Segundo Parcial _C1-2021_- RESOLUCIÓN

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CÁLCULO I – SEGUNDO PARCIAL – 10/06/2021 
 
RESOLUCIÓN 
 
 
 
1)Calcular la pendiente 
��
�� para2� = �� + 
��	�(usar derivación implícita) 
Explicar porque la pendiente está definida para todo punto de la gráfica de la curva. 
 2� = �� + 
��	�entonces derivando 2�� = �� + ��
	� . �′ 2�� − ��
	� . �′ = �� ��(2 − ��
	�) = �� 
 
Despejando y’ 
�� = ��(2 − ��
	�) 
 ��
	� vale como máximo 1 y como mínimo -1; 
el denominador se anula para ��
	� = 2 valor que nunca puede tomar ��
	�, por lo 
tanto, la pendiente 
��
�� está definida para todo punto de la gráfica de la curva. 
 
 
 
 
 
2)Para la siguiente función�(�) = ���� − �� + 3completar lo solicitado en los espacios 
designados. 
Debe además incluir en el parcial, los cálculos realizados para obtener las conclusiones. 
 
� Punto/s de inflexión, las coordenadas son: 
 
Se obtienen los valores igualando a cero la derivada segunda:�′′(�) = ���� − 2 
 
Intervalo/s dónde �	es cóncava hacia abajo: 	
(−�5/3	, �5/3)=(-1,29;1,29) 
Se obtiene analizando el signo de la derivada segunda 
 
� Intervalo/s dónde f es cóncava hacia arriba (convexa): (−∞, −�5/3	) y (−∞, −�5/3	) 
� Se obtiene analizando el signo de la derivada segunda 
 
 
 
 
 
� = ±�5/3 . 
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RESOLUCIÓN 
 
 
 
3) Calcular el área de la regió�(�) = �� + 1y $(�) = 4�
 
Observamos que las funcion
Para poder calcular el área d
por lo tanto, conviene dibuja
notar que tienen puntos de 
intersecciones igualando las4� − 2	 = �� + 1 equivale a
Intersecciones son los punto
gráficas estamos en condicio
área pedida. 
En una primera parte (entre
y 3 la recta está por encima
AREA= & '(�� �� + 1) −
( (�� + 1 − 4�
�
)�*3 − 4
+13 − 2 + 3,
 
 
 
 
 
 
 
 
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región plana, limitada por las funciones: � − 2		
-	0 / � / 3 . Hacer un esquema de la 
ciones dadas corresponden a una parábola y una
ea debemos primero analizar en que posición es
ibujar. Aunque se haga un dibujo a mano alzada 
 de intersección, por lo que debemos determina
 las ecuaciones. 
ale a 0	 = �� − 4� + 3 Resolviendo obtenemo�� = 1	; �� = 3.		 
untos (1,2) y (3,10) con estos puntos sabiendo la
diciones de plantear la integral que nos permita 
ntre 0 y 1) la parábola está por arriba de la recta
ima de la parábola. 
− (4� − 2	)23� + & '(*� 4� − 2) − (�� +
4� + 2	) 3� + ( (4� − 2 − �� − 1)*
�
	3�
4 ��2 + 3�4�
�
+ )4 ��2 − 3� −
�*
3 4�
*
= 
, − 0 + (18 − 9 − 9) − +2 − 3 − 13, =
e la región. 
 una recta. 
n están las curvas, 
ada se puede 
inar esas 
emos 
o la forma de las 
ita calcular el 
ecta, pero entre 1 
+ 1	)23� = 
) 3� = 
, = 83 
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4) a) Si un objeto es desplaza
Fuerza 7(�)que varía de 
fuerza 
 
b)Un resorte tiene una long
el resorte ½ pulgada, deter
pulgadas. 
Por la ley de Hooke 7 = 8�
cuando 7 = 20	9-:;<
, ento
20 = 8 �� entonces 8 = 40 
De este modo la función fue
La longitud natural del reso
pulgadas, la extensión será d
= = ( 40*
�
 
 
5) Calcular las siguientes inte
&(3�> − �?� + 5)3� = 3& �
&(3�* �⁄ − 5)	√�3� =&(3
 
