Factorización II

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FACTORICACION II
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Juan Gamarra Carhuas
Semana 12
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Conocer otros criterios de factorización.
✓ Aplicar el método de los divisores
binómicos para factorizar polinomios.
✓ Utilizar los criterios de factorización en la 
resolución de problemas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Método del aspa simple 
3. Raíz de un polinomio
4. Posibles Raíces Racionales (PRR)
2. Método de los divisores binómicos
5. Teorema del factor
6. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
Antigüedad de un Fósil
Para determinar la cantidad de años de un fósil, se requiere
determinar la cantidad de carbono 14 presente en miligramos (x) y la
cantidad de agentes contaminantes, también en miligramos (y).
Entonces, es necesaria la siguiente fórmula:
𝑫 𝒙;𝒚 = 𝟕𝒙𝟏𝟔 + 𝟗𝒙𝟖𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒚𝟒 + 𝟖𝒙𝟖 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟏
Si el fósil muestra 2 miligramos de carbono 14, y 1 miligramos de
agentes contaminantes, calcula cuántos años tiene el fósil.
Para simplificar los cálculos, factorizamos la fórmula.
𝐷 𝑥; 𝑦 = 7𝑥8 − 5𝑦2 + 1 (𝑥8 + 2𝑦2 + 1)
Reemplazamos:
𝐷 2; 1 = 7 2 8 − 5 1 2 + 1 2 8 + 2 1 2 + 1 = 463 092
Finalmente
El fósil tiene 463 092 años de antigüedad.
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MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Factorice
• 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 + 10𝑥 + 8
𝟑𝒙
𝒙
𝟒
𝟐
𝟒𝒙
𝟔𝒙
𝟏𝟎𝒙
𝑃(𝑥) = (3𝑥 + 4)(𝑥 + 2)
Sus F. P. son: 3𝑥 + 4 , 𝑥 + 2
• 𝑁 𝑥 = 𝑥4− 13𝑥2 + 36
𝒙𝟐
𝒙𝟐
−𝟒
−𝟗
−𝟒𝒙𝟐
−𝟗𝒙𝟐
−𝟏𝟑𝒙𝟐
𝑃(𝑥) = (𝑥2− 4)(𝑥2− 9)
Sus F. P. son: 𝑥 + 2 , 𝑥 − 2 , 𝑥 + 3 , 𝑥 − 3
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
• 𝐻 𝑥 = 𝑥2+ 𝑥𝑦 − 6𝑦2
𝒙
𝒙
𝟑𝐲
−𝟐𝐲
𝟑𝒙𝒚
−𝟐𝒙𝒚
𝒙𝒚
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 3𝑦)(𝑥 − 2𝑦)
Sus F. P. son: 𝑥 + 3𝑦 , 𝑥 − 2𝑦
Observación
Si 𝑃 𝑥 es un polinomio cuadrático, pero no se
puede factorizaren ℤ con el aspa simple, dicho
polinomio tiene como único factor primo a el
mismo 𝑃 𝑥 .
Ejemplos
• 𝑃(𝑥) = 𝑥2+ 𝑥 + 1 su F. P. es 𝑥2+ 𝑥 + 1
• 𝑀 𝑥 = 3𝑥2− 2𝑥 + 5 su F. P. es 3𝑥2− 2𝑥 + 5
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MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
1. RAÍZ DE UN POLINOMIO
Para utilizar este método es necesario conocer
algunas definiciones previas.
Sea el polinomio 𝑃(𝑥) donde °[𝑃] ≥ 1.
