Factorizacion

Vista previa del material en texto

24 
Factorización 
 
 
 Factor común 
 
)cb(aacab +=+ 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 
2
ab30b10 − : 
 
( )22 ab3b10ab30b10 −=− Los términos son divisibles entre 10 
 ( )ab31b10 −= 
 
En el caso de las variables se toma como factor común las que se repiten en todos los términos y con 
el exponente más pequeño. Todos los factores comunes se pueden factorizar en un paso. 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar, si es posible 
34233323
yxn3ynx12ynx9xy6 −+− : 
 
( )322334233323 xnnx4nx32xy3yxn3ynx12ynx9xy6 −+−=−+−
 
En este caso el factor común es 3xy3 . Si tu multiplicas el factor común por cada uno de los términos 
que están dentro del paréntesis obtendrás como resultado la expresión original. 
 
Ejemplo 3: 
Factorizar, si es posible 
15
yx
21
yx2
12
yx
647354
−−− : 
Por partes: 
 








++−=−−−
15
yx
21
yx2
12
yx
15
yx
21
yx2
12
yx
647354647354
 
Cuando todos son negativos un factor común es -1 
 
 
 







++−=
5
xy
7
y2
4
x
3
yx
253
 Ojo: No te olvides del signo. 
 
 
En las fracciones se tiene que obtener el factor común de los numeradores y de los denominadores. 
 
 
 25 
Ejemplo 4: 
Factorizar, si es posible ( ) ( )22 1x2x81x2x4 −−− 
 
El factor común también puede ser una expresión entre paréntesis siempre y cuando se repita en todos 
los términos. El factor común en este caso es 4x(2x-1). 
 
( ) ( ) ( ) 1x22x)1x2(x41x2x81x2x4 22 −−−=−−− 
  2x4x)1x2(x4 +−−= Simplificando 
 ( )x32)1x2(x4 −−= 
 
Ejercicios 
 
Encuentra el factor común y factoriza las siguientes expresiones: 
 
