Sistema de ecuaciones lineales I

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SISTEMA DE ECUACIONES I
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Juan Gamarra Carhuas
Semana 18
- ÁLGEBRA
Capacidades
 Conoce un sistema de ecuaciones, los tipos, 
como resolverlo y sus propiedades.
 Identifica los sistemas lineales, elige el
método conveniente para hallar los valores
de las incógnitas y lo argumenta.
 Utiliza estrategias y aplica con solvencia el
apoyo teórico para la resolución de
problemas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Sistema de ecuaciones
3. Clasificación de los sistemas de ecuaciones
4. Métodos para la resolución
2. Solución y conjunto solución
5. Teoremas
6. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
Sistemas de ecuaciones lineales
(Introducción)
Hasta este momento hemos trabajado ecuaciones
con una incógnita (𝑥 ), sin embargo podemos
trabajar con mas incógnitas y mas ecuaciones , a
partir de ahí estamos teniendo la idea de sistema
de ecuaciones.
Los problemas de sistemas de ecuaciones son
comunes e importantes en el examen de admisión.
En la figura muestra una aplicación ¿Cuál será la
respuesta?
- ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto
formado por dos o más ecuaciones, de dos o más
incógnitas.
Ejemplos
 
3𝑥 + 4𝑦 = 7
2𝑥 − 5𝑦 = −3
Sistema lineal
de orden 2
 
𝑥𝑦 = 6
𝑥2 + 𝑦2 = 13
Sistema
NO lineal
II. Solución y conjunto solución de un sistema de
ecuaciones
• Sea el sistema 
𝑥 + 3𝑦 = 7
𝑥 + 𝑦 = 3
¿Cuánto vale 𝑥 e 𝑦?
𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 2
¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
El sistema tiene una solución y es el PAR
ORDENADO (1;2).
CS = (7; 2)
Ejemplos
Recordar
Resolver un sistema
implica hallar su
conjunto solución (CS).
• Sea el sistema 
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥2 + 𝑦2 = 13
¿Cuánto vale 𝑥 e 𝑦?
𝑥 = 2 ∧ 𝑦 = 3
𝑥 = 3 ∧ 𝑦 = 2
¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
El sistema tiene 2 soluciones y son (2;3) y (3;2). 
CS= 2; 3 , (3; 2)
I. Sistema de ecuaciones
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III. Sistemas de ecuaciones lineales de 
orden 2
Un sistema de ecuaciones de
orden 2 tienen la forma:
 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝
donde 𝑥 e 𝑦 son incógnitas
Los sistemas se pueden clasificar
según su conjunto solución y
puede ser:
• 
𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 − 𝑦 = 5
• 
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 − 2𝑦 = 2
• 
3𝑥 + 4𝑦 = 7
3𝑥 + 4𝑦 = 8
Ejemplos
SISTEMAS DE ECUACIONES 
LINEALES
COMPATIBLE INCOMPATIBLE
Tiene por lo menos 
una solución. 
DETERMINADA
Tiene solución
única.
 
𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 − 𝑦 = 5
Solución (7;2)
INDETERMINADA
Tiene infinitas
soluciones.
 
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 − 2𝑦 = 2
Solución (2;1), (1;0), (5;4), . . . 
No tiene solución.
 
3𝑥 + 4𝑦 = 7
3𝑥 + 4𝑦 = 8
CS = (7; 2) CS = (2;1),(1;0),(5;4), . . .
CS = 𝑘 = ∅
Ejemplo Ejemplo
Ejemplo
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IV. Métodos para la resolución de un sistema lineal
4.1 Método de eliminación o método de Gauss
Consiste en eliminar una de las incógnitas
sumando o restando las ecuaciones dadas, y si
no se elimina se multiplica a una o a las dos
ecuaciones por una constante conveniente para
luego sumar o restar
 
𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 − 𝑦 = 5
• Resuelva
2𝑥 = 14 → 𝑥 = 7
En 𝑥 + 𝑦 = 9
7 + 𝑦 = 9 → 𝑦 = 2
Su solución es el PAR ORDENADO (7;2)
CS= (7; 2)
Ejemplos
4.2 Método de sustitución 
Se construirá una ecuación de una incógnita,
para ello en una de las ecuaciones se despeja una
de las incógnitas para reemplazarlo en la otra
ecuación, para luego hallar dicha incógnita.
Ejemplos
 
𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 − 𝑦 = 5
• Resuelva
. . . (α)
. . . (β)
De (β) 𝑥 = 𝑦 + 5
Reemplazamos en (α)
𝑦 + 5 + 𝑦 = 9
2𝑦 = 4 𝑦 = 2
En 𝑥 = 𝑦 + 5 = 7
Su solución es el PAR ORDENADO (7;2)
CS= (7; 2)
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Método de eliminación
 
2𝑥 + 5𝑦 = 26
4𝑥 + 𝑦 = 16
• Resuelva
Por 5
 
2𝑥 + 5𝑦 = 26
20𝑥 + 5𝑦 = 80
18𝑥 = 54
𝑥 = 3
En 4𝑥 + 𝑦 = 16
4(3) + 𝑦 = 16 𝑦 = 4
Su solución es el PAR ORDENADO (3;4)
CS= (3; 4)
Método de sustitución
 
2𝑥 + 5𝑦 = 26
4𝑥 + 𝑦 = 16
• Resuelva
. . . (E1)
. . . (E2)
En (E2) 𝑦 = 16 − 4𝑥
Reemplazamos en (E1)
2𝑥 + 5(𝟏𝟔 − 𝟒𝒙) = 26
2𝑥 + 80 − 20𝑥 = 26
−18𝑥 = −54 𝑥 = 3
Su solución es el PAR ORDENADO (3;4)
CS= (3; 4)
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V. Teoremas
Dado el sistema de ecuaciones 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝
I. El sistema tiene solución única o es compatible determinado si:
𝑎
𝑚
≠
𝑏
𝑛
II. El sistema tiene infinitas soluciones o es compatible indeterminado si:
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
=
𝑐
𝑝
III. El sistema NO tiene solución o es incompatible si:
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
≠
𝑐
𝑝
 
3𝑥 + 2𝑦 = 9
4𝑥 + 5𝑦 = 5
 
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 − 2𝑦 = 2
 
3𝑥 + 4𝑦 = 7
3𝑥 + 4𝑦 = 8
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
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