PRÁCTICO DE RECTAS EN EL ESPACIO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES 
 ALGEBRA Y ANALISIS GEOMÉTRICO 
 Práctico sobre: Rectas en el espacio- Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. 
Ejercicio N°1: Halla una representación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P y 
Q para cada uno de los siguientes casos: 
a)P=(-3,2,0) ; Q=(2 , , 1) b)P=(-1,1,4) ; Q=(0 , , 2) c)P=(1,0,1) ; Q=(0,-1,1) 
Ejercicio N°2: 
a) Halla las ecuaciones vectorial y paramétricas de la recta r que pasa por el punto 
 A(3, 2,1) y es paralela al vector 𝒗(1, 0,-2). 
b)Determina otro punto, de la recta anterior , que sea distinto del punto A. 
c)El punto de coordenadas (1, 2,-3) ¿pertenece a la recta r?, ¿por qué?. 
Ejercicio N°3: Analiza si alguno de los puntos P=(3,-2,0) , Q=(2 , , 1) , R=(-1,1,4) ; 
S=(0 , , -2) , T=(1,0,2) , U=(0,-1,1) ; pertenecen a la siguientes rectas: 
 r: (x, y, z) = (3, –4, 0) + λ(-3, 3, 1) 
 r: (x, y, z) = (3, –2, 0) + λ(2, –3, –2) 
 r: (x, y, z) = (-2, , 0) + λ(1, 0, –1) 
 𝑟:
𝑥 = −2 − 𝛿
𝑦 = 4 + 3𝛿
𝑧 = 5 + 𝛿
  
Ejercicio N°4: Encuentra la ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta 
que pasa por los puntos A(-3 , 2,1) y B(1 ,3, -1). 
Ejercicio N°5:Expresa las ecuaciones de la recta , en todas sus formas posibles, dado que : 
a) Pasa por el punto: P0 (1,-2,5) y tiene como vector de dirección: �⃗� = (3,1, −2) . 
b) Pasa por el punto: P0 (1,-2,5) y es perpendicular al vector �⃗� = (0, −1,1/2) . 
Ejercicio N°6: 
a) Comprobar que las rectas r: (x, y, z) = (3, –4, 0) + λ(2, –3, –2) y 
s: (x, y, z) = (–7, 1, 2) + µ(4, –1, 0) se cortan en un punto. 
b) Hallar las coordenadas del punto donde se cortan. 
 
Ejercicio N°7: 
a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-1,1) cuyo vector director 
sea perpendicular al de la recta : 
21
1
3
3 zyx




 
b) Analiza si las rectas del punto anterior son perpendiculares o alabeadas. 
 
Ejercicio N°8: Sean las rectas : 
3
1
3
2
3
1 



 zyx
 y 
3
1
43
1 

 zyx
 
 
a) Demuestra que se cruzan . 
b) Determina un vector director de la recta perpendicular común a las dos rectas . 
c) Escribe la ecuación de la recta perpendicular a cada una de ellas. 
Ejercicio N°9: Teniendo en cuenta la posición relativa de dos rectas, en el espacio, como 
se muestra en los gráficos siguientes: 
 
Determina la posición de las rectas cuyas ecuaciones son : 
a) 𝑟:
𝑥 = 2 − 3𝛿
𝑦 = 3 + 5𝛿
𝑧 = 𝛿
  𝛿 ∈ 𝑅 𝑠:
𝑥 = 1 − µ
𝑦 = 2µ
𝑧 = 5
  µ ∈ 𝑅 
 
b) 𝑟:
𝑥 = 2 − 3𝛿
𝑦 = 3 + 5𝛿
𝑧 = 𝛿
  𝛿 ∈ 𝑅 𝑠:
𝑥 = 1 − µ
𝑦 = µ
𝑧 = 5
  µ ∈ 𝑅 
c) 𝑟:
𝑥 = 2 − 5𝛿
𝑦 = 𝛿
𝑧 = 4 − 𝛿
  𝛿 ∈ 𝑅 𝑠:
𝑥 = 1 + 10µ
𝑦 = 4 − 2µ
𝑧 = 2µ
  µ ∈ 𝑅 
d) 𝑟:
𝑥 = 2 − 𝛿
𝑦 = 1 + 3𝛿
𝑧 = 1 + 𝛿
  y s:(x,y,z)=(0,1,-1)+µ(-2,6,2) 𝛿 ∈ 𝑅, µ ∈ 𝑅 
 
 
e) 𝑟: :(x,y,z)=(4,3,5)+µ(3,0,-6) y s: :(x,y,z)=(2,3,9)+λ(1,0,-2) 𝜆 ∈ 𝑅, µ ∈ 𝑅 
 
 
f) z
yx




2
1
3
2
 y 
1
3
1
2
3



 z
y
x
 
 
g) 𝑟:
𝑥 = 1 + 2𝛿
𝑦 = 3𝛿
𝑧 = 2𝛿
  y 𝑟:
𝑥 = µ
𝑦 = µ
𝑧 = 1 + 5µ
  𝛿 ∈ 𝑅, µ ∈ 𝑅 
 
Ejercicio N°10: 
Halla el valor de k para que las siguientes rectas se corten : 
2
1
32
1





 zkyx
 y 
32
3 kzy
x




 
 
Ejercicio N°11: Para cada uno de los siguientes casos: 
i) P=(2,3,1), 𝑢= (1,2,3), 
ii) P=(2,3,1), �⃗�= (-2,1,-5), 
iii)P=(2,1,7), �⃗�= (1,0,4), 
a)Determina una ecuación vectorial, una paramétrica de la recta que pasa por el punto P y 
es paralelo al vector 𝑢. 
b)Escribe tres puntos que pertenezcan a cada uno de ellas. 
c)Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a las correspondientes a 
i) e ii) . 
d) Encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta perpendicular a la correspondiente a 
iii) . ¿Es única?.Justifique su respuesta. 
e) Encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta paralela a la correspondiente a ii). 
¿Es única?.Justifique su respuesta. 
f) Encuentra las ecuaciones paramétricas de una recta que sea alabeada con respecto a la 
correspondiente a i). ¿Es única?.Justifique su respuesta.