Cinemática IV

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Tema: M.P.C.L.
FÍSICA:
CINEMÁTICA - IV
OBJETIVOS
• Conocer las características del movimiento parabólico de caída libre.
• Establecer el método de análisis y las ecuaciones del movimiento 
parabólico de caída libre.
INTRODUCCIÓN
En los siguientes casos, nos
interesa las trayectorias: un
chorro de agua saliendo de la
toma de agua; las partículas
incandescentes al momento de
soldar; el movimiento de una
pelota en el básquet, entre
otros.
Aproximadamente, estas
trayectorias curvas son
parábolas y serán analizadas
en el presente capítulo.
𝑣𝑋
𝑔
➢ Se desprecia la resistencia del aire, entonces diremos que
el proyectil está en caída libre.
➢ La altura de lanzamiento ℎ es pequeña comparada con el
radio de la tierra 𝑅𝑇:
ℎ << 𝑅𝑇 𝑅𝑇 ≈ 6400 𝑘𝑚
Bajo estas condiciones el cuerpo describe una curva que
coincide con una PARÁBOLA.
Por ello al movimiento del proyectil, se denomina
MOVIMIENTO PARÁBÓLICO DE CAIDA LIBRE ( M.P.C.L. )
Para fines prácticos, se asumirá:
𝑔 = 10
𝑚
𝑠2
➢ Cerca a la superficie terrestre, la aceleración de la
gravedad ( Ԧ𝑔) , es constante en módulo y dirección
(dirigida hacia el centro de la Tierra ):
h
Veamos que ocurre al lanzar un proyectil horizontalmente:
Si realizamos las consideraciones:
𝑔 = 9,81
𝑚
𝑠2
Análisis del movimiento:
𝑣𝑋=10m/s
𝑣𝑋=10m/s
𝑣𝑋=10m/s
10m/s
20m/s
𝑣𝑂𝑦 = 0
10m/s
20m/s
𝑣𝑋=10m/s 𝑣𝑋=10m/s
𝟏𝒔
𝟏𝒔
1𝑠
1𝑠
1𝑠 1𝑠
5m
15𝑚
𝑑 𝑑
𝑣𝑂𝑦 = 0
𝑣𝑋=10m/s
Proyección horizontal: MRU 
𝑔=10m/𝑠2
Se recomienda analizar en dos proyecciones mutuamente perpendiculares.
P
ro
ye
cció
n
 ve
rtical : M
.V.C
.L.
En conclusión:
➢ El movimiento del proyectil a lo largo de la horizontal
es uniforme, es decir:
𝑣𝑋 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
➢ Simultáneamente, en la dirección vertical,
ocurre un movimiento uniformemente variado
puesto que se considera constante la
aceleración de la gravedad.
Entonces se usarán las ecuaciones del M.V.C.L.:
Además la velocidad en cualquier instante es tangente 
a la trayectoria
Su módulo es:𝑣𝑥
𝑣𝑦
𝑣 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2Por ello usaremos: 𝑑𝑥 = 𝑣𝑥 . 𝑡
𝑑𝑦 =
𝑣0 + 𝑣𝑓
2
∙ 𝑡
𝑑𝑦 = 𝑣0𝑡 ±
1
2
𝑔𝑡2
𝑣𝑓 = 𝑣0 ± 𝑔𝑡
𝑣𝑓
2 = 𝑣0
2 ± 2𝑔𝑑𝑦
(+): cuando el cuerpo baja
(-): cuando el cuerpo sube
𝑣
1Aplicación
Una esfera es lanzada horizontalmente con una rapidez de 10
m/s desde lo alto de un acantilado. 𝑔 = 10𝑚/𝑠2
1. Calcule la altura que desciende luego de 3 s.
2. El alcance horizontal luego de 3s.
Resolución:
3s
𝑣𝑥 = 10𝑚/𝑠
h
𝑑𝑥
1. En la proyección vertical ( eje Y ) , aplicamos:
2. En la proyección horizontal ( el eje X ), se 
cumple:
Para ello dibujamos lo que acontece.
