ÁLGEBRA ANUAL UNI 2014 PARTE 4 [PDF DRIVE]

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4
Preguntas Propuestas
. . .
2
Álgebra
Desigualdades e intervalos
1. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
 I. 〈– ∞; 5〉 ∩ 〈3; +∞〉=〈3; 5〉
 II. 〈–6; 1〉 – 〈– 1; 6〉=〈– 6; – 1〉
 III. [–1; 2〉 – {0}=[– 1; 0〉 ∪ 〈0; 2〉
 A) FVV 
 B) VFF 
 C) VFF
 D) FFV 
 E) VFV
2. Dados los conjuntos
 A={x ∈ R / – 9 ≤ 3 – 2x < 1}
 B={(x+1) ∈ R / (2x) ∈ A}
 determine (A ∩ B) ∪ (B – A).
 A) 〈2; 6]
 B) 〈2; 6〉
 C) 
3
2
4; 

 D) 〈4; 6]
 E) 〈4; 6〉
3. Dados los intervalos A=〈– ∞; 4] y I=〈n; 10] tal 
que I≠∅ además A ∩ I=∅ y n ∈ Z.
 Determine cuántos valores puede tomar n.
A) 6 B) 0 C) 9
D) 36 E) 7
4. Dados los intervalos
 A=〈– 3; m] y B=〈1; n〉
 si se cumple que
 A ∩ B=〈1; m] y µ(A ∪ B)=7
 calcule el mayor valor entero de m.
 A) 2 B) 3 C) 4
 D) 5 E) 6
5. Sea I n n= + + 

1
2
1; un intervalo tal que 
 I ⊂ 〈–2; 3〉. Halle la variación de n.
 A) 
3
2
2< <n
 B) 0
3
2
< ≤n
 C) 0 < n < 2
 D) 0
3
2
< <n
 E) 
3
2
2≤ <n
6. Sea M=[n – 2; 2n+1〉 tal que 0 < µ(M) ≤ 8 deter-
mine la variación de n.
A) [– 3; 5〉
B) 〈– 3; 5]
C) 〈0; 8]
D) [– 3; 5]
E) 〈– 2; 6]
7. Sea A=〈n – 5; 2n+5] tal que µ(A)=20 indique el 
valor numérico de n2+n+1.
A) 100 B) 101 C) 111
D) 121 E) 120
8. Sea A x x
B x
x
A
= ∈ − ≤ − ≤




= ∈ ∈




R
R
1
5
3
10
20
 
 determine A ∩ B.
A) ∅
B) R 
C) A
D) B
E) [– 3; 30]
3
Álgebra
9. Dados los conjuntos
 
P x
x
Q x x P
= ∈ − ∈ − + ∞




= ∈ ∉{ }
R
R
3 1
2
2; y
 Determine el número de proposiciones co-
rrectas.
 I. Inf(P)=– 1
 II. Sup(Q)=– 1
 III. Máx(Q)=– 1
 IV. Mín(P)=– 1
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
10. Dado el conjunto
 
A x
x= ∈ −



∈ − ]




R 4
2
3
2 8;
 
 determine sup(A) – Inf(A).
A) 9 B) 6 C) 14
D) 15 E) 16
Teoremas sobre desigualdades
11. Si M=[2; 5〉, señale el supremo del conjunto A 
tal que
 
A y y
x
x
x M= ∈ = + ∧ ∈




R
1
 A) 6/5 B) 2 C) 11/2
 D) 3/2 E) 2/3
12. Escriba el conjunto S x x
x
= ∈ − ≤ −
+
<




R 1
1
1
1
 como intervalo.
 A) S=〈– 1; 0]
 B) S=[– 1; 1〉
 C) S=[0; +∞〉
 D) S=〈0; +∞〉 
 E) S=〈– 1; +∞〉
13. Si 7 2 5 13 4
3
2
3
4≤ + ≤ ∧ ≤ ≤x y , entonces, la 
variación de x+y es el intervalo A y 
6x
y
 varía en 
el intervalo B. Halle A ∩ B.
 A) 〈2; 10] B) 〈3; 12〉 C) [6; 10]
 D) [3; 6] E) [3; 10]
14. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 p: Si – 1 < x ≤ 2   →   (x2+5) ∈ 〈4; 9]
 q: Si x
x
∈ − →
−
∈ +∞2 3 1
9
1
92
; ; 
 r: Si x
x
x
> − → +
+
∈1 3
2
1 2;
 A) VVV B) VVF C) VFV
 D) FFV E) FFF
15. Halle el mayor valor de λ
 
si si
x y
x y
x y
+
+
≥ { } ⊂ +λ ; R
A) 
1
2
 B) 2 C) 
1
3
D) 3 E) 1
16. Dado el conjunto S tal que
 
