Interpolacion_funciones2014

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Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el
Análisis de Señales
Docentes: Cavalieri Federico - Contini Liliana
Ayudantes: Fabio Tibaldo - Maciel Martı́n
APROXIMACION Y INTERPOLACION DE FUNCIONES
September 26, 2014
mailto:cavafede@gmail.com
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Motivación
Es usual que los ingenieros trabajen con datos extraı́dos de
mediciones, relevamientos, ensayos de laboratorio, etc., que no
siempre entregan el valor necesitado para el problema que se está
tratando de resolver, o bien, se necesite que a partir de ese conjunto
se tenga que,
Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.
Evaluar de manera fácil una función matemática: aproximar una función
dada.
Trazar curvas a través de un conjunto discreto de datos.
Se utilizará en el método de los elementos finitos (Unidad XIV).
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APROXIMACION DE FUNCIONES
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Aproximación polinómica de funciones:
Polinomio de Taylor
Toda función f(x) � CN+1[a, b] se puede escribir como un polinomio
PN de grado N , llamado Polinomio de Taylor más un término de error
EN de grado N + 1:
f(x) = PN (x|x0) + EN (x) para todo x � [a, b]
El polinomio de Taylor PN , se calcula evaluando la función y
derivadas en un punto de referencia x0 � [a, b] alrededor del cual se
desarrolla la serie polinomial.
f(x) ≈ PN (x|x0) =
N∑
k=0
f (k)
k!
(x−x0)k EN (x) =
f (N+1)(ξ(x))
(N + 1)!
(x−x0)N+1
Por la forma que ha sido definido, se cumple:
P
(k)
N (x0) = f
(k)(x0) para k = 0, . . . , N
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Los polinomios de Taylor coinciden en lo posible con una
determinada función en un punto especı́fico x0, pero concentran su
exactitud cerca de él. Una buena interpolación polinómica debe
ofrecer una aproximación relativamente exacta en todo un intervalo,
y los polinomios de Taylor generalmente no lo hacen.
Ejemplo:
Supongamos que calculamos los seis primeros polinomios de Taylor
alrededor de x0 = 0 para f(x) = ex, estos son:
P0(x) = 1 P1(x) = 1 + x P2(x) = 1 + x+
x2
2
P3(x) = 1 + x+
x2
2
+
x3
6
P4(x) = 1 + x+
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
P5(x) = 1 + x+
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+
x5
120
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Notar como aun en los polinomios de grado superior el error
empeora progresivamente al alejarnos de x0 = 0.
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INTERPOLACION DE DATOS y
FUNCIONES
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Los polinomios de Taylor no son adecuados para una aproximación.
Además, aun conociendo el valor de la misma en algunos puntos, si
no sabemos nada sobre las derivadas de una función tampoco
podremos emplear Taylor.
Por ejemplo, la siguiente tabla muestra valores experimentales para
la elongación y la fuerza en el resorte de un sistema de suspensión
de automóvil:
Fuerza 104 [N] 10 20 30 40 50 60 70 80
Despla. [m] 0.1 0.17 0.27 0.35 0.39 0.42 0.43 0.44
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¿Cómo calcuları́amos el valor de la fuerza en el resorte para un valor de
0.2?
¿Cómo calcuları́amos la energı́a de deformación del resorte?
Tendrı́amos que conocer el área bajo la curva, pero... ¿de qué función?
Si tuviéramos que derivar, ¿con qué función lo harı́amos?
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Si conocemos las coordenadas de algunos puntos
Podemos proponer una función por técnicas de interpolación.
Finalmente, podemos usar la función propuesta para interpolar o
extrapolar valores, y estimar derivadas o integrales.
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Supongamos que tenemos una lista con datos ordenados de a pares
como los que se muestran en la siguiente tabla:
X x0 x1 x2
Y y0 y1 y2
y necesitamos conocer el valor de y para un x que se encuentra
entre x1 y x2.
Lo primero que podrı́amos proponer es una aproximación lineal.
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Aproximación Lineal
Consideremos la interpolación lineal entre dos puntos (la ecuación
de la recta que pasa por dos puntos):
y(x) = y0 +
y1 − y0
x1 − x0
(x− x0)
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y(x) = y0 +
y1 − y0
x1 − x0
(x− x0)
Joseph Louis Lagrange propuso escribir esta función de otra manera
y(x) = y0
x− x1
x0 − x1
+ y1
x− x0
x1 − x0
= y0L1,0(x) + y1L1,1(x)
siendo las funciones L los polinomios coeficientes de Lagrange.
L1,0(x) =
x− x1
x0 − x1
L1,1(x) =
x− x0
x1 − x0
donde en LN,k,
N corresponde al orden del polinomio, en este caso será 1, por ser
interpolación lineal
k corresponde a los datos.
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Los polinomios de orden 1 serán
Notar la siguiente siguiente caracterı́stica:
L1,0(x0) = 1 L1,0(x1) = 0
L1,1(x1) = 1 L1,1(x0) = 0
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Dado la caracterı́stica de los polinomios de Lagrange, se tiene lo
siguiente
y0L1,0(x0) = y0 y1L1,0(x1) = 0
y0L1,1(x0) = 0 y1L1,1(x1) = y1
Esto es, ykL1,k(x) toma el valor yk en el punto xk.
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En consecuencia, la sumatoria de todos los productos
P1(x) = y0L1,0 + y1L1,1 =
1∑
k=0
ykL1,k(x)
es el único polinomio de grado 1 que pasa exactamente a través de
los puntos x0 y x1, que se tienen como datos.
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¿Pero qué pasa si queremos usar más de dos puntos? Supongamos
que necesitamos usar tres puntos de la Tabla. Entonces tendremos
tres polinomios de Lagrange
L2,0(x) =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
L2,1(x) =
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
L2,2(x) =
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
Luego,
P2(x) = y0L2,0 + y1L2,1 + y2L2,2 =
2∑
k=0
ykL2,k(x)
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Generalización
Para obtener el polinomio interpolador debemos seguir los siguientes
pasos:
Calcular N + 1 polinomios LN,k(x) relacionados cada uno con cada
dato xk, donde N es el grado del polinomio y k indica el punto
considerado, cuya particularidad es la siguiente:
LN,k(x) =
{
1 x = xk
0 x 6= xk
para k = 0, 1, . . . N , que refiere a los datos usados para la interpolación.
Los polinomios LN,k(x) se obtienen con la siguiente expresión:
LN,k(x) =
(x− x0) . . . (x− xk−1)(x− xk+1) . . . (x− xN )
(xk − x0) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xN )
El polinomio interpolador se obtiene con la siguiente expresión:
PN (x) =
N∑
k=0
ykLN,k(x)
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Ejemplo
A partir de la siguiente tabla de datos, se desea conocer el valor de y
para x = 2, utilizando interpolación de Lagrange
X 1 4 6
Y 0 1.3862 1.7917
Los gráficos se muestran a continuación
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Los polinomios son
L2,0(x)=
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
=
(x− 4)(x− 6)
(1− 4)(1− 6)
L2,1(x) =
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
=
(x− 1)(x− 6)
(4− 1)(4− 6)
L2,2(x) =
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
=
(x− 1)(x− 4)
(6− 1)(6− 4)
Las gráficas de estos polinomios se muestran a continuación
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
El polinomio se calcula de la siguiente manera,
P2(x) =
2∑
k=0
ykL2,k(x) = y0L2,0(x) + y1L2,1(x) + y2L2,2(x)
La curva interpolada se muestra en la siguiente figura
Notar que la función pasa por los puntos. Finalmente,
P2(2) = 0.565793.
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Aproximación de funciones con Polinomios
de Lagrange
Toda función f(x) � CN+1[a, b] se puede escribir como un polinomio
PN de grado N , llamado Polinomio interpolador de Lagrange de f ,
más un término de error EN de grado N + 1:
f(x) = PN (x|S) + EN (x) para todo x � [a, b]
donde S es el conjunto de datos a interpolar, esto es:
S = {(x0, f(x0), . . . , (xk, f(xk) . . . (xN , f(xN )}
y donde el término de error se puede escribir como
EN (x) =
f (N+1)(ξ(x))
(N + 1)!
n∏
i=0
(x− xi)
para un ξ del intervalo [a, b]
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Ejemplo
Si tomamos el ejemplo inicial de aproximar f(x) = ex, ahora por
medio de polinomios de Lagrange, se puede demostrar que con
cinco puntos
x 0 1 2 4.5 6
f(x) = ex 1 2.71828 7.38906 90.0171 403.429
el polinomio resultante es
P4(x) =
4∑
k=0
ykL4,k(x) = 1−5.35852x+11.7767x2−5.64971x3+0.949812x4
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¿Qué pasa con la función aproximada fuera del intervalo de valores x
conocidos? En este caso [0, 6]
Para estos casos es necesario utilizar técnicas de extrapolación.
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APROXIMACION DE FUNCIONES y
DATOS
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Fundamentos Básicos de Espacios
Funcionales
Producto escalar de funciones: (f, g) =
∫
Ω
f(x) g(x) dΩ.
Dos Funciones son ortogonales cuando: (f, g) = 0
Una función f(x) se dice normalizada si: (f, f) = 1
Ejemplo
Sean,
f(x) =
√
5
2
1
2
(3x2 − 1) g(x) = 1
2
(5x3 − 3x)
Luego,
(f, g) =
∫ 1
−1
f(x)g(x)dx = 0 (f, f) =
∫ 1
−1
f(x)f(x)dx = 1
Ejemplos de familias de funciones ortogonales:
Polinomios de Hermite, de Legendre, armónicos esféricos, funciones de
Walsh, entre otros.
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Mı́nimos cuadrados: Caso continuo
Se desea hallar un polinomio Pn(x) que aproxime a una función
conocida f(x) en un intervalo [a, b].
Se han estudiado las siguientes técnicas:
Aproximación mediante el polinomio de Taylor. Concentran las precisión
en el punto donde se desarrolla el polinomio y no en el intervalo [a, b].
Interpolación de Lagrange.
En estas sección, estudiaremos otro método denominado: Mı́nimos
Cuadrados.
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Mı́nimos cuadrados: Caso continuo
Dado un conjunto de funciones bases φ(x)� C0, de un espacio
funcional ψ, es posible expresar otra función f(x)� Ψ como
combinación lineal de las φi(x). Por ser bases las φi(x) tienen que
ser linealmente independientes.
f(x) =
∞∑
j=0
cjφj(x)
donde cj , son incógnitas. Sin embargo, en la práctica, no puedo
resolver el problema con un número infinito de incógnitas. Para
ello construyo un espacio de dimensión finita, S =< φ0, φ1 . . . , φk >,
y entonces, f̃(x) es una función que aproxima a f(x),
f(x) ∼= f̃(x) =
k∑
j=0
cjφj(x)
y se genera un error E(x)
E(x) = f(x)− f̃(x)
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¿Cuál es la mejor aprox. que minimiza el
error?
Estudiaremos el caso por medio de una interpretación gráfica y luego
por medio de una interpretación analı́tica.
Interpretación gráfica
La mejor aproximación que minimiza el error es cuando (f̃ , E) = 0
Tomemos espacios vectoriales para facilitar la compresión
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Tomemos la función error como se habı́a definido previamente
E(x) = f(x)− f̃(x) = f(x)−
k∑
j=0
cjφj(x)
Forzamos a que el error sea ortogonal a las funciones bases φi(x)∫
Ω
E(x)φi(x)dΩ =
∫
Ω
[
f(x)− f̃(x)
]
φi(x)dΩ = 0 con i = 0, 1, 2 . . . , k
Reordenando ∫
Ω
f(x)− k∑
j=0
cjφj(x)
φi(x)dΩ = 0
∫
Ω
k∑
j=0
cjφj(x)φi(x)dΩ =
k∑
j=0
cj
∫
Ω
φj(x)φi(x)dΩ =
∫
Ω
f(x)φi(x)dΩ
a partir de la definición de producto de funciones,
k∑
j=0
cj(φj , φi) = (f, φi) con i = 0, 1, 2 . . . , k
Esta ecuación representa un sistema lineal de ecuaciones.
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k∑
j=0
cj(φj , φi) = (f, φi) con i = 0, 1, 2 . . . , k

i = 0 c0(φ0, φ0) + c1(φ1, φ0) + . . .+ ck(φk, φ0) = (f, φ0)
i = 1 c0(φ0, φ1) + c1(φ1, φ1) + . . .+ ck(φk, φ1) = (f, φ1)
...
i = k c0(φ0, φk) + c1(φ1, φk) + . . .+ ck(φk, φk) = (f, φk)
En forma matricial (φ0, φ0) (φ1, φ0) . . . (φk, φ0)... ... . . . ...
(φ0, φk) (φ1, φk) . . . (φk, φk)
 ·

c0
...
ck
 =

(f, φ0)
...
(f, φk)

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Ejemplo
Queremos aproximar
f(x) = x2 sin(x) si x < 1 de lo contrario x3 + 2
Utilizamos las siguientes funciones bases:
φ0(x) = 1 φ1(x) = x2 φ2(x) = x3 φ3(x) = x4
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Ejemplo
[A] =
[
(φ0, φ0) (φ0, φ1) (φ0, φ2) (φ0, φ3)
(φ1, φ0) (φ1, φ1) (φ1, φ2) (φ1, φ3)
(φ2, φ0) (φ2, φ1) (φ2, φ2) (φ2, φ3)
(φ3, φ0) (φ3, φ1) (φ3, φ2) (φ3, φ3)
]
=
[
2 2.67 4 6.4
2.67 6.4 10.67 18.28
4 10.67 18.28 32
6.4 18.28 32 56.88
]
{b} =

(f, φ0)
(f, φ1)
(f, φ2)
(f, φ3)
 =

5.97324
15.3133
25.7679
44.384
 {x} =

c0
c1
c2
c3

Resolviendo el sistema [A]{x} = {b}
{x} = [−0.0813668 − 1.1035 4.392 − 1.32646]T
La función resulta:
f̃(x) =
∑3
i=0 ciφi(x) = −0.0813668− 1.1035x2 + 4.392x3 − 1.32646x4
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Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Interpretación Analı́tica-Caso Continuo
El concepto de Mı́nimos Cuadrados (M.C.) es el de minimizar el
error, pero, ¿qué función error habrı́a que minimizar?
Minimizar el error: Los errores positivos y negativos se pueden
cancelar indicando que no hay error, cuando en realidad sı́ lo hay.
min
[
E =
∫
Ω
(f(x)− f̃(x))dΩ
]
Minimizar el valor absoluto del error: Evita el problema anterior, pero
la función módulo no es derivable en el origen.
min
[
E =
∫
Ω
‖f(x)− f̃(x)‖dΩ
]
Minimizar el cuadrado del error: supera las deficiencias de los otros
dos métodos:
min
[
E =
∫
Ω
(f(x)− f̃(x))2dΩ
]
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
E =
∫
Ω
[
f(x)− f̃(x)
]2
dΩ =
∫
Ω
f(x)− k∑
j=0
cjφj(x)
2 dΩ
Para obtener las constantes que minimizan el error hacemos,
∂E
∂ci
=
∫
Ω
−2
f(x)− k∑
j=0
cjφj(x)
φi(x)dΩ = 0
Notar que ∂cj/∂ci = 0 cuando j 6= i y ∂cj/∂ci = 1 cuando j = i∫
Ω
f(x)φi(x)dΩ −
k∑
j=0
∫
Ω
cjφj(x)φi(x)dΩ = 0
Llegamos al mismo sistema de ecuaciones!
k∑
j=0
cj(φj , φi) = (f, φi) con i = 0, 1,2 . . . , k
La misma solución que minimiza el cuadrado del error, es el que
vuelve ortogonal al error.
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Hay veces en que se desea encontrar una función que aproxime de
la mejor manera posible una cantidad de puntos.
Por ejemplo, si se miden experimentalmente el desplazamiento de un
resorte para distintas fuerzas aplicadas, se obtienen una cantidad de
puntos en un gráfico Fuerza-Desplazamiento.
Se desea encontrar la constante de resorte k. La Ley de Hooke dice
que esa relación es lineal.
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
El problema es como determinar una función lineal que mejor
aproxime a los resultados. Un polinomio interpolador no es una
buena solución, como se ve en la figura
Por otro lado si se quiere hallar una recta y(x) = mx+ b que pase por
todos esos m puntos se obtiene un sistema de m ecuaciones con 2
incógnitas: m y b, que no tiene solución.
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Supongamos que tenemos un conjunto de datos discretos xp tal que
x0 < x1 < . . . < xm para los cuales conocemos
f(x0), f(x1), . . . , f(xm).
Teniendo en cuenta la expresión de M.C. para el caso continuo,
k∑
j=0
cj
∫
Ω
φj(x)φi(x)dΩ =
∫
Ω
f(x)φi(x)dΩ
en el caso discreto, la integral se la reemplaza por la sumatoria, y la
variable x se la evalúa en los datos discretos xp
< φj , φi >=
m∑
p=0
φj(xp)φi(xp) < f, φi >=
m∑
p=0
f(xp)φi(xp) =
m∑
p=0
ypφi(xp)
Finalmente la forma discreta de mı́nimos cuadrados resulta,
k∑
j=0
cj < φj , φi >=< f, φi > con i = 0, 1, 2 . . . , k
Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Ejemplo
Se desea encontrar una función f(x) cuadrática que ajuste a los
siguientes datos
X 0 0.1 0.2 0.3
Y 0 0.017 0.04 0.09
Solución. Utilizamos las siguientes funciones base:
φ0(x) = 1 φ1(x) = x φ2(x) = x2
Luego, se aplica la siguiente expresión
3∑
j=0
cj < φj , φi > = < f, φi > con i = 0, 1, 2, 3
Reemplazando por los valores: 4 0.6 0.140.6 0.14 0.036
0.14 0.036 0.0098
 ·
c0c1
c2
 =
 0.1440.0360.0097

Introducción Aproximación de Funciones: Taylor Interpolación: Lagrange Aproximación: Mı́nimos Cuadrados
Resolviendo el sistema [A]{x} = {b}
{x} = [0.0013 0.033 0.85]T
La función resulta:
f̃(x) =
∑2
i=0 ciφi(x) = 0.0013 + 0.033x+ 0.85x
2
	Introducción
	Aproximación de Funciones: Taylor
	Interpolación: Lagrange
	Aproximación: Mínimos Cuadrados