𝑑𝑦 = 𝑣𝑂𝑦 𝑡 +
1
2
(𝑔)(𝑡2)
ℎ = 0 3 +
1
2
(10)(32)
𝒉 = 𝟒𝟓𝒎
𝑑𝑥 = (𝑣𝑋)(𝑡)
𝑑𝑥 = 10 3
𝒅𝒙 = 𝟑𝟎𝒎
𝑣𝑜𝑦 = 0
Piden ℎ 𝑦 𝑑𝑥
Propiedades:
• Observe que al mismo nivel se tiene:
𝑣𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 = 𝑣𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑎
• Para los mismos tramos:
𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 = 𝑡𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑎
Además se verifica.
Tiempo de subida:
𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 =
𝑣𝑦
𝑔
La altura máxima:
ℎ𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 =
𝑣𝑦
2
2𝑔
Ahora veamos el lanzamiento oblicuo. (g=10m/s²)
𝒗𝒙 = 𝟏𝟓𝒎/𝒔
𝑣𝑦= 0
𝒗𝒙 = 𝟏𝟓𝒎/𝒔
𝒗𝒚 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔
𝟐𝟓𝒎/𝒔
𝑡𝑠𝑢𝑏
𝑡𝑏𝑎𝑗
𝐻𝑚á𝑥
𝑑𝑥
𝒗𝒙
𝒗𝒚
Rapidez 
mínima
𝟏𝟎𝒎/𝒔
𝟏𝟎𝒎/𝒔
𝟏𝟓𝒎/𝒔
𝟏𝟓𝒎/𝒔
= 𝟐 𝒔
= 𝟐 𝒔
= 𝟏𝟓𝒎/𝒔
𝟐𝟎𝒎/𝒔 =
𝟏 𝒔
𝟏 𝒔
𝟏 𝒔𝟏 𝒔
La rapidez mínima se encuentra en
𝑣𝑚𝑖𝑛 = 𝑣𝑥
A la velocidad inicial se le 
descompone.
53°
5k 4k
3k = 15 m/s
= 20 m/s
53°
su altura máxima.
53°
3k
4k
5k
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
45°
45°
53°
37°
60°
30°
3k
4k
5k k
k
k 2
k
k 3
2k
Para descomponer la velocidad emplearemos algunos
triángulos conocidos
74°
16°
7k
24k
25k
2Aplicación
Consideremos el disparo del balón.
(g=10m/s²)
Determine:
a) Luego de cuantos segundos su rapidez
es mínima
b) La altura máxima
c) El alcance horizontal máximo.
𝑣𝑂 = 50 𝑚/𝑠
53°
Resolución:
Descomponiendo 
la velocidad
53°
𝑣0𝑦 = 40 𝑚/𝑠 ℎ𝑚𝑎𝑥
𝑑𝑥
b) La altura máxima:
𝑡𝑠𝑢𝑏 =
𝑣𝑜𝑦
𝑔
𝑡𝑠𝑢𝑏 =
40
10
a) El tiempo de subida
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
𝑣𝑜𝑦
2
2𝑔
𝒕𝒔𝒖𝒃 = 𝟒𝒔
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
40²
2(10)
𝒉𝒎𝒂𝒙 = 𝟖𝟎𝒎
c) El alcance horizontal 
máximo
𝑑𝑥 = 𝑣𝑥. 𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜
𝑑𝑥 = 30(8)
𝒅𝒙 = 𝟐𝟒𝟎𝒎
30 𝑚/𝑠
40 𝑚/𝑠
𝑣𝑋 = 30 𝑚/𝑠
𝑡𝑠𝑢𝑏
𝑡𝑏𝑎𝑗
= 4s
= 4s
𝑣𝑚𝑖𝑛
Casos especiales del MPCL:
➢ Alcance horizontal máximo
En todos los casos se lanza con la misma 
rapidez y en el mismo plano vertical:
𝐷𝑀Á𝑋
➢ Ángulos de tiro complementario
𝑫𝟏
Para dos objetos lanzados con una misma rapidez y con
ángulos de lanzamiento que suman 90° se verifica que
logran el mismo alcance horizontal
El máximo alcance horizontal se verifica cuando el
ángulo de lanzamiento es 45°.
15°
30°
45°
w w w. a d u n i . e d u . p e