Cosech 𝑥 =
1
Sh 𝑥
=
2
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
 
Sech 𝑥 =
1
Ch𝑥
=
2
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
 
 
Las gráficas de las funciones hiperbólicas Sh 𝑥, Ch 𝑥 y Tgh𝑥 se muestran en la 
siguiente figura: 
Las funciones hiperbólicas representan la abscisa y la ordenada de un punto de una 
hipérbola equilátera, y podrían definirse geométricamente a partir de esta curva, en 
forma muy semejante a las funciones circulares. De allí sus nombres. 
 
Esto es, las ecuaciones paramétricas: 
 
{
𝑥 = Ch 𝑡
𝑦 = Sh 𝑡
 
 
Representan una hipérbola equilátera. En efecto: 
 
𝑥2 = Ch2 𝑡
𝑦2 = Sh2 𝑡
} ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = Ch2 𝑡 − Sh2 𝑡 = 1. 
 
Por lo tanto Ch2 𝑡 − Sh2 𝑡 = 1, se conoce como identidad fundamental, mientras que la 
ecuación 𝑥2 − 𝑦2 = 1 es la relación del Seno y el Coseno hiperbólicos con la hipérbola 
equilátera dada por esa misma ecuación. 
 
10.2. Derivadas de las funciones hiperbólicas 
Las fórmulas para las derivadas de las funciones hiperbólicas se asemejan a las fórmulas 
para las funciones trigonométricas, con algunas diferencias de signos. 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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30 
 
𝑓(𝑥) = Sh 𝑥 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥(−1)
2
=
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
= Ch 𝑥 
𝑓(𝑥) = Ch𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥(−1)
2
=
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
= Sh 𝑥 
𝑓(𝑥) = Tgh 𝑥 =
Sh 𝑥
Ch 𝑥
⇒ 𝑓′(𝑥) =
Ch𝑥 ∙ Ch 𝑥 − Sh 𝑥 ∙ Sh 𝑥
Ch2 𝑥
=
Ch2 𝑥 − Sh2 𝑥
Ch2 𝑥
=
1
Ch2 𝑥
 
⇒ 𝑓′(𝑥) = Sech2 𝑥 
 
Análogamente, se puede demostrar que: 
 
Función Función Derivada 
𝑓(𝑥) = Cotgh 𝑥 𝑓′(𝑥) = −Cosech2 𝑥 
𝑓(𝑥) = Sech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −Sech 𝑥 ∙ Tgh𝑥 
𝑓(𝑥) = Cosech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −Cosech 𝑥 ∙ Cotgh𝑥 
 
11. Derivadas
de funciones trigonométricas inversas 
 
11.1. Derivada del Arco Seno 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = arcsen 𝑥 ⇒ 𝑥 = sen 𝑦 
Por la regla de derivación de funciones inversas: 𝑦′ =
1
𝑥′
. Así: 
𝑥′ = cos 𝑦 = √1 − sen2 𝑦 = √1 − 𝑥2 
∴ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =
1
√1 − 𝑥2
 
 
11.2. Derivada del Arco Coseno 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = arccos 𝑥 ⇒ 𝑥 = cos 𝑦 
Por la regla de derivación de funciones inversas: 𝑦′ =
1
𝑥′
. Así: 
𝑥′ = −sen 𝑦 = −√1 − cos2 𝑦 = −√1 − 𝑥2 
∴ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = −
1
√1 − 𝑥2
 
 
En forma análoga se pueden encontrar las derivadas de las otras funciones 
trigonométricas inversas: 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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31 
Función Función Derivada 
𝑓(𝑥) = arctg 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = arccotg 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
1 + 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = arcsec 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
𝑓(𝑥) = arccosec 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
 
 
12. Derivada de funciones hiperbólicas inversas 
 
12.1. Derivada del Argumento del Seno Hiperbólico 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = ArgSh 𝑥 ⇒ 𝑥 = Sh𝑦 
Por la regla de derivación de funciones inversas: 𝑦′ =
1
𝑥′
. Así: 
𝑥′ = Ch𝑦 = √1 + Sh2 𝑦 = √1 + 𝑥2 
∴ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =
1
√1 + 𝑥2
 
 
12.2. Derivada del Argumento del Coseno Hiperbólico 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = ArgCh 𝑥 ⇒ 𝑥 = Ch𝑦 
Por la regla de derivación de funciones inversas: 𝑦′ =
1
𝑥′
. Así: 
𝑥′ = Sh𝑦 = √Ch2 𝑦 − 1 = √𝑥2 − 1 
∴ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥2 − 1
 
 
En forma análoga se pueden encontrar las derivadas de las otras funciones hiperbólicas 
inversas: 
 
Función Función Derivada 
𝑓(𝑥) = ArgTgh𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
1 − 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = ArgCotgh 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
1 − 𝑥2
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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32 
𝑓(𝑥) = ArgSech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
𝑥√1 − 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = ArgCosech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|√1 + 𝑥2
 
 
13. Derivada Logarítmica 
 
Se puede demostrar que: 
𝑦 = [𝑓(𝑥)]𝑛 ⇒ 𝑦′ = 𝑛 ∙ [𝑓(𝑥)]𝑛−1 ∙ 𝑓′(𝑥) 
𝑦 = 𝑎𝑓(𝑥) ⇒ 𝑦′ = 𝑎𝑓(𝑥) ∙ ln 𝑎 ∙ 𝑓′(𝑥) 
Las derivadas anteriores se justifican por la regla de derivación de funciones 
compuestas. Veamos qué ocurre cuando la función a derivar es de la forma: 
𝑦 = 𝐹(𝑥) = [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) 
Por definición es muy complicado obtener la función derivada, entonces procederemos 
en forma distinta. 
Tomaremos logaritmo natural en ambos miembros. Así: 
ln 𝑦 = ln[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ln[𝑓(𝑥)] 
∴ ln 𝑦 = 𝑔(𝑥) ∙ ln[𝑓(𝑥)] 
Derivando ambos miembros de la igualdad, aplicando la regla del producto de dos 
funciones y la regla de la cadena (ya que 𝑦 depende de 𝐹(𝑥)), obtenemos: 
1
𝑦
∙ 𝑦′ = 𝑔′(𝑥) ∙ ln 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙
1
𝑓(𝑥)
∙ 𝑓′(𝑥) 
⇒ 𝑦′ = 𝑦 ∙ [𝑔′(𝑥) ∙ ln 𝑓(𝑥) +
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
∙ 𝑓′(𝑥)] 
∴ 𝑦′ = [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) ∙ [𝑔′(𝑥) ∙ ln 𝑓(𝑥) +
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
∙ 𝑓′(𝑥)] 
El método empleado en estos párrafos se llama “derivación logarítmica” 
 
