Funciones logarítmicas

Vista previa del material en texto

Funciones logarítmicas
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 36
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer a las funciones logarítmicas y su
gráfica.
 Resolver inecuaciones logarítmicas en base
a las propiedades de su función.
 Resolver problemas aplicativos con el
marco teórico desarrollado.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Los logaritmos en el mundo
3. Propiedades
4. Inecuaciones logarítmicas
2. Función logarítmica
5. Problemas diversos
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ
- ÁLGEBRA
La aplicación de la función logarítmica la
encontramos en química para calcular el nivel de
acidez de determinados productos, para hallar la
intensidad de los movimientos sísmicos, en la
economía se puede aplicar en la oferta y la
demanda, en la banca se utiliza para poder medir el
crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo,
etc.
Es importante el estudio de la función
logarítmica, pues su aplicación es frecuente en
diversos campos del quehacer humano.
LOS LOGARITMOS EN EL MUNDO
- ÁLGEBRA
Regla de correspondencia
𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
Dom𝑓=ℝ+ ∧ Ran𝑓 = ℝDonde
Ejemplos
• 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 • g 𝑥 = log1
2
𝑥
Representación gráfica: Grafique 𝑓 𝑥 = log2𝑥
Tabularemos
𝑥 𝑦
1/4 −2
1/2 −1
1 0
2 1
4 2
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒𝟎
𝟏
𝟐
−𝟏
−𝟐
𝑿
𝒀
Grafique g 𝑥 = log1
2
𝑥
Tabularemos
𝑥 𝑦
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
4 −2
1 2 3 4
0
1
2
−1
−2
𝑿
𝒀
FUNCIÓN LOGARÍTMICA Ejemplos
Observación:
La función 𝑓 𝑥 = logℎ(𝑥) 𝑁(𝑥)
esta bien definida si: 𝑁 𝑥 > 0
ℎ 𝑥 > 0 ∧ ℎ 𝑥 ≠ 1
- ÁLGEBRA
Función creciente Función decreciente
No cambia el sentido de la 
desigualdad
Sí cambia el sentido de 
la desigualdad
Propiedades
Sea la función: 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥
Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1
𝑿
𝒀
𝑿
𝒀
1
1
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦 > 00 < 𝑥 < 𝑦
log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 0 < 𝑥 < 𝑏
𝑛 log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 > 𝑏
𝑛 > 0
Aplicación
Determine el dominio de la siguiente función
𝑓 𝑥 = log𝑥(5 − 𝑥)
Resolución
𝑓 𝑥 = log𝑥 5 − 𝑥 esta bien definida si:
5 − 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
5 > 𝑥 ∧ 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
𝑥 ∈ 0; 5
∴ 𝐃𝐨𝐦𝒇 = 𝟎;𝟓 − 𝟏
− 1
- ÁLGEBRA
Son las inecuaciones donde la variable se
encuentra afectado del logaritmo
Ejemplos:
• log5 𝑥 − 2 ≤ log5 4 − 𝑥
• log2 2𝑥 − 1 < −1
• log3 𝑥 ≥ 5 − 𝑥
• log𝑥 4 > 2
Para su resolución, se debe tener en cuenta los
pasos siguientes:
Paso 1
Garantizar la existencia de los logaritmos
en los reales
log𝑏 𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0
Paso 2
Despejar 𝑥, usando las propiedades:
Si 𝑏 > 1: log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦
Paso 3 Intersectar los resultados anteriores
Si 0 < 𝑏 < 1: log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 > 𝑦
Resuelva log3 4 − 𝑥 ≤ log3 5𝑥
⟷ 4 − 𝑥 > 0 ⟷ 4 > 𝑥
⟷ 5𝑥 > 0 → 𝑥 > 0
Intersectando las condiciones obtenidas
log3 4 − 𝑥 ≤ log3 5𝑥 → 4 − 𝑥 ≤ 5𝑥
𝑥 ≥
2
3
Ejemplos
Resolución
log3 4 − 𝑥 existe en ℝ
log3 5𝑥 existe en ℝ
1.
2. La base es 3 (mayor a 1), el sentido de la
desigualdad no cambia.
… 1
… 2
3. Intersectando (1) y (2):
2
3
≤ 𝑥 < 4→ CS = 
2
3
; 4
 
0 < 𝑥 < 4
→ 4 ≤ 6𝑥 →
2
3
≤ 𝑥
INECUACIONES LOGARÍTMICAS
- ÁLGEBRA
Resuelva la inecuación 
log1
2
3𝑥 − 1 > −1
Resolución:
1. log1
2
3𝑥 − 1 existe en los ℝ
↔ 3𝑥 − 1 > 0
log1
2
3𝑥 − 1 > −1 log1
2
1
2
3𝑥 − 1 < 2 𝑥 < 1
∴ CS =
1
3
; 1
⟷ 𝑥 >
1
3
2. La base es
1
2
menor a uno , el sentido de la
desigualdad si cambia
⟷ log1
2
(3𝑥 − 1) > log1
2
2
⟷
3. Intersectando lo de (1) y (2):
… 1
… 2
Halle el rango de la función
𝑓 𝑥 = log1
2
𝑥2 + 16
Resolución
Como → −3 ≤ 𝑥 < 4
→ 0 ≤ 𝑥2 < 16
→ 16 ≤ 𝑥2 + 16 < 32
𝑥 ∈ −3; 4
log1
2
𝑥2 + 16log1
2
16 log1
2
32
log1
2
𝑥2 + 16−4 −5
≥ >
≥ >
Aplicamos log1
2
(base menor a 1), entonces el
sentido de la desigualdad cambia:
2
+16
𝑓 𝑥
∴ Ran𝑓 = −5; −4
−5 < 𝑓 𝑥 ≤ −4Así
; 𝑥 ∈ −3; 4
Ejemplos Ejemplos
www.adun i . e d u . p e