 
6) La base de un sólido está 
volumen del sólido si se sabe
 
Para el
perpen
donde 
este pr
verde d
9<3�
 
B = ( (1 − �*)�3��
�
= (
�
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plazado en línea recta desde x=a hasta x=b por la
 de forma continua, definir el TRABAJO realiz
longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 
eterminar el trabajo realizado al estirar el reso
8�, el dato del problema dice que se estira x
entonces reemplazando podemos determinar la
 
 fuerza variable es 7 = 40� 
resorte es de 8 pulgadas, luego si se desea e
erá de 3 pulgadas. Luego el trabajo es: 
( 40�3� = C20��|�* = 180	EF9$<3< − 9-:;< 
 integrales indefinidas. 
�> 3� − & �?� 3� + 5 & 1 3� = 3 �G� − �
HI
(?�) +
3�� − 5�I�)	3� = 3 & ��3� − 5 & �I�3� = 3 �J*
stá limitado por � = 1, � = 0, � = 1	�	� = �*. E
 sabe que las secciones perpendiculares al eje x s
el cálculo de área de este caso que son seccion
rpendiculares se debe emplear 
( B(�)3�K
L
 
nde B(�) corresponde al área de un cuadrado (h
e problema) cuya base es variable (ver rectangu
rde del esquema) á;�<	3�	F�	�F<3;<3� = <3�	�	9<3� = B(�) = (1 − �*)(1 − �*) 
( (1 − 2�* + ��)3��
�
= C� − 2 �>4 +
�N
7 P�
�
= 1
or la acción de una 
ealizado por dicha 
 de 20 libras estira 
 resorte de 8 a 11 
ira x=0,5 pulgadas 
r la constante k 
a estirar hasta 11 
+ 5� + Q 
J
* − 5 �*/�*/� + Q 
. Encontrar el 
e x son cuadrados. 
cciones 
(hipótesis de 
ngulito color 
1 − 12 +
1
7 =
9
14 
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7) Colocar Verdadero o Falso
columna. 
 
I)Sea f cierta función definid
pertenece al intervalo [a,b].
Si f �(c) = 0, entoncesf tiene
en x=c. 
II)Sea f cierta función definid
pertenece al intervalo [a,b].
 Si f tiene un mínimo relativo
III)Si f es una función cont
absoluto de la función en di
los extremos del intervalo, ó
donde f � no existe ó dónde 
iv) Sea f cierta función ta
derivada existe en un interva
Si f �′(c) = 0 entonces no se
tiene un máximo o un m
segunda. 
vi) Para calcular el volumen 
obtiene al hacer girar alrede
la gráfica de�(�) = √
��	�
avaluar la siguiente expresió
T ( √
��	�U� 		3� 
( $(�)	3�
�
� = 3,5 
 
Para los casos que haya indic
dar la expresión verdadera p
 
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Falso según corresponda para cada afirmación d
Verda
finida en un intervalo cerrado [a,b], y x=c 
,b]. 
tiene o un máximo o un mínimo relativo 
FALS
Podría
hubier
inflexi
finida en un intervalo cerrado [a,b] y x=c 
,b]. 
ativo en x=c, entonces f �(x) = 0. 
FALS
Podría
la func
deriva
embar
mínim
continua en [a,b], entonces el mínimo 
n dicho intervalo, debe estar en uno de 
lo, ó en un punto interior del intervalo, ó 
de f � es cero. 
VERD
 
n tal que f �(c) = 0, y cuya segunda 
tervalo abierto que contiene a c. 
o se puede decidir si la función en x=c 
 mínimo relativo, usando la derivada 
VERD
 
en del sólido de revolución que se 
rededor del eje x, la región limitada por 
� el eje x con 0 / � / T , se debe 
esión: 
FALS
 
T (
�
vii) Sea � = $(�) la función 
dibujada con trazo oscuro. El área 
A de la región de la figura es 2 
unidades, 	
& $(�)	3�� � = 5,5 entonces se 
cumple que: 
VERD
 
indicado Falso en el cuadro anterior, explicar po
ra para la afirmación. 
ón de la primera 
Verdadero/Falso 
FALSO 
dría ser que en x=c 
biera un punto de 
flexión. 
FALSO 
dría ser que en x=c 
 función no sea 
rivable, y sin 
bargo tiene un 
ínimo en ese punto. 
VERDADERO 
VERDADERO 
FALSO 
( W√
��	�X�U� 		3� 
VERDADERO 
r porqué es falso o