11era Clase - Diagrama de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores - Método de las Áreas

Vista previa del material en texto

DIAGRAMA DE FUERZAS 
CORTANTES Y MOMENTOS 
FLECTORES
11era Clase – Estática
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
DIAGRAMA DE FUERZAS 
CORTANTES Y
MOMENTOS FLECTORES
CUTTING FORCES DIAGRAM AND 
FLOWER MOMENTS 
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el
estudiante resuelve
problemas sobre diagramas
de fuerzas cortantes y
momentos flectores en
vigas, recurriendo al
método de las “áreas” con
claridad y destreza.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
➲ Primera condición del
equilibrio.
➲ Momento de una
fuerza.
➲ Segunda condición
del equilibrio.
➲ Análisis integral y
diferencial.
➲ Diagramas de fuerza
cortante y momento
flexionante para una viga.
➲ Convención de signos.
➲ Relaciones entre carga,
fuerza cortante y momento
flector.
SABERES PREVIOS 
(PRE REQUISITOS)
CONTENIDO DE LA SESIÓN
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Las vigas son miembros
estructurales que se diseñan
para soportar cargas aplicadas
perpendicularmente a su eje.
En general, las vigas son
barras rectas, largas, que
tienen una sección transversal
de área constante. El diseño
real de dichos miembros
requiere un conocimiento
detallado de la variación de la
fuerza -
DIAGRAMAS DE FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO
FLEXIONANTE PARA UNA
VIGA
cortante interna V y del momento
flexionante M que actúan en cada
punto a lo largo del eje de la viga (Fig.
1)
Figura 1. Después de que termina el análisis
de fuerzas y de momentos flexionantes, uno
puede usar la teoría de resistencia de
materiales para determinar el área de la
sección transversal requerida de la viga.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
CONVENCIÓN DE SIGNOS.
La convención de signos que va
a adoptarse aquí se ilustra en la
Fig. 2. Suponiendo un corte en
una viga, se considerará positiva
a la fuerza cortante y cuando
actúe hacia abajo sobre la cara
a mano izquierda del corte
(C.M.I.) y se considerará
positivo el momento flexionante
M si actúa sobre esa cara en el
sentido contrario al de las
manecillas del reloj.
Figura 2. De acuerdo con la tercera ley de
Newton, una fuerza cortante igual y opuesta
y un momento flexionante igual y opuesto
deben actuar en la cara a mano derecha del
corte (C.M.D.).
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
RELACIONES ENTRE CARGA,
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO
FLECTOR
Si una viga sostiene más de dos cargas
concentradas, o cuando soporta cargas
distribuidas, es muy probable que el
método para graficar las fuerzas
cortantes y los momentos flectores
descrito en la sección anterior se
vuelva muy laborioso.
La elaboración del diagrama de Fuerza
cortante y, especialmente, la del
diagrama de momento flector, se
simplificarán en gran medida si se toman
en consideración ciertas relaciones que
existen entre la carga, la fuerza
cortante y el momento flector.
Figura 5. Análisis de una viga AB
sujeta a la acción de una carga
distribuida.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Considérese una viga simplemente
apoyada AB que soporta una carga
distribuida  por unidad de longitud
(figura 1a), y sean C y C’ dos puntos
sobre la viga separados por una
distanciax entre sí. La fuerza cortante
y el momento flector ubicados en C
estarán representados, respectiva-
mente, con V y M , las cuales se
supondrán positivas; la fuerza
cortante y el momento flector
localizados en C’ serán representados
mediante V + V y M + M.
Ahora se separa el tramo de viga
CC’ y se traza su diagrama de cuerpo
libre figura1b.
Figura 5b. Las fuerzas ejercidas sobre el 
cuerpo libre incluyen una carga de magnitud 
.x y las fuerzas y los pares internos 
que actúan en C y C ’ .