1. 8n8 + = 
 
 
2. 5x13 + = 
 
 
3. 2xy3x + = 
 
 
4. xy10yx5 32 − = 
 
 
5. 
323
cb14ab2 −− = 
 
 
6. 612x16
2 −− = 
 
 
7. xy5y5x6 ++ = 
 
 
8. 8yx4zxy16
32 −+ = 
 
 
9. 
538
x4x3x5 +− = 
 
 
10. p12p18p20
23 +− = 
 
 
11. 
345
x3x9x7 +− = 
 
 
12. y3y9y24
315 +− = 
 
 
13. xy33xy16yx48
22 ++ = 
 
 
14. 
226353
zxy9zy28zy14 −− = 
 
 
 26 
15. yx4x8x24 346 −+ = 
 
 
16. 9857394 zy35zyx21yx7 −− = 
 
 
17. 226353 zxy9zy28zy14 −− = 
 
 
18. 222222222 ycaxcacba +− = 
 
 
19. 3223232 ym220xnm110xnm55 −+ = 
 
 
20. xa124yxa62yxa93 223223 −− = 
 
 
21. 3422 xy64xy16yx40 ++ = 
 
 
22. yzx9zyx36zxy36 22332 ++ = 
 
 
23. 33524 yx18yx15yx3 −+− = 
 
 
24. abc25cba15cba5
210242 +− = 
 
 
25. 256676 yx9yx12yx18 −+ = 
 
 
26. yx4zyx8zyx40 322642 −+ = 
 
 
27.
40
ba3
24
ba
32
ba
576635
+− = 
 
 
28. 
432
xxxx −+− = 
 
 
29. 
2346
a4a8a3a −+− = 
 
 
30. 
691215
x3x2xx −+− = 
 
 
31. 
2242233
zy9yx3xyz6yx2 −−+ = 
 
 
32. 
40263734
ba70ba150ba50ba35 +−+− = 
 
 
33. 
2357
x5x15x10x25 −+− = 
 
 
34. 
3232
ab24ba15ab12a9 −+− = 
 
 
 27 
35. 3224223 yx40yx24yx8yx16 −−− = 
 
 
36. 4534232 nm48nm36nm24nm12 +−+ = 
 
 
37. 
2332232
abc200cab50cab150cba100 −+− = 
 
 
38. ( ) ( )2x32xx +++ = 
 
 
39. ( ) ( )3x413x4x7 −−− = 
 
 
40. ( ) 1x21x2x4 +++ = 
 
 
41. ( ) ( )1x211x2x4 2 +++ = 
 
 
42. ( ) ( )3x33xx5 2 +−+ = 
 
 
43. ( ) ( )67 3r233r2p4 −−− = 
 
 
44. ( ) ( ) ( )7x2x27x2x47x2x6 235 +−+++ 
 
 
45. ( ) ( ) ( )5x25x2x25x2x6 23 +−+−+ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
Factorización 
 
 
Diferencia de cuadrados 
 
))((22 bababa +−=− 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 1x
2 − : 
 
 
 ( )( )1x1x1x2 −+=− No importa el orden de los paréntesis 
 
 
La raíz cuadrada de 2x es x y la de 1 es 1, estos valores sustitúyelos en los binomios conjugados 
)ba)(ba( ++ . 
 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar, si es posible 
22
b12a3 − : 
 
 ( )2222 b4a3b12a3 −=− Encuentra el factor común 
 ( )( )b2ab2a3 −+= Aplica la diferencia de cuadrados 
 
 
 
 
Ejemplo 3: 
Factorizar, si es posible ( )1x + : 
 
 ( )( )1x1x1x 224 −+=−  Hay otra diferencia de cuadrados 
 ( )( )( )1x1x1x1x 24 −++=− Factorizado completamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Ejercicios 
 
Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 
 
1. 4a 2 − = 
 
 
2. 2b9− = 
 
 
3. 2m41 − = 
 
 
4. 2n16− = 
 
 
5. 25a 2 − = 
 
 
6. 2y1− = 
 
 
7. 81x 2 − = 
 
 
8. 92 +x = 
 
 
9. 
2
x16 − = 
 
 
10. 
2
x41 − = 
 
 
11. 
2
x3625− = 
 
 
12. 9a4 2 − = 
 
 
13. 22 yx − = 
 
 
14. 
22
b9a16 + = 
 
 
15. 
22
y36x − = 
 
 
16. 
4
y1625− = 
 
 
17. 
4
x3625− = 
 
 
18. 
42
y81x4 − = 
 
 
19. 
24
b16a81 − = 
 
 
30 
20. 2a9
4
1
− = 
 
 
21. 
25
a
1
2
− = 
 
 
22. 
49
x4
16
1
2
− = 
 
 
23. 
49
y
36
x
22
− = 
 
 
24. 
25
x
36
a
62
− = 
 
 
25. 44 b4a − = 
 
 
26. 
1210
b49a − = 
 
 
27. 1x361
14 − = 
 
 
28. 1yx 22 − = 
 
 
29. 62 yx100− = 
 
 
30. 
22
ba491− = 
 
 
31. 
22
yx6449− = 
 
 
32. 121yx25 42 − = 
 
 
33. 
282
cba − = 
 
 
34. 
642
y169nm100 − = 
 
 
35. 
1242
z225yx196 − = 
 
 
36. 
10412
mb289a256 − = 
 
31 
37. 
81
zy
100
x
422
− = 
 
 
38. 23 mn5m45 − = 
 
 
39. 42 z3w147 − = 
 
 
40. 35 xx − = 
 
 
41. 222 yx50x8 − = 
 
 
42. 222 x4yx9 − = 
 
 
43. 144nma 642 − = 
 
 
44. 
8642
dcba91− = 
 
 
45. ( )2yx25 +− = 
 
 
46. ( ) 16yx 2 −+ = 
 
 
47. ( )22 2b3a +− = 
 
 
48. ( ) ( )22 dcyx +−− = 
 
 
49. 44 yx − = 
 
 
50. 16x
4 − = 
 
 
51. 81n
4 − = 
 
 
52. 84 y32x2 − = 
 
 
 
 
 
 
 32 
Factorización 
 
 
Suma o diferencia de cubos 
 
)baba)(ba(ba
2233 ++−=− 
 
)baba)(ba(ba
2233 +−+=+ 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 8x
3 − : 
 
