GEOMETRÍA ANUAL UNI 2014 PARTE 6 [PDF DRIVE]

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Geometría
6
Preguntas Propuestas
. . .
2
Geometría
Poliedro y poliedros regulares I
1. Indique de forma ordenada el valor de los si-
guientes enunciados.
 I. Todo poliedro presenta diagonales.
 II. Un poliedro puede tener 7 aristas.
 III. En todo poliedro la cantidad de aristas directa 
a la cantidad de diagonales.
 IV. El todo poliedro convexo, se cumple que 
2A ≥ 3C, (A=número de aristas y C=número 
de caras)
A) VVVV B) VFVF C) VFFF
D) FFFF E) FFVF
2. Un poliedro está formado por una región triangu-
lar, 5 cuadrangulares, 1 pentagonal y 1 hexagonal. 
Calcule el número de vértices de dicho sólido.
A) 6 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
3. Un poliedro está limitado por una región pen-
tagonal, 3 regiones cuadrangulares y 3 regio-
nes triangulares, halla la cantidad de diagona-
les del poliedro.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
4. En un tetraedro regular ABCD, MN = 2 2 (M y 
N son puntos medios de AB y CD, respectiva-
mente), halle el área de la superficie de dicho 
tetraedro.
A) 4 3 
B) 8 3 
C) 12 3
D) 16 3 
E) 32 3
5. Del gráfico, ABCD es un tetraedro regular, T es 
punto de tangencia, calcule x.
 
BB
DD
CC
AA
TT
xx
A) 53º/2 B) 30º C) 37º
D) 45º E) 53º
6. Se tiene un hexaedro regular ABCD - MNPQ, en 
la región ABPQ se traza una semicircunferencia 
de diámetro PQ. Calcule la medida del ángulo 
determinado por las tangentes trazadas desde 
O a dicha semicircunferencia, (O es el centro 
de ABPQ).
A) 45º 
B) 60º 
C) 127º/2
D) 90º 
E) 120º
7. En un hexaedro regular ABCD - EFGH, donde 
el área de su superficie es 12 u2, sean O1, O2, 
O3, O4, O5, y O6 los centros de las caras ABCD; 
BCGF; ABFE; ADHE; CDHG y EFGH, respecti-
vamente. Calcule el área de la superficie del 
poliedro AO1O2O3 - O4O5GO6.
 A) 3 3
 B) 4 3
 C) 6
 D) 6 2
 E) 6 3
3
Geometría
8. Del gráfico, se tiene un tetraedro regular y un 
hexaedro regular. Calcule la razón de volúmenes.
 
A) 
1
2
 B) 
2 3
3
 C) 
2 6
3
D) 
8 3
3
 E) 
9 3
2
Poliedros regulares II
9. Dado un tetraedro regular, calcule la razón 
entre la razón de las áreas de sus superficies 
de dicho tetraedro y del sólido cuyos vértices 
son todos los puntos medios de las aristas del 
primero.
 A) 1 B) 0,5 C) 0,25
 D) 2 E) 4/3
10. Se muestra el octaedro regular M-ABCD-N, ade-
más el área de la región sombreada es 4 2, ha-
lle el volumen de dicho octaedro.
A
C
N
M
BB
DD
A) 
4
3 B) 
8
3 C) 
16
3
D) 
32
3 E) 
64
3
11. En un octaedro regular M - ABCD - N, calcule 
el área de la proyección ortogonal del sólido 
sobre un plano paralelo a una de sus caras. Se 
sabe que el área de la superficie del octaedro 
es A.
A) A B) 
A
2
 C) 
A
3
D) 
A
4
 E) 
A
6
12. En un octaedro regular P - ABCD - Q, AM es al-
tura en la cara AQB y BN es altura en la cara 
BAP. Calcule la medida del ángulo que forman 
AM y BN.
A) 30º B) 45º C) arcsen
1
3
D) arc cos
5
6
 E) arc cos −



1
6
13. En el dodecaedro regular que se muestra, 
calcule la distancia entre AB y CD, si MN y PQ 
distan 4 u.
 
A BB
C
D
M
N
PP
Q
 A) 4 5 1−( ) B) 2 5 1−( ) C) 2 5 1+( ) 
 D) 2 5 E) 4
. . .
4
Geometría
14. El dodecaedro regular que se muestra en el 
gráfico tiene arista de longitud a.
 Calcule el área de la superficie del hexaedro 
indicado.
 
