Taylor

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POLINOMIOS DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE 
Teorema de Taylor: Dada una función 𝑓(𝑥) , si 𝑎 es un valor de su dominio tal que 
existen las derivadas sucesivas 𝑓(𝑎), 𝑓′(𝑎), 𝑓′′(𝑎),…, 𝑓(𝑛)(𝑎), entonces existe un único 
polinomio de grado menor o igual que 𝑛, al que denotaremos 𝑇𝑛,𝑎, cuyas derivadas en 
𝑎 coinciden con las de 𝑓 hasta el orden 𝑛, es decir 
𝑇𝑛,𝑎(𝑎) = 𝑓(𝑎), 𝑇𝑛,𝑎
′ (𝑎) = 𝑓′(𝑎), 𝑇𝑛,𝑎
′′ (𝑎) = 𝑓′′(𝑎), … , 𝑇𝑛,𝑎
(𝑛)(𝑎) = 𝑓(𝑛)(𝑎). 
Este polinomio es de la forma 
𝑇𝑛,𝑎(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓
′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)
2
(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛 
y se denomina polinomio de Taylor de orden 𝒏 de 𝒇 en 𝒙 = 𝒂 . 
En este caso, la función 𝑅𝑛,𝑎(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑇𝑛,𝑎(𝑥), que indica el error de aproximación 
en 𝑥, verifica que 
lim
𝑥→𝑎
𝑅𝑛,𝑎(𝑥)
(𝑥−𝑎)𝑛
= 0. 
Es más, si las derivadas 𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥), 𝑓′′(𝑥),…, 𝑓(𝑛+1)(𝑥), están definidas en un entorno 
de 𝑎, entonces para cada 𝑥 de dicho entorno existe un 𝑐 entre 𝑎 y 𝑥 tal que 
𝑅𝑛,𝑎(𝑥) =
𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛+1)!
(𝑥 − 𝑎)𝑛+1. 
Observe que si tomamos el polinomio de Taylor de orden 1, nos encontraremos con 
𝑇1,𝑎(𝑥) = 𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓
′(𝑎)(𝑥 − 𝑎), el cuál coincide con la recta tangente a 𝑓(𝑥) 
en el punto 𝑥 = 𝑎. La aproximación de la recta tangente 𝐿(𝑥)es la mejor aproximación 
de primer grado (lineal) a 𝑓(𝑥) cerca de 𝑥 = 𝑎. 
Ejemplo: Consideremos la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 y calculemos los correspondientes 
polinomios de Taylor de orden 1, 2 y 3 en el punto 𝑎 = 0. 
Vamos a necesitar: 
𝑓(0) = 1; 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 → 𝑓′(0) = 1; 
𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑥 → 𝑓′′(0) = 1; 
𝑓′′′(𝑥) = 𝑒𝑥 → 𝑓′′′(0) = 1. 
Polinomio de Taylor de orden 1: 
𝑇1,0(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓
′(0)(𝑥 − 0) = 1 + 1𝑥 → 𝑇1,0(𝑥) = 1 + 𝑥 
Polinomio de Taylor de orden 2: 
𝑇2,0(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓
′(0)(𝑥 − 0) +
𝑓′′(0)
2
(𝑥 − 0)2 = 1 + 1𝑥 +
1
2
 𝑥2 → 
 𝑇2,0(𝑥) = 1 + 𝑥 +
1
2
 𝑥2 
Polinomio de Taylor de orden 3: 
𝑇3,0(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓
′(0)(𝑥 − 0) +
𝑓′′(0)
2
(𝑥 − 0)2 +
𝑓′′′(0)
3!
(𝑥 − 0)3
= 1 + 1𝑥 +
1
2
 𝑥2 +
1
6
 𝑥3 → 
 𝑇3,0(𝑥) = 1 + 𝑥 +
1
2
 𝑥2 +
1
6
 𝑥3 
Con la intención de mostrar la utilidad de los polinomios de Taylor, sobre todo cuando 
tratamos con funciones más complicadas que la dada, supongamos que queremos 
encontrar en valor de la función, en 1, es decir 𝑓(1) = 𝑒. Este valor lo conocemos, es 
un número irracional, tiene infinitas cifras decimales no periódicas y es 
aproximadamente 𝑓(1) = 𝑒 ≅ 2,7182818285. Utilicemos los polinomios hallados y 
calculemos: 
𝑇1,0(1) = 1 + 1 = 2 
𝑇2,0(1) = 1 + 1 +
1
2
 12 = 2,5 
𝑇3,0(1) = 1 + 1 +
1
2
 12 +
1
6
 13 = 2, 6̂ 
Observe que el 1 está bastante lejano del 0, punto en el que hemos calculado el 
polinomio, y de ahí la falta de precisión en la aproximación. Haga lo mismo pero para 
aproximar 𝑓(0.1), notará, como dijimos antes, que el uso de los polinomios de Taylor 
son útiles para aproximar en las cercanías del punto. 
En la figura puede apreciarse gráficamente como mejora la aproximación a la función, 
en el punto 𝑥 = 1, a medida que el orden del polinomio de Taylor aumenta, lo mismo 
que vimos algebraicamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLINOMIOS DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES 
Similarmente a lo visto para funciones de una variable, tenemos una fórmula para 
hallar los polinomios de Taylor para funciones de dos variables, y así como 
encontramos la conexión del polinomio de orden 1 con la ecuación de la recta 
tangente, en este caso nos encontraremos con la ecuación del plano tangente, es decir 
la linealización, tratada en la sección 14.4. Es de esperarse que, al trabajar con 
funciones de varias variables, aparezcan sus derivadas parciales. (Solamente 
trabajaremos con aproximaciones de primer y segundo orden) 
Ejemplo: Hallemos los polinomios de Taylor de orden 1 y 2 para la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 en el punto (0,0). 
Vamos a necesitar: 
𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓(0,0) = 1 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 → 𝑓𝑥(0,0) = 1 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −𝑒
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 → 𝑓𝑦(0,0) = 0 
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦) = −𝑒
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 → 𝑓𝑥𝑦(0,0) = 0 
𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 → 𝑓𝑥𝑥(0,0) = 1 
𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = −𝑒
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 → 𝑓𝑦𝑦(0,0) = −1 
Polinomio de Taylor de orden 1: 
𝑇1(𝑥, 𝑦) = 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏) 
𝑇1(𝑥, 𝑦) = 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(0,0) + 𝑓𝑥(0,0)(𝑥 − 0) + 𝑓𝑦(0,0)(𝑦 − 0) = 1 + 1𝑥 + 0𝑦 
Polinomio de Taylor de orden 1 para funciones de dos variables: Dada una función de dos 
variables 𝑓(𝑥, 𝑦) , y si (𝑎, 𝑏) es un punto en el dominio de ella, en el cual las correspondientes 
derivadas parciales de primer orden existen, el polinomio de Taylor de orden 1 de 𝑓(𝑥, 𝑦) en 
el punto (𝑎, 𝑏) es 𝑇1(𝑥, 𝑦) = 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏). Este 
coincide con la linealización, es una aproximación mediante una función de dos variables, 
lineal. 
Polinomio de Taylor de orden 2 para funciones de dos variables: Dada una función de dos 
variables 𝑓(𝑥, 𝑦) , y si (𝑎, 𝑏) es un punto en el dominio de ella, en el cual las correspondientes 
derivadas parciales de segundo orden existen, el polinomio de Taylor de orden 2 de 𝑓(𝑥, 𝑦) en 
el punto (𝑎, 𝑏) es: 
 𝑇2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏) +
1
2
𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)
2 +
𝑓𝑥𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)(𝑦 − 𝑏) +
1
2
𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)
2 
Este, es una aproximación cuadrática de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto correspondiente. 
 
