Interpolacion

Vista previa del material en texto

Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el
Análisis de Señales
Docentes: Cavalieri Federico - Contini Liliana
Ayudantes: Fabio Tibaldo - Maciel Martı́n
APROXIMACION DE FUNCIONES
September 15, 2014
mailto:cavafede@gmail.com
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Motivación
Es usual que los ingenieros trabajen con datos extraı́dos de
mediciones, relevamientos, ensayos de laboratorio, etc., que no
siempre entregan el valor necesitado para el problema que se está
tratando de resolver, o bien, se necesite que a partir de ese conjunto
se tenga que,
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera fácil una función matemática: aproximar una función
dada.
Trazar curvas a través de un conjunto discreto de datos.
Se utilizará en el método de los elementos finitos (Unidad XIV).
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
APROXIMACION DE FUNCIONES
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Aproximación polinómica de funciones:
Polinomio de Taylor
Toda función f(x) � CN+1[a, b] se puede escribir como un polinomio
PN de grado N , llamado Polinomio de Taylor más un término de error
EN de grado N + 1:
f(x) = PN (x|x0) + EN (x) para todo x � [a, b]
El polinomio de Taylor PN , se calcula evaluando la función y
derivadas en un punto de referencia x0 � [a, b] alrededor del cual se
desarrolla la serie polinomial.
f(x) ≈ PN (x|x0) =
N∑
k=0
f (k)
k!
(x−x0)k EN (x) =
f (N+1)(ξ(x))
(N + 1)!
(x−x0)N+1
Por la forma que ha sido definido, se cumple:
P
(k)
N (x0) = f
(k)(x0) para k = 0, . . . , N
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Los polinomios de Taylor coinciden en lo posible con una
determinada función en un punto especı́fico x0, pero concentran su
exactitud cerca de él. Una buena interpolación polinómica debe
ofrecer una aproximación relativamente exacta en todo un intervalo,
y los polinomios de Taylor generalmente no lo hacen.
Ejemplo:
Supongamos que calculamos los seis primeros polinomios de Taylor
alrededor de x0 = 0 para f(x) = ex, estos son:
P0(x) = 1 P1(x) = 1 + x P2(x) = 1 + x +
x2
2
P3(x) = 1 + x +
x2
2
+
x3
6
P4(x) = 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
P5(x) = 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+
x5
120
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Notar como aun en los polinomios de grado superior el error
empeora progresivamente al alejarnos de x0 = 0.
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
INTERPOLACION DE DATOS y
FUNCIONES
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Los polinomios de Taylor no son adecuados para una aproximación.
Además, aun conociendo el valor de la misma en algunos puntos, si
no sabemos nada sobre las derivadas de una función tampoco
podremos emplear Taylor.
Por ejemplo, la siguiente tabla muestra valores experimentales para
la elongación y la fuerza en el resorte de un sistema de suspensión
de automóvil:
Fuerza 104 [N] 10 20 30 40 50 60 70 80
Despla. [m] 0.1 0.17 0.27 0.35 0.39 0.42 0.43 0.44
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
¿Cómo calcuları́amos el valor de la fuerza en el resorte para un valor de
0.2?
¿Cómo calcuları́amos la energı́a de deformación del resorte?
Tendrı́amos que conocer el área bajo la curva, pero... ¿de qué función?
Si tuviéramos que derivar, ¿con qué función lo harı́amos?
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Si conocemos las coordenadas de algunos puntos
Podemos proponer una función por técnicas de interpolación.
Finalmente, podemos usar la función propuesta para interpolar o
extrapolar valores, y estimar derivadas o integrales.
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Supongamos que tenemos una lista con datos ordenados de a pares
como los que se muestran en la siguiente tabla:
X x0 x1 x2
Y y0 y1 y2
y necesitamos conocer el valor de y para un x que se encuentra
entre x1 y x2.
Lo primero que podrı́amos proponer es una aproximación lineal.
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Aproximación Lineal
Consideremos la interpolación lineal entre dos puntos (la ecuación
de la recta que pasa por dos puntos):
y(x) = y0 +
y1 − y0
x1 − x0
(x− x0)
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
y(x) = y0 +
y1 − y0
x1 − x0
(x− x0)
Joseph Louis Lagrange propuso escribir esta función de otra manera
y(x) = y0
x− x1
x0 − x1
+ y1
x− x0
x1 − x0
= y0L1,0(x) + y1L1,1(x)
siendo las funciones L los polinomios coeficientes de Lagrange.
