Seminario 4

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Universidad Nacional Agraria La Molina Ciclo: 2020 -I
Facultad de Ciencias
Departamento Académico de Matemática
Grupo: A,C,F
SEMINARIO 4 CÁLCULO INTEGRAL
1. Halle las integrales
a)
∫
1
3− sen(x)
dx e)
∫
1 + senx− cosx
1− sen(x) + cos x
dx
b)
∫
1
(2− cosx) (3− cosx)
dx f)
∫
3 cos z + 2senz
1− cos z
dz
c)
∫
1
(3− senx) cosx
dx g)
∫
1
(1 + senx+ cosx)2
dx
d)
∫
4− cosx
3 + cos x
dx h)
∫
1
4 cotx+ 4 + tanx
dx
2. Halle la integral usando sumas de Riemman∫ 3
2
5
x
2 dx
3. Calcule el valor de
ĺım
n→+∞
n∑
k=1
(
100
√
k (n− k)
n2
)
expresando I como una integral definida en [−5, 5].
4. Exprese el ĺımite
ĺım
n→+∞
∑n
k=1
[
ln (8k2 + 2kn+ 3n2)
1
n − ln (4k2 + 6kn+ n2)
1
n
]
como una integral definida.
5. Demuestre que la función f definida a continuación es integrable
f(x) =

−1 , −1 ≤ x ≤ 0
2xsen
(
1
x
)
− cos(x−1)
(x−1)2 +
1
(x−1)2 , 0 < x < 1
1 , x = 1
6. Halle
∫ 4
−4
f(x)dx
f(x) =

5−
√
8− x2 − 2x , −4 ≤ x ≤ −1
5− x , −1 < x ≤ 2
7 , 2 < x ≤ 4
7. Usando las propiedades y teoremas de integral definida, evaluar las siguientes inte-
grales:
a)
∫ 1/e
−1/e
cos(ex)
[
ln(
1 + x
1− x
) + 2 sec(ex)
]
dx b)
∫ 1
−1
(
x5 − 3
√
x2 +
x arctan(x2)
cosx
)
dx
c)
∫ π
−π
(
xsenx+
2x3
(x2 + 1)2
)
dx d)
∫ π/2
−π/2
(
sen7x+ 3x7ex
2
+ x2e2x
)
dx
8. Sean f y g funciones continuas en R tales que:∫ 8
−2
(f(x)− g(x))dx = 20,
∫ −2
3
f(x)dx = −4,
∫ 8
3
f(x)dx = 15,
∫ 5
2
g(x)dx = 10
y g(−x) = g(x), ∀x ∈ R. Calcular:
∫ 8
3
g(x)dx.
9. Sean f y g funciones continuas en R tales que:∫ 2
5
f(x)dx = 7,
∫ 5
3
f(x)dx = 3,
∫ 5
−3
(f(x) + g(x)) dx = 2,
∫ 5
3
g(x)dx = 6.
Además, f(x) = f(−x), g(x) + g(−x) = 0, ∀x ∈ R. Calcular:
∫ 3
2
f(x)dx.
10. Sean f y g funciones integrables en R tales que:
f(x) + f(−x) = 0, ∀x ∈ R, y g(x) = sen2(x)f(x) + |2x− 3|+ xe−4x.
Evaluar
∫ 2
−2
g(x)dx.
11. Si F (x) = ax2 + 5x+
∫ x2
3
x2sen5(πt)dt y F (
√
3) = 10, hallar el valor de a.
12. Si F (x) =
∫ 2+lnx√
3x2+1
(x+ 1)ex+tsen(πt
4
)dt, calcular F ′(1).
13. Sean f y g las funciones continuas en R tales que∫ 7
−11
f(
1− x
3
)dx =
∫ 16
4
g(x)dx = 6
Calcule el valor de
∫ 4
−2(f(x) + xg(x
2))dx
La Molina, 10 de agosto de 2020.
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