Ejemplo: 
Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = (sen 𝑥)√𝑥 
Solución: 
Hacemos 𝑦 = (sen 𝑥)√𝑥. Aplicando logaritmo natural miembro a miembro, tenemos 
ln 𝑦 = √𝑥 ∙ ln sen 𝑥 
1
𝑦
∙ 𝑦′ =
1
2√𝑥
∙ ln sen 𝑥 + √𝑥 ∙
1
sen 𝑥
∙ cos 𝑥 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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33 
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = (sen 𝑥)√𝑥 [
ln sen 𝑥
2√𝑥
+ √𝑥 ∙ cotg 𝑥] 
 
Con la derivación logarítmica, veamos nuevamente la regla de la potencia: 
 
Ejemplo 2: 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑘 con 𝑘 ∈ ℝ. 
i) Si 𝑥 > 0, 𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑥𝑘−1. 
ii) Si 𝑥 ≤ 0, 𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑥𝑘−1, siempre que 𝑥𝑘, 𝑥𝑘−1 y 𝑓′ existan. 
Demostración: 
i) 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 = 𝑒ln 𝑥 ⇒ 𝑥𝑘 = (𝑒ln𝑥)
𝑘
= 𝑒𝑘 ln𝑥 
⇒ [𝑥𝑘]′ = [𝑒𝑘 ln𝑥]
′
= 𝑒𝑘 ln𝑥⏟ 
𝑥𝑘
∙ 𝑘 ∙
1
𝑥
= 𝑘𝑥𝑘𝑥−1 = 𝑘𝑥𝑘−1 
ii) Para 𝑥 ≤ 0, si 𝑥𝑘, 𝑥𝑘−1 y 𝑓′ existen, hacemos 𝑦 = 𝑥𝑘. 
𝑦 = 𝑥𝑘 ⇒ |𝑦| = |𝑥𝑘| = |𝑥|𝑘 
Aplicando logaritmo natural miembro a miembro, tenemos 
ln|𝑦| = ln|𝑥𝑘| = 𝑘 ln|𝑥| 
Derivando miembro a miembro 
⇒
1
|𝑦|
𝑠𝑔𝑛(𝑦) ∙ 𝑦′ = 𝑘 ∙
1
|𝑥|
𝑠𝑔𝑛(𝑥) ⇒
1
𝑦
∙ 𝑦′ = 𝑘 ∙
1
𝑥
⇒ 𝑦′ = 𝑦 ∙
𝑘
𝑥
 
⇒ 𝑦′ = 𝑘 ∙
𝑥𝑘
𝑥
= 𝑘𝑥𝑛−1 
∴ y′ = f ′(x) = 𝑘x𝑘−1 
 
14. Derivada de funciones expresadas paramétricamente 
 
Una función expresada paramétricamente, o en coordenadas paramétricas, está dada 
por: 
{
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
 
donde 𝑡 es un parámetro definido para un cierto intervalo, siendo así 𝑥 e 𝑦 funciones del 
parámetro 𝑡. 
 
 Si se cumple que 𝑥 e 𝑦 son derivables en 𝑡. Entonces: 
𝑥′(𝑡) = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 ∧ 𝑦′(𝑡) = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑦
Δ𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
Análisis Matemático I – Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas 
34 
∴ 𝑦′(𝑥(𝑡)) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑦′(𝑡)
𝑥′(𝑡)
 ∴ 𝑦′(𝑥(𝑡)) =
𝑦′(𝑡)
𝑥′(𝑡)
 
 
Ejemplo 1: 
Dadas las ecuaciones paramétricas de la elipse, encuentra su derivada. 
{
𝑥(𝑡) = 𝑎 ∙ cos 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑏 ∙ sen 𝑡
 
∀𝑡 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏 ≠ 0. 
Solución: 
Como {
𝑥(𝑡) = 𝑎 ∙ cos 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑏 ∙ sen 𝑡
, ∀𝑡 ∈ ℝ, entonces: 
{
𝑥′(𝑡) = −𝑎 ∙ sen 𝑡
𝑦′(𝑡) = 𝑏 ∙ cos 𝑡
⇒ 𝑦′(𝑥(𝑡)) = −
𝑏 ∙ cos 𝑡
𝑎 ∙ sen 𝑡
= −
𝑏
𝑎
cotg 𝑡 
Si queremos expresar la derivada en función de la variable 𝑥, debemos tener en cuenta 
lo siguiente: 
{
𝑥
𝑎
= cos 𝑡
𝑦
𝑏
= sen 𝑡
⇒
{
 
 
𝑥2
𝑎2
= cos2 𝑡
𝑦2
𝑏2
= sen2 𝑡
⇒
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= cos2 𝑡 + sen2 𝑡 = 1 ⇒
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
La última es la expresión de una elipse en coordenadas cartesianas. Despejando 
𝑦 = 𝑦(𝑥(𝑡)), será: 
𝑦2
𝑏2
= 1 −
𝑥2
𝑎2
⇒ 𝑦2 = 𝑏2 (1 −
𝑥2
𝑎2
) ⇒ 𝑦 = ±√
𝑏2
𝑎2
(𝑎2 − 𝑥2) 
 
Aplicando a un caso particular, se decide cuál de los signos ha de tomarse. En este caso 
se considerará el signo positivo. 
 
Con esta expresión dada anteriormente y trabajando algebraicamente 𝑦′ obtenemos: 
𝑦′ = −
𝑏
𝑎
∙
cos 𝑡
sen 𝑡
= −
𝑏
𝑎
∙
𝑎
𝑎
∙
𝑏
𝑏
∙
cos 𝑡
sen 𝑡
= −
𝑏
𝑎
∙
(𝑎 ∙ cos 𝑡) ∙ 𝑏
(𝑏 ∙ sen 𝑡) ∙ 𝑎
= −
𝑏
𝑎
∙
𝑏𝑥
𝑎𝑦
= −
𝑏2𝑥
𝑎2𝑦
 
⇒ 𝑦′ = −
𝑏2𝑥
𝑎2√
𝑏2
𝑎2
(𝑎2 − 𝑥2)
= −
𝑏2𝑥
𝑎2
𝑏
𝑎 √𝑎
2 − 𝑥2
= −
𝑏
𝑎
𝑥
√𝑎2 − 𝑥2
 
∴ 𝑦′ = −
𝑏
𝑎
𝑥
√𝑎2 − 𝑥2
 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
Análisis Matemático I – Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas 
35 
En particular, consideremos las ecuaciones de la elipse: 
{
𝑥(𝑡) = 4 ∙ cos 𝑡
𝑦(𝑡) = 1 ∙ sen 𝑡
 , 𝑡 ∈ ℝ 
 
Distinguimos que en este caso, 𝑎 = 4 , 𝑏 = 1. Por lo tanto su ecuación será de la 
forma: 
𝑥2
16
+
𝑦2
1
= 1 
 
Podemos dar algunos valores al parámetro 𝑡, y construir una tabla para los posibles 
valores que pueden tomar las variables 𝑥 e 𝑦. 
 