L1,0(x) =
x− x1
x0 − x1
L1,1(x) =
x− x0
x1 − x0
donde en LN,k,
N corresponde al orden del polinomio, en este caso será 1, por ser
interpolación lineal
k corresponde a los datos.
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Los polinomios de orden 1 serán
Notar la siguiente siguiente caracterı́stica:
L1,0(x0) = 1 L1,0(x1) = 0
L1,1(x1) = 1 L1,1(x0) = 0
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Dado la caracterı́stica de los polinomios de Lagrange, se tiene lo
siguiente
y0L1,0(x0) = y0 y1L1,0(x1) = 0
y0L1,1(x0) = 0 y1L1,1(x1) = y1
Esto es, ykL1,k(x) toma el valor yk en el punto xk.
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
En consecuencia, la sumatoria de todos los productos
P1(x) = y0L1,0 + y1L1,1 =
1∑
k=0
ykL1,k(x)
es el único polinomio de grado 1 que pasa exactamente a través de
los puntos x0 y x1, que se tienen como datos.
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
¿Pero qué pasa si queremos usar más de dos puntos? Supongamos
que necesitamos usar tres puntos de la Tabla. Entonces tendremos
tres polinomios de Lagrange
L2,0(x) =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
L2,1(x) =
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
L2,2(x) =
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
Luego,
P2(x) = y0L2,0 + y1L2,1 + y2L2,2 =
2∑
k=0
ykL2,k(x)
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Generalización
Para obtener el polinomio interpolador debemos seguir los siguientes
pasos:
Calcular N + 1 polinomios LN,k(x) relacionados cada uno con cada
dato xk, donde N es el grado del polinomio y k indica el punto
considerado, cuya particularidad es la siguiente:
LN,k(x) =
{
1 x = xk
0 x 6= xk
para k = 0, 1, . . . N , que refiere a los datos usados para la interpolación.
Los polinomios LN,k(x) se obtienen con la siguiente expresión:
LN,k(x) =
(x− x0) . . . (x− xk−1)(x− xk+1) . . . (x− xN )
(xk − x0) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xN )
El polinomio interpolador se obtiene con la siguiente expresión:
PN (x) =
N∑
k=0
ykLN,k(x)
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Ejemplo
A partir de la siguiente tabla de datos, se desea conocer el valor de y
para x = 2, utilizando interpolación de Lagrange
X 1 4 6
Y 0 1.3862 1.7917
Los gráficos se muestran a continuación
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Los polinomios son
L2,0(x) =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
=
(x− 4)(x− 6)
(1− 4)(1− 6)
L2,1(x) =
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
=
(x− 1)(x− 6)
(4− 1)(4− 6)
L2,2(x) =
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
=
(x− 1)(x− 4)
(6− 1)(6− 4)
Las gráficas de estos polinomios se muestran a continuación
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
El polinomio se calcula de la siguiente manera,
P2(x) =
2∑
k=0
ykL2,k(x) = y0L2,0(x) + y1L2,1(x) + y2L2,2(x)
La curva interpolada se muestra en la siguiente figura
Notar que la función pasa por los puntos. Finalmente,
P2(2) = 0.565793.
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Aproximación de funciones con Polinomios
de Lagrange
Toda función f(x) � CN+1[a, b] se puede escribir como un polinomio
PN de grado N , llamado Polinomio interpolador de Lagrange de f ,
más un término de error EN de grado N + 1:
f(x) = PN (x|S) + EN (x) para todo x � [a, b]
donde S es el conjunto de datos a interpolar, esto es:
S = {(x0, f(x0), . . . , (xk, f(xk) . . . (xN , f(xN )}
y donde eltérmino de error se puede escribir como
EN (x) =
f (N+1)(ξ(x))
(N + 1)!
(x− x0)(x− x1) . . . (x− xN )
para un ξ del intervalo [a, b]
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Ejemplo
Si tomamos el ejemplo inicial de aproximar f(x) = ex, ahora por
medio de polinomios de Lagrange, se puede demostrar que con
cinco puntos
x 0 1 2 4.5 6
f(x) = ex 1 2.71828 7.38906 90.0171 403.429
el polinomio resultante es
P4(x) =
4∑
k=0
ykL4,k(x) = 1−5.35852x+11.7767x2−5.64971x3+0.949812x4
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
Introducción Aproximación de Funciones Interpolación
¿Qué pasa con la función aproximada fuera del intervalo de valores x
conocidos? En este caso [0, 6]
Para estos casos es necesario utilizar técnicas de extrapolación.
	Introducción
	Aproximación de Funciones
	Interpolación