Valor absoluto II

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Valor absoluto II 
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Lic. Juan Gamarra Carhuas
Semana 29
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer las expresiones irracionales y sus
respectivos CVA.
 Conocer algunos métodos para resolver
inecuaciones irracionales
 Conocer algunos métodos para resolver
ecuaciones irracionales.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Obviando el signo
3. Teoremas
4. Problemas diversos
2. Inecuaciones con valor absoluto
- ÁLGEBRA
El valor absoluto de un número real (sea positivo o
negativo) es igual al valor numérico de este, sin
importar su signo. Así, el valor absoluto siempre será
no negativo.
Sabemos que no es lo mismo −30 que 30; sin embargo,
hay situaciones cotidianas en donde vamos a obviar el
signo. Por ejemplo, si necesitamos conocer la distancia
a recorrer para llegar a la academia o si queremos
hallar la variación de temperatura anual en Puno, etc.
OBVIANDO EL SIGNO
0
0
−30 𝑚
+30 𝑚
𝐴
𝐵
Desplazamiento A =
Desplazamiento B =
distancia: −30 = 30 = 30
−30m (izquierda)
+30m (derecha)
- ÁLGEBRA
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplos
• 𝑥2 − 5 < 23 • 𝑥 − 2 + 𝑥 𝑥 − 1 > |𝑥 − 1|
Son aquellas inecuaciones que presentan al
menos una de sus variables afectada por al
menos una barras.
Resolución de una ecuación irracional
Generalmente se resuelven usando los
siguientes teoremas:
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝟏
𝑥 < 𝑎⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 ; 𝑎 > 0
𝑥 ≤ 𝑎⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ; 𝑎 ≥ 0
• 𝒙 < 5
Ejemplos:
→
∴ CS = −5; 5
• 𝒙 − 𝟏 < 4→
∴ CS = −3; 5
→ −3 < 𝑥 < 5
5−5< 𝒙<
4−4 <𝒙 − 𝟏<
+1
• 𝒙 ≤ 10→
∴ CS = −10; 10
• 𝒙 − 𝟐 ≤ 7→
∴ CS = −5; 9
→ −5 ≤ 𝑥 ≤ 9
10−10 ≤ 𝒙 ≤
7−7 ≤𝒙 − 𝟐≤
+2
- ÁLGEBRA
𝑥 > 𝑎⇔ 𝑥 < −𝑎
Teorema 2
Ejemplos:
∨ 𝑥 > 𝑎
𝑥 ≥ 𝑎⇔ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎
−∞ +∞1−7
• 𝒙 + 𝟑 > 4 → 4𝒙 + 𝟑< 𝒙 + 𝟑>−4 ∨
→ 𝑥 < −7 ∨ 𝑥 > 1
−3
• 𝟑𝒙 − 𝟐 ≥ 5 → 5𝟑𝒙 − 𝟐≤ 𝟑𝒙 − 𝟐≥−5 ∨
→ 3𝑥 ≤ −3 ∨ 3𝑥 ≥ 7
→ 𝑥 ≤ −1 ∨ 𝑥 ≥
7
3
∴ CS = −∞ ;−7 ∪ 1;+∞
∴ CS = +∞ ; −1 ∪ 
7
3
; +∞
+2
÷ 3
Resuelva la inecuación con valor absoluto 
𝑥² − 𝑥 ≥ 2
Resolución
Ejercicios:
De dato: 𝑥² − 𝑥 ≥ 2
→ 𝑥2 − 𝑥 ≥ 2 ∨ 𝑥2 − 𝑥 ≤ −2
→ 𝑥2 − 𝑥 − 2 ≥ 0 ∨ 𝑥2 − 𝑥 + 2 ≤ 0
+; ∀𝑥 ∈ 𝑅
→ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) ≥ 0 ∨ 𝑥 ∈ ∅
−∞ +∞2−1
∴ CS = −∞; −1 ∪ 2; +∞
- ÁLGEBRA
𝑥 ≷ |𝑎| ⇔ 𝑥 + 𝑎 (𝑥 − 𝑎) ≷ 0
Teorema 3
Ejemplos:
Nota: El sentido de la desigualdad no cambia
• 𝒙 > |4| → 𝑥 + 4 >(𝑥 − 4) 0
−∞ +∞4−4
∴ CS = −∞; −4 ∪ 4; +∞
• 𝒙 ≤ |2| → 𝑥 + 2 ≤(𝑥 − 2) 0
−∞ +∞2−2
∴ CS = −2; 2
Resuelva el sistema de inecuaciones 
 
2𝑥 − 5 < 3
5 𝑥 + 7 ≥ 12
Resolución
Ejercicios:
De (I): 2𝑥 − 5 < 3 → −3 < 2𝑥 − 5 < 3
2 < 2𝑥 < 8
𝟏 < 𝒙 < 𝟒
+5
×
1
2
De (II): 5 𝑥 + 7 ≥ 12
+
5 𝑥 + 7 ≥ 12 𝑥 ≥ 1
𝒙 ≤ −𝟏 ∨ 𝒙 ≥ 𝟏
…..(I)
…..(II)
+∞−∞ 1 4−1
∴ 𝐶𝑆 = 1; 4
I
IIII
- ÁLGEBRA
Determine el número de soluciones enteros no
negativos que cumplan la desigualdad.
𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ |𝑥|
Resolución
Entre −𝟑
𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ |𝑥|
𝑥 − 3 2 ≥ |𝑥|
𝑥 − 3 ≥ | 𝑥 |
≥ 0𝑥 − 3 + 𝑥 𝑥 − 3 − 𝑥
2𝑥 − 3 −3 ≥ 0
2𝑥 − 3 ≤ 0
2𝑥 − 3 ≤ 0
2𝑥 ≤ 3
𝑥 ≤
3
2
−∞ 3
2
+∞0 1
Existe dos Soluciones enteras no negativas∴
Ejercicios:
T.C.P.
𝒂 𝒃
𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃
www.adun i . e d u . p e