Polinomios

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Polinomios I
ÁLGEBRA
Docente: Juan Ignacio Novoa Llactahuaman
Semana 07
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Identificar un polinomio y sus elementos.
✓ Calcular el valor numérico de expresiones
matemáticas.
✓ Aplicar la teoría de polinomios en la
resolución de problemas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción.
3. Valor numérico.
4. Polinomios.
2. Conceptos previos.
5. Problemas.
- ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN:
Los polinomios, están relacionadas
con las funciones polinomiales y tienen
mucha aplicación en diferentes áreas, por
ejemplo en ingeniería el polinomio
cuadrático es utilizado para el diseño de
estructuras metálicas y de concreto armado.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Es un símbolo que toma diferentes valores y 
está representada por las letras del alfabeto.
𝑎, 𝑏, 𝑐, . . . , 𝑥, 𝑦, 𝑧
Aplicaciones de las variables:
• 𝑥 ∈ ℝ • 𝑎 > 4
Es un símbolo que toma un valor fijo, como 
por ejemplo los números reales.
7, −2, 0,
1
4
, 2, . . . 
Ejemplos
• 3𝑥 + 1
• 2𝑏4 𝑦 − 5
• 𝜋. 𝑟2
CONCEPTOS PREVIOS 
Variable 
Constante
Expresión matemática
Nota: ¿ g es constante o variable?
Es una combinación de letras y números enlazadas
por diferentes operaciones matemáticas.
Podríamos decir que es variable por ser una letra,
sin embargo también podríamos decir que es
constante, porque g se usa para indicar la
aceleración de la gravedad es decir 10
Para diferenciar variables de constantes usaremos
la notación matemática.
Ejemplos
• 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑎𝑥4− 5𝑦2 + 7
Variables: 𝑥, 𝑦
Constantes: 𝑎, 4, −5, 2, 7
• 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥−1 + 8𝑦3𝑧6
Variables: 𝑥, 𝑦, z
Constantes: 2, −1, 8, 3, 6
• 𝐹 𝑥 + 2 = 5𝑥2+
1
4
Variable: 𝑥 + 2
Constantes: 5, 2,
1
4
Ejemplos
Notación matemática
Es la representación simbólica de una expresión
matemática, que nos permite diferenciar a las
variables de las constantes.
Es el valor que toma una expresión matemática
cuando sus variables reciben valores particulares.
𝑃( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 5
• 𝑥 →
𝑃 3 = 11
𝑃 −4 =
𝑃 7
2
= 12
Valor 
numérico
−3
Valor 
numérico
Valor 
numérico
𝑃 = 2 + 533
−4−4
7
2
7
2
= 3
• 𝑥 = −4 → 𝑃 = 2 + 5
• 𝑥 =
7
2
𝑃 = 2 + 5→
VALOR NUMÉRICO 
1. Sea
2 Sea 𝑁 𝑥 = 𝑥7− 5𝑥6+ 4
Determine 𝑁(5)
𝑁( 𝑥 ) = 𝑥
7 − 5 𝑥6 + 4
𝑥 →
𝑁 5
𝑁 = 7 − 5 6 + 4555= 5
= 𝟓7− 𝟓7+ 4
𝑁 5 = 4
3. Si 𝐹 𝑥 = 𝑥2+ 6𝑥 + 9
Halle 𝐹(97)
𝐹 𝑥 = 𝑥2+ 2. 𝑥. 3 + 32
𝐹( 𝑥 ) = 𝑥 + 3
2
𝑥 →
𝐹 97 = 100
2
𝐹 = +3 29797= 97
= 10000
4. Se𝑎 𝑄 𝑥; 𝑦 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 − 6
Halle 𝑄 2; 4 y 𝑄(−3; 5)
𝑄( 𝑥 ; 𝑦 ) = 𝑥
2 + 𝑥 𝑦 − 6
• 𝑥
𝑦
→ 2 + ( )( ) − 6=𝑄 ; 4 22 2 4
𝑄 2 ; 4 = 6
reemplazando
= 2
= 4
• 𝑥
𝑦
→ 2 + ( )( ) − 6=𝑄 ; 5 −3−3 −3 5
𝑄 −3 ;5 =−12
reemplazando
= −3
= 5
5 Si 𝑄 𝑥 + 2 = 5𝑥 + 7
Calcule 𝑄 6
𝑄( 𝑥 + 2 ) = 5 𝑥 + 7
6
𝑥 + 2 6= → 𝑥 = 4
6 4
𝑄( 𝑥 + 2 ) = 5 𝑥 + 7
𝑄( 6 ) = 5.4 + 7
𝑄( 6 ) = 27
Ejemplos
Es una expresión matemática que enlaza variables
o constantes mediante una combinación finita de
operaciones matemáticas (entre ellas se permiten
la adición, sustracción, multiplicación y
potenciación), en donde los exponentes de las
variables son enteros no negativos.
