Media Poblacional

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1.- El empresario productor de galones de agua natural, estima la cantidad de galones de agua que comercializó, esto es, que la cantidad de galones vendidos tiende a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de 4.50 galones. De acuerdo con sus registros, escoge una muestra aleatoria de 120 ventas y revela que la cantidad media de galones vendidos es de 10.50. 
Requerimientos:
a) ¿Halle el estimador puntual de la media poblacional? 
El estimador puntual de la media poblacional es el valor promedio de la muestra, que en este caso es de 10.50 galones.
b) Establezca un intervalo de confianza de 95% de la media poblacional. 
Para establecer un intervalo de confianza del 95% de la media poblacional, podemos utilizar la fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional:
Intervalo de confianza = Estimador puntual ± (Valor crítico) * (Error estándar)
El valor crítico depende del nivel de confianza deseado y de la distribución de muestreo utilizada. En el caso de una distribución normal, con un nivel de confianza del 95%, el valor crítico es aproximadamente 1.96.
El error estándar se calcula dividiendo la desviación estándar de la población por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra:
Error estándar = Desviación estándar / √ (tamaño de la muestra)
En este caso, la desviación estándar de la población es de 4.50 galones y el tamaño de la muestra es de 120 ventas. Por lo tanto:
Error estándar = 4.50 / √ (120)
Simplificando el cálculo:
Error estándar = 4.50 / 10.95 ≈ 0.410
Sustituyendo estos valores en la fórmula del intervalo de confianza:
Intervalo de confianza = 10.50 ± (1.96 * 0.410)
Intervalo de confianza ≈ 10.50 ± 0.803
El intervalo de confianza de 95% de la media poblacional es aproximadamente (9.697, 11.303).
c) Interprete el significado del inciso b). 
El intervalo de confianza de 95% significa que si se repitiera el proceso de muestreo y estimación muchas veces, se espera que el verdadero valor de la media poblacional esté contenido dentro de este intervalo en el 95% de las ocasiones. En este caso particular, hay un 95% de confianza de que la media poblacional de galones vendidos por el empresario productor de agua natural se encuentra entre 9.697 y 11.303 galones.
2.- En una clínica de Guayaquil el traumatólogo Ramos es investigador científico en temas relacionados a su área médica. En el poco tiempo reveló que el número de enfermos por fracturas se suscita por mala alimentación, desórdenes metabólicos e irresponsabilidad de los pacientes. Observó que la distribución de las fracturas por ensayo se regía por la distribución normal con una desviación estándar de 3.90 causas directas por parte del paciente. En su investigación determinó que en 80 pacientes se fracturó en horas de la noche, el promedio de fracturas por con temas de salud y de negligencia por parte del paciente es de 8.10 causas directas. 
Requerimientos:
· Diseñe con un intervalo de confianza del 95% del número medio de palabras con faltas de ortografía en la población de ensayos.
Para diseñar un intervalo de confianza del 95% para el número medio de fracturas por causas directas en la población de ensayos, necesitamos los siguientes datos:
Tamaño de la muestra: 80 pacientes
Promedio de fracturas por causas directas en la muestra: 8.10
Dado que la distribución de las fracturas sigue una distribución normal y conocemos la desviación estándar de 3.90 causas directas, podemos utilizar la fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional.
Intervalo de confianza = Estimador puntual ± (Valor crítico) * (Error estándar)
El valor crítico para un nivel de confianza del 95% en una distribución normal es aproximadamente 1.96.
El error estándar se calcula dividiendo la desviación estándar por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
Error estándar = Desviación estándar / √ (tamaño de la muestra)
Sustituyendo los valores:
Error estándar = 3.90 / √(80) ≈ 0.436
Calculando el intervalo de confianza:
Intervalo de confianza = 8.10 ± (1.96 * 0.436)
Intervalo de confianza ≈ 8.10 ± 0.854
El intervalo de confianza del 95% para el número medio de fracturas por causas directas en la población de ensayos es aproximadamente (7.246, 8.954).
· Conclusiones.
Con un nivel de confianza del 95%, se estima que el número medio de fracturas por causas directas en la población de ensayos se encuentra en el intervalo de 7.246 a 8.954. Esto implica que el promedio real de fracturas por causas directas en la población tiene una alta probabilidad de estar dentro de este rango.
Es importante destacar que este intervalo se basa en una muestra de 80 pacientes y asume que la muestra es representativa de la población en general. Además, se considera que la distribución de las fracturas sigue una distribución normal con una desviación estándar de 3.90. 
Estas suposiciones son necesarias para utilizar la fórmula del intervalo de confianza, es decir, que el intervalo de confianza proporciona una estimación de rango para el número medio de fracturas por causas directas en la población de ensayos, brindando información sobre la variabilidad del promedio y la certeza estadística asociada.
3.- La industria estadounidense de lácteos desea calcular el consumo medio de leche por año. Una muestra de 40 personas revela que el consumo medio anual es de 100 galones, con una desviación estándar de 45 galones. 
Requerimientos:
a) ¿Halle el valor de la media poblacional? ¿Encuentre el mejor estimador de este valor?
Para encontrar la media poblacional hay que tener en cuenta el promedio de la muestra como estimador, por lo tanto si el medio anual es de 100 galones este puede ser entonces el mejor estimador de la media poblacional.
b) Analice por qué necesita utilizar la distribución t. ¿Encuentre las suposiciones necesita hacer?
La distribución t se usa cuando el tamaño de la muestra es pequeño, en este caso el tamaño es de 40 personas, en este caso se tendría que usar la distribución z pero hay que usar la t pues teniendo en cuenta las siguientes suposiciones:
· La desviación estándar poblacional es desconocida.
· La muestra es una muestra aleatoria simple de la población.
· La variable de interés (consumo de leche) sigue una distribución normal en la población.
c) ¿Detecte el valor de t en un intervalo de confianza de 99%? 
	n = 40
	