A) a2 3+ 5( ) 
B) 2a2 3+ 5( )
C) 3 3 52a −( )
D) 3 5 12a +( )
E) 3 3 52a +( )
15. En un icosaedro regular de arista igual a 2, ha-
lle el perímetro de la región determinada por 
un plano de simetría.
A) 8 B) 12 C) 2 2 3( )+
D) 4 1 3( )+ E) 8 1 3( )+
16. En el icosaedro regular M - ABCDE - FGHIJ - N de 
arista . Calcule el menor recorrido para ir de 
M a N por la superficie del sólido.
NN
FF
AA
CC
MM
DD
HH
EE
BB
II
GG
JJ
A) 3	 B)  3 1+( ) C) 2
D) 

2
4 3+( ) E)  7
Prisma
17. Calcule el volumen de un prisma oblicuo cuya 
sección recta es un hexágono regular de lado 
a, la altura del prisma es h y las aristas laterales, 
determinan un ángulo de 60º con la base.
 A) a2h 
 B) 2a2h 
 C) 3a2h
 D) 4a2h 
 E) 5a2h
18. En un prisma oblicuo ABC - DEF, m ABC=90º. 
Si la proyección de F sobre la base ABC es el 
incentro del triángulo ABC; AD=BC=4 y AB=3, 
calcule el volumen de dicho prisma.
A) 6 6 
B) 5 6 
C) 7 6
D) 3 6 
E) 4 6
19. Calcule el volumen de un prisma cuya altura 
mide 20 m y la base es un cuadrilátero convexo 
cuyos lados son 3 m; 4 m; 12 m y 13 m, además, 
una de sus diagonales mide 5 m.
 A) 700 m3 
 B) 720 m3 
 C) 760 m3
 D) 780 m3 
 E) 800 m3
5
Geometría
20. Según el gráfico ABCD - A’B’C’D’ es un prisma 
recto, MBN es un triángulo equilátero y 
 (BN)(CH)=8, calcule A’C ’.
A) 2 
A
M
B C
N
HD
C '
D'
B'
A'
θ
θ
B) 2 2
C) 4
D) 4 2
E) 8
21. Un prisma recto tiene como base un octágono 
regular y su arista lateral es igual a la longitud 
del lado del cuadrado inscrito en el círculo de 
8 m de radio circunscrito a la base. Calcule el 
volumen del prisma.
 A) 2048 m3 
 B) 2148 m3
 C) 2038 m3
 D) 2248 m3 
 E) 2348 m3
22. En un prisma regular ABCD - EFGH, con centro 
en B y radio BC, se traza un arco de circunfe-
rencia, de modo que FT es tangente a dicho 
arco en T. Si la mCT=37º y AB=3, calcule la 
distancia de T hacia la base EFGH.
A) 32/25 
B) 16/5 
C) 64/25
D) 16/25 
E) 5/3
23. En un paralelepípedo recto de base rectangular 
ABCD - EFGH, las áreas de las regiones ADHE, 
DCGH y ABCD son 12; 15 y 20, respectivamente. 
Calcule el volumen del paralelepípedo.
A) 30 B) 40 C) 50
D) 60 E) 80
24. Si la base de un paralelepípedo recto es un 
rombo cuya área es igual a S3 y las áreas de 
las secciones diagonales perpendiculares a la 
base son iguales a S1 y S2, calcule el volumen 
del paralelepípedo.
 A) S S S1 2 3 B) 
S S S1 2 3
3
 C) 
S S S1 2 3
6
 D) 
S S S1 2 3
4
 E) 
S S S1 2 3
2
Tronco de prisma
25. En un prisma oblicuo ABC - DEF, se traza un 
plano secante a AD; BE y CF en M, N y Q, res-
pectivamente, tal que la razón de volúmenes 
de los sólidos ABC - MNQ y MNQ - DEF es de 2 a 
3. Si AD=2(AM)=3(BN)=12, calcule CQ.
 A) 3,6 
 B) 4,2 
 C) 4,4
 D) 4,8 
 E) 5,2
26. El gráfico ABC - DEF es un tronco de prisma, 
además, el volumen del sólido D - AFE es 16 3 y 
AD=6. Calcule el área de la región ABC.
 
A
B
C
D
E
F
 A) 4 3 B) 6 3 C) 8 3
 D) 12 3 E) 16 3
. . .
6
Geometría
27. En un tronco de prisma recto ABC - DEF, las 
aristas laterales son perpendiculares a la re-
gión ABC, además m ABC=90º. Si EB=10; 
 DE= 74; EF= 85; FD= 61 y AD=CF, calcule el 
volumen de dicho tronco. (Considere BE > AD)
 A) 70 B) 75 C) 80
 D) 85 E) 90
28. En el gráfico, las circunferencias están inscri-
tas en las caras. Si PQ=1 y AB=8, calcule el 
volumen del tronco de prisma recto.
 
P
Q
B
A
53º53º
A) 180 B) 192 C) 132
D) 130 E) 140
29. En un prisma regular ABCD - EFGH se ubica 
el punto M en CG, tal que MC=2(MG)=6 y la 
m MDC=45º. Calcule el volumen del sólido 
determinado por una base del prisma y el pla-
no que contiene a F, M y D.
A) 156
B) 160 
C) 162
D) 165 
E) 169
30. En un prisma regular ABCD - EFGH con centro 
en E y H se trazan los arcos de radios EB y HC 
que intersecan a HC y EB en Q y P, respectiva-
mente. Si QC=2 y BC=4, calcule el volumen 
del sólido EPF - HQG.
A) 12 
B) 8,4 
C) 14,4
D) 16 
E) 16,4
31. En un tronco de prisma regular ABCDEF - AGHIJF, 
la base AGHIJF es regular, AF=1 y BF=2 3, cal-
cule el volumen de dicho tronco.
A) 6 2 
B) 4 2 
C) 3 3
D) 9 
E) 
9
2
3
32. En un tetraedro regular ABCD se ubican los 
puntos M, N, P y Q en los lados AB, BD, DC y AC, 
respectivamente. Si MN // PQ // AD; AM=2(MB) 
y DP=PC, calcule la razón de volúmenes de 
BNPQM y ABCD.
A) 4/29 
B) 5/36 
C) 8/27
D) 5/27 
E) 7/18
Cilindro y tronco de cilindro
33. Indique el valor de verdad de los siguientes 
enunciados.
 I. Si 2 cilindros presentan el mismo volumen y 
alturas iguales, entonces son congruentes.
 II. Todo cilindro oblicuode base circular, tiene 
sección recta elíptica.
 III. Si a un cilindro oblicuo se le traza un plano 
secante, tal que la región determinada sea 
congruente con las bases, entonces dicho 
plano es paralelo a las bases.
A) FVV B) FVF C) VFF
D) FFF E) VFV
7
Geometría
34. Del gráfico, T es punto de tangencia, R= 5, y 
la medida del diedro entre la región AMC y el 
plano P es 60º. Calcule el volumen del cilindro 
que se muestra.
PP
AA
CC
RR
BB
TT
MM
45º45º
A) 4 3π 
B) 5 3π     
C) 10 3π
D) 15 3π 
E) 20 3π
35. Del gráfico, se tiene un tronco de cilindro de 
revolución, BC=3(AB), R=4, AD= 3, calcule 
el área de la superficie lateral de dicho sólido.
 
RRDD
AA
CC
BB
A) 6 3π 
B) 12 3π   
C) 24 3π
D) 48 3π           
E) 56 3π
36. En el gráfico se tiene un tronco de cilindro recto. 
Si AB=9; CD=3 y R=4, calcule la medida del 
diedro que determinan las bases de dicho tronco.
 
A
B
C
D
R
 A) 30º B) 37º C) 45º
 D) 53º E) 60º
37. Se tiene un recipiente que tiene la forma de 
un cilindro circular recto, donde la longitud de 
la generatriz es 5 veces el radio de la base. Si 
dicho recipiente contiene agua en un 60% de 
su capacidad, ¿qué ángulo se debe inclinar el 
recipiente para que el agua llegue al borde?
 A) 15º B) 37º/2 C) 53º/2
 D) 30º E) 37º
38. En el gráfico se tiene un tronco de cilindro de 
sección recta circular, además, ABDC es un tra-
pecio isósceles. Si m CAB=135º; CD=2(AB) 
y el área de la superficie lateral es numérica-
mente igual al volumen de dicho tronco, cal-
cule el área de la superficie lateral.
 
 A) 24π 
A
B
C
D
 B) 36π 
 C) 48π
 D) 60π 
 E) 72π
. . .
8
Geometría
39. Del gráfico, se muestra un tronco de cilindro 
de sección recta circular si AB=8, calcule el 
volumen de dicho sólido.
 
θθ
θθ BB
AA
15º15º
A) 4 6 2π −( ) 
B) π 4 2 3+( )
C) 16 6 2π −( )
D) 4 6 2π +( )
E) 2 4 3π +( )
40. El gráfico M - ABCD - N es un octaedro regular. Si 
el área de la superficie total de dicho octaedro es 
50 3, calcule el volumen del tronco de cilindro.
 
A
BB C
DD
MM
NN
A) 
115 2
2
≠ 
B) 60 2≠ 
C) 
125 2
2
≠
D) 65 2≠ 
E) 
135 2
2
≠
Claves
01 - D 
02 - E 
03 - E 
04 - D 
05 - D 
06 - D 
07 - A 
08 - D
09 - D 
10 - D 
11 - E 
12 - D 
13 - E 
14 - E 
15 - D 
16 - E
17 - C 
18 - A 
19 - B 
20 - C 
21 - A 
22 - B 
23 - D 
24 - E
25 - C 
26 - C 
27 - C 
28 - B 
29 - C 
30 - C 
31 - E 
32 - E
33 - B 
34 - E 
35 - C 
36 - B 
37 - C 
38 - C 
39 - B 
40 - C