CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE

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6.11- ALGUNAS REGLAS PARA LA CONSTRUCCIÓN
DE DIAGRAMAS DE FUERZACORTANTE.
Los diagramas de fuerza cortante elaborados en los
ejemplos anteriores, se han obtenido a partir de las
correspondientes ecuaciones. De estas experiencias y
demás teorías planteadas, se pueden establecer
algunas propiedades que sirvan de gran ayuda para
dibujar los diagramas, sin tener que plantear sus
ecuaciones.
1. Los diagramas de fuerzas cortantes comienzan y
terminan en cero, en los extremos de la viga.
2. Una carga concentrada de acción o reacción, produce
un “salto” en el diagrama de fuerza cortante, en su punto
de aplicación, equivalente al valor de la carga.
3. El lugar geométrico que representa la fuerza cortante
en un determinado intervalo, es de un grado superior al
del diagrama de carga en el mismo intervalo.
4. La pendiente del diagrama de fuerza cortante en
un punto, es igual al valor de la carga, con signo contrario
en ese punto.
5.En cualquier segmento de una viga donde no hay
cargas aplicadas, el valor de la fuerza cortante
permanece constante, lo que da por resultado una recta
de pendiente cero, horizontal, paralela al eje .x
6. En un intervalo de viga donde se aplica una carga
uniformemente distribuida, el grafico de fuerza cortante
es una recta, con pendiente equivalente al valor de
carga, cuyo signo es negativo.
7. El incremento de fuerza cortante entre dos puntos es
igual al área bajo el diagrama de carga, con signo
contrario, entre los dos puntos.
6.12- ALGUNAS REGLAS PARA LA
CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE MOMENTO
FLECTOR
Teniendo en cuenta los diagramas y principios,
demostrados, se pueden hacer observaciones
importantes, que se deberán tomar como reglas para el
trazado de momentos flectores.
1. En los extremos de una viga simplemente apoyada, el
momento flector es cero
2. El incremento del momento flector entre dos puntos
de una viga es igual al área bajo la curva del diagrama de
fuerza cortante, con el mismo signo, entre dichos
puntos.
3. EL lugar geométrico que representa el momento
flector, en un determinado intervalo de la viga, es de un
grado superior al diagrama de fuerza cortante, en el
mismo intervalo.
4. EL máximo momento flector se presenta en la abcisa
para la cual la fuerza cortante es cero.
5. la pendiente de la curva de momento flector en
cualquier punto , es igual al valor de la fuerza cortante
en el mismo punto.
6. En un segmento de viga donde no hay cargas
aplicadas, el diagrama del momento flector es una recta.
7. En una sección de viga donde actué una carga
uniformemente distribuida, el diagrama del momento
flector es una parábola de segundo grado.
8. Un momento concentrado produce un “salto” en el
diagrama de momento flector. Si el momento
concentrado produce flexión positiva, el diagrama
“sube”; Si el momento concentrado es negativo el
diagrama “baja”.
÷
ø
ö
ç
è
æ
dx
dV
÷
ø
ö
ç
è
æ
dx
dM
Ingeniero Darwin Mora Villota 277
Ejemplo 6.11
Empleando las relaciones entre la carga y demás
propiedades, dibujar los correspondientes
diagramas.
m0.2
KN120
KN60
KN40
KN80
KN120 KN60KN40
KN80
yA
yB
m0.3 m0.1 m0.2 m0.2
A B
m0.2 m0.3 m0.1 m0.2 m0.2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0212058064086010 =----=å mKNmKNmKNmKNmByMA
­= KNBy 136
0604080120 =----+=å KNKNKNKNByAyFy
­= KNAy 164
Figura 6.94
Figura 6.95
Ingeniero Darwin Mora Villota 278
( )mx
( )mx
0
100.80.60
328
132
36
152
272
164
44
36
76
136
( )KNV
328
460
424
272
( )KNmM
0.2 0.5
Diagrama de Momento Flector:
Debido a que el apoyo es una articulación elA
momento es cero al igual que en el apoyo .B
En los diferentes intervalos los gráficos son
rectas con pendiente equivalente a la fuerza
cortante por que:
El área del diagrama de fuerza cortante en un
determinado intervalo es igual a la diferencia de
los momentos flectores en el mismo.
KNV 44=
Instrucciones para el Dibujo de Diagramas
de Fuerza Cortante
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y
calcule las reacciones.