Como se ha supuesto que la fuerza
cortante y el momento flector son
positivos, las fuerzas y los pares
estarán dirigidos en la forma indicada
por la figura.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Relaciones entre carga y Fuerza cortante. Se
escribe que la suma de las componentes
verticalesdelasfuerzasqueactúansobre el
cuerpo libre CC’ es igual a cero:
𝑉 − 𝑉 + ∆𝑉 − 𝜔∆𝑥 = 0
∆𝑉 = −𝜔∆𝑥
Al dividir ambos lados de la ecuación
anterior entre x, y haciendo luego que x
t i en da a cero, seobtiene:
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝜔 … (1)
La fórmula (1) indica que para una viga
de la forma que muestra la figura 1a, la
pendiente dV/dx de la curva de fuerza
cortante es negativa; además, el valor ab-
soluto de la pendiente en cualquier
punto es igual a la carga por unidad de
longitud en dicho punto Si se integra la
ecuación (1) entre los puntos C y D, se
obtiene:
𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = −න
𝑥𝐶
𝑥𝐷
𝜔𝑑𝑥
… (2)
VD – VC = -(área bajo la curva de 
carga entre C y D) ...(2’)
Es necesario señalar que la ecuación
(1) no es valida en un punto donde
se aplica una carga concentrada:
como se vio en la sección anterior, la
curva de fuerza cortante es
discontinua en dicho punto.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
En forma similar, las ecuaciones (2)
y (2’) dejan de ser válidas cuando se
aplican cargas concentradas entre
C y D, puesto que dichas
ecuaciones no toman en
consideración el cambio brusco en la
fuerza cortante ocasionado por una
carga concentrada. Por tanto, las
ecuaciones (2) y (2’) sólo se deben
aplicar entre cargas concentradas
sucesivas.
Relaciones entre la fuerza cortante y
el momento flector.
Regresando al diagrama de cuerpo libre
de la figura 1b, ahora se escribe que la
suma de los momentos con respecto a C’
es igual a cero y se obtiene:
Figura 5b. 
𝑀 + ∆𝑀 −𝑀 − 𝑉∆𝑥 + 𝜔∆𝑥
∆𝑥
2
= 0
∆𝑀 = 𝑉∆𝑥 −
1
2
𝜔 ∆𝑥 2
Si se dividen ambos lados de la
ecuación anterior entre x y se hace que
x tienda a cero, se obtiene:
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
… (3)
La ecuación (3) indica que la
pendiente dM/dx de la curva de mo-
mento flector es igual al valor de la
fuera cortante. Esto es cierto en
cualquier punto donde la fuerza
cortante tenga un valor bien definido,
es decir en cualquier punto donde no
se aplique una fuerza concentrada.
Además, la ecuación (3) también
muestra que la fuerza cortante es
igual a cero en aquellos puntos
donde el momento flector es máximo.
Esta propiedad facilita el cálculo de
los puntos donde es más probable -
que la viga falle bajo flexión.
Si se integra la ecuación (3) entre los
puntos C y D se obtiene:
𝑀𝐷 −𝑀𝐶 = න
𝑥𝐶
𝑥𝐷
𝑉𝑑𝑥
… (4)
MD – MC = área bajo la curva de fuerza 
cortante entre C y D
… (4’)
Obsérvese que se debe considerar que
el área bajo la curva de fuerza cortante es
positiva en aquellos lugares donde la
fuerza cortante es positiva y que el área
es negativa donde la fuerza cortante es
negativa.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Las ecuaciones (4) y (4 ’) son válidas
cuando se aplican cargas concentradas
entre C y D y siempre y cuando se halla
dibujado correctamente la curva de
fuerza cortante. Sin embargo, dichas
formulas dejan de ser válidas si se aplica
un par en un punto localizado entre C y
D, puesto que las formulas en cuestión
no consideran el cambio brusco en el
momento flector ocasionado por un par.
Ejemplo 1
Trace los diagramas de fuerzas
cortantes y de momentos flexionantes
para la viga cantilever indicada en la
figura 6a.
Solución
Primero se calculan las reacciones en A
usando las ecuaciones de equilibrio y se
indican en el diagrama de cuerpo libre
mostrado en la Fig. 6b.
Diagrama de fuerzas cortantes. Al
construir el diagrama de fuerzas cor-
tantes, se trazan primero las fuerzas
cortantes en los puntos A y B, ya que -
Figura 6a. Viga empotrada sujeta a la acción de 
una carga uniformemente distribuida.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
De acuerdo con la convención de signos
positivos, la fuerza cortante en A es VA
= +10 kN y en B, VB = 0. En un punto
intermedio C, la intensidad de la carga
que actúa sobre la viga es de —2 kN/m
(un valor negativo, ya que la carga actúa
hacia abajo).
De acuerdo con la Ec. (1), la pendiente
del diagrama de fuerzas cortantes en
este punto es dV/dx lc = —2 kN/m. De
manera semejante, la pendiente en el
punto D es dV/dx lD = —2 kN/m (Fig.
6b).
sus valores pueden obtenerse
directamente a partir del diagrama de
cuerpo libre de la viga (Fig. 6b).
(b)
Figura 6b. Diagramas de cuerpo libre y fuerza
cortante parala viga cantilever del ejemplo 1.
