ÁLGEBRA ANUAL UNI 2014 PARTE 3 [PDF DRIVE]

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. . .
2
Álgebra
Números complejos
1. Dados los complejos z=1+2i y w=3 – 4i, si 
se cumple que az+bw=10i, calcule el valor 
de a+b.
 A) 0 B) – 1 C) 1
 D) 2 E) – 2
2. Si z es un complejo que verifica la ecuación 
z+2z=3+4i; i = −1, calcule el módulo de z.
 A) 5 B) 25 C) 17
 D) 10 E) 17
3. Si z es un número complejo imaginario de 
modo que
 
iz z
z
m m
+
+
= >
1
0; 
 calcule el valor de 
Im
Re
z
z
( ) −
( )
1
.
 A) 2 B) – 1 C) 1
 D) 0 E) – 2
4. Halle el valor de la expresión j.
 
j
i
i
=
+
−




1 3
1 3
30
A) 1
B) 1 2 3− i
C) –1
D) 3 − i
E) 1+i
5. Indique el módulo del complejo z.
 
z
i i
i i
= +
( ) −( )
+ +( )
10 1 3 2
3 4 5
3· ·
·
 A) 2 B) 2 2 C) 1
 D) 10 E) 13
6. Sean z1 y z2 dos complejos conjugados tales que
 
z i1
1
2
3
4
= − −
 Calcule el valor de z z z z1
3
1 2 2
33− + .
 A) 1 B) – 1 C) 2
 D) – 2 E) 3
7. Se tiene el complejo
 
z
a b a b i
a bi
= + + −
( )
−
 cuya representación geométrica es
 
Im
Re
 Calcule el valor de |z|+Re(z)+Im(z).
 A) 2 2
 B) 2
 C) 2 2+
 D) 1 2+
 E) 3 2+
8. Sea z un número complejo de modo que 
 z z i− = −3 3
 entonces, ¿cuál es el valor de z ?
A) 1/2 B) 1 C) 4
D) 2 E) 9
Ecuaciones polinomiales
9. Si x0 es solución de la ecuación
 
x x
x
x
x x
+ + − +
+
= + +
+
2
3
1
2
1
5 1
5 1 1
5 1
 calcule el valor de 2 40x + .
 A) 6 B) 4 C) 2
 D) 8 E) 3
3
Álgebra
10. Para la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0; 
a ≠ 0 de CS={x1; x2} se define S x xn
n n= +1 2 .
 Calcule el valor de aS10+bS9+cS8.
 A) a2+b2+c2
 B) a10+b9+c8
 C) a+b+c
 D) 0
 E) 1
11. Si a es raíz de x2 – x –1=0, calcule 
α
α
5 2
1
+
+
.
A) 5 B) 
1
5
 C) −
1
5
D) 3 E) –1
12. Sea la ecuación paramétrica
 
n n x
n
n n
+( ) +( )
+( )
= +( ) +( )1 3
1
3 1
 Indique las proposiciones verdaderas.
 I. Si n= – 1, la ecuación es compatible inde-
terminada.
 II. Para n ≠ – 1 ∧ n ≠ – 3, la ecuación tiene solu-
ción única.
 III. Para n=– 3, la ecuación es incompatible.
A) I y II
B) II y III
C) solo I
D) solo II
E) solo III
13. Determine un valor del parámetro l para que 
la ecuación de incógnita x
 (l2 – 5l+6)x=l2 – 4l+3
 sea determinada, indeterminada e incompati-
ble, respectivamente.
 A) 1; 2; 3
 B) 5; 2; 3
 C) 3; 2; 1
 D) 2; 3; 1
 E) 5; 3; 2
14. Si la ecuación polinomial tiene 9 raíces
 (x – p)2(x – 2)m(x – m)p=0
 y la suma de raíces es 26, halle el valor numérico 
de p+m.
 A) 8 B) 7 C) 9
 D) 10 E) 12
15. Resuelva la ecuación.
 
x x x
20 30 42
15
14
+ + =
A) {100} B) {3} C) {10}
D) {12} E) {20}
16. Si se cumple que ab+ac+bc=abc, entonces, 
determine la solución de la ecuación en x.
 