𝒕 𝒙(𝒕) 𝒚(𝒕) 
0 4 0 
𝜋
6
 2.√3 ≅ 3.43 
1
2
 
𝜋
4
 2.√2 ≅ 2.82 
√2
2
≅ 0.71 
𝜋
3
 4 ∙
1
2
= 2 
√3
2
≅ 0.86 
𝜋
2
 0 1 
𝜋 -4 0 
3𝜋
2
 0 -1 
 
La grafica de la elipse la encontramos con los valores de la tabla. 
 
 
Por el resultado anterior, tenemos que en el punto Q(2√2,
√2
2
), la pendiente de la recta 
tangente está dada por 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
Análisis Matemático I – Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas 
36 
𝑦′ = −
1
4
2√2
√16 − (2√2)
2
= −
1
4
2√2
√16 − 8
= −
√2
2√8
= −
√2
2 ∙ 2√2
= −
1
4
 
 
Luego, la ecuación de la recta tangente es: 
 
𝑦 −
√2
2
= −
1
4
(𝑥 − 2√2) ⇒ 𝑦 = −
1
4
(𝑥 − 2√2) +
√2
2
 
 
En el gráfico se muestra la elipse y su tangente en el punto 𝑄 (2√2,
√2
2
) 
 
 
Ejemplo 2: 
Dada la Función paramétrica {
𝑥(𝑡) = 𝑡2
𝑦(𝑡) = 𝑡
, con 
𝑡 ∈ ℝ. Determinaremos su gráfica mediante 
una tabla de valores: 
 
 
𝒕 𝒙(𝒕) 𝒚(𝒕) 
-3 9 -3 
-2 4 -2 
-1 1 -1 
0 0 0 
1 1 1 
2 4 2 
3 9 3 
 
Encontraremos la rectas tangentes en los puntos de coordenadas 𝑃 = (1,1) y 𝑄 =
(4,−2). 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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37 
Teniendo
en cuenta que {
𝑥′(𝑡) = 2𝑡
𝑦′(𝑡) = 1
. Así, la derivada es 𝑦´(𝑥(𝑡)) =
𝑦′(𝑡)
𝑥′(𝑡)
=
1
2𝑡
. 
El punto 𝑃 = (1,1) corresponde al valor de 𝑡 = 1, entonces la derivada es 𝑦′ =
1
2
 
(recordar que geométricamente el valor 𝑦′ =
1
2
 es la pendiente de la recta tangente que 
pasa por el punto 𝑃). 
La ecuación de la recta es: 
𝑦 − 1 =
1
2
(𝑥 − 1) ⇒ 𝑦 =
1
2
𝑥 +
1
2
 
El punto 𝑄 = (4,−2) corresponde al valor de 𝑡 = −2, entonces la derivada es 𝑦´ =
−1
4
 
(recordar que geométricamente el valor 𝑦´ =
−1
4
 es la pendiente de la recta tangente que 
pasa por el punto 𝑄). 
La ecuación de la recta es: 
𝑦 + 2 = −
1
4
(𝑥 − 4) ⇒ 𝑦 = −
1
4
𝑥 − 1 
En el gráfico observamos la curva paramétrica y sus tangentes en 𝑃 y en 𝑄. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Derivada de Funciones Implícitas 
 
La mayoría de las funciones que hemos encontrado están descritas por la fórmula: 
𝑓 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑓(𝑥)} 
donde la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa una fórmula o regla que nos dice como 
computar el valor de la variable dependiente “𝑦” directamente en términos de la 
variable independiente “𝑥”. Una función tal se llama “explícita”. 
 
Pero podemos también expresar la función mediante la relación 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, con 
𝑦 = 𝑓(𝑥). Si está representada de este modo, se dice que la función está dada en forma 
“implícita”. 
 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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38 
Ejemplo 1: 
La ecuación 𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 3 − 𝑦2 puede ponerse de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0. 
𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑦 − 3 + 𝑦2 = 0 y de este modo podemos despejar 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
𝑦2 + 𝑥 ∙ 𝑦 + (𝑥2 − 3) = 0 y tenemos una ecuación cuadrática en 𝑦. Resolviendo la 
misma: 
𝑦 =
−𝑥 ± √[𝑥2 − 4(𝑥2 − 3)]
2
=
−𝑥 ± √𝑥2 − 4𝑥2 + 12
2
 
∴ 𝑦 =
−𝑥 ± √12 − 3𝑥2
2
 
Para que la expresión tenga sentido, debe cumplirse: 
12 − 3𝑥2 ≥ 0 ⇒ 12 ≥ 3𝑥2 ⇒ 4 ≥ 𝑥2 ∴ |𝑥| ≤ 2 
Como hay dos valores para 𝑦, para cada 𝑥, tal que |𝑥| ≤ 2, el conjunto no es una 
función sino una relación. Si especificamos: 
𝑓1 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 =
−𝑥 + √12 − 3𝑥2
2
} 
𝑓2 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 =
−𝑥 − √12 − 3𝑥2
2
} 
con Dominio 𝐷𝑓𝑖 = {𝑥 ∈ ℝ: |𝑥| ≤ 2} 
 
Entonces cada una de las 𝑓𝑖
 
será una función. Por ello, cuando tenemos 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 
generalmente implica una o más relaciones funcionales. Esto no siempre es cierto, pues 
la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 1 = 0 no es cierta para ningún valor de 𝑥 e 𝑦. Por lo tanto no 
existe ninguna función de variable real. 
 
Bajo ciertas condiciones que generalmente se encuentran en las aplicaciones, una 
ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 define una o más función derivables de las cuales una particular 
puede escogerse haciendo especificaciones adicionales. 
 