“𝑎” es raíz de 𝑃 𝑥 ↔ 𝑃(𝑎) = 0
• 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 5
5 es raíz de 𝑃 𝑥 porque 𝑃(5) = 0
• 𝑀(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
2 es raíz de 𝑀 𝑥 porque 𝑀(2) = 0
3 es raíz de 𝑀 𝑥 porque 𝑀(3) = 0
Ejemplos
2. POSIBLES RAÍCES RACIONALES (PRR)
Sea el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 donde:
P. R. R. =
Divisores de |𝒅|
Divisores de |𝒂|
Ejemplos
• 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2− 13𝑥 + 6
P. R. R. =
Divisores de |𝟔|
Divisores de |𝟐|
=
1 ; 2 ; 3 ; 6
1 ; 2
P. R. R. = 1 ; 2 ; 3 ; 6 ;
1
2
;
3
2
P. R. R. = {±1 ;±2 ;±3 ;±6;±
1
2
; ±
3
2
}
- ÁLGEBRA
• 𝑀(𝑥) = 𝑥3+ 5𝑥2 + 2𝑥 − 8
P. R. R. =
Divisores de | − 𝟖|
Divisores de |𝟏|
1 ; 2 ; 4 ; 8
1
P. R. R. = = 1 ; 2 ; 4 ; 8
P. R. R. = {±1 ;±2 ;±4 ;±8}
Observaciones
Si el polinomio es MÓNICO, las P.R.R. dependerán
solo del T.I.
No necesariamente todos los valores que toma las
P.R.R. son raíces del polinomio
Se puede verificar si es o no raíz aplicando la regla
de Ruffini.
• En 𝑀 𝑥 = {𝑥3+ 5𝑥2 + 2𝑥 − 8 }
P. R. R. = ±1 ;±2 ;±4 ;±8
Verificando por la regla de Ruffini.
1 5 2 −8
−2
1
−2
3 −4
8
0
−6
−2 es una raíz del
polinomio 𝑀 𝑥 .
3. TEOREMA DEL FACTOR
Sea el polinomio 𝑃(𝑥) donde °[𝑃] ≥ 1.
Si “𝑎” es raíz de 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑄(𝑥)
(𝑥 − 𝑎) es factor de 𝑃(𝑥)Donde
Ejemplos
• Si 6 es raíz de 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 6). 𝑄(𝑥)
• Si − 2 es raíz de 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 2). 𝑄(𝑥)
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MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Ejemplo
• 𝑃 𝑥 = 𝑥3− 6𝑥2+ 11𝑥 − 6
𝐈.𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐚í𝐳
(𝐬𝐢 𝐞𝐬 𝐧𝐞𝐜𝐞𝐬𝐚𝐫𝐢𝐨 𝐚𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐫 𝐥𝐚𝐬 𝐏. 𝐑. 𝐑. )
1 es raíz de 𝑃 𝑥 porque 𝑃(1) = 0
𝐈𝐈. 𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐫 𝐞𝐥 𝐭𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐟𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫
Si 1 es raíz de 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1). 𝑄(𝑥)
𝐈𝐈𝐈. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝑸 𝒙 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐠𝐥𝐚 𝐝𝐞 𝐑𝐮𝐟𝐟𝐢𝐧𝐢
𝑃(𝑥)
𝑥 − 1
= 𝑄(𝑥)
𝑸(𝒙)
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥2− 5𝑥 + 6)
En 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1). 𝑄(𝑥)
𝒙
𝒙
−𝟑
−𝟐
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
Sus F. P. son: 𝑥 − 1 , 𝑥 − 3 , 𝑥 − 2
Este criterio se puede utilizar para factorizar
polinomios de grado ≥ 3, siempre y cuando tenga
por lo menos una raíz racional.
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• 𝑃 𝑥 = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥– 2
𝐈. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐚𝐫 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐚í𝐳
P. R. R. =
Divisores de | − 𝟐|
Divisores de |𝟑|
1 ; 2
1 ; 3
P. R. R. = = 1 ; 2 ;
1
3
;
2
3
P. R. R. = ±1 ;±2 ; ±
1
3
; ±
2
3
Se verificará si es raíz con la regla de Ruffini
𝑸(𝒙)
1
3
es una raíz del polinomio 𝑃 𝑥 .
𝑃(𝑥) = 𝑥 −
1
3
. 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥) = 𝑥 −
1
3
𝑃(𝑥) = 𝑥 −
1
3
.𝟑 (𝑥2+ 𝑥 + 2)
(3𝑥2+ 3𝑥 + 6)
𝑃(𝑥) = 3𝑥 − 1 (𝑥2+ 𝑥 + 2)
Sus factores primos son: 3𝑥 − 1 , 𝑥2+ 𝑥 + 2
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