S
x
x
x= +
+
∈








2
2
5
1
R
 halle su complemento.
 A) S’=R– 
 B) S’=〈– ∞; 1]
 C) S’=〈0; 1]
 D) S’=〈– ∞; 4〉 
 E) S’=〈0; 2〉
. . .
4
Álgebra
17. Determine el mínimo valor de la expresión
 
f
x x
x
xx( )
( )( )
( )
;= + +
+
− ∀ ∈ +5 2
1
2 R
 A) 7 B) 9 C) 6
 D) 2 E) 10
18. Si {a; b; c} ⊂ R+ tal que 
 1
4
1
2
1
2+



+



+



≥b
a
c
b
a
c
λ
 ¿cuántos valores enteros positivos admite λ?
 A) 9 B) 32 C) 27
 D) 36 E) 49
19. Halle el mínimo valor que toma la expresión
 
J
ab
a
bc
b
ac
c
= +
+
+ +
+
+ +
+
1
1
1
1
1
1
 si se sabe que abc=1 y {a, b, c} ⊂ R+.
 A) 8 B) 1/2 C) 1
 D) 2 E) 3
20. Dado el conjunto
 M x y x y x y= + + ={ }
2 2 2 3 6/ con e reales
 calcule el menor elemento de M.
 A) 2 B) 36/13 C) 25/13
 D) 4 E) 9
Inecuaciones polinomiales
21. Si se cumple que 0 < b < a, entonces, resuelva 
la inecuación lineal
 
bx
a b
a b
ax
a b+
+ < +
+
 A) 〈a+b; +∞〉 
 B) 〈– ∞; a+b〉 
 C) 〈a; +∞〉
 D) 〈b; +∞〉 
 E) 〈a – b; +∞〉
22. Sea m ∈ R tal que
 
2 1
2 3
2x
x m
m
x+ < − ↔ ∈ + ∞;
 Calcule el valor de m.
 
 A) 1 B) 2/3 C) 1/2
 D) 1/4 E) 4/5
23. Si se cumple que
 
4 1
3
4
7 1
2
2
1 2 3 0
1
2
x x
x S
x x x S
− + < − + ↔ ∈
+ − > ↔ ∈



( )( )
 halle S1 ∩ S2.
 A) 1
3
2
; B) 3
2
; + ∞ C) f
 D) −1 3
2
; E) 〈1; +∞〉
24. Si se sabe que el conjunto solución de la inecuación
 (a+b)x2 – (b2 – a2)x ≤ 0 ∧ a, b ∈ R+
 es [– 2; 0], determine el valor de 
2
2
a
b +
.
 A) 6 B) 3 C) 1
 D) 4 E) 2
25. Si la inecuación cuadrática
 λx2 – 2λ2x – λ t ≥ 0 tiene CS=[– 5; 3]
 calcule el valor de λ t.
 A) 15 
 B) 14 
 C) – 15
 D) – 14 
 E) – 30
5
Álgebra
26. Si S es el conjunto solución de la inecuación
 x2– (ax+b)2 ≤ 0; 0 < a < 1, b>0
 indique lo correcto.
 A) S
b
a
b
a
= −
+ −



1 1
;
 B) S ⊂ 〈0; 2〉
 C) S ⊂ 〈– 4; – 1〉
 D) S=f
 E) S ⊂ R+
27. Determine el valor que admite el parámetro λ 
para que la inecuación 
 (λ+1)t2+2λt+(λ – 3) ≤ 0 
 tenga el conjunto solución 
 S={x ∈ R/2x – m=0}
 A) – 3/2
 B) 7/2
 C) 9/2
 D) – 2/3
 E) No existe λ.
28. Dados los conjuntos
 A={(x+1) ∈ R / x2 – 2x+1 > 0}
 B={(x – 2) ∈ R / x2+6x+9 ≥ 0}
 