2 2 2
0
x a
a
x b
b
x c
c
− + − + − =
 A) 
3
2{ } B) {1} C) 1,5
 D) 1 E) 2
Ecuaciones cuadráticas
17. Respecto a la ecuación cuadrática
 5x2 – 4x – 12=0, indique lo correcto.
 A) Sus raíces son x1= – 2 y x2
6
5
= .
 B) La suma de sus raíces es − 4
5
.
 C) La mayor raíz es − 6
5
.
 D) La menor raíz es 2.
 E) La diferencia entre las raíces es 16
5
.
. . .
4
Álgebra
18. Si se sabe que el CS de la ecuación
 (Kx)2+5Kx – K(K+1)x – 5K – 5=0
 es {x1; x2}, tal que x x1 2
1
5
+ =
 indique el valor de K.
A) – 2
B) 5
C) − 8
D) − 3
E) − 5
19. Se sabe que las raíces r1 y r2 del polinomio 
f(x)=5x
2+bx+20 son positivas y se diferencian 
en 3 unidades. Determine el valor de r1+r2 – b.
 A) 15 B) 25 C) 20
 D) 30 E) 35
20. Si a1 ∧ b2 son raíces de la ecuación x
2 – 3x+1=0, 
indique el valor de (ab+ba)(aa+bb).
 A) 20
 B) 15
 C) 26
 D) 25
 E) 30
21. Si el conjunto solución de la ecuación cua-
drática ax2+4ax+3=0 es CS ;= { }2 44m m , 
determine el valor de a.
 A) 3/4 B) 3/2 C) 1/2
 D) 3 E) 5
22. Si D es el discriminante de la ecuación (D > 0) 
x x2 1
5
4
5
2
0− ∆ −( ) + ∆ +



=
 cuyas raíces son reales, halle el conjunto solu-
ción.
 A) 
9
2
2; −{ }
 B) {11; 5}
 C) 
11
2
3
2
; { }
 D) 
11
2
5
2
; { }
 E) 
1
2
1
2
; 
−{ }
23. Indique la ecuación cuadrática de raíces m y 
n si se sabe que las siguientes ecuaciones son 
equivalentes.
 12x2+mx+2n=2
 3x2+nx+2=0
 A) x2+25x+100=0
 B) x2 – 25x+200=0
 C) 2x2 – 25x+100=0
 D) x2+25x – 100=0
 E) x2 – 25x+100=0
24. Calcule la suma de los valores positivos de P, 
si se sabe que la ecuación x2 – (P+4)x+12=0 
tiene raíces enteras.
 A) 8 B) 13 C) 16
 D) 10 E) 26
Teoremas sobre ecuaciones polinomiales
25. Resuelva la ecuación polinomial
 (3x –1)(3x – 3)(3x – 2)=– 6
 e indique la parte imaginaria de una de sus 
soluciones.
 A) 2 B) 10 C) – 1
 D) 
2
3
 E) 3
5
Álgebra
26. Si la ecuación cúbica x3 – 3x2+4x+m=0 tiene 
CS={– 2; a; b}, halle la ecuación cuadrática de 
raíces a y b.
A) x2 – 6x+14=0
B) x2 – 7x+14=0
C) x2 – 5x+14=0
D) x2 – 8x+14=0
E) x2 – 4x+14=0
27. La ecuación cúbica x3 – px+q=0, pq ≠ 0, tiene 
raíces x1; x2 y x3.
 Si x
x x1 2 3
1 1= + , halle la relación entre p y q.
 A) p=q+1
 B) p2=q2+1
 C) p+q=1
 D) q2+1=p
 E) q2 – 1=p
28. Si – 2 es una raíz doble de la ecuación polinomial 
x3+ax2+b=0, calcule el producto ab.
 A) 10 B) – 12 C) – 8
 D) 12 E) – 6
29. Si la ecuación cúbica x3 – x+1=0
 tiene CS={a; b; c}, calcule el valor de 
 