Entonces 𝑇1(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥. 
Polinomio de Taylor de orden 2: 
𝑇2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏) +
1
2
𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)
2
+ 𝑓𝑥𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)(𝑦 − 𝑏) +
1
2
𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)
2 
𝑇2(𝑥, 𝑦) = 𝑓(0,0) + 𝑓𝑥(0,0)(𝑥 − 0) + 𝑓𝑦(0,0)(𝑦 − 0) +
1
2
𝑓𝑥𝑥(0,0)(𝑥 − 0)
2
+ 𝑓𝑥𝑦(0,0)(𝑥 − 0)(𝑦 − 0) +
1
2
𝑓𝑦𝑦(0,0)(𝑦 − 0)
2 
𝑇2(𝑥, 𝑦) = 1 + 1𝑥 + 0𝑦 +
1
2
1𝑥2 + 0𝑥𝑦 +
1
2
(−1)𝑦2 
Entonces 
𝑇2(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥 +
1
2
𝑥2 −
1
2
𝑦2 
Aproximemos mediante la linealización y la aproximación cuadrática el valor de 
𝑓(0.2, 0.1) y comparémoslo con el valor real: 
𝑇1(0.2, 0.1) = 1 + 0.2 = 1.2 
𝑇2(0.2, 0.1) = 1 + 0.2 +
1
2
(0.2)2 −
1
2
(0.1)2 = 1.215 
𝑓(0.2, 0.1) = 𝑒0.2 cos(0.1) ≅ 1.2214008979 
Observamos, una vez más, como al aumentar el orden del polinomio la aproximación 
es mas precisa. 
 
EJERCICIOS 
Para cada caso hallar los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para la 
función y el punto que se dan: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) en el punto (𝑎, 𝑏) = (1, 𝜋 2⁄ ) 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦 en el punto (𝑎, 𝑏) = (0, 0) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦 en el punto (𝑎, 𝑏) = (0, 0) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 en el punto (𝑎, 𝑏) = (1, 1) 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥
2−𝑦2 en el punto (𝑎, 𝑏) = (0, 0)