C
x
x x= ∈ − + ≤




1
4 4 1 02R
 D={x ∈ R / 25x2+2x+1 < 0}
  Calcule [(A ∩ B) \ D] ∪ C.
A) {2} B) 2; 1
5






 C) R −




1
5
D) R – {2}            E) R
29. Indique entre qué valores debe variar k de modo 
que la desigualdad
 kx(x+1)+2 < k – x
 jamás se verifique para cualquier valor real 
de x.
 A) 〈– 1; 1〉 B) 0 1
5
;


 C) 1
5
1;
 D) 0
1
2
; E) 
1
5
1;



30. Respecto a la inecuación
 (a – 1)x2 – 2ax+(a – 2) ≤ 0
 indique lo correcto.
 A) Si a > 1, entonces, D < 1
 B) Si a < 1, entonces, D=0
 C) Si a = 2
3
, entonces, el conjunto solución es 
unitario.
 D) Si a=1, entonces, la menor solución es 
−



1
2
 E) Si a=0, entonces, el conjunto solución es 
vacío.
Inecuaciones de grado superior
31. Si el conjunto solución de la inecuación
 (x – 3)4(x2+x+1)(2x – 1)3 ≤ 0
 es de la forma CS=〈– ∞; a] ∪ {b}
 calcule el valor de 1
a
b+



.
 A) 1
 B) – 2
 C) 3
 D) – 4
 E) 5
. . .
6
Álgebra
32. Resuelva la siguiente inecuación
 (x+6)4(x+2)6(x – 4)8(x – 3)11>0
A) R – {3}
B) 〈3; +∞〉
C) 〈3; +∞〉 ∪ {– 6; – 2}
D) 〈– 3; +∞〉
E) 〈3; +∞〉 – {4}
33. Resuelva la inecuación polinomial
 (x2 – x+1)(x2 – 3x – 4)(x – 4)15(2x–1)9 > 0
 e indique cuántos enteros no son soluciones.
 A) 1 B) 2 C) 3
 D) 5 E) más de cinco
34. Resuelva la inecuación polinomial
 x5 – 6x4+x3+36x2 – 20x – 48 ≥ 0
 Si S es el conjunto solución, indique lo inco-
rrecto.
 A) [– 2; – 1] ⊂ S
 B) S=[– 2; – 1] ∪ [2; +∞〉 – 〈3; 4〉
 C) S ⊆ [– 2; +∞〉
 D) S=R – (〈– 1; 2〉 ∪ 〈3; 4〉)
 E) S=[– 2; – 1] ∪ [2; 3] ∪ [4; +∞〉
35. Si se cumple que
 x8 – x5+x2 – x+1 ≤ 0 ↔ x ∈ S
 indique lo correcto.
 A) S=R
 B) S=〈– 1; 1〉 – {0}
 C) S=〈0; 1〉
 D) S={x ∈ R / –1 < x < 0}
 E) S={x ∈ R / x2+1 < 0}
36. Si el conjunto solución de la inecuación
 
( )( )x x x
x
− − +
−
≤5 4 3
3
0
2
 es de la forma CS=[a; b] – {c}, halle el valor de 
a+b+c.
A) 0 B) 5 C) 6
D) 9 E) 15
37. Si la inecuación fraccionaria
 x x
x
2 1
2
1
2
0
− +
−
+ < admite
 CS = −∞ ∪; ;a b
b
1
 calcule el valor de (a+1)b.
 A) 0 B) 1 C) 2
 D) 1/2 E) 3/2
38. Resuelva la siguiente inecuación.
 
− ≤ +
−
≤1
1
1
2
2
x x
x
 A) 〈– ∞; 1] – {1}
 B) −∞


;
1
2
 C) −∞ 

− −{ }; 1
2
1
 D) −∞ − 

− −{ }; 1
2
1
 E) −∞ − 

− −{ }; 1
2
1
7
Álgebra
39. Sea 0 < a < b. Si la inecuación fraccionaria
 
x a
x b
x b
x a
+
−
≤ +
−
 tiene como conjunto solución al intervalo 
〈2; 3〉, calcule el valor de 
b a
b a
+
−




.
 A) 5 B) 5/3 C) 3
 D) 3/2 E) 2
40. Sea I=〈m; n〉 un intervalo tal que
 I a
a x ax a
x x
x= ∈ + + +
+ +
> − ∀ ∈






R R
( )
,
1 3
1
1
2
2
 Calcule el valor de 
1 1
m n
+ .
 A) 6 B) – 6/5 C) 7/5
 D) 5/6 E) – 6/7
Expresiones irracionales
41. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones
 I. 2 55<
 II. 6 3 5 3− < −
 III. 6 5 2 3− < −
 IV. 7 6 10 11− > −
 y dé como respuesta la secuencia correcta
A) FFFV B) FFVF C) VFFV
D) VVFF E) FVFV
42. Sea f
x
x
x
x
x( ) = − +
+
+
1 1
12
 una expresión irracional tal que
 CVA=〈– ∞; m] ∪ 〈n;– m]
 Calcule el valor de mn.
 A) 1 B) 1/4 C) 1/9
 D) 1/2 E) 4
43. Si se sabe que el conjunto
 A z z z= ∈ + = +{ }Q 11 3
 tiene un solo elemento, ¿cuál es dicho ele-
mento?
 A) 1/64
 B) 1/25
 C) 1/31
 D) 1/16
 E) 1/9
44. Luego de resolver la ecuación
 
x x
x+ − − − =2 1 1
2
2
 se obtiene CS={x0}. Halle el valor de x
3 
0+x
2
0 – 2.
 A) 35 B) 34 C) 36
 D) 37 E) 30
45. Dada la ecuación irracional
 x x x x
2 21 1 2+ + + − + =
 indique el cardinal de su conjunto solución.
 A) 0 B) 1 C) 2
 D) 3 E) más de tres
46. Sea α una solución particular de la inecuación 
irracional
 x x
24 43 1− ≤ −
 Señale verdadero (V) o falso (F) en cada una 
de las 3 proposiciones y marque la secuencia 
correcta.
 I. α < 1
 II. α ∈ 〈2; 5 ]
 III. α 2 ∈ [2; 4]
A) FFF 
B) FFV 
C) FVV
D) FVF 
E) VFF
. . .
8
Álgebra
Claves
01 - E 
02 - C 
03 - A 
04 - B 
05 - C 
06 - B 
07 - C 
08 - A
09 - D 
10 - D 
11 - D 
12 - C 
13 - E 
14 - C 
15 - A 
16 - D
17 - A 
18 - B 
19 - E 
20 - B 
21 - A 
22 - C 
23 - B 
24 - E
25 - C 
26 - A 
27 - E 
28 - E 
29 - E 
30 - D 
31 - E 
32 - E
33 - C 
34 - D 
35 - E 
36 - D 
37 - D 
38 - C 
39 - A 
40 - E
41 - A 
42 - A 
43 - E 
44 - B 
45 - B 
46 - B 
47 - D 
48 - A
49 - D 
50 - D
47. Dado el conjunto
 A x x x x= ∈ − + + < +{ }R 3 2 5 4 3
 indique lo correcto.
 A) A={0}
 B) A x x= ∈ ≥{ }R 23
 C) A tiene un solo elemento positivo.
 D) el complemento de A es el conjunto de los 
números reales.
 E) A={f}
48. Dado el conjunto
 S x x x x= ∈ − < +{ }R 2 2
 calcule el valor de Inf(S)+Sup(S).
 A) 1 
 B) 0 
 C) – 1
 D) – 2 
 E) 2
49. Resuelva la inecuación irracional
 
2 1 2
4
0
x x
x
− − −
−
≤
 Si S es su conjunto solución, indique lo correcto.
 A) S = 

1
2
4;
 B) S=[2; +∞〉
 C) S=[2; 5〉 – {4}
 D) S ⊆ 〈0; 4〉
 E) S=f
50. Sea la expresión matemática
 
h
x
x
xx( ) ;=
+ ∈ +9 R
  Determine el menor valor que toma la expre-
sión h.
A) 1/3  B) 1        C) 9
D) 6            E) 3