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IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 1º 37 Si la has visto, te has preguntado, ¿por qué la mosca no se queda atrás? Acaso está agarrada o pegada del micro. Se supone que si está volando, está en el aire; pero de ninguna manera está en el micro. Caso curioso, ¿verdad? Trataremos de resolver esta incógnita con un sencillo ejemplo. Supongamos que pudiéramos sumergir el mismo micro en una laguna; o sea, en un lugar donde el agua esté detenida. Fácilmente podremos imaginarnos que el agua ingresará totalmente al micro; a menos que el micro esté herméticamente cerrado. También supongamos que un pececillo está nadando dentro del micro; o sea, el pez está como “atrapado” dentro de él. Entonces, si viniera una corriente de agua, la masa interior cambiaría muy poco, o cambiaría totalmente, pero en forma tan lenta, que el cambio ni se notaría, y el pez nadaría casi sin perturbación. Lo mismo sucede con el micro cuando está fuera de la laguna; con la diferencia que en vez de estar sumergido en agua, éste está sumergido en aire; y en vez de tener un pez nadando y “atrapando” en una masa de agua, éste tiene una mosca volando y “atrapada” en una masa de aire con poco movimiento; porque a pesar de que el micro se esté moviendo, esta masa de aire es casi estable; y su cambio, al igual que el agua, sería lento, y el micro siempre la llevará (a la masa de aire) como un objeto que viaja con él; a menos que las ventanas del micro estén totalmente abiertas y una gran corriente de aire ingrese al micro, cambiado rápidamente el aire interior. En conclusión, en condiciones normales, la mosca siempre volará normalmente en el micro en marcha como si estuviera en una casa o en un lugar en reposo. Sino, haz otra pequeña experiencia: agarra una caja cualquiera; llénala de humo y ciérrala; déjale pequeños orificios como ventanitas. Luego, corre con ella unos metros y después ábrela. Notarás que la caja todavía conserva un poco del humo que ingresaste; lo que indica que el aire interior ha cambiado poco o casi nada. Concluyo diciendo que quizás sea muy difícil que veas una mosca en un micro en movimiento; pero si la vez, observa lo que has leído. IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 1º 38 IInnttrroodduucccciióónn Durante muchos años, desde el origen comercial (trueques, pagos con dinero, etc), el hombre utilizó en forma práctica la comparación de cantidades respecto a otra cantidad fija; generalmente cuando realizaba préstamos o negocios en sus diversas formas. Veamos a continuación algunos ejemplos tomados del mundo cotidiano. Una campesina desea encargar sus 200 conejos a su mejor vecina para que los cuide durante los 6 meses que se irá a la capital, dando a cambio de su servicio 4 conejos cada 7 conejitos que nazcan ..... (el 4 por 7 : 4/7) (Este tipo de interés muy incipiente aún se mantiene todavía hasta la actualidad en diversos pueblitos muy alejados de la ciudad). Un mercader presta 100 monedas de oro con la condición de que se entregue 2 moneditas de plata por cada 20 días que transcurran, siendo el plazo del préstamo pactado en 120 días. (Hoy día este ejemplo se presenta a niveles bancarios y con diversas condiciones lo que prueba su evolución). A través de la historia han ido evolucionando estos conceptos del tanto por cuanto y han llegado a estandarizarse cuando la cantidad fija sobre la cual se compara es 100, por ser el más fácil de recordar, expresarlo y operarlo. Siendo común escuchar o leer expresiones como: ➢ El costo de vida aumenta en doce por ciento según el INEI, en el último trimestre. ➢ Los sueldos de los maestros sólo cubren el 30% de la canasta básica familiar. ➢ El estado aumento 2% el pago por concepto de seguro social a los maestros. ➢ La población se incrementó en 40% respecto a la del año 1980 Es por ello muy importante conocer esta parte de las matemáticas para comprender muchos aspectos de nuestra vida diaria, tanto en el comercio y la ciencia en general. En adelante desarrollaremos éste capítulo desde un principio, deduciendo cada aspecto teórico y reforzándolo con ejercicios resueltos y propuestos. IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 1º 39 EEll TTaannttoo ppoorr CCiieennttoo Ejemplo : Un comerciante de huevos agrupa sus productos de la siguiente manera: • 2 de cada 5 huevos son rosados • El 2 por 5 del total de huevos son rosados. • 2/5 del total de huevos son : Huevos Rosados Huevo blanco ¿Qué observamos en el siguiente gráfico? EL TANTO POR CIENTO Es un casa particular del tanto por cuanto, es decir que en este caso nuestro cuanto esta dado por el 100 lo que quiere decir que a la unidad lo dividimos en ________________ partes iguales. ¡SABIAS QUE! El 2 por 5 < > Lápiz con Borrador Lápiz sin Borrador * De cada _____________ lapices ______________ tienen borrador. * El _____________ por ____________ del total son lápices con borrador. * _____________ del total de lápices con ____________________ IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 1º 40 100 1 100 1 100 1 100 1 100 1 ......................................................... 