Como la carga distribuida es uniforme,
se obtienen estas mismas pendientes
para otros puntos a lo largo de la viga.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Diagrama de momentos flexionantes. A
partir del diagrama de cuerpo libre, el
diagrama de momentos flexionantes debe
comenzar en un valor de MA = —25 kN.m
y terminar en un valor de MB + = 0. ¿Ve
por qué MA es negativo?
Usando la Ec. (2), la pendiente del
diagrama de momentos flexionantes en el
punto A, como se indica en la Fig. 6c es
dM/dx|A = VA = +10 kN .
Asi, el diagrama de fuerzas cortantes
tiene una pendiente constante negativa
de —2 kN/m, la cual se extiende desde
el extremo A hasta el extremo B (Fig.
6b).
(c)
Figura 6c. Diagramación completa para la viga
cantilever del ejemplo 1.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
La pendiente del diagrama de momentos
siempre será positiva a lo largo de todo el
eje de la viga, ya que la fuerza cortante
siempre es positiva; sin embargo, la pen-
diente disminuirá conforme aumente la
distancia x debido a que la fuerza
cortante disminuye (Fig. 6c).
(c)
Figura 6c. Diagramación completa para la viga
cantilever del ejemplo 1.
Así, la función resultante para el
momento es una parábola, como se
indica en la Fig. 6c. Uno puede
preguntarse por qué esta curva no es
cóncava hacia arriba como se muestra
por medio de la línea interrumpida.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
A partir de estos diagramas se ve que
cuando la carga distribuida es
constante, el diagrama de fuerzas
cortantes variará linealmente con x y el
diagrama de momentos será
proporcional a x2.
cortantes será proporcional a x2 y el
diagrama de momentos flexionantes será
una función de x3.
Este no puede ser el caso, ya que se
requiere que la pendiente del diagrama
de momentos en A sea mayor que la
pendiente en C; es decir, VA > Vc , como
se indica en el diagrama de fuerzas
cortantes. Análogamente, Vc > VD y,
además, la pendiente en B debe ser
cero.
De una manera semejante, si la carga
distribuida es triangular, es decir, si varia
linealmente con x, el diagrama de fuerzas
(c)
Figura 6c. Diagramación completa para la viga
cantilever del ejemplo 1.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Ejemplo 2
Trace los diagramas de fuerzas
cortantes y de momentos flexionantes
para la viga indicada en la Fig. 7a. Dé los
valores en los puntos donde las
pendientes de los diagramas de fuerzas
cortantes y de momentos flexionantes
son discontinuas.
Figura 7a. Distintos tipos de carga aplicadas a
una viga.
Solución:
En la Fig. 7b se indica el diagrama de
cuerpo libre de la viga. Por equilibrio, las
reacciones verticales en B y E son de 3
y 1 kN, respectivamente.
Figura 7b. Diagrama de cuerpo libre para la viga del
ejemplo 2.
(b)
Diagrama de fuerzas cortantes. Como la
fuerza cortante en A es cero, el
diagrama de fuerzas cortantes comienza
en cero.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
La carga triangular actúa hacia abajo y
aumenta de magnitud del punto A al
punto B; por lo tanto, según la Ec. (1), la
pendiente del diagrama de fuerzas
cortantes se incrementa negativamente
del punto A al B. Por ejemplo, las
pendientes en los puntos F y H son
dV/dx IF = —wF y dV/dx IH = — wH,
respectivamente, donde |wH I > IwF I (Fig.
7c).
Figura 7c. Diagrama de cuerpo libre y fuerza
cortante para la viga del ejemplo 2.Como la carga distribuida en la región
AB es triangular (varia con x), el
diagrama de fuerzas cortantes en este
región es parabólico (varía con x2). La
fuerza resultante total de la carga
distribuida es 𝟏
𝟐
(3 m)(2 kN/m) = 3 kN;
por lo tanto, la fuerza cortante interna
justamente a la izquierda del punto B es
—3 kN (Figura 7c).
Esto se deduce de la Ec. (2’); es decir,
el cambio en fuerza cortante (VB — 0) es
igual al área bajo el diagrama de carga
entre los puntos A y B.
Un diagrama de cuerpo libre del
segmento AB de la viga extendiéndose
justamente hacia la derecha de la fuerza -
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
concentrada en el punto B, Fig. 7d le,
revela que la fuerza cortante justo a la
derecha del apoyo B, debe ser cero,
para el equilibrio.
Figura 7d. Diagrama de cuerpo libre para el tramo
AB de la viga.
Como no actúa ninguna carga entre los
puntos B y C, dV/dx IBC = 0, y por
consiguiente, la fuerza cortante se
conserva constante (o cero) dentro de
esta región (Fig. 7c).
Figura 7c. Diagrama de cuerpo libre y fuerza
cortante para la viga del ejemplo 2.