𝑥
−
+ 𝑦 𝑧6
3
4𝑥 𝑦5 𝑦
𝑥
2
3 + 2𝑥 7−
𝐻 𝑥;𝑦;𝑧 =
𝑅 𝑥;𝑦 =
𝑃 𝑥 =
−
POLINOMIO
Veamos algunos casos que no son polinomios:
𝑥𝑄 𝑥 =
3
2
4
𝑥 + 𝑦
𝑁 𝑥;𝑦 =
𝑥
−4
+ 𝑦𝑀 𝑥;𝑦 =
Exponente de la 
variable 
fraccionario
Exponente de la 
variable entero 
negativo
Variables en el 
denominador
𝑄 𝑥;𝑦;𝑧 = 𝑦 − 𝑥𝑧
Radicación definida 
para la variable
Nota:
Los polinomios según su número de términos
reciben un nombre especial.
𝑃(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) = 3𝑥
2𝑦4𝑧
𝑄(𝑥) = 3𝑥
6 + 5𝑥
𝑁(𝑥 ; 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 2𝑦 − 𝑦
5
Un término
Dos términos
Tres términos
Monomio
Binomio
Trinomio
Ejemplos
𝑥
Polinomio lineal
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0
: variable
𝑎; 𝑏 : coeficientes
𝑎 : coeficiente principal
𝑏 : término independiente
𝑥
Polinomio cuadrático
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
: variable
𝑎; 𝑏; 𝑐 : coeficientes
𝑎 : coeficiente principal
𝑐 : término independiente
Ejemplos
• 𝑃 𝑥 = 3𝑥 + 5
• 𝑄 𝑥 = 6𝑥 − 4
• 𝐻 𝑥 = −2𝑥
• 𝑃 𝑥 = 7𝑥
2 + 2𝑥 − 3
Ejemplos
• 𝑁 𝑥 = 𝑥
2+8𝑥
• 𝑀 𝑥 = −4𝑥
2
CP : 3 TI : 5
CP : 6 TI :−4
CP :−2 TI : 0
CP : 7 TI :−3
CP : 1 TI : 0
CP :−4 TI : 0
1
Grado del polinomio: ° 𝑃(𝑥) = 1
Grado del polinomio: ° 𝑃(𝑥) = 2
POLINOMIO DE UNA VARIABLE 
𝑥
Polinomio cúbico
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥
3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ; 𝑎 ≠ 0
: variable
𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 : coeficientes
𝑎 : coeficiente principal
𝑑 : término independiente
• 𝑃 𝑥 = 2𝑥
3 − 5𝑥2 + 9𝑥 − 12
• 𝑅 𝑥 = −7𝑥
3 + 3𝑥2 + 𝑥
• 𝑀 𝑥 = 𝑥
3+2𝑥2 + 5
• 𝑇 𝑥 = 𝑥
3+2
CP : 2 TI :−12
CP :−7 TI : 0
CP : 1 TI : 5
1
CP : 1 TI : 2
1
Ejemplos
Grado del polinomio: ° 𝑃(𝑥) = 3
Definición:
Un polinomio es mónico si su coeficiente
principal es la unidad.
Ejemplos
• 𝑃 𝑥 = 𝑥
2 + 7𝑥 − 91
𝑃 es mónico
• 𝐻 𝑥 = 𝑥1
𝐻 es mónico
• 𝑅 𝑥 = 𝑥 + 6𝑥
2 − 9
𝑅 no es mónico
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