S07 s1 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
VARIABLE ALEATORIA
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Al finalizar la sesión de clase el estudiante aplica los conceptos de variable aleatoria y resuelve
ejercicios de aplicación.
1. Variable aleatoria
Se denomina variable aleatoria X a una función definida en Ω tal que a cada elemento s le
asocia el número real x = X(s). El dominio de la variable aleatoria X es el espacio muestral Ω y
su rango es el conjunto de todos los valores posibles que denotaremos por Rx, esto es: Rx = x ∈ Ω.
Las variables aleatorias se clasifican en: variables aleatorias discretas y variables aleatorias contin-
uas.
1.1. Variable aleatoria discreta
Es aquella cuyo rango (Rx) es un conjunto finito o infinito numerable de valores.
Ejemplo 1:
Experimento Variable aleatoria Valores posibles
Llamar a 5 clientes. Número de clientes que hacen 0, 1, 2, 3, 4, 5
un pedido.
Inspeccionar un lote de 24 Número de productos que 0, 1, 2, ..., 24
productos tienen algún defecto.
Hacerse cargo de un restau- Número de clientes. 0, 1, 2, 3, ...
rante durante un d́ıa.
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1.1.1. Función de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta, se denomina función o distribución de probabilidad de
X a la función p(x) definida por p(x) = P [X = x] que satisface las siguientes condiciones:
1. p(x) ≥ 0,∀x ∈ Rx
2.
∑
p(x) = 1
La gráfica de una distribución de probabilidades de variable discreta es la gráfica de bastones.
1.1.2. Función de distribución acumulada
Sea X una variable aleatoria discreta, se denomina función de distribución acumulada de X a
la función F (x) definida por:
F (x) = P (X ≤ x) =
∑
p(x),∀x ∈ Rx
1.2. Variable aleatoria continua
Es aquella cuando el rango (Rx) es un intervalo o un conjunto infinito no numerable de valores
reales.
Ejemplo 2:
Experimento Variable aleatoria Valores posibles
Operar un banco. Tiempos en minutos entre la llegada x ≥ 0
de los clientes.
Medir la temperatura de un Temperatura en 0C en las noches -10≤ x ≤ 10
ambiente. del mes de Julio.
Llenar una lata de refresco Cantidad de onzas. 0 ≤ x ≤ 12,1
(máx. 12.1 onzas)
1.2.1. Función de densidad
Sea X una variable aleatoria continua, se denomina función de densidad de probabilidad de X
a la función f(x) que satisface las siguientes condiciones:
1. f(x) ≥ 0,∀x ∈ Rx
2.
∫ +∞
−∞ f(x)dx = 1
3. P (a ≤ x ≤ b) =
∫ b
a
f(x)dx
Figura 1: Función densidad.
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1.2.2. Función de distribución acumulada
Sea X una variable aleatoria continua, se denomina función de distribución acumulada de X a
la función F (x) definida por:
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(t)dt,∀x ∈ Rx
Figura 2: Función distribución acumulada.
1.3. Valor esperado y varianza
El valor esperado, o media, de una variable aleatoria es una medida de la localización central
de la variable aleatoria.
La varianza es la medida que resume la variabilidad de los valores de la variable aleatoria con
respecto al valor esperado.
Variable discreta Variable continua
Valor esperado E(X) =
∑
xp(x) E(X) =
∫ +∞
−∞
xf(x)dx
Varianza V (X) = E(X2)− (E(X))2 V (X) = E(X2)− (E(X))2
E(X2) =
∑
x2p(x) E(X2) =
∫ +∞
−∞
x2f(x)dx
Ejemplo 3: Dada la distribución de probabilidad del número de visitas realizadas por un estudi-
ante de la UTP a la plataforma virtual Canvas en un determinado d́ıa del ciclo académico en la
siguiente tabla:
Número de visitas (X) Probabilidad
0 0.2
1 2k
2 4k
3 0.30
4 0.05
Total
a) Halle el valor de la constante k.
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b) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar no visite la plataforma Canvas
ninguna vez por d́ıa.
c) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar visite la plataforma Canvas
más de 2 veces por d́ıa.
d) Calcule la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar visite la plataforma Canvas a
lo sumo una vez por d́ıa.
e) Calcule el valor esperado y varianza de la variable aleatoria X.
Ejemplo 4: Sea X una variable aleatoria continua, cuya gráfica de su función densidad es:
a) Calcular la probabilidad de X sea menor o igual a 5.
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b) Calcular la probabilidad de X sea mayor a 6.5.
c) Calcular la probabilidad de X este entre 4 y 6.
EJERCICIOS ADICIONALES
1. Dadas las tres tablas que muestran variables aleatorias y sus probabilidades.
x p(x)
0 0.2
1 0.4
2 0.5
3 0.4
Total: 1
x p(x)
0 0.2
1 0.4
2 0.5
3 0.4
Total: 1
x p(x)
0 0.2
1 0.4
2 0.5
3 0.4
Total: 1
a) Sin embargo, solo una constituye en realidad una distribución de probabilidad, ¿cuál de
ellas?
b) Con la distribución correcta, calcule la probabilidad de que X sea:
i) exactamente 15.
ii) no mayor a 10.
iii) mayor que 5.
2. Un vendedor ha descubierto que la probabilidad de realizar varias ventas por d́ıa, es la que
se presenta en la tabla:
Número de ventas (X) 1 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidad P (X) 0.04 0.15 0.20 k 0.19 0.10 0.05 0.02
a) Halle el valor de k.
b) Calcule la probabilidad de que en un d́ıa determinado se realice a lo más 3 ventas.
c) Calcule la probabilidad de que en un d́ıa determinado se realice al menos 6 ventas.
d) Calcule la probabilidad de que en un d́ıa determinado se realice más de 3 ventas pero
menos de 7 ventas.
e) Calcule el número esperado de ventas por d́ıas.
3. Una ambulancia de voluntarios realiza de 0 a 5 servicios por d́ıa. A continuación se presenta
la distribución de probabilidad de los servicios por d́ıa.
Número de servicios 0 1 2 3 4 5
Probabilidad 0.10 0.15 0.30 0.20 0.15 0.10
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a) ¿Cuál es el valor esperado del número de servicios?
b) ¿Cuál es la varianza del número de servicios? ¿Cuál es la desviación estándar?
TAREA DOMICILIARIA
1. El cuadro siguiente representa la distribución de probabilidad de los premios en efectivo de
una loteŕıa.
Premios en dólares Probabilidad
0 0.45
10 0.30
100 0.20
500 0.05
Si una persona adquiere un boleto:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga no más de 100$?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga menos de 50$?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga el mayor premio?
2. La demanda de un producto de una empresa vaŕıa enormemente de mes a mes. La distribución
de probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos
años, muestra la demanda mensual de la empresa.
Demanda unitaria Probabilidad
300 0.20
400 0.30
500 0.35
600 0.15
Si la empresa basa las órdenes mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál
será la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto?
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