ÁLGEBRA ANUAL UNI 2014 PARTE 6 [PDF DRIVE]

Vista previa del material en texto

1
Álgebra
6
Preguntas Propuestas
. . .
2
Álgebra
Álgebra de funciones
1. Dadas las funciones
 f xx( ) = −1 4
2
 g(x)=x
2 – x – 2; x ≤ 0
 halle Dom(f+g).
 A) −



1
2
0; B) −



1
2
1
2
; C) 〈– 2; 0]
 D) [– 2; 0] E) − −



2
1
2
;
2. Dadas las funciones
 f
x x x
x xx
( ) =
+ ∈
+ ∈ −




2 0 10
2 1 5 0
; ;
; ;
 g
x x x
x x
x( ) =
+ ∈
∈ −




; ;
; ;
0 5
10 02
 evalúe (f+g)(4) · (f – g)(– 1).
 A) 52 B) 0 C) 26
 D) – 26 E) – 52
3. Sean las funciones
 f={(1; 0), (–2; 1), (3; 4), (– 4; 2), (5; – 1), (– 6; 3)}
 g: A → R tal que g(x)=1 – |x|
 donde A=〈– 5; 5], halle Ran(f+g) e indique la 
suma de sus elementos.
 A) – 6 B) – 4 C) – 2
 D) 4 E) 6
4. Se tiene las funciones
 f={(t; t) / t ∈ R}
 g={(t2; |t|) / t ∈ R}
 Halle la gráfica de f+g.
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
5. Si se cumple que
 f(x)=x
3 – 1; x ∈ R y g(x)=x
2+x+1; x ∈ R
 halle la gráfica de f ÷ g.
A) 
X
Y B) 
X1–1
Y
C) 
X
Y
1
–1
D) 
X
Y
1
–1
 E) 
X
Y
1
–1
6. Si g es la función identidad y f(x)=|x+1|, halle 
el complemento del rango de la función f / g.
 A) 〈– ∞; 0〉 ∪ 〈1; +∞〉
 B) 〈– 1; 1〉 ∪ [2; +∞〉
 C) [– 1; 1]
 D) 〈0; 1]
 E) 〈– 1; 1〉 ∪ 〈2; +∞〉
7. Determine el rango de la función f.
 f x xx( ) = − + −1 3
A) [2; 4] B) 2 2;  C) 
2
2
1;




D) 2 2; E) 2 2;
8. Dadas las funciones
 f(x)=2x – 3; x ∈ 〈– ∞; 3〉
 g(x)=3x – 1; x ∈ 〈0; 3〉
 halle el dominio de g o f.
 A) 
3
2
3; B) 〈0; +∞〉 C) 〈– ∞; 0〉
 D) 0
4
3
; E) 4
3
3
2
;
3
Álgebra
9. Dadas las funciones
 f(x)=2x – 1; x ∈ 〈– 5; 3〉
 g(x)=x
2; x ∈ 〈– 1; 4〉
 halle el rango de f o g.
 A) R+ B) [– 1; 17〉 C) φ
 D) 〈– 2; 5〉 E) [– 1; 5〉
10. Sean f y g dos funciones de modo que
 (f o g)(x)=x
3+x+1
 g(x)=x
3+1
 Calcule el valor de (g o f )(2).
 A) 2 B) 9 C) 28
 D) 65 E) 9/8
Función inversa
11. Respecto a la función
 f
x
x
xx( )
+=
−
∈ − { }
1
1; Ro
 indique lo correcto.
 A) f no es univalente
 B) f es creciente
 C) Ran f=R
 D) f es inyectiva
 E) existen x1 y x2 ∈ Dom f / f(x1)=f(x2)
12. Respecto a la función suryectiva
 h:[– 1; 3] → B, tal que h(x)=2|x| – x+1
 indique lo correcto.
 A) B ⊂ [– 2; 2]
 B) B=[1; 3]
 C) B=[1; 4]
 D) B=〈1; 4]
 E) B=[– 1; 4]
13. Con respecto a la función
 f x x
xx( ) = − −
+
−( )
>1 2
1
1
1
22 ;
 indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
 p: f es creciente
 q: f es inyectiva
 r: f es biyectiva en su rango
A) VVV B) VFF C) FFF
D) FVV E) FFV
14. Sea f x xx( ) = + ∀ ∈{ }* ; ; ; ;3 1 1 8 27 64 , determine f(x).
A) {(1; 2), (8; 3), (27; 4), (64; 5)}
B) {(2; 0), (3; 9), (4; 27), (5; 65)}
C) {(1; 2), (3; 8), (27; 4), (64; 5)}
D) {(2; 1), (3; 8), (4; 27), (5; 64)}
E) {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)}
15. Dada la función
 f(x)=2x – 1; – 1 < x < 4
 halle el dominio de f *.
 A) 〈– 1; 5〉 B) 〈– 1; 6〉 C) 〈– 4; 0〉
 D) 〈– 1; 4〉 E) 〈– 3; 7〉
16. La gráfica de la función biyectiva
 f: [0; 3〉 → [a; b〉 es
 
2
0 3 X
Y
f
–2
 Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
 I. a+b+ab=– 4
 II. |f| es inyectiva  x ∈ Dom f
 III. Dom f – 1=[– 2; 2〉 ∧ Ran f=[0; 3]
 A) VFF B) FFV C) FVV
 D) VVV E) VFV
17. Halle la función inversa de
 f
x
xx( ) = + ∈ −2
1
3
2 3si ;
 A) f
x
xx
* ; ;( ) =
+
∈ −
6 2
3
2
3
11
6
 B) f
x
xx
* ; ;( ) = + ∈ −
1
2
1
3
2
3
5
6
 C) f
x
xx
* ; ;( ) = +
∈ −
6
3 2
2
3
5
6
 D) f
x
xx
* ; ;( ) =
−
∈ −
6 2
3
2
3
11
6
 E) f
x
xx
* ; ;( ) =
−
∈ −
6 2
3
1
3
5
6
. . .
4
Álgebra
18. Sea f una función tal que
 f(x)=2x+a; a ∈ Dom f ⊂ R
+
 Si f(a2)=f *(a+2) ,calcule la imagen de a mediante 
la función f.
 A) 1/2 B) 2/3 C) 1/3
 D) 3/2 E) 2
19. Sea f x xx( ) = − + ∀ ∈ −∞ − ]∪ +∞[2 4 3 2 2; ; ; ,
 determine f *(x).
A) − −( ) +x 3 42
B) x −( ) −3 42
C) − −( ) −x 3 42
D) x +( ) +3 42
E) x −( ) +3 42
20. Dada la función f
xx( )
=
− +
1
2
 determine la gráfica de f *(x).
A) 
–2
Y
X
 B) 
2
Y
X
C) 
2
Y
X
D) 
2
–2
Y
X
 E) Y
X
Gráfica de relaciones
21. Se tiene la gráfica de la función f.
 X
Y
1
1
f
0–2
 Determine la gráfica de |f(x+1) – 1|.
A) 
X
Y
1
–3
 B) 
X
Y
–1
–1
–3
C) 
X
Y
1
–3 –1
D) 
X
Y
1
–1 1
 E) 
X
Y
1
–3 –1
22. Se muestra la gráfica de una función f.
 8
2
10 20 X
Y
 Halle la gráfica de f(x+|x|).
A) 
40
2
5 10 X
Y B) 
20
2
3
2
5 X
Y
C) 
0
2
10 20 X
Y
D) 
–10
2
–5 0 X
Y E) 
40
2
5 10 X
Y
5
Álgebra
23. Dadas las funciones reales
 
f
x
g xx x( ) ( )=
+
= −
3 2
2
1
3
y
 si S es el conjunto solución de la inecuación 
f(x) < g(x), indique lo correcto.
 A) S=R+
 B) S ⊂ [2; +∞〉
 C) S=〈– ∞; 1〉
 D) S ⊂ 〈– 2; 2〉
 E) S=〈0; 2〉
24. Halle el área formada por la intersección de las 
gráficas de f y g.
 f={(x; y) ∈ R2/|x – 3| ≤ y}
 g x y
x
y= ∈ + ≥




( ; ) R2
2
3
 A) 36 u2 B) 18 u2 C) 36 2 2u
 D) 72 u2 E) 27 u2
25. Dadas las relaciones
 A={(x; y) ∈ R2/|x|+|y| < 2}
 B={(x; y) ∈ R2/y ≥ x2}
 indique la región formada por A ∩ B.
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
26. Halle la gráfica de la región formada por A ∩ B 
si A={(x; y) ∈ R2/|y – 1| ≤ x+3}
 
B x y y
x= ( ) ∈ × ≥








; R R
2
9
A) 
X
Y B) 
X
Y
11
–2
C) 
11
X
Y
3
D) 
X
Y
2
11
 E) 
X
Y
–3
11
27. Determine la gráfica de la región R.
 R={(x; y) ∈ R2/|x| ≤ |y| ∧ |x|2+|y|2 ≤ 1}
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
. . .
6
Álgebra
28. Sea A x y h x
xx
= ( ) ∈ ≤ +





( )
; R2
6
1
 indique la gráfica de A.
A) Y
X
 B) Y
X
C) YY
X
D) Y
X
 E) YY
X
29. Determine la gráfica de la relación
 R x y
x y= ( ) ∈ − ≤






; R2
2 2
4 4
1
A) Y
X
 B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
 E) Y
X
30. Dada la gráfica de la función f.
Y
X
 indique la gráfica de la relación R.
 R x y y f x= ( ) ∈ ≥ −( ) +{ }; R2 1
A) Y
X
 B) Y
X
C) Y
X
D) Y
X
 E) Y
X
Logaritmos
31. Calcule el valor de A+B.
 A x xx x= −colog log
23 8
 B x x xx x= +2
3 23log log ·
 A) – 1/2 
 B) 2 
 C) 3
 D) 4 
 E) – 2
32. Dados los números
 A e= ( )log ln3 401 3 y B = ( ) ( )log colog1
2
1032
 Calcule el valor de antilog2009(log2005(AB))
 A) 2009 
 B) 1/2009
 C) 10
 D) 1 
 E) 0
33. Si l=log32, halle 
log
log
9
1 5−
 en función de l.
 A) 3l– 1 B) 2l– 1 C) l– 1
 D) 4l– 1 E) 3l
7
Álgebra
34. Si log2=l, halle log258 en términos de l.
A) 
2
3 3
λ
λ−
 B) 
λ
λ3 2−
 C) l+2
D) 
3
2 2
λ
λ−
 E) 
3
3 2
λ
λ−
35. Si tenemos que n2 · log2n
2=2, determine el va-
lor aproximado de k.
 
k
n n n n
= + + ( )+ ( )+log log log log ..., ,2 2 2 0 5 2 0 254 2 2 2
A) 6 B) 1/2 C) 4
D) 2 E) 1
36. Si {a; b; c} ⊂ R+ tal que
 log(a+b+c)=loga+logb+logc
 determine el mínimo valor de log(abc).
 A) log 3 3( )
 B) log 2 3( )
 C) log 3
2




 D) log 
3
3
 E) log 4 3( )
37. Se tiene el número N=540×280. Si log2=0,301030..., 
calcule el número de cifras de N.
A) 52 
B) 53 
C) 63
D) 64 
E) 65
38. Determine el producto de soluciones de la 
ecuación log2x – 2logx – log3=0
A) e10 
B) 102 
C) 20
D) 1 
E) log3
39. Resuelva el sistema
 
x e
x y
yln
ln ln
=
+ =




−3
2 2 10
 Indique un valor de y.
A) e – 30 
B) e – 3 
C) e – 1/2
D) e1/2 
E) 1
Función logarítmica y exponencial
40. Si x0 verifica la ecuación
 log
logx x−( ) + +( )( ) =− −40 1 1 1717 1 1
 calcule el valor de x0 1+ .
 A) 48 
 B) 49
 C) 7
 D) 6 
 E) 5
41. Esboce la gráfica de la siguiente función.
 
f xx( ) /log ( )= − −1 2 2 3
A) 
X
Y
2 3
 B) 
X
Y
2
C) 
X
Y
–2
D) 
X
Y
–2
 E) 
X
Y
2
. . .
8
Álgebra
42. Dada la función g(x)=logx – 1(3x – x
2), halle su 
dominio.
 A) 〈1; 2〉 ∪ 〈2; 3〉 
 B) 〈1; 3〉 
 C) 〈3; +∞〉
 D) 〈0; 3〉 – {2} 
 E) 〈1; 2〉
43. Dada la función g con regla de correspondencia
 g xx x
x
( ) −( )
−= +( ) +log 2 1
2 12 2
 Determine el dominio de g.
A) 0 1 2; ;∪ + ∞
B) − ∪ + ∞ − −{ }1 1 1 2 2; ; ;
C) − − ∪ + ∞ − −{ }2 1 1 2 2; ; ;
D) − − ∪ +∞ − −{}2 1 0 2 2; ; ;
E) − − ∪ + ∞ −{ }2 1 1 2; ;
44. Si f: 〈1; +∞〉 → R es una función definida por 
f
xx( )
= +1
1
log
, halle su rango.
A) Ran(f)=[1; +∞〉
B) Ran(f)=〈0; 1〉
C) Ran(f)=〈1; 5〉
D) Ran(f)=〈2; +∞〉
E) Ran(f)=〈1; +∞〉
45. Resuelva la siguiente inecuación logarítmica
 logx x1 2 1−( ) >
A) CS=〈0; 1〉
B) CS ;=
1
3
1
C) CS ;=
1
3
1
2
D) CS ;= +∞
1
3
E) CS ;= +∞
1
2
46. Resuelva la inecuación 
 log0,1(3x – 5) ≥ log0,1(7 – 2x), 
 indique el intervalo que se obtiene como con-
junto solución.
 A) 
5
3
7
2
; 
 B) 
12
5
7
2
;
 
 C) 
5
3
12
5
; 

 D) 
7
2
; + ∞ 
 E) 2
12
5
; 

47. Esboce la gráfica de la siguiente función. 
 
f ex
x
( )
− −= 2 1
A) 
0 X
Y
–2
1
 B) 
0 X
Y
2
1
C) 
0 X
Y
2
1
D) 
0 X
Y
2
 E) 
X
Y
2
1
9
Álgebra
48. Si f es una función definida por
 
f
x
x
x
xx
x x
( )
−= −
−
−
−

5 2
1
1
 x ∈ R – {0; 1}; entonces el rango de f es
A) 〈0; 1〉 
B) [1; +∞〉 
C) [0; 4〉
D) R 
E) R – {0; 1; 4}
49. Resuelva la siguiente ecuación exponencial.
 2x – 2– x=3
 A) log3 1 2+( ){ }
 B) log2 3 13+( ){ }
 C) log ; log2 2
3 13
2
3 13
2
+





−













 D) log2
3 13
2
+











 E) log
3 13
2
+













50. Obtenga el conjunto solución de la inecuación 
2 5 7 23x x+ − < ⋅ .
 A) 〈0; log25〉
 B) 〈– log5; log5〉
 C) 〈0; 5〉
 D) log ; log2 2
1
5
5


 E) 〈– 5; 5〉
Claves
01 - A 
02 - B 
03 - B 
04 - C 
05 - D 
06 - D 
07 - B 
08 - A
09 - E 
10 - C 
11 - D 
12 - C 
13 - D 
14 - D 
15 - E 
16 - A
17 - D 
18 - D 
19 - E 
20 - B 
21 - C 
22 - A 
23 - B 
24 - E
25 - D 
26 - E 
27 - B 
28 - D 
29 - A 
30 - B 
31 - B 
32 - A
33 - B 
34 - D 
35 - D 
36 - A 
37 - B 
38 - B 
39 - B 
40 - C
41 - A 
42 - A 
43 - C 
44 - E 
45 - C 
46 - C 
47 - B 
48 - C
49 - D 
50 - D