Una función cuya existencia está implicada en una ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 se llama 
“implícita”. 
 
A veces no se puede encontrar 𝑦 = 𝑓(𝑥), pero es muy interesante conocer su derivada, 
pues ella puede proporcionarnos datos importantes del comportamiento de una función 
en un entorno de un punto. Por ese motivo, veamos cómo encontrar la derivada de 
funciones dadas en forma implícita. Esto lo haremos mediante dos ejemplos. 
 
 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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39 
Ejemplo 2: 
Encontrar la derivada en un punto de la circunferencia: 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
Derivando respecto de 𝑥, teniendo en cuenta que 𝑦 = 𝑓(𝑥) y que debemos aplicar la 
regla de la cadena tenemos: 
2𝑥 + 2𝑦 ∙ 𝑦′ = 0 ⇒ 2𝑦 ∙ 𝑦′ = 2𝑥 ⇒ 𝑦′ = −
𝑥
𝑦
 
∴ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = −
𝑥
√1 − 𝑥2
 
 
La cual está definida para todos los valores de la variable 𝑥 tales que −1 < 𝑥 < 1. 
 
 
 
 
 
La gráfica muestra la recta tangente en un punto 
cualquiera que está en el primer cuadrante. Notar 
que para cualquier valor de 𝑥 e 𝑦, la pendiente es 
negativa en este cuadrante 
 
 
 
Ejemplo 3: 
Encontrar la derivada de la siguiente función dada en forma implícita por la ecuación: 
𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦2 − 3 = 0 
Solución: 
𝑥2 + 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦2 − 3 = 0 
⇒ 2𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦′ + 2𝑦 ∙ 𝑦′ = 0 
⇒ 2𝑥 + 𝑦 + (𝑥 + 2𝑦)𝑦′ = 0 ⇒ (𝑥 + 2𝑦)𝑦′ = −(2𝑥 + 𝑦) 
∴ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = −
(2𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 2𝑦)
 
 
16. Tabla de derivadas 
 
A modo de resumen, podemos plantear la siguiente tabla de derivadas: 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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40 
Función Función Derivada 
𝐹(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥) 𝐹′(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥) 
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) 
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 
𝐹(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝐹′(𝑥) =
𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
𝑦 = 𝑓(𝑢), 𝑢 = 𝑔(𝑥) 𝑦𝑥
′ = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑥) 
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑓−1(𝑦), 𝑓′(𝑥) ≠ 0 𝑦′ =
1
𝑥′
 
𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑓′(𝑥) = 0 
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑘 , 𝑥 > 0 𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑥𝑘−1 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑘 , 𝑥 ≤ 0 
siempre que existan 𝑥𝑘, 𝑥𝑘−1 y 𝑓′ 
𝑓′(𝑥) = 𝑘𝑥𝑘−1 
𝑓(𝑥) = |𝑥| 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑔𝑛(𝑥) 
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ∙ ln 𝑎
 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln 𝑎 
𝑓(𝑥) = sen 𝑥 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑓′(𝑥) = − sen𝑥 
𝑓(𝑥) = tg 𝑥 𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥 
𝑓(𝑥) = cotg 𝑥 𝑓′(𝑥) = − cosec2 𝑥 
𝑓(𝑥) = sec 𝑥 𝑓′(𝑥) = sec 𝑥 ∙ tg 𝑥 
𝑓(𝑥) = cosec 𝑥 𝑓′(𝑥) = − cosec 𝑥 ∙ cotg 𝑥 
𝑓(𝑥) = Sh 𝑥 𝑓′(𝑥) = Ch 𝑥 
𝑓(𝑥) = Ch𝑥 𝑓′(𝑥) = Sh 𝑥 
𝑓(𝑥) = Tgh 𝑥 𝑓′(𝑥) = Sech2 𝑥 
𝑓(𝑥) = Cotgh 𝑥 𝑓′(𝑥) = −Cosech2 𝑥 
𝑓(𝑥) = Sech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −Sech 𝑥 ∙ Tgh𝑥 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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41 
𝑓(𝑥) = Cosech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −Cosech 𝑥 ∙ Cotgh 𝑥 
𝑓(𝑥) = arcsen 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
√1 − 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = arccos 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
√1 − 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = arctg 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = arccotg 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
1 + 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = arcsec 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
𝑓(𝑥) = arccosec 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|√𝑥2 − 1
 
𝑓(𝑥) = ArgSh 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
√1 + 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = ArgCh 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
√𝑥2 − 1
 
𝑓(𝑥) = ArgTgh 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
1 − 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = ArgCotgh 𝑥 𝑓′(𝑥) =
1
1 − 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = ArgSech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
𝑥√1 − 𝑥2
 
𝑓(𝑥) = ArgCosech 𝑥 𝑓′(𝑥) = −
1
|𝑥|√1 + 𝑥2
 
𝑦 = [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) Derivación logaritmica 
{
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
 𝑦′(𝑥(𝑡)) =
𝑦′(𝑡)
𝑥′(𝑡)
 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, con 𝑦 = 𝑓(𝑥) Derivación implícita 
 
17. Derivadas Sucesivas 
 
Sea 𝑓 una función derivable en 𝑥. Entonces se cumple: 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑔(𝑥) 
donde hemos escrito a 𝑔 como la función derivada de 𝑓 en 𝑥. 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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42 
Nos preguntamos: ¿𝒈 será o no derivable en 𝒙? 
La respuesta es afirmativa si y sólo si se cumple 𝒈′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 
𝒉→𝟎
𝒈(𝒙+𝒉)−𝒈(𝒙)
𝒉
 si dicho límite 
existe. 
 
Por lo tanto: 
𝒈′(𝒙) = [𝒇′(𝒙)]′ = 𝒇′′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 
𝒉→𝟎
𝒇′(𝒙+𝒉)−𝒇′(𝒙)
𝒉
 si dicho límite existe. 
 
Así 𝑔′ es una función que es derivable en 𝑥 que podemos llamar 𝑟. ¿será 𝑟 derivable en 
𝑥?. De nuevo la respuesta será afirmativa si y sólo si se cumple: 
 
𝒓′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 
𝒉→𝟎
𝒈′(𝒙+𝒉)−𝒈′(𝒙)
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦 
𝒉→𝟎
𝒇′′(𝒙+𝒉)−𝒇′′(𝒙)
𝒉
= 𝒈′′(𝒙) si dicho límite existe. 
Podemos escribir entonces 𝒇′′′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 
𝒉→𝟎
𝒇′′(𝒙+𝒉)−𝒇′′(𝒙)
𝒉
 
 
En general, podemos decir que 𝒇(𝒏)(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 
𝒉→𝟎
𝒇(𝒏−𝟏)(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒏−𝟏)(𝒙)
𝒉
, si dicho límite existe, 
la llamaremos derivada 𝑛-ésima de 𝑓 con respecto a 𝑥. 
 
Ejemplo 1: 
Encontrar la derivada 𝑛-ésima de la función: 
Solución: 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 + 1 
𝑓′(𝑥) = 𝑓(1)(𝑥)
= 4𝑥3 − 9𝑥2 + 10𝑥 − 2 
𝑓′′(𝑥) = 𝑓(2)(𝑥) = 12𝑥2 − 18𝑥 + 10 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑓(3)(𝑥) = 24𝑥 − 18 
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = 𝑓(4)(𝑥) = 24 
𝑓𝑉(𝑥) = 𝑓(5)(𝑥) = 0 
𝑓𝑉𝐼(𝑥) = 𝑓(6)(𝑥) = 0 
𝑓(𝑛)(𝑥) = 0 ∀𝑛 ≥ 5 
que llamaremos derivada 𝑛-ésima de 𝑓. 
 
 
El dibujo muestra la función 𝑓 y su derivada primera. 
 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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43 
 
 
El dibujo muestra las gráficas de las funciones 
derivadas de segundo, tercero y cuarto orden de la 
función. 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Encontrar la derivada 𝑛-ésima de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 . 
Solución: 
𝑓′(𝑥) = 𝑓(1)(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓′′(𝑥) = 𝑓(2)(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑓(3)(𝑥) = 𝑒𝑥 
⋮ 
𝑓(𝑛)(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
El dibujo muestra la función 𝑓 y sus 
respectivas derivadas, hasta la 𝑛-
ésima. ¡¡¡Todas iguales. !!! 
 
Ejemplo 3: 
Encontrar la derivada 𝑛-ésima de la función 𝑓(𝑥) = sen 𝑥. 
Solución: 
𝑓′(𝑥) = 𝑓(1)(𝑥) = cos 𝑥 = sen (𝑥 +
𝜋
2
) 
𝑓′′(𝑥) = 𝑓(2)(𝑥) = − sen𝑥 = sen(𝑥 + 𝜋) = sen (𝑥 +
2
2
𝜋) 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑓(3)(𝑥) = − cos 𝑥 = − sen (𝑥 +
𝜋
2
) = sen (𝑥 + 𝜋 +
𝜋
2
) = sen (𝑥 +
3
2
𝜋) 
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = 𝑓(4)(𝑥) = sen 𝑥 = sen(𝑥 + 2𝜋) = sen (𝑥 +
4
2
𝜋) 
⋮ 
𝑓(𝑛)(𝑥) = sen (𝑥 +
𝑛
2
𝜋) 
 
 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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44 
Ejemplo 4: 
Encontrar la derivada 𝑛-ésima de la función 𝑓(𝑥) = ln 𝑥. 
Solución: 
𝑓′(𝑥) = 𝑓(1)(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑓′′(𝑥) = 𝑓(2)(𝑥) = −
1
𝑥2
 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑓(3)(𝑥) =
2
𝑥3
=
1 ∙ 2
𝑥3
 
𝑓𝐼𝑉(𝑥) = 𝑓(4)(𝑥) =
−6
𝑥4
=
−1 ∙ 2 ∙ 3
𝑥4
 
𝑓𝑉(𝑥) = 𝑓(5)(𝑥) =
24
𝑥5
=
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4
𝑥5
 
⋮ 
𝑓(𝑛)(𝑥) = (−1)𝑛+1
(𝑛 − 1)!
𝑥𝑛
 
 
Lo que hemos encontrado en estos ejemplos son “fórmulas recursivas” para encontrar la 
derivada 𝑛-ésima de una función. 
 
No siempre es posible encontrar una expresión para la derivada 𝑛– ésima. Sin embargo 
es importante es importante conocer las derivadas 𝑛 –ésimas que nos servirán para 
cálculos a posteriori. 
 
18. Derivada 𝒏-ésima del producto de dos funciones 
 
Sea 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣, donde 𝑢 = 𝑢(𝑥) y 𝑣 = 𝑣(𝑥) 
Calculemos las derivadas: 
𝑦′ = 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′ 
𝑦′′ = 𝑢′′. 𝑣 + 𝑢′. 𝑣′ + 𝑢′. 𝑣′ + 𝑢. 𝑣′′ = 𝑢′′. 𝑣 + 2 ∙ 𝑢′. 𝑣′ + 𝑢. 𝑣′′ 
 = 𝑢(2). 𝑣(0) + 2 ∙ 𝑢(1). 𝑣(1) + 𝑢(0). 𝑣(2) = (𝑢 + 𝑣)(2) 
𝑦′′′ = 𝑢′′′ ∙ 𝑣 + 𝑢′′ ∙ 𝑣′ + 2(𝑢′′ ∙ 𝑣′ + 𝑢′ ∙ 𝑣′′) + 𝑢′ ∙ 𝑣′′ + 𝑢 ∙ 𝑣′′′ 
 = 𝑢′′′ ∙ 𝑣 + 𝑢′′ ∙ 𝑣′ + 2 ∙ 𝑢′′ ∙ 𝑣′ + 2 ∙ 𝑢′ ∙ 𝑣′′ + 𝑢′ ∙ 𝑣′′ + 𝑢 ∙ 𝑣′′′ 
 = 𝑢′′′ ∙ 𝑣 + 3 ∙ 𝑢′′ ∙ 𝑣′ + 3 ∙ 𝑢′ ∙ 𝑣′′ + 𝑢 ∙ 𝑣′′′ 
 = 𝑢(3) ∙ 𝑣(0) + 3 ∙ 𝑢(2) ∙ 𝑣(1) + 3 ∙ 𝑢(1) ∙ 𝑣(2) + 𝑢(0) ∙ 𝑣(3) = (𝑢 + 𝑣)(3) 
 
Si escribimos las derivadas del siguiente modo: 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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45 
𝑦(1) = 𝑢(1). 𝑣(0) + 𝑢(0). 𝑣(1) 
𝑦(2) = 𝑢(2). 𝑣(0) + 2 ∙ 𝑢(1). 𝑣(1) + 𝑢(0). 𝑣(2) = (𝑢 + 𝑣)(2) 
𝑦(3) = 𝑢(3) ∙ 𝑣(0) + 3 ∙ 𝑢(2) ∙ 𝑣(1) + 3 ∙ 𝑢(1) ∙ 𝑣(2) + 𝑢(0) ∙ 𝑣(3) = (𝑢 + 𝑣)(3) 
 
Los exponentes entre paréntesis indican el orden de derivación, 𝑦(0) indica la función 
sin derivar. Así vemos la analogía que existe con el desarrollo de un binomio elevado a 
la 𝑛-ésima potencia. Por lo tanto: 
𝒚(𝒏) = (𝒖 + 𝒗)(𝒏) 
Hemos expresado la fórmula recursiva para la derivada 𝑛–ésima del producto de dos 
funciones 𝑢 y 𝑣. 
 