La raíz cúbica de 3x es x y la de 8 es 2, por lo tanto: 
 
 
 ( )( )223 2x2x2x8x ++−=− Ojo con los signos!! 
 ( )( )4x2x2x 2 ++−= 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar, si es posible 
364
xy4wx108 + : 
 
 ( )363364 ywx27x4xy4wx108 +=+ 
 ( )( ) ( )( ) 22222 yyxw3xw3yxw3x4 +−+= 
 ( ) 22422 yyxw3wx9yxw3x4 +−+= 
 
Recuerda que primero debes encontrar el factor común, y después tratar de aplicar alguna de las 
técnicas de factorización. 
Para encontrar la raíz cúbica de una variable hay que dividir el exponente entre 3, como 
23 6 ww = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
Ejemplo 3: 
Factorizar, si es posible 66 yx64 − : 
 
 ( )( ) ( ) 222222266 yyx4x4yx4yx64 ++−=− 
 ( )( )422422 yyx4x16yx4 ++−= diferencia de cuadrados. 
 ( )( )( )4224 yyx4x16yx2yx2 ++−+= 
 
Se deben factorizar completamente todas las expresiones aunque sea con diferentes técnicas y no hay 
que olvidar los factores en la respuesta final. 
 
 
Ejercicios: Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 
 
1. 1y 3 + = 
 
 
2. 27x 3 − = 
 
 
3. 125a 3 − = 
 
 
4. 64x 3 − = 
 
 
5. 
3
x81− = 
 
 
6.
3
m2161− = 
 
 
7. 
3
n3431+ = 
 
 
8. 1x1000
3 − = 
 
 
9.
3
y827 − = 
 
 
10. 729a64
3 − = 
 
 
11. 
33
yx − = 
 
 
12.
33
yx + = 
 
 
13. 
96
nm − = 
 
 
14. 
33
ba271− = 
 
 
15.
96
xy + = 
 34 
16. 66 bm + = 
 
 
17. 39 nm64 − = 
 
 
18. 63 b27a8 + = 
 
 
19. 9a27512 + = 
 
 
20. 126 y8x − = 
 
 
21. 6x7291+ = 
 
 
22. 
93
n64m27 + = 
 
 
23. 63 y512x343 + = 
 
 
24. 126 b125a + = 
 
 
25. 1212 yx + = 
 
 
26. 
12
a
125
1+ = 
 
 
27. 
1000
b
a
3
3 − = 
 
 
28. 33 y
64
1
x
27
8
+ = 
 
 
29. cb125a34333 + = 
 
 
30. 
333
c8ba − = 
 
 
31. 
3663
ba27yx + = 
 
 
32. 
633
xba − = 
 
 
33. 
963
y216yx − = 
 
 
34. 1xba
333 + = 
 
 
 35 
35. 33 y2x16 + = 
 
 
36. 4aa64 + = 
 
 
37. 963 y216yx − = 
 
 
38. 94 wn128w54 + = 
 
 
39. 67 ab7a7 + = 
 
 
40. 33 y40x5 + = 
 
 
41. 33 y625x5 − =. 
 
 
42. 
33
b40a15 + = 
 
 
43. n16n2 4 − = 
 
 
44. 33 y40x5 + = 
 
 
45. 34 xy240x3 − = 
 
 
46. 36 x250y16 − = 
 
 
47. 2956 zy625zx40 + = 
 
 
48. 66 yx − = 
 
 
49.
99
yx + = 
 
 
50. ( )3yx1 +− = 
 
 
51. ( ) ( )33 baba8 −++ = 
 
 
52. ( ) 27yx 3 −− = 
 
 
 
 
 36 
Factorzación 
 
 
Trinomio cuadrado perfecto 
 
222
)ba(bab2a +=++ 
 
222
)ba(bab2a −=+− 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 9x6x
2 +− : 
 
Primero hay que verificar la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, la raíz cuadrada de 
2
x es x y la de 
9 es 3, el término medio debe ser el doble producto de estas raíces: 6x. 
El signo que va adentro del paréntesis de la factorización corresponde al signo medio del trinomio. Por lo 
tanto: 
 
( )22 3x9x6x −=+− 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar, si es posible
22
y25xy80x64 −−− : 
 
 ( )2222 y25xy80x64y25xy80x64 ++−=−−− Sacar factor común 
 ( )2y5x8 +−= 
 
 
 
Ejemplo 3: 
Factorizar, si es posible
224
y20yx30x45 +− : 
 
 ( )224224 y4yx6x95y20yx30x45 +−=+− 
 
Primero se encuentra el factor común que es 5, después verificar si la expresión en el paréntesis es trinomio 
cuadrado perfecto: y2y4,x3x9
224 == , el doble producto = yx12
2
, como no corresponde con el 
término medio, entonces ya no se puede factorizar más. 
 