	
	
	
	
	s = 45
	
	
	t = -2,70791318
	
	
	
	
	
	
	Alfa = 
	1%
	
	
	
	
	Alfa/2 = 
	0,005
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	n-1= 39
	
	
	
	
	
Haciendo uso de la fórmula de Excel “=INV.T” encontramos que el valor de t es igual a -2,70791318
d) Diseñe con un intervalo de confianza de 99% de la media de población.
	n = 40
	
	
	
	
	s = 45
	
	
	t=
	-2,70791318
	
	
	
	
	
	Alfa = 
	1%
	
	
	
	Alfa/2 = 
	0,005
	
	
	
	
	
	
	
	
	n-1= 39
	
	
	
	
Usando la formula encontramos los distintos valores tanto menores y mayores:
=100+45*-2,70/RAIZ(40)
=100-45*-2,70/RAIZ(40)
	80,7328599
	≤ m ≤ 
	119,26714
El intervalo de confianza esta entre 80,7 y 119,26
e) ¿Analice si es inteligente concluir que la media poblacional es de 75 galones?
El valor de 75 galones no se encuentra dentro del intervalo de confianza de 80,73 y 119,26 galones. Entonces podemos asumir que no es inteligente afirmar que la media poblacional es de 75 galones, ya que está fuera del intervalo de confianza calculado a partir de la muestra.
4.- Dos empresas de seguridad personal y de empresas en Guayaquil y Quito, son dos grandes empresas ubicadas en Ecuador y en Latinoamérica. En el mismo sentido concluyen trabajar en equipo el servicio de custodia para aquellos empleados. Como parte del estudio de viabilidad del proyecto, desean calcular el costo medio semanal por el cuidado del personal de empresa privadas y públicas del cantón Guayaquil. Una muestra de 20 empleados que recurren al servicio de custodia y revela que las siguientes cantidades gastadas la semana pasada.
	$ 100
	$80
	$ 95
	$85
	$77
	$ 114
	$ 88
	$ 93
	$88
	$ 79
	$ 72
	$ 84
	$ 78
	$ 105
	$ 119
	$ 107
	$ 75
	$ 87
	$ 96
	$ 117
· Genere un intervalo de confianza de95% de la media poblacional. Interprete el resultado.
n = 20
Media (X barra) = 100 + 80 + 95 + 85 + 77 + 114 + 88 + 93 + 88 + 79 + 72 + 84 + 78 + 105 + 119 + 107 + 75 + 87 + 96 + 117 = 1839/20 = 91,95
Desviación estándar (s) = 14,354 Intervalo de confianza = 95% o 0,95
Alfa = (1 – 0,95) = 0,05 Alfa/2 = 0,025
Segundo (Generar intervalo de confianza)
Intervalo inferior = 
Intervalo superior = 
n – 1 = 19
T = -2,09302
Intervalo:
	85,2321 ≤ μ ≤ 98,6678
· Conclusiones.
Con un nivel de confianza del 95%, se puede afirmar que el costo medio semanal por el cuidado del personal de empresas privadas y públicas en el cantón Guayaquil está entre $85,23 y $98,66. Significa que se espera que el costo semanal por el servicio de custodia para los empleados de empresas en el cantón Guayaquil esté alrededor de $13,44.
5.- Analice un caso parecido en el internet.
	
	
Con los datos de la muestra dada, es posible que la diferencia de las medias poblacionales sea igual o muy próximo a cero, en consecuencia, no podemos afirmar que ha habido un descenso significativo de la calidad entre las dos semanas.