100 1 100 1 100 1 El 5 por 100 < > 100 5 = 5% El 100 por 100 < > = El 25 por 100 < > = NOTA .- Un número cualquiera se puede expresar en tanto por ciento lo único que le hace es multiplicar el número por 100% Ejemplo : 5 2 5 2 x 100% < > 40% 8 1 8 1 x 100% < > 12,5% 4 1 4 1 x < > 10 7 2 1 5 3 EXPRESIÓN GENERAL Ejemplo : El 20% de 120 es: El 8% del 2% de 120 es : 120x 100 20 = 1200x 100 2x 100 8 = P% de N = .............................................. x N 100 Dividida en 100 partes < > 1 La palabra de, del, de los, quiere decir se va ha multiplicar Unidad < > 1 IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 1º 41 CCaassoo 11 Hallar los porcentajes de: 1. El 45% de 70 es = ..................................................................................................................................... 2. El 5% de 400 es = ..................................................................................................................................... 3. El 8% del 25% de 15000 = .................................................................................................................................... CCaassoo 22 Hallar los siguientes porcentajes: 1. Qué % de A es B Regla Práctica : =%100X B A Ejemplo : ¿Qué % de 50 es 15? ___ x 100% = 1. Decir si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a) El 2 por 7 = 2 7 ( ) b) El 5 por 7 = 7 5 ( ) c) 100%N = N ( ) d) 100% (a + b) = a – b ( ) e) 5 por ciento = 5% ( ) f) El 100% = 1 ( ) g) El 20% = 4 1 ( ) h) El 25% = 4 1 ( ) 2. Hallar los siguientes: El 20% de 1700 a) 340 b) 140 c) 240 d) 120 e) 440 3. El 25% del 50% de 120 000 a) 48 000 b) 15 000 c) 18 000 d) 36 000 e) 55 000 4. Hallar el 1% de 11 000 a) 130 b) 150 c) 170 d) 110 e) 180 5. ¿Qué % de 80 es 20? a) 40 b) 50 c) 25 d) 20 e) N.A. IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 1º 42 6. ¿Qué % de 400 es 100? a) 20 b) 15 c) 25 d) 30 e) 5 7. ¿Qué % de 1200 es 120? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 8. ¿Qué % de 1400 es 350? a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 9. Si compro un televisor a S/. 12 000 ylo quiero vender ganando el 20%. ¿A cuánto le debo vender? a) S/. 14 400 b) 12 200 c) 22 000 d) 1240 e) 14440 10. El precio de una casa es S/. 35 000 quiero venderlo ganando el 40%. ¿A cuánto debo vender la casa? a) S/. 59 000 b) 49 000 c) 54 000 d) 89 000 e) 29 000 11. Me deben el 15% de S/. 540 y me pagan S/.50. ¿Cuánto me deben todavía? a) 30 b)32 c) 33 d) 34 e) 31 12. Si al total de habitantes de una ciudad es 65200, después del terremoto fallecieron el 10%. ¿Cuántos habitantes quedaron vivos? a) 56800 b) 50000 c) 58600 d) 40000 e) 65800 13. Una empresa gana al año 30% del año anterior. Si el año anterior su ganancia fue S/.5400. ¿Cuánto ganó este año? a) 1720 b) 1820 c) 1520 d) 1620 e) 1710 14. Un artículo costó 25000, quiero ganar el 20%. ¿A cuánto lo debo vender?. a) 35 000 b) 30 000 c) 32 000 d) 28 000 e) 39 000 15. Un artículo se vendió en 9000 ganando el 80%. ¿Cuál fue el costo?. a) 3 000 b) 5 000 c) 6 000 d) 7 000 e) 4 500 Problema Llene los casilleros en blanco con: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; de tal manera que las operaciones horizontales y verticales sean correctas. Hallar: x + y – z + w x + =8 + . + 6 . - w =8 - - - y + z - =4 =8 =1 =1 IVB / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / 1º 43 1. Macar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) El 5 por 9 de 90 es 50 b) El 3 por 7 es 7 3 c) El 10% de 120 es 10 d) El 200% es 2 e) El (a2 + b2 )% es (a2 + b2 /100) f) El 15 por ciento es 3% g) El 100% es N 2. El 50 por ciento de 1400 es: a) 100 b) 140 c) 700 d) 1 400 e) 2 800 3. El 2% de 200 es: a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 6 4. El 35% del 5% de 72000 a) 1 260 b) 1 860 c) 1 740 d) 1 540 e) 1 600 5. El 2/3% de 1500 a) 1 b) 1/5 c) 10 d) 9 e) 7 6. Que % de 34 es 17 a) 20 b) 17 c) 50 d) 40 e) 60 7. Qué % de 72000 es 2400 a) 3,3 b) 3 c) 5 d) 33,3 e) 23 8. Qué % de 243 es 81 a) 30 b) 33,3 c) 36,6 d) 66,6 e) 50 9. José compró VHS por 2300, lo quiere vender ganando el 5%. ¿Cuánto será el precio de venta? a) S/. 26450 d) 26 440 b) 25 000 e) 25 084 c) 24 500 10. Me deben el 18% de 900 y me pagan S/.150. ¿Cuánto me deben todavía?. a) S/12 b) 10 c) 18 d) 15 e) 18 11. Tengo que pagar el 70% de 1500, pero sólo tengo S/900. ¿Cuánto me falta? a) S/. 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300 12. ¿Cuál fue el costo de un artículo que se vendió en 977,5 ganando el 25%?. a) 740 b) 782 c) 864 d) 966 e) 396 13. Un objeto a costado 6000. ¿A cómo se debe vender para ganar el 20% del precio de costo?. a) 7 200 b) 7 600 c) 8 400 d) 9 600 e) N.A. 14. En el proceso de venta de un artículo éste ha sufrido incrementos sucesivos del 10% y 20%. ¿Qué porcentaje del costo original se pagará?. a) 130 b) 138 c) 132 d) 146 e) 154 15. Para llevar a cabo una venta a sido necesario hacer dos descuentos sucesivos del 10% y del 20%. ¿Qué porcentaje del precio de venta se pagará?. a) 20 b) 38 c) 58 d) 72 e) 84
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