a b c
a b b c c a
2 2 21 1 1−( ) −( ) −( )
+( ) +( ) +( )
 A) – 1 B) – 1/2 C) 0
 D) 1 E) 2
30. Si i+ 2 es raíz de la ecuación
 x mx m3 6 2 0+ + = ∈ y R
 determine el valor de m.
 A) 5 B) 1 C) 0
 D) – 1 E) – 5
31. Si 2 3− es raíz de la ecuación
 x3 – 2ax2+a2x – 2=0; a ∈ Z
 determine el valor de a.
 A) 1
 B) – 3
 C) 3
 D) – 1
 E) 2
32. Si 1+mi y 1 2+ son raíces de la ecuación 
 2x5 – 6x4+ax3+bx2+cx+d=0, tal que 
 {a; b; c; d} ∈ Q, determine el valor de a c
b d
+ +
+
8
. 
 Considere que m ≠ 0.
 A) – 3 B) – 4 C) – 1
 D) 1 E) 0
Ecuaciones bicuadradas y fraccionarias
33. Al resolver la ecuación x4 – px2+q=0, dos de 
sus raíces son 2 y 3. Halle el valor de p+q.
 A) 49 B) 0 C) 36
 D) 40 E) 1
34. Determine el mayor valor de m si en la ecua-
ción bicuadrada x4 – (m2+1)x2+4=0 se cum-
ple que x1=2x2. Considere que x1 y x2 son raí-
ces de dicha ecuación.
 A) 5 B) 3 C) 2
 D) 4 E) 6
35. El producto de tres raíces de la ecuación 
2x4 – (m – 46)x2+m=0 es m/6. Halle el valor de m.
 A) 36 B) 48 C) 72
 D) 144 E) 18
. . .
6
Álgebra
36. Si a y b son raíces de la ecuación
 x2 – 3x+4=0
 halle la ecuación bicuadrada donde dos de sus 
raíces son 2a y 2b.
A) x4 – 8x2+162=0
B) x4+8x2+44=0
C) x4 – 4x2+16=0
D) x4 – 12x2+26=0
E) x4 – 4x2+44=0
37. Respecto a la ecuación en x
 
1
1
1
1x x
x
+
−
−
=
 indique cuántas soluciones reales posee.
 A) 4 B) 3 C) 2
 D) 1 E) ninguna
38. Indique la solución de la ecuación
 
1
1 2
1
2 3
1
3 5
0
x x x x x x−( ) −( )
+
−( ) −( )
+
−( ) −( )
=
 A) 11 B) 
11
2
 C) 
11
3
 D) 
11
4
 E) 
11
5
39. Si la ecuación fraccionaria
 
x x m
x m
x
m
−( )− +( )
−( ) −( )
=1 1
1 1
 tiene una solución, calcule el valor de m.
 A) 1 B) 
1
2
 C) −
1
2
 D) – 1 E) 2
40. Halle la suma de los cuadrados de las raíces 
que se obtienen en la ecuación bicuadrada 
generada por x
x
2
2
8
6 0− − = .
 A) 17
 B) 21
 C) 12
 D) 68
 E) 6
Claves
01 - D 
02 - E 
03 - C 
04 - A 
05 - B 
06 - B 
07 - C 
08 - D
09 - B 
10 - D 
11 - A 
12 - D 
13 - E 
14 - E 
15 - C 
16 - C
17 - A 
18 - B 
19 - D 
20 - A 
21 - A 
22 - D 
23 - E 
24 - C
25 - D 
26 - C 
27 - D 
28 - B 
29 - D 
30 - E 
31 - C 
32 - D
33 - A 
34 - C 
35 - C 
36 - E 
37 - B 
38 - C 
39 - C 
40 - C