 
 
 
 
 37 
Ejercicios 
 
Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 
 
1. 1x2x 2 +− = 
 
 
2. 25x10x 2 ++ = 
 
 
3. 16y8y 2 +− = 
 
 
4. 4x4x 2 ++ = 
 
 
5. 36a12a 2 +− = 
 
 
6. 2tt1025 +− = 
 
 
7. 1x6x9 2 ++ = 
 
 
8. 1y10y25 2 +− = 
 
 
9. 1 + 49 a2 – 14 a = 
 
 
10. 4x12x9
2 ++ = 
 
 
11. 49x56x16
2 +− = 
 
 
12. 
22
zyz6y9 ++ = 
 
 
13. 
22
yxy4x4 +− = 
 
 
14. 
22
v16uv8u ++ = 
 
 
15. 22 y25xy60x36 ++ = 
 
 
16. 22 y16xy56x49 +− = 
 
 
17. 
22
y25xy40x16 ++ = 
 
 
18. 
22
y4xy12x9 +− = 
 
 
19. 36 + 12m2 + m4 = 
 
 
 38 
20. 1 + a10 – 2a5 = 
 
 
21. 36a12a 24 ++ = 
 
 
22. 81a18a 48 ++ = 
 
 
23. 1x40x400 510 ++ = 
 
 
24. 16 + 40 x2 + 25 x4 = 
 
 
25. 121 + 198x6 + 81 x12 = 
 
 
26. 4ab20ba25 22 +− = 
 
 
27. 422 a25ba30b9 +− = 
 
 
28. 
42
x169x10416 +− = 
 
 
29. 242 yx49yx141 ++ = 
 
 
30. 
44222
xm144xam24a +− = 
 
 
31. 
42236
na25nam70m49 +− = 
 
 
32. 12865410 ya9yxa60x100 +− = 
 
 
33. 75x302x3 ++ = 
 
 
34. 98x28x2 2 +− = 
 
 
35. 48y24y3
2 +− = 
 
 
36. 1 – 2a3 + a6 = 
 
 
37. 
4224
bba2a +− = 
 
 
38. 
6336
bba2a +− = 
 
 
39. ( ) ( ) 1yx2yx 2 ++++ = 
 
 
40. ( m – n ) 2 + 6 ( m – n ) + 9 = 
 
 
41. ( a + x ) 2 – 2 ( a + x ) ( x + y ) + ( x + y )2 
39 
Factorización 
 
 
 
Trinomio de la forma x2 + bx + c (coeficiente igual a uno) 
 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 12x7x
2 ++ : 
 
Cuando se tiene un trinomio de segundo grado y una variable el primer término de cada paréntesis es la raíz 
cuadrada del término al cuadrado xx
2 = . 
 
( )( )xx12x7x2 =++ 
 
Ahora hay que buscar dos números enteros que con sus respectivos signos, sumados den como 
resultado el término medio y multiplicados den como resultado el último término: 
 
743 =+ 1243 = 
 
Hay que sustituir estos números en el paréntesis, por lo tanto: 
 
( )( )4x3x12x7x2 ++=++ 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar, si es posible 28x3x
2 −+ : 
 
( )( )xx28x3x2 =−+ 
 
Ahora hay que buscar dos números enteros que con sus respectivos signos, sumados den como 
resultado el término medio y multiplicados den como resultado el último término: 
 
374 =+− 2874 −=− Ojo con los signos!! 
Por lo tanto: 
 
( )( )4x7x28x3x2 −+=−+ 
 
 
 
 
40 
Ejemplo 3: 
 
Factorizar, si es posible 18yy11
42 ++− : 
 