Diagrama de Fuerza Cortante:
Inicia en el apoyo en la abscisa cero con unA
salto equivalente a la reacción de hacia164KN
arriba. El gráfico en el intervalo
es una recta con pendiente cero ya que en ese
intervalo la carga es cero y debe cumplirse:
Para el intervalo se tiene en
cuenta que la carga de 120KN aplicada en
produce un salto hasta El gráfico44KN.
correspondiente será una recta con pendiente
cero a la altura de
Igualmente para todos los intervalos restantes,
ya que todas las cargas son puntuales.
w
dx
dV
-=
mxm 20 ££
mxm 52 ££
V
dx
dM
=
( ) ( ) KNmKNmAmx 3281642120 ==££
( ) ( ) KNmKNmAmx 132443252 ==££
( ) ( ) KNmKNmAmx 36361365 -=-=££
( ) ( ) KNmKNmAmx 152762486 -=-=££
( ) ( ) KNmKNmAmx 27213625108 -=-=££
Figura 6.96
Ingeniero Darwin Mora Villota 279
Ejemplo 6.12
dibujar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector por medio de las
correspondientes relaciones entre ,W, V, Y M
y demás propiedades que se presenten.
KN20
KN26
m
KN
25
m0.8 m0.2m0.2
A B
52
05.206
05.194
40
( )KNV
( )KNmM
5.101
26
20
5.98
( )mx
( )mx
0.2 06.6 10 12
0
0
52
05.154
40
0.2
06.6
10 12
KN200
m0.2 m0.4 m0.2m0.4
yByA
Calculo de reacciones:
KN20KN26
Figura 6.97
Figura 6.98
Figura 6.99
Ingeniero Darwin Mora Villota 280
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0102084200226 =-+-=å mKNmBymKNmKNMA
­= KNBy 5.118
05.1182020026 =++---=å AyKNKNKNFy
­= KNAy 5.127
Instrucciones para el dibujo de diagramas.
Diagrama de Fuerza Cortante:
Se darán las indicaciones para el dibujo del
diagrama, en cada uno de los intervalos
Se inicia con un salto hacia abajo equivalente a
26KN y se traza una recta con pendiente cero,
en la ordenada -26KN
mx 20 ££
mxm 102 ££
mx 1210 ££
m
KN25
De la ordenada se salta a la ordenada-26KN
101.5KN Adebido a el valor en de la reacción en
de . Se traza una recta de pendiente
igual a ya que la carga uniformemente-25
distribuida es de .Se llega a la ordenada
-98.5KN
Debido a que la reacción en es deB
hay un salto hacia arriba llegando a la ordenada
20KN donde se traza una recta con pendiente
cero de igual valor para su ordenada.
­KN5.127
w
dx
dV
-=
­NK5.118
Ingeniero Darwin Mora Villota 281
Ejemplo 6.13
Empleando las relaciones entre la carga, la
fuerza cortante, momento flector y demás
propiedades, dibujar los correspondientes
diagramas.
KN15
m
K N
12
m
KN
9
KNm18
A B
( )mx
( )mx
25.44
25.8
75.33
75.78
75.60
75.78
0
0
( )KNmM
( )KNV
m3m3
3 6
18
3 6
Calculo de reacciones:
KN15
KNm18
m5.1m5.1m5.1 m5.1
KN36 KN27
yByA
025.44271536 =+---=å KNKNKNKNByFy
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0185.1273155.4366 =++++-=å KNmmKNmKNmKNmAyM B
­= KNAy 25.44
­= KNBy 75.33
Figura 6.100
Figura 6.101
Figura 6.102
Ingeniero Darwin Mora Villota 282
Momento Flector Maximo:
Sabiendo que la fuerza cortante es cero
en la abscisa por lo tanto el momento3m
máximo.
Diagrama de Momento Flector:
El momento flector en la abscisa cero es cero.
Se traza una recta con pendiente ,hasta la-26
abscisa que tendrá como ordenada2m
-52KNm.
En este intervalo el diagrama de fuerza cortante
corta el eje de las en ,abscisa a la cualx 6.06m
el momento flector es máximo con un valor de
154.05KNm, por lo tanto este es un punto
obligado, de la gráfica que será una parábola tres
puntos que se indican a continuación.
A partir del punto se traza una(10m, -40KN)
recta con pendiente el momento flector en el20º,
extremo del voladizo es cero.
Instrucciones para el dibujo de diagramas
Diagrama de Fuerza Cortante:
El diagrama inicia con un salto, de 44.25KN
hacia arriba por la dirección . se traza una
recta con pendiente llegando a la abscisa-12
3m, con un valor de ordenada de dando8.25KN
en esta misma abscisa un salto de debido15KN,
a la carga puntual hasta la ordenada -6.75KN.
Inicia en la abscisa y se za una recta-6.75KN
con una pendiente de ya que-9
Se llega a la abscisa donde cierra el-33.75KN
diagrama con un salto hacia arriba de 33.75KN
que es el valor de la reacción.
Diagrama de Momento Flector:
Siendo el apoyo una articulación el diagramaA
empieza en cero y se traza unaparábola de
segundo grado.
En la abscisa de el momento es igual a3m
78.75KNm. Se traza una parábola de segundo
grado hasta la ordenada en la abscisa18KNm
6m Bdebido a que en el apoyo existe un
momento flexionante puntual equivalente a
18KNm.
Como el área del diagrama de fuerza cortante en
un determinado intervalo es igual a la diferencia
de los momentos flectores, los diferentes valores
del momento en el diagrama se obtienen por
medio de esta propiedad.
yA
mx 30 ££
mx 63 ££
w
dx
dv
-=
mx 30 ££
mx 63 ££
ò=-
2
1
12
x
x
VdxMM
mx 30 ££
mx 63 ££
KNmA 75.783
2
25.825.44
1
=÷
ø
ö
ç
è
æ +=
KNmA 75.603
2
75.3375.6
2
-=÷
ø
ö
ç
è
æ --=
V
dX
dM
=
( ) ( )
0.400.10
05.15406.6
0.520.2
-
-
KNmMmx
mx 20 ££
mx 102 ££
mxm 1210 ££
mx 20 ££
( )( ) KNmKNmA 52562
1
-=-=
mx 102 ££
mx 1210 ££
( )( ) KNmKNmA 05.2065.10106.4
2
1
2
==
( )( ) KNmKNmA 05.1945.9894.3
2
1
3
-=-=
( )( ) KNmKNmA 40202
2
1
4
==
Ingeniero Darwin Mora Villota 283
Ejemplo 6.14
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector a partir de la relación, entre la
carga, la fuerza cortante, el momento flector y
otras propiedades que sean necesarias.
m
KN
30 KN60
KNm15
m
KN
40
A B
m5.1m5.1m5.1m5.1m5.1
( )KNV
( )KNmM
33.78
33.33
60
45
67.26
5.7
0
0
( )mx
( )mx
75.33
75.83
40
45
5.1
0.3
5.4 0.6
5.1
0.3
5.4 0.6 5.7
75.33
50
45
KNm15
m5.1
KN60
m75.0m5.1
KN90 KN60
m75.0m0.3
­= K NB y 6 7.8 6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 025.560155.1605.4 =-+-=å mKNKNmmKNmBM yA
­= K NA y 3 3.1 2 3
Calculo de reacciones:
0606090 =---+=å KNKNKNBAF yyy
Figura 6.103
Figura 6.104
Figura 6.105
Ingeniero Darwin Mora Villota 284
Ejemplo 6.15
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector a partir de las correspondientes
ecuaciones.
m
KN
36
m
KN
24
KN60
m0.2 m12
A B
Curva de 2º
Curva de 3º
0
0
( )mx
( )mx
60
178
182
( )KNV
( )KNmM
0.2
53.8 14
120
24.484
0.3
0.2
53.8 14
m0.2 m0.4
KN60
KN72
KN288
yByA
m0.2 m0.6
Calculo de reacciones:
Figura 6.106
Figura 6.107
Figura 6.108
Ingeniero Darwin Mora Villota 285
M
V
KN60
060 =--=å VFv
60-=V
å =+= 060 MXM
XM 60-=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0260872628812 =+--=å mKNmKNmKNmBM yA
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01460472628812 =+++-=å mKNmKNmKNmAM yB
­= KNAy 238
­= KNBy 182
x
mx 20 ££
KN238
m
KN
24KN60
´w
24
mx 142 ££
mx 2-
x
m0.2
Procedimiento:
Para el cálculo de las cargas puntuales que
sustituyen a las distribuidas en este intervalo.
M
V
KN238
KN60
( )224 -x
( )
2
2
2
-x
´w
24
3
2-x
2
2-x
2-xm0.2
x
Figura 6.109
Figura 6.110
Figura 6.111
Ingeniero Darwin Mora Villota 286
Por tanto
Haciendo la relación de la Totalidad de la carga
con Valor en el corte se obtiene la carga puntual.
m12
m
KN
12
2-x
( ) ´2
2
1
wxWA -==
( ) m
m
KN
x
w
12
12
2
´
=
-
( )2´ -= xw
( ) ( )
2
22 --
=
xx
A
( )
2
2
2-
=
x
W
( ) ( ) 0
2
2
22423860
2
=-
-
---+-=å VxxFY
( ) ( ) 178224
2
2
2
+--
-
-= x
x
V
Resolviendo el Binomio y simplificando
22422
2
1 2 +--= xxV
( ) ( ) ( ) 0
3
2
2
2
2
2
224223860
2
=+÷
ø
ö
ç
è
æ -
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ -
+÷
ø
ö
ç
è
æ --+--=å MxxxxxxM
( ) ( ) ( ) xxxxM 602238212
6
2 2
3
--+--
-
-=
3
1568
22411
6
1 23
-+--= xxxM
0=V
Cálculo del momento máximo:
Se presenta en la abscisa donde fuerza cortante
es cero luego si
Resolviendo:
KNmM 24.484=
022422
2
1 2
=+-- xx
mx 53.8=
( ) ( ) ( )
3
1568
53.822453.81153.8
6
1 23
-+--=M
Figura 6.112
Ingeniero Darwin Mora Villota 287
Ejemplo 6.16
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y
momento flector a partir de las relaciones entre la
carga, la fuerza cortante, el momento flector y
otras propiedades necesarias.
m
KN
21
m
KN
14
KN20
ED
CA
B
m5.1 m5.2 m0.1 m5.1 m0.2 m0.5
( )KNV
1.31
4.2121
27
28
0.8
75.15
05.26
0.8
56
82.79
82.11
0.12
3.2
75.15
30.10
99.11
99.67
82.11
Curva de 2º
Curva de 3º
5.1 43.3 0.5 5.6 5.8 5.13
5.1
43.3
0.5 5.6 5.8 5.13
Cálculo de Reacciones:
Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de los 5m
iniciales de la viga .ABC
( )KNmM
A
m5.0m5.1 m0.2 m0.1
KN56
yB yC
( ) ( ) 00.3565.3 =+-=å mKNmBMC y
­= KNBy 48
056 =-+=å KNBCF yyy
­= KNC y 8
Figura 6.113
Figura 6.114
Figura 6.115
Ingeniero Darwin Mora Villota 288
Se dibuja el diagrama de cuerpo libre para BCD
KN8
KN20
KN5.52
m5.1 m0.2
m
3
5
m
3
10
, actúa hacia abajo de BCD
yD yE
KNCy 8=
( ) ( ) ( ) 0
3
5
5.5250.7205.88 =÷
ø
ö
ç
è
æ+-+=å mKNmDmKNmKNME y
­= KNDy 1.59
05.52208 =---+=å KNKNKNDCF yyy
­= KNE y 4.21
Figura 6.116
Ingeniero Darwin Mora Villota 289
Trabajo Independiente
Problemas 6.1 - 6.20
A partir de las ecuaciones de fuerza cortante y
momento flector dibujar los correspondientes
diagramas.
BA
m0.2m0.3m5.2m5.1
KN42KN35
A B
KN12 KN24 KN48 KN36
m2.1 m6.1 m4.2 m8.1m0.2
BA
m0.2m0.2m0.2m0.2
KN100KN40KN56
KN56
m6.0m8.0 m6.0
KN0.2 KN0.4 KN5.1
Problema 6.1
Problema 6.2
Problema 6.3
Problema 6.4
Ingeniero Darwin Mora Villota 290
m0.1 m0.2m5.1m5.1
KN15KN45
A
B
C
BA
m0.2m0.2m0.4
m
KN
24
m
KN
24
A B
m6.1m4.2m0.1m8.1m2.1
m
KN
32
m
KN
24
m0.5 m0.2 m0.2
A B
m
KN
49
m
KN
35
Problema 6.5
Problema 6.6
Problema 6.7
Problema 6.8
Ingeniero Darwin Mora Villota 291
A B
m0.2m0.2 m0.7
m
KN
18
KN36 KN63
A B
m2.1 m6.3 m4.2 m2.1
KN18 KN42
m
KN
36
m
KN
36
A B
m0.2
KN42
m
KN
28
m
KN
21
C
m0.2m6.2 m4.2
m0.4 m0.2m0.2 m0.4
KN40
m
KN
16
A B
Problema 6.9
Problema 6.10
Problema 6.11
Problema 6.12
Ingeniero Darwin Mora Villota 292
A B
KN42
m
KN
0.6
m2.2m6.1 m0.2m6.1 m2.1
KN42
KNm63 KNm70
m
KN
28
m0.3
KN56
KNm21 KNm14
A B
m0.2 m0.2
m4.0m4.0 m0.1
A B
m2.4
m
KN
18
Problema 6.13
Problema 6.14
Problema 6.15
Problema 6.16
Ingeniero Darwin Mora Villota 293
m
KN
15
KNm20
A B
m6.3m2.1
m
KN
15
KN8.16
B
A
m4.1 m8.4
B
m4.1m8.1
m
KN
26
m0.2
KN4.10
m
KN
13
A
A
m
KN
27
m
KN
36
B
m0.1m2.1m4.2m8.1
Problema 6.17
Problema 6.18
Problema 6.19
Problema 6.20
Ingeniero Darwin Mora Villota 294