Ejemplo 1: 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∙ ln 𝑥, calcular la derivada de orden 3. 
Solución: 
Si 𝑦 = 𝑥2 ∙ ln 𝑥, tenemos que 𝑦(4) = (𝑥2 + ln 𝑥)(4). Llamemos 𝑢 = 𝑢(𝑥) = 𝑥2 y 
𝑣 = 𝑣(𝑥) = ln 𝑥. 
 
𝑢(0) = 𝑥2; 𝑣(0) = ln 𝑥 
𝑢(1) = 2𝑥; 𝑣(1) = 𝑥−1 
𝑢(2) = 2; 𝑣(2) = (−1) ∙ 𝑥−2 
𝑢(3) = 0; 𝑣(3) = (−1) ∙ (−2) ∙ 𝑥−3 = 2 ∙ 𝑥−3 
 
Así, obtenemos: 
𝑦(3) = 0 ∙ ln 𝑥 + 3 ∙ 2 ∙ 𝑥−1 + 3 ∙ 2 ∙ 𝑥 ∙ (−𝑥−2) + 2 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥−3 
𝑦(3) = 6 ∙ 𝑥−1 − 6 ∙ 𝑥−1 + 2 ∙ 𝑥−1 ⇒ 𝑦(3) = 2 ∙ 𝑥−1 
 
Ejemplo 2: 
Si 𝑓(𝑥) = √𝑥 ∙ 𝑒𝑥, calcular la derivada de orden 4. 
Solución: 
Si 𝑦 = √𝑥 ∙ 𝑒𝑥, tenemos que 𝑦(4) = (√𝑥 + 𝑒𝑥)
(4)
. Llamemos 𝑢 = 𝑢(𝑥) = √𝑥 y 
𝑣 = 𝑣(𝑥) = 𝑒𝑥. 
 
𝑢(0) = √𝑥; 𝑣(0) = 𝑒𝑥 
𝑢(1) =
1
2
𝑥−
1
2; 𝑣(1) = 𝑒𝑥 
Derivada 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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46 
𝑢(2) = −
1
4
𝑥−
3
2; 𝑣(2) = 𝑒𝑥 
𝑢(3) =
3
8
𝑥−
5
2; 𝑣(3) = 𝑒𝑥 
𝑢(4) = −
15
16
𝑥−
7
2; 𝑣(4) = 𝑒𝑥 
Así: 
𝑦(4) = −
15
16
𝑥−
7
2𝑒𝑥 + 4 ∙
3
8
𝑥−
5
2𝑒𝑥 + 6(−
1
4
𝑥−
3
2) 𝑒𝑥 + 4 ∙
1
2
𝑥−
1
2𝑒𝑥 + √𝑥𝑒𝑥 
∴ 𝑦(4) = −
15
16
𝑥−
7
2𝑒𝑥 +
3
2
𝑥−
5
2𝑒𝑥 −
2
3
𝑥−
3
2𝑒𝑥 + 2𝑥−
1
2𝑒𝑥 + √𝑥𝑒𝑥 = (√𝑥 + 𝑒𝑥)
(4)
Diferencial 
 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) que admite derivada finita en un punto. Sabemos que: 
𝑓′(𝑥) = lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥
⇒
Δ𝑦
Δ𝑥
= 𝑓′(𝑥) + 𝜀(𝑥) con lim
Δ𝑥→0
𝜀(𝑥) = 0 
Así: 
Δ𝑦 = 𝑓′(𝑥)Δ𝑥 + 𝜀(𝑥)Δ𝑥 (1) 
 
Al primer término (parte principal del incremento si 𝑓′(𝑥) no es nulo), se lo llama 
“diferencial de 𝑦”. 
 
Definición: 
Diferencial en un punto 𝑥 de una función derivable en ese punto, es el producto de su 
derivada por el incremento arbitrario de la variable. Esto es: 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) ∙ Δ𝑥 
Además considerando a 𝑥 como función de 𝑥, tenemos: 
𝑥 = 𝑔(𝑥) entonces 𝑔′(𝑥) = 1 y por definición 
𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑥)Δ𝑥 ∴ 𝑑𝑥 = 1 ∙ Δ𝑥 ⇒ Δ𝑥 = 𝑑𝑥 
Así podemos expresar 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 
 
Esta última igualdad se llama “expresión analítica del diferencial”. Esta expresión del 
diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑎)𝑑𝑥, resulta coincidente “en pequeño” y alrededor del punto 
𝑥 = 𝑎, con la ecuación incremental de la tangente (considerada como recta que pasa por 
un punto) con solo sustituir incrementos por diferenciales; ya que la ecuación de la 
tangente tiene la forma: 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎). 
 
Esto es: 
Por (1), tenemos que Δ𝑦 ≅ 𝑓′(𝑎)Δ𝑥, pues Δ𝑦 = 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) y Δ𝑥 = 𝑥 −
𝑎 
Si sustituimos Δ𝑥 = 𝑑𝑥 y Δ𝑦 ≅ 𝑑𝑦, entonces: 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 
 
Es fácil demostrar que Δ𝑦 y 𝑑𝑦 son infinitésimos equivalentes, cuando Δ𝑥 → 0. Esto 
quiere decir que Δ𝑦 ≅ 𝑑𝑦, cuando Δ𝑥 → 0. 
En efecto: 
𝑑𝑦
Δ𝑦
=
𝑦′Δ𝑥
Δ𝑦
=
𝑦′
Δ𝑦
Δ𝑥
 
tomando límite cuando Δ𝑥 → 0 se tiene: 
Diferencial 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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48 
lim
Δ𝑥→0
𝑑𝑦
Δ𝑦
= lim
Δ𝑥→0
𝑦′
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑦′
𝑦′
= 1 ⇒
𝑑𝑦
Δ𝑦
= 1 + 𝜇(𝑥) ⇒ 𝑑𝑦 = Δ𝑦 + 𝜇(𝑥)Δ𝑦 
Esto dice que 𝑑𝑦 y Δ𝑦 difieren en un infinitésimo. Este resultado es consecuencia de 
(1) 
Al ser infinitésimos equivalentes, puede utilizarse 𝑑𝑦 como una buena aproximación de 
Δ𝑦 en las cercanías del punto donde se está analizando. 
 