Un diagrama de cuerpo libre para un
segmento de la viga extendiéndose
justamente hasta la derecha de la fuerza
concentrada en el punto C, Fig. 7e,
indica un cambio brusco en la fuerza
cortante hasta —1 kN.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Dentro de la región CDE de la viga la
fuerza cortante, otra vez permanece
constante, ya que no actúa en esa región
ninguna fuerza concentrada o ninguna
fuerza distribuida, Fig. 7b.
Figura 7e. Diagrama de cuerpo libre para el tramo
ABC de la viga.
Diagrama de momentos flexionantes. El
momento que actúa en el punto A del
diagrama de cuerpo libre de la viga es
cero, y por consiguiente, el diagrama de
momentos comienza en cero (Fig. 7f).
Figura 7f. Según la Ec. (3), la pendiente del
diagrama de momentos entre los puntos A y B se
vuelve crecientemente negativa, ya que la fuerza
cortante dentro de la región AB es crecientemente
negativa.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
La curva dentro de esta región varía con
x3. Como se indica en el diagrama de
cuerpo libre de la Fig. 7d, el momento in-
terno requerido para el equilibrio, que
actúa en el punto B es MB = —3 kN • m.
Como la fuerza cortante cambia
bruscamente desde un valor de —3 kN
hasta cero en el punto B, la pendiente
del diagrama de momentos en B sufre el
cambio brusco correspondiente.
La pendiente dentro de la región BC se
conserva con un valor constante de
dM/dx IBC = 0. Puede verificarse el
momento en el punto C aislando el
segmento ABC de la viga y
determinando el momento interno en C,
usando las ecuaciones de equilibrio;
véase Fig. 7e.
Figura 7e. Diagrama de cuerpo libre para el tramo
ABC de la viga.
Sin embargo, otro método para
determinar este momento interno
consiste en usar la Ec. (4’), en cuyo caso
el cambio en el momento entreB y Ces
MBC = (4 m)(0 kN) = 0 (el área bajo el
diagrama de fuerzas cortantes dentro de
la región BC). Por consiguiente, el
momento que actúa en C es:
MC = MB + MBC = —3 kN • m + 0 = —3
kN • m.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
El cambio brusco producido en el
diagrama de fuerzas cortantes en C
provoca el cambio de pendiente del
diagrama de momentos desde 0 hasta —
1 kN • m/m. Esta pendiente, igual que
la fuerza cortante, se conserva
constante hasta D, como se indica en el
diagrama de momentos (Fig. 7f).
Figura 7f. En el tramo BC de momentos, la
pendiente es cero, ya que cero es el valor del
cortante para el tramo en mención. En CD, la
pendiente es igual a -1 y es constante.
El momento interno que actúa a la
izquierda de D es MD = MC + MCD =
— 3 kN • m + (—1 kN)(2m) = —5 kN • m.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Figura 7g. Usando este valor, un diagrama de cuerpo
libre para un segmento de la viga alrededor del punto
D, indica que el momento interno que actúa a la
derecha del par concentrado de 7 kN • m debe ser
de + 2 kN • m para el equilibrio.
Por consiguiente, hay un cambio brusco
en el diagrama de momentos D, Fig. 7g.
El diagrama de momentos tiene una
pendiente constante de —1 kN • m/m
dentro de la región DE y llega a cero en
E. El momento debe ser cero en E, ya
que no hay momento en el diagrama de
cuerpo libre en este punto.
Figura 7g. En el tramo DE de momentos, la
pendiente es -1, ya que -1 es el valor del cortante
para el tramo en mención.
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Resp.:
| V|máx = 7.20 kN; 
| M|máx = 5.76 kN m.
Resp.:
b ) 9.00 kN.m, 
a 1.700 m de A .
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Resp.:
b ) 26.4 kN.m, 
a 2.05 m de A .
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
 Los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flectores muestran cómo
varían las fuerzas “V” y momentos
“M” de manera continuaen toda la
longitud de la viga.
 El grado de las ecuaciones de carga,
fuerza cortante y momento flector,
van aumentando de uno en uno.
 El diagrama de fuerzas cortantes solo
tendrá “saltos”, si hubieran cargas
concentradas en la viga.
 El diagrama de momentos flectores
solo tendrá “saltos”, si hubieran
pares en algunos puntos de la viga.
CONCLUSIONES
Ing. Marcos S. Cabrera Boy
Hibbeler R. (2010) Estática. 
12da ed.
Beer F., Jhonston R. & 
Cornwell P. (2010) Estática. 
9na ed.
 Meriam J. & Kraige L. (2002) 
Estática. 3era ed.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS