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Integral Impropias
CALCULO INTEGRAL
Profesor: Wilmer Molina
Integral Impropias. Al establecer la integral de�nida
bZ
a
f (x) dx
consideramos a f como una función de�nida en un intervalo [a; b] y supusimos que f no tiene
una discontinuidad in�nita. Ahora extenderemos el concepto de integral de�nida al caso donde el
intervalo es in�nito y donde f tiene una discontinuidad in�nita en [a; b]. En cada caso la integral
se llama impropia de primera y segunda especie respectivamente. Una de las más importantes
aplicaciones de las integrales impropias, es la distribución de probabilidad.
Integrales Impropias de Primera Especie o sobre Intervalos In�nitos. Consideremos
la región in�nita S que está bajo la curva y = f (x), por encima del eje x y a la derecha de la recta
x = a; es decir, f es una función de�nida para todo x � a; y supongamos que f es integrable en
[a; t] para todo t > a donde a es �jo y t es variable. Consideremos también la integral de�nida
I (t) =
tZ
a
f (x) dx:
Podría pensarse que, puesto que S se extiende al in�nito, su área debe ser in�nita, pero esto no es
totalmente cierto.
De�nición. Si para t!1, la función I (t) tiene limite, a este limite se le llama integral impropia
de primera especie o sobre el intervalo in�nito [a;1) y se denota
1R
a
f (x) dx; es decir
I =
1Z
a
f (x) dx = lim
t!1
I (t) = lim
t!1
tZ
a
f (x) dx
Analogamente se de�nen
I =
bZ
�1
f (x) dx = lim
t!�1
I (t) = lim
t!�1
bZ
t
f (x) dx
1
I =
1Z
�1
f (x) dx =
aZ
�1
f (x) dx+
1Z
a
f (x) dx = lim
t!�1
aZ
t
f (x) dx+ lim
s!1
sZ
a
f (x) dx
Si las integrales impropias existen o que el correspondiente límite existe, estas integrales se llaman
integrales convergentes y en caso contrario se llaman divergentes.
Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de
1Z
0
dx
1 + x2
Solución.
1Z
0
dx
1 + x2
= lim
t!1
tZ
0
dx
1 + x2
= lim
t!1
[arctanx]t0 = limt!1
[arctan t� arctan 0] = �
2
Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de
1Z
0
cosxdx
Solución.
1Z
0
cosxdx = lim
t!1
tZ
0
cosxdx = lim
t!1
[sin x]t0 = limt!1
[sin t� sin 0] : no existe
Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de
1Z
1
1
xp
dx
Solución. Si p = 1, entonces,
1Z
1
1
x
dx = lim
t!1
tZ
1
1
x
dx = lim
t!1
[lnx]t1 = limt!1
[ln t� ln 1] =1:
Si p 6= 1, entonces,
1Z
1
1
xp
dx = lim
t!1
tZ
1
x�pdx = lim
t!1
h
x�p+1
�p+1
it
1
= 1�p+1 limt!1
[x�p+1]
t
1 =
1
�p+1 limt!1
[t�p+1 � 1]
2
pero lim
t!1
t�p+1 depende del signo de �p+ 1: Así
lim
t!1
t�p+1 =
�
0 si �p+ 1 < 0 (p > 1)
1 si �p+ 1 > 0 (p < 1)
implica que,
lim
t!1
�
t�p+1 � 1
�
=
�
�1 si p > 1
1 si p < 1
y por tanto
1R
1
1
xp
dx = 1�p+1 limt!1
[t�p+1 � 1] =
�
1
p�1 si p > 1
1 si p � 1
Ejemplo. Calcular
1R
0
cosxdx
Solución.
1Z
0
cosxdx = lim
t!1
tZ
0
cosxdx = lim
t!1
sin xjt0 = limt!1 [sin t� sin 0]
: No existe y la integral diverge
Ejemplo. Calcular
1Z
0
xne�xdx (n 2 N [ f0g)
Solución. Llamemos In =
1Z
0
xne�xdx; entonces
In =
1Z
0
xne�xdx = lim
t!1
tZ
0
xne�xdx = � lim
t!1
tZ
0
xnd (e�x) = � lim
t!1
24xne�xjt0 � n tZ
0
xn�1e�xdx
35
= � lim
t!1
(tne�t � 0) + n lim
t!1
tZ
0
xn�1e�xdx = n
1Z
0
xn�1e�xdx = nIn�1
Aplicando esta formula recursivamente tenemos
In = nIn�1 = n (n� 1) In�2 = n (n� 1) (n� 2) In�3 = � � � = n (n� 1) (n� 2) � � � 1I0 = n!I0
3
con
I0 =
1Z
0
e�xdx = lim
t!1
tZ
0
e�xdx = � lim
t!1
�
e�x
�t
0
= � lim
t!1
�
e�t � 1
�
= 1
Por tanto
1Z
0
xne�xdx = n!
Nota: Si no hay posibilidad de confusión se puede usar la notacion:
lim
t!1
[F (x)]t0 = [F (t)]
1
0
Propiedades. Si
1Z
0
f (x) dx;
1Z
0
g (x) dx son convergente y �; � 2 R, entonces:
�
1Z
0
�f (x) dx = �
1Z
0
f (x) dx
�
1Z
0
(f (x) dx� g (x)) dx =
1Z
0
f (x) dx�
1Z
0
g (x) dx
�
1Z
0
(�f (x) dx� �g (x)) dx = �
1Z
0
f (x) dx� �
1Z
0
g (x) dx
�
1Z
0
f (x) d (g (x)) = f (x) g (x)j10 �
1Z
0
g (x) d (f (x))
Ejercicio. Si
1Z
0
(f (x) dx� g (x)) dx existe; ¿Que podemos decir de
1Z
0
f (x) dx y
1Z
0
g (x) dx?
Theorem 1 (I Teorema de comparación) Suponga que f y g son funciones continuas con
f(x) � g(x) � 0 para x � a; entonces:
a) Si
1Z
a
f (x) dx es convergente, entonces
1Z
a
g (x) dx es convergente.
b) Si
1Z
a
g (x) dx es divergente, entonces
1Z
a
f (x) dx es divergente.
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Proof. a) Supongamos que
1Z
a
f (x) dx es convergente y consideremos I (t) =
tZ
a
g (x) dx:
Dado que g(x) � 0; es claro que I (t) es una función no decreciente, es decir que para t1 > t; se
tiene que
I (t1) =
t1Z
a
g (x) dx =
tZ
a
g (x) dx+
t1Z
t
g (x) dx �
tZ
a
g (x) dx = I (t)
Por otro lado. Dado que f(x) � g(x) � 0 para x � a; entonces
1Z
a
f (x) dx �
tZ
a
f (x) dx �
tZ
a
g (x) dx = I (t) ;
Debido a que
1Z
a
f (x) dx = L; entonces se sigue que I (t) � L para todo t y por tanto I (t) es una
función no decreciente y acotada superiormente, de manera que I (t) es convergente, es decir
lim
t!1
I (t) = lim
t!1
tZ
a
g (x) dx =
1Z
a
g (x) dx : existe
b) Supongamos que
1Z
a
g (x) dx diverge y
1Z
a
f (x) dx converge. Dado que f(x) � g(x) � 0; entonces
por la parte a) se tiene que como
1Z
a
f (x) dx es convergente, entonces
1Z
a
g (x) dx es convergente, lo
cual resulta claramente una contradicción. Por tanto, lo cierto es la parte b)
En la grá�ca se puede ver el signi�cado del teorema
5
Ejemplo. Estudiar la convergencia o divergencia de
1Z
0
e�x
2
1 + x2 + sin4 x
dx
Solución.
f (x) =
e�x
2
1 + x2 + sin4 x
> 0; 8x � 0
Es claro que
0 <
e�x
2
1 + x2 + sin4 x
<
e�x
2
1 + x2
<
1
1 + x2
y dado que
1R
0
dx
1 + x2
converge, entonces
1R
0
e�x
2
1 + x2 + sin4 x
dx converge.
Ejemplo. Estudiar la convergencia o divergencia de
1Z
1
1 + e�x
x
dx
Solución.
f (x) =
1 + e�x
x
> 0; 8x � 1
Es claro que
0 <
1
x
<
1 + e�x
x
y dado que
1Z
1
dx
x
diverge, entonces
1Z
1
1 + e�x
x
dx diverge.
Theorem 2 (II Teorema de comparación) Suponga que f y g son funciones continuas no
negativas para todo x � a; y sea g (x) 6= 0 para x lo su�cientementa grande. Si
lim
x!1
f (x)
g (x)
= k 6= 0;
entonces
1Z
a
f (x) dx y
1Z
a
g (x) dx convergen o divergen simultaneamente.
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Proof. Supongamos que lim
x!1
f (x)
g (x)
= k 6= 0, entonces
8" > 0;9N > 0 : x > N; implica que
����f (x)g (x) � k
���� < ":
En particular si consideramos " = k
2
;9N > 0 : x � N; implica que
���f(x)g(x) � k��� < k2 ; es decir
�k
2
<
f (x)
g (x)
� k < k
2
, k
2
<
f (x)
g (x)
<
3k
2
y como g (x) > 0;
k
2
g (x) < f (x) <
3k
2
g (x) : x � N
entonces, si
1Z
a
f (x) dx converge o diverge,
1Z
a
g (x) dx converge o diverge
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