Interpretación Geométrica 
 
 
𝑦′ = tg𝜑 =
𝑆𝑅
𝑃𝑅
=
𝑆𝑅
Δ𝑥
 
⇒ 𝑆𝑅 = 𝑦′Δ𝑥 = 𝑑𝑦 
∴ 5 𝑑𝑦 > Δ𝑦 
 
 
Es decir: El diferencial de una 
función en un punto, es el 
“incremento de la ordenada de la 
tangente” en ese punto. 
No debe confundirse Δ𝑦 con 𝑑𝑦 
que solamente son idénticos cuando la curva coincide con la tangente, o sea cuando la 
función es lineal. 
 
Geométricamente, el diferencial es una aproximación lineal de la función en el punto. 
Esto significa que tenemos un modo de aproximar la función en un punto. Luego 
veremos de qué manera podemos conseguir una mejor aproximación. 
También, en el caso de una variable la función es derivable en el punto cuando y solo 
cuando es diferenciable. Esto significa que si una función es derivable entonces existe la 
recta tangente en dicho punto (o sea es diferenciable). 
Por ello, cuando una función es derivable en un punto 𝑎; recta y curva se aproximan 
tanto como se quiera cuando Δ𝑥 → 0. Además el incremento 𝑑𝑥 o Δ𝑥 puede ser 
cualquiera, sea
constante o variable, tienda o no a cero se verifica que: 
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
5
 Si la concavidad de la curva es hacia abajo, se puede ver que la desigualdad cambia de sentido. 
(Ejercicio para el lector). 
∆𝑦 
 
𝑑𝑦 
 ∆𝑦 
Diferencial 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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49 
Esta igualdad no sólo nos permite considerar al segundo miembro como cociente de 
diferenciales, sino como una notación de derivada que tiene la ventaja de poner en 
evidencia la función que se deriva y también la variable respecto de la cual se deriva. 
 
La expresión 𝑓′(𝑥) tiene en cambio la ventaja de que permite expresar cómodamente 
los valores numéricos de la función derivada. Por ejemplo: 𝑓′(1), 𝑓′(2), etc. 
 
Ejemplo 1: 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥. Hallar: 
a) Δ𝑦 b) 𝑑𝑦 c) Δ𝑦 − 𝑑𝑦 
Solución: 
c) Δ𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + Δ𝑥)3 − 6(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑥3 + 6𝑥 
= 𝑥3 + 3𝑥2Δ𝑥 + 3𝑥Δ𝑥2 + Δ𝑥3 − 6𝑥 − 6Δ𝑥 − 𝑥3 + 6𝑥 
= 3𝑥2Δ𝑥 + 3𝑥Δ𝑥2 + Δ𝑥3 − 6Δ𝑥 = (3𝑥2 − 6)Δ𝑥 + (3𝑥Δ𝑥2 + Δ𝑥3) 
 
d) 𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 6)𝑑𝑥 
 
e) Δ𝑦 − 𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 6)Δ𝑥 + (3𝑥Δ𝑥2 + Δ𝑥3) − (3𝑥2 − 6)𝑑𝑥 
Como Δ𝑥 = 𝑑𝑥 
Δ𝑦 − 𝑑𝑦 = 3𝑥Δ𝑥2 + Δ𝑥3 = (3𝑥Δ𝑥 + Δ𝑥2)Δ𝑥 = 𝜀(𝑥) ∙ Δ𝑥 
donde 𝜀(𝑥) = [3𝑥Δ𝑥 + (Δ𝑥)2]Δ𝑥 y lim 
Δ𝑥→0
𝜀(𝑥) = 0. 
Así: 
lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦 − 𝑑𝑦
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0
[3𝑥Δ𝑥 + (Δ𝑥)2]Δ𝑥
Δ𝑥
= 0 
Lo cual dice que (Δ𝑦 − 𝑑𝑦) es un infinitésimo de orden superior a Δ𝑥. 
 
1. Reglas de Diferenciación 
 
Puesto que el diferencial solo difiere de la derivada en el factor 𝑑𝑥 arbitrario, todas las 
reglas de derivación son válidas para los diferenciales. 
 
1.1 Diferencial de una función de función 
Si 𝑦 = 𝑓(𝑢) siendo 𝑢 = 𝑔(𝑥) 
Derivando tenemos: 
𝑦′ = (𝑓(𝑢))
′
= (𝑓(𝑔(𝑥)))
′
= 𝑓′(𝑢). 𝑔′(𝑥) 
Diferencial 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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50 
Por lo tanto, el diferencial será: 
𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 
Ya que: 𝑢 = 𝑔(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 entonces: 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑑𝑢 
Es decir, la expresión analítica del diferencial de 𝑦 = 𝑓(𝑢), es la misma aunque 𝑢 no 
sea la variable independiente. Esto muestra la invarianza de la expresión analítica del 
diferencial. Esta invarianza NO se conserva en las diferenciales sucesivas. 
 
Con la notación introducida anteriormente para la derivada como cociente de 
diferenciales, la regla de derivación de una función de función toma la forma: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
La invarianza de la expresión analítica facilita el cálculo de diferenciales, pues al aplicar 
las fórmulas de diferenciación no interesa si una variable es la independiente o una 
función cualquiera. 
 
Ejemplo: 
𝑑(sen2 𝑥) = 2 ∙ sen 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 
Esto es así, ya que consideramos: 𝑢 = sen2 𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 2 ∙ sen 𝑥 ∙ cos 𝑥. 
Pero: cos 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑑(sen 𝑥). 
Entonces: 𝑑(sen2 𝑥) = 2 ∙ sen 𝑥 ∙ 𝑑(sen 𝑥). 
 
