Apuntes_anillos

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Apuntes anillos
Hary Nicol Trujillo
1 Introduction
El presente pdf abarcara definiciones y demostraciones del curso de
anillos y cuerpos.
2 Anillos
2.1 Definicion
Sea un conjunto A no vacio, junto a dos operaciones binarias denotadas ”+”, ”.”,
se llama anillo si cumple:
1.∀a, b ∈ A, a+ b ∈ A.
2.∀a, b ∈ A, a+ b = b+ a
3.∀a, b, c ∈ A, a+ (b+ c) = (a+ b) + c
4.∃e ∈ A, a+ e = a = e+ a
Cuando existe e lo llamaremos el cero del anillo o por notacion 0
5.∀a ∈ A,∃b ∈ B, a+ b = 0b+ a
Existencia del inverso aditivo.
6.∀a, b ∈ A, ab ∈ A
7.∀a ∈ A, a.0 = 0
8.∀a, b, c ∈ A, (ab)c = a(bc)
9.∀a, b, c ∈ A, a(b+ c) = ab+ ac
Asi, si se cumple estas propiedades decimos que (A,+, .) es un anillo.
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2.2 ANILLO CONMUTATIVO
Si (A,+, .) es un anillo y satisface:
∀a, b ∈ A, ab = ba
entonces A es un anillo conmutativo.
2.3 ANILLO CON UNIDAD
Si (A,+, .) es un anillo y satisface:
∀a, u ∈ A, au = a = ua
entonces A es un anillo con unidad, este elemento lo denotamos
como 1.
2.4 ANILLO CONMUTATIVO CON UNIDAD
Si (A,+, .) es un anillo y satisface:
∀a, b ∈ A, ab = ba
∀a, u ∈ A, au = a = ua
y entonces A es un anillo conmutativo con unidad.
2.5 CUERPO
Si (A,+, .) es un anillo conmutativo con unidad y satisface:
∀a ∈ A, a ̸= 0
∃m ∈ A
am = 1 = ma
entonces A es un cuerpo.
2.6 EJEMPLOS
Algunos ejemplos de anillos son (Z,+,.) ,(Q,+,.) ,(R,+,.) ,(C,+,.)
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2.7 PROPIEDADES DE LA POTENCIA
Sea (A,+,.) un anillo y a∈ A :
a = a1
a.a = a2
a.a.a = a3
a.a.(n veces)...a = an
a−1 = a−1
a−1.a−1 = a−2
a−1.(n veces)...a−1 = a−n
aman = am+n
(am)n = amn
En general (ab)2 = (ab)(ab) Ya que el anillo no necesariamente es
conmutativa igual para (a+b)2 = a2+ab+ba+b2 no necesariamente
ab = ba.
2.8 DEFINICION
Sea (A,+,.) un anillo, Decimos que a ∈ A, a ̸= 0, es divisor de cero
si existe b ∈ A, b ̸= 0, tal que ab = 0 o ba = 0
2.9 DEFINICION
Sea (A,+,.) un anillo conmutativo con unidad, sin divisores de cero,
este tipo de anillos se llama dominio de integridad, algunos ejemplos
son: Z, Q, R, C,
2.10 TEOREMA
Sea K un cuerpo y suponga que K tiene divisores de cero, Luego
∃a, b ∈ K tal que a ̸= 0 y b ̸= 0, como K es cuerpo entonces nos
garantiza que existe a−1, entonces
ab = 0
(a−1a)b = a−10
1.b = 0
b = 0
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Pero esto contradice la hipotesis, asi K no tiene divisores de cero y
todo cuerpo es dominio de integridad.
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