Modelación del mundo real con funciones

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Modelación del mundo real 
con funciones
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 38
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer el proceso de modelación
matemática.
 Repasar las principales funciones notables.
 Resolver problemas aplicativos con el
marco teórico desarrollado.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Modelando el mundo real
3. Gráfica de funciones
4. Composición de funciones
2. Función, dominio y rango
5. Problemas diversos
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ
- ÁLGEBRA
Si una persona deja caer una piedra desde la torre del centro
Cívico de Lima. Que tanto ha caído, depende del tiempo que ha estado
descendiendo. Esta es una descripción general, pero no indica de
manera exacta cuando la piedra choca con el suelo.
Lo que necesitamos es una regla que relacione la posición de
la piedra con el tiempo que esta ha descendido. Los físicos saben que
la regla es: en t segundos la piedra cae 5𝑡2 𝑚. Si 𝑑 𝑡 representa la
distancia que ha descendido la piedra en el instante 𝑡, entonces esta
regla se puede expresar como
𝑑 𝑡 = 5𝑡2
Esta “regla” para hallar la distancia en términos del tiempo
nos describe una función. Se dice que la distancia es una función del
tiempo.
En matemáticas quizás el concepto de función constituye la
herramienta más poderosa para modelar el mundo real
MODELANDO EL MUNDO REAL
- ÁLGEBRA
El lenguaje algebraico se basa en el uso de
letras y relaciones matemáticas para generalizar
diferentes situaciones.
Ejemplos
• El doble de un número
LENGUAJE ALGEBRAICO
2𝑎, 2𝑥, 2𝑦, …
• El perímetro P de un triángulo equilátero de 
lado 𝑙
P = 3 𝑙
• El área A de un cuadrado de lado 𝑙
A = 𝑙2
• El volumen 𝑉 de un cilindro de radio 𝑟 y
altura ℎ
V = π𝑟2ℎ
• El triple de un número 3𝑥, 3𝑦, 3𝑘, …
• La mitad de un número
𝑥
2
,
𝑦
2
,
𝑚
2
, …
• El cuadrado de la población 𝑃 𝑃2
• La fuerza 𝐹 aumentado en 𝑚 𝐹 + 𝑚
• La distancia 𝑑 disminuido en 𝑎 𝑑 − 𝑎
• El producto entre 𝑘 y 𝑒 𝑘. 𝑒
• La población del mundo en el instante t
𝑃 𝑡
• La temperatura en función de tiempo t
𝑇 𝑡
• El precio de un articulo es una función de la
demanda 𝐷 de ese articulo.
𝑃 𝐷
- ÁLGEBRA
FUNCIÓN, DOMINIO Y RANGO
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. La función 𝑓 de
𝐴 en 𝐵 es un conjunto de pares ordenados 𝑥; 𝑦
tal que a 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde un único
elemento 𝑦 ∈ 𝐵, esta correspondencia se logra
mediante su regla de correspondencia que es
una igualdad que relaciona 𝑥 e 𝑦.
𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑥: variable independiente
𝑦: variable dependiente
Ejemplos
• 𝑦 = 2𝑥 + 5
• 𝑦 = 𝑘𝑒𝑥
• 𝑦 = log
𝑥
𝑥0
• 𝑦 = 𝑘𝑥(𝐷 − 𝑥)
Esta dada por la variación de 𝑥, si esta no se
conoce, entonces:
Dominio de 𝑓
Dom 𝑓 = 𝐶𝑉𝐴 𝑑𝑒 𝑓 𝑥
Esta dada por la variación de 𝒇 𝒙 , y se obtiene a
partir del dominio.
Rango de 𝑓
Ejemplos
• El área de un círculo de radio 𝑟
𝐴 𝑟 = 𝜋𝑟2
Dom 𝐴 = 𝐶𝑉𝐴 𝑑𝑒 𝐴 𝑟 = 0; +∞
R𝑎𝑛 𝐴 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴 𝑟 = 0; +∞
• El área del un siguiente rectángulo:
Dom 𝐴 = 𝐶𝑉𝐴 𝑑𝑒 𝐴 𝑥 :
10 − 2𝑥
𝐴 𝑥 = 10 − 2𝑥 𝑥 + 1
10 − 2𝑥 > 0 ∧ 𝑥 + 1 > 0
5 > 𝑥 ∧ 𝑥 > −1
Dom 𝐴 = −1; 5
- ÁLGEBRA
1. Función lineal
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃 ; 𝒂 ≠ 𝟎
Ejemplos
• Grafique el perímetro de triángulo equilátero de 
lado 𝑙
P 𝑙 = 3. 𝑙
Tabulando
𝟎
2
𝒍 𝑷
𝟎
6
𝒍
𝑷
2
6 𝑷
𝟎
GRÁFICA DE FUNCIONES
; 𝑙 > 0
• El área del un siguiente rectángulo:
10 − 2𝑥
𝐴 𝑥 = 10 − 2𝑥 𝑥 + 1
Dom 𝐴 = −1; 5
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0
Ejemplos
Su gráfica es una PARÁBOLA.
2. Función cuadrática
𝐴 𝑥 = 10 − 2𝑥 𝑥 + 1
Raíces: 5, −1
𝒙
𝑨
−1 5
10
𝐴 0 = 10
2
𝐴𝑚á𝑥 2 = 6 3
𝐴𝑚á𝑥 2 = 18
18
- ÁLGEBRA
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Definición
Sean f y g son dos funciones, se denota y define
su composición (f compuesta con g) por:
𝑓𝑜𝑔 
𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑜𝑔)= 𝑥 ∕ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∧ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
En forma gráfica, tenemos:
𝑔 𝑓
𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑅𝑎𝑛𝑓
𝑓𝑜𝑔
𝑥 𝑔 𝑥 𝒇(𝑔 𝑥 )
Ejemplo
Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones tales
que:
𝑓 𝑥 = −5𝑥 + 3 ; 𝑥 ∈ −4; 6
𝑔 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ 1; 4
Halle 𝑓𝑜𝑔
Resolución
𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑜𝑔)= 𝑥 ∕ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∧ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
𝑥 ∈ 1; 4 ∧ 2𝑥 ∈ −4; 6
→ 1 ≤ 𝑥<4 ∧ −4< 2𝑥 ≤ 6
→ 1 ≤ 𝑥<4 ∧ −2< 𝑥 ≤ 3
⇒ 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
→ 𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑜𝑔)= 1; 3
(𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) = −5(𝑔 𝑥 ) + 3= −5(2𝑥) + 3
→ (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = −10𝑥 + 3
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