2. Aplicaciones 
 
Consideremos una función 𝑓 en un punto 𝑥 = 𝑎 y luego incrementemos en la variable 
𝑥. De este modo: Δ𝑦 = 𝑓(𝑎 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑎) 
Por otro lado: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑎)𝑑𝑥 
Para Δ𝑥 pequeño, se cumple: 𝑑𝑦 ≅ 𝛥𝑦 
Así: 𝑓(𝑎 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑎) ≅ 𝑓′(𝑎)𝑑𝑥 
Por lo tanto: 𝑓(𝑎 + Δ𝑥) ≅ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)𝑑𝑥 
 
Usando este hecho se puede usar el concepto de diferencial para realizar cálculos 
aproximados. 
 
Ejemplo 1: 
Calcular en forma aproximada √10. 
Solución: 
Diferencial 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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51 
Primero distinguimos la función 𝑓. En nuestro caso será: 𝑓(𝑥) = √𝑥 
Sabemos que √9 = 3 y √10 = √9 + 1. Por lo tanto: 𝑎 = 9 y Δ𝑥 = 1 
Como: 
Δ𝑦 = 𝑓(𝑎 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑎) = √𝑎 + Δ𝑥 − √𝑎 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑎)𝑑𝑥 =
1
2√𝑎
𝑑𝑥 
Sabemos que 𝑑𝑦 y Δ𝑦 son infinitésimos equivalentes, podemos escribir: 
√𝑎 + Δ𝑥 − √𝑎 ≈
1
2√𝑎
𝑑𝑥 
Aplicando esto a los valores que tenemos, resulta: 
√10 ≈ √9 +
1
2√9
∙ 1 = 3 +
1
2 ∙ 3
∙ 1 = 3 +
1
6
=
19
6
= 3,1666… 
√10 ≈ 3,1666… 
Aquí tenemos una aproximación de √10 
 
Ejemplo 2: 
Calcular en forma aproximada cos 31° . 
Solución: 
Razonamos de manera análoga. Distinguimos primero cual es la función. En este caso: 
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 
Luego distinguimos quien es 𝑎 y Δ𝑥 
𝑎 = 30° =
𝜋
6
∧ Δ𝑥 = 1° =
𝜋
180
 
Δ𝑥 tiene que ser un número real, por ello no podemos tomar Δ𝑥 = 1° y debemos 
convertirlo a radianes. Esto es muy sencillo aplicando regla de tres simples. Entonces: 
𝑑𝑦 = − sen 𝑎 𝑑𝑥 = − sen (
𝜋
6
) ∙
𝜋
180
= −
1
2
∙
𝜋
180
= −
𝜋
360
 
cos 31° ≈
√3
2
−
1
2
∙
𝜋
180
=
√3
2
−
𝜋
360
= 0,875 − 0,008 = 0,867 
∴ cos 31° ≈ 0,867 
y encontramos el valor aproximado de cos 31°. 
 
Ejemplo 3: 
Un tanque con forma de cilindro, usado para almacenar aceite, tiene una altura ℎ = 5 m, 
su radio 𝑟 mide 8 m, y presenta un error de ±0,25 m. Encuentra, en forma aproximada, 
el volumen 𝑉 de dicho tanque. 
Solución: 
Diferencial 
DERIVADA Y DIFERENCIAL 
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52 
ℎ = 5 
El volumen del cilindro está dada por la expresión: 𝑉 = 𝜋. ℎ. 𝑟2, que en este caso, 
depende del radio, por lo que 𝑉 = 𝑉(𝑟). Dado que ℎ = 5, entonces la función que 
representa el volumen del cilindro viene dada por 𝑉(𝑟) = 5𝜋𝑟2, 𝑉′(𝑟) = 10𝜋𝑟, 𝑟0 = 8 
y ∆𝑟 = ±0,25. El valor aproximado del volumen viene 
dado por: 
𝑉(𝑟0 + ∆𝑟) ≈ 𝑉(𝑟0) + 𝑉
′(𝑟0)∆𝑟 
⇒ 𝑉(8 ± 0,25) ≈ 5𝜋82 + 10𝜋8(±0,25) = 320𝜋 ± 20𝜋 
 
Por lo tanto el volumen aproximado del cilindro está 
entre los 300𝜋 m3 y los 340𝜋 m3, o lo que es lo 
mismo: entre 942 m3 y 1068 m3. 
 
3. Diferenciales Sucesivas 
 
Como: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)Δ𝑥, vemos que 𝑑𝑦 es una función de 𝑥, pues 𝑓′ y Δ𝑥 son funciones 
de 𝑥. 
También: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥. 
Definimos “diferencial segundo”, como la diferencial de la diferencial primera. 
𝑑2𝑦 = 𝑑[𝑓′(𝑥)𝑑𝑥] = 𝑑(𝑑𝑦) 
Para esto, consideramos Δ𝑥 = 𝑐𝑡𝑒, por lo tanto 𝑑𝑦 dependerá solamente de 𝑥. 
Considerando como función de 𝑥, podrá tener a su vez un diferencial. 
𝑑2𝑦 = 𝑑[𝑓′(𝑥)Δ𝑥] = Δ𝑥𝑑[𝑓′(𝑥)] = Δ𝑥𝑓′′(𝑥)Δ𝑥 = 𝑓′′(𝑥)(Δ𝑥)2 
∴ 𝑑2𝑦 = 𝑓′′(𝑥)(Δ𝑥)2 
De esta relación obtenemos: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑓′′(𝑥) 
Esto se lee: “diferencial segundo de 𝑦 respecto de 𝑥 dos veces”. 
Análogamente: 
𝑑3𝑦 = 𝑑[𝑓′′(𝑥)(Δ𝑥)2] = (Δ𝑥)2𝑑[𝑓′′(𝑥)] = (Δ𝑥)2𝑓′′′(𝑥)Δ𝑥 = 𝑓′′′(𝑥)(Δ𝑥)3 
∴ 𝑑3𝑦 = 𝑓′′′(𝑥)(Δ𝑥)3 ⇒
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
= 𝑓′′′(𝑥) 
Esto se lee: “diferencial tercero de 𝑦 respecto de 𝑥 tres veces”. 
En general: 
𝑑𝑛𝑦 = 𝑑(𝑑𝑛−1𝑦) = 𝑓(𝑛)(𝑥) ∙ 𝑑𝑥𝑛 ⇒
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
= 𝑓(𝑛)(𝑥) 
La última expresión se lee: “diferencial 𝑛-ésimo de 𝑦 respecto de 𝑥, 𝑛 veces”. 
 
Bibliografía 
 
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Volumen I: Análisis algebraico. Teoría de ecuaciones. Cálculo infinitesimal de una 
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