Primero hay que acomodarlo en orden descendente: 18y11y 24 +− 
 
El primer término de cada factor es 
24
yy = por lo tanto: 
 
 ( )( )2y9y18y11y 2224 −−=+− Factorizar nuevamente 
 ( )( )( )2y3y3y 2 −−+= 
 
 
Ejercicios 
Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas: 
 
1. 10x7x 2 ++ = 
 
 
2. 3a4a2 ++ = 
 
 
3. 8x9x
2 +− = 
 
 
4. 11m12m
2 +− = 
 
 
5. 30yy 2 −+ = 
 
 
6. 35a2a
2 −− = 
 
 
7. 14c13c
2 −− = 
 
 
8. 6x7x
2 ++ = 
 
 
9. 6xx
2 −− = 
 
 
10. 45a18a
2 +− = 
 
 
11. 15y9y
2 +− = 
 
 
12. 20y9y
2 +− = 
 
 
13. 24c5c
2 −+ = 
 
 
14. 2x3x
2 +− = 
41 
15. 2nn812 +− = 
 
16. 21x10x 2 ++ = 
 
 
17. 18a7a 2 −+ = 
 
 
18. 16n6n 2 −+ = 
 
 
19. 36x5x 2 −− = 
 
 
20. 30m13m 2 −+ = 
 
 
21. 22 b18ab11a +− = 
 
 
22. 22 y45xy12x −− = 
 
 
23. 22 n56mnm −+ = 
 
 
24. 
22
d28cd11c ++ = 
 
 
25. 
2
xx45 −+ = 
 
 
26. 
2
nn514 −+ = 
 
 
27. 2yy30 −+ = 
 
 
28. 6x5x
2 −+− = 
 
 
29. 10x3x
2 +−− = 
 
 
30. 3a4a
2 −−− = 
 
 
31. a11a28
2 +− = 
 
 
32. 
2
yy215 −+ = 
 
 
33. 
22
xax4a21 −+ = 
 
 
34. 6xx
24 −+ = 
 
 
35. 6x5x
24 ++ = 
42 
 
36. 30y7y 24 −− = 
 
 
37. 20xx 510 −+ = 
 
 
38. 224 a60ax7x −+ = 
 
 
39. 240xx 48 −+ = 
 
 
40. 16x18x2 2 +− = 
 
 
41. 10x5x5 2 −+ = 
 
 
42. 45x36x9
2 −− = 
 
 
43. a6ax5ax2 ++ = 
 
 
44. xxx 2012 23 +− = 
 
 
45. 15ab8ba
22 +− = 
 
 
46. 99ba2ba
2244 −− = 
 
 
47. 132yxyx 2244 −+ = 
 
 
48. ( ) ( ) ( )3x23xx33xx2 +++++ = 
 
 
49. ( ) ( ) 24nm5nm 2 −−+− = 
 
 
 
 
 
 43 
 
Factorización 
 
 
Polinomio Cubo Perfecto 
 
33223 )(33 bababbaa +=+++ 
 
33223 )(33 bababbaa −=−+− 
 
 
Ejemplo 1: 
Hallar si 16128 23 +++ xxx es el cubo de un binomio 
 Veamos si cumple las condiciones 
 
 La raíz cúbica de 8x3 es 2x 
 La raíz cúbica de 1 es 1 
 3 (2x)2 = 12x2, segundo término 
 3(2x)(1)2 , tercer término 
 
 Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos la expresión dada es el cubo 
de (2x+1), o de otro modo, (2x-1) es la raíz cúbica de la expresión dada. 
 
 16128 23 +++ xxx = (2x-1)3 
 
Ejemplo 2: 
Hallar si 349626 3627548 yxyyxx −−+ es el cubo de un binomio. 
 Ordenando la expresión, se tiene: 962346 2754368 yyxyxx −+− 
 
 La raíz cúbica de 
68x es 
22x 
 La raíz cúbica de 
927 y− es 
33y 
 La expresión tiene cuatro términos 3(2x2)2(3y3) = 
3436 yx , segundo término 
 3(2x2) (3y3) 2 = 
6254 yx , tercer término 
 
 y como los términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo 
de (
22x -
33y ), es decir: 
349626 3627548 yxyyxx −−+ = (
22x -
33y )3 
 
 
Ejemplo 3: 
Factorizar 
32 6448121 aaa +++ : 
 
Aplicando el procedimiento anterior veamos que esta expresión es el cubo de (1+4a); luego: 
32 6448121 aaa +++ = (1+4a)3 
 44 
 
 
 
Ejemplo 4: 
Factorizar 15103569 21610818 bbabaa −+− 
 
Aplicando el procedimiento anterior, vemos que esta expresión es el cubo de (a3-6b5); luego: 
15103569 21610818 bbabaa −+− = (a3-6b5)3 
 
 
Ejercicios 
 
Factoriza las siguientes expresiones ordenándolas previamente 
 
1. 133
23 +++ aaa = 
 
 
2. 3292727xxx −+− 
 
 
3. 3223 33 nmnnmm +++ = 
 
 
4. 32 331 aaa −−+ = 
 
 
5. 
642 6128 aaa +++ = 
 
 
6. xxx 15751125
23 +++ = 
 
 
7. 
3223 2754368 babbaa −+− = 
 
 
8. 
3223 6414410827 nmnnmm +++ = 
 
 
9. 133
23 ++− xxx = 
 
 
10. 
332 86121 baabba −−+ = 
 
 
11. 
3223 86150125 babbaa +++ = 
 
 
12. 
32 2754368 xxx +++ = 
 
 
13. 
642 6128 aaa −−− = 
 
 
14. 
962346 33 bbabaa +++ = 
 
 
15. 
1283469 27279 yyxyxx −+− = 
 
 
 45 
 
16. 3223 12530024064 yxyyxx +++ = 
 
 
17. 642 343882756216 aaa −+− = 
 
 
18. 151045812 512960600125 yyxyxx +++ = 
 
 
19. 18612 313 aaa +++ = 
 
 
20. 332223 33 namnanamm −+− = 
 
 
21. 966432 21610818a1 babab +++ = 
 
 
22. 8346129 30024012564 yxyxyx +−− = 
 
 
 
 46 
 
Factorización 
 
 
 
Agrupación 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 15x5x3x
23 +−− : 
 
 ( ) ( )15x5x3x15x5x3x 2323 +−+−=+−− Agrupar de dos en dos 
 ( ) ( )3x53xx2 +−+−= Sacar factor común de cada uno 
 ( ) ( )3x53xx2 −−−= Sacar el signo para que queden iguales 
 ( )( )3x5x 2 −−= Resultado de sacar factor común (x -3) 
 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar, si es posible b4ay3a6bx2by2ax3 ++−−− : 
En este caso son seis términos por lo que podrías intentar agrupar tres y tres términos. En algunas 
ocasiones es conveniente reordenar los términos para agrupar, en este caso puedes poner los 
términos que sean múltiplos: 
 
b4bx2by2ay3a6ax3b4ay3a6bx2by2ax3 +−−+−=++−−− 
 Agrupa ( ) ( )b4bx2by2ay3a6ax3 +−−++−= 
 Saca factor común ( ) ( )2xyb2y2xa3 −+−+−= 
 Reordena los términos ( ) ( )2xyb22xya3 −+−−+= 
 
 Saca factor común ( )( )2xyb2a3 −+−= 
 
 
Ejemplo 3: 
Factorizar, si es posible 
22
w16x8x −++ : 
 
Intenta factorizar la expresión igual que las anteriores. ¿Pudiste factorizarla? 
En algunas ocasiones no podrás factorizar expresiones sacando factor común , en este ejemplo se pueden 
agrupar los tres primeros términos: 
 
( ) 2222 w16x8xw16x8x −++=−++ 
 
Ahora en lugar de sacar factor común hay que factorizar utilizando la técnica del trinomio cuadrado 
perfecto. 
 
 
 47 
 
 
 ( ) 2222 w4xw16x8x −+=−++ Es una diferencia de cuadrados 
 ( )  ( ) w4xw4x −+++= 
 ( )( )w4xw4x −+++= 
Ejemplo 4: 
Factorizar, si es posible 1x3x3x
23 +++ : 
 
 x3x31x1x3x3x 2323 +++=+++ Reordenar los términos 
 ( ) ( )x3x31x 23 +++= Agrupar términos 
 El primer paréntesis es una suma de cubos ( ) ( )1xx31x3 +++= factor común 
 
 ( )( ) ( )1xx31xx1x 2 +++−+= Factorización 
 ( )( )x31xx1x 2 ++−+= Factor común (x + 1) 
 ( )( )1x2x1x 2 +++= Simplificando 
 Aplicando la técnica de trinomio cuadrado perfecto → ( )( )21x1x ++= 
 Aplicar leyes de exponentes 
 ( )31x += Resultado final 
 
Ejercicios 
Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas. 
 
1. 2xx2x
23 +++ = 
 
 
2. 3yy3y 23 −+− = 
 
 
3. 3x2x6x4
23 +++ = 
 
 
4. 1x3x2x6
23 −+− = 
 
 
5. 2yy8y4
23 +++ = 
 
 
6. 3a2a3a2
23 +++ = 
 
 
7. 3xx12x3
224 +++ = 
 
 
8. 3y2y9y6
224 +++ = 
 
 
9. 3yy12y4
224 +++ = 
 
 
10. 4a2a6a3
224 +−− = 
 
 
 48 
 
11. bd10ad12b5a6 −+− = 
 
 
12. yz3zx3yx 22 +−− = 
 
 
13. bxaxaba 2 +++ = 
 
 
14. bnanbmam −+− = 
 
 
15. by4ay2bx2ax +−− = 
 
 
16. 222222 by3yabx3xa −+− = 
 
 
17. 44 mx3nx2n2m3 +−− = 
 
 
18. xaxax 222 −+− = 
 
 
19. a4a1a4
23 +−− = 
 
 
20. 222 yxyxx −−+ = 
 
 
21. aby3x2y2abx3 222 +−− = 
 
 
22. ax6xb2ba3
22 −+− = 
 
 
23. amx3bm3ba4xa4
23 −+− = 
 
 
24. x21a3ax6 +++ = 
 
 
25. a3xax9x3
23 +−− = 
 
 
26. bx6by15ya5xa2
22 −+− = 
 
 
27. 
32222
xyzyxz2yx2 +++ = 
 
 
28. 
22
yyxx −++ = 
 
 
29. y2xy4x
22 ++− = 
 
 
30. 1a3ax3x
2 −+− = 
 
 
31. 
22
y1x2x −+− = 
 
 
 49 
 
32. a9yxy2x 22 −+− = 
 
 
33. 222 xbx2ba4 −+− = 
 
 
34. 222 c16bab2a −++ = 
 
 
35. 4yxy6x9 22 −+− = 
 
 
36. 1a3a3a 246 −+− = 
 
 
37. 23 m12m6m81 +++ = 
 
 
38. 524363 yx6xy12y8yx −+− = 
 
 
39. 
323
a1x3x3x −+++ = 
 
 
40. 4y4y9x6x 22 −+−++ = 
 
 
41. 222223 xy6ny3nzxz2nxx2 +−−+− 
 
 
42. 
yx3ax2xy3ay2axy2x3
22223 −−−++ = 
 
 
43. 
xn3xba3xnxbanba
43224232432 +−−+− = 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Factorización 
 
 
 
Trinomios de la forma ax2+bx+c (coeficiente diferente a uno) 
 
 
 
 
Por el método de agrupación 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 1x5x4
2 +− : 
Primero hay que acomodar el trinomio en la forma cbxax
2 ++ , después distinguir quienes son a, b y c: 
a = 4 b = - 5 c = 1 
 
Multiplicamos a por c : 414 = 
Buscamos dos números que multiplicados den ac = 4 y sumados sean b = -5: 
 
( ) ( ) 414 =−− ( ) 514 −=−+− 
 
Sustituimos el término medio por los dos factores que encontramos (con todo y variable): 
1xx4x4
2 +−− 
y ahora resolvemos por agrupación: 
 
( ) ( )1xx4x41xx4x4 22 +−+−=+−− 
 ( ) ( )1x11xx4 −−−= 
 ( )( )1x1x4 −−= 
 
Ejemplo 2: 
Factorizar, si es posible 
22
y4xy2x12 −− : 
 
Primero sacamos factor común: 
 
( )2222 y2xyx62y4xy2x12 −−=−− 
Buscamos ac y b: 
( )26ac −= 1b −= 
 12−= 
 
Dos números que multiplicados den -12 y sumados -1: 
 
1234 =− 134 −=+− 
 
 
51 
Seguimos el procedimiento anterior: 
 
( )2222 y2xy3xy4x62y4xy2x12 −+−=−− 
 ( ) ( ) 22 y2xy3xy4x62 −+−= 
 ( ) ( ) y2x3yy2x3x22 −+−= 
 ( )( )y2x3yx22 −+= 
 
 
Método de prueba y error 
 
Ejemplo 1: 
Factorizar, si es posible 10x13x3
2 +− : 
 
Buscar todos los factores que multiplicados nos den el primer término, que en este caso es 3. Los 
únicos factores son 3 y 1. Abrimos paréntesis y escribimos en cada uno como primer término estos 
números con todo y variable: 
 
( )( )xx310x13x3 2 =+− 
 
Como segundo término tendremos dos factores que multiplicados nos den el término independiente, en este 
caso 10, tenemos que considerar también los signos del trinomio. 
Como el término medio es negativo y el último es positivo los dos factores tienen que ser negativos. 
Listade factores: 
 
( ) 1052 =−− ( ) 10101 =−− 
 
Escogemos los primeros factores: 
 
( )( )5x2x310x13x3 2 −−=+− 
 
Ahora verificamos si la factorización es correcta: 
 
 
 
 
( )( )5x2x3 −− 
 
 
 
Sumamos estos productos: ( ) x17x2x15 −=−+− Este número debe ser igual al término medio del 
trinomio que queremos factorizar, por lo tanto esa factorización es incorrecta. 
Se intenta nuevamente la factorización de dos formas, la primera es cambiando el orden de los factores y la 
segunda es con otros factores. 
( ) x155)x3( −=− 
x2x2 −=− 
Producto de extremos 
Producto de medios 
52 
 
 
 
Intentaremos cambiando los últimos factores. 
 
( )( )1x10x310x13x3 2 −−=+− 
 
 
Verificamos: 
Producto de extremos: ( ) x31)x3( −=− 
Producto de medios : ( ) ( ) x10x10 −=− 
Sumamos los productos: ( ) x13x10x3 −=−+− 
 
El resultado de la suma es igual al término medio de trinomio por lo tanto esta factorización es correcta. 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
 
Factorizar, si es posible 
22
y10xy11x6 ++− : 
 
 ( )2222 y10xy11x6y10xy11x6 −−−=++− Factor común 
 
 
Factores de 6 : 2*3, 6*1. 
Factores de -10: (-2)(5), (2)(-5), (-1)(10), (1)(-10). 
 
 
Utilizando los factores subrayados: ( ) ( )( )y5x2y2x3y10xy11x6 22 −+−=−−− 
 
 
Verificar utilizando producto de extremos : xy15)y5(x3 −=− 
Producto de medios: xy4)x2(y2 = 
Sumando los productos : xy11xy4xy15 −=+− , es correcto porque es igual al término medio del trinomio. 
 
 
Resultado: ( )( )y5x2y2x3y10xy11x6 22 −+−=++− 
 
 
 
 
 
53 
Ejercicios 
 
Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas. 
 
1. 2x3x2 2 −+ = 
 
 
2. 2x5x3 2 −− = 
 
 
3. 3x5x2 2 ++ = 
 
 
4. 3x2x5 2 ++ = 
 
 
5. 7x10x3
2 +− = 
 
 
6. 15x11x2 2 ++ = 
 
 
7. 3y16y5 2 +− = 
 
 
8. 5y2y3 2 −− = 
 
 
9. 2x7x6
2 ++ = 
 
 
10. 
2
a10a113 ++ = 
 
 
11. 
2
m156m +− = 
 
 
12. 10m31m14
2 −− = 
 
 
13. 6t29t22
2 −− = 
 
 
14. 3w13w4
2 ++ = 
 
 
15. 35m13m12
2 −− = 
 
 
16. 20z9z20
2 −− = 
 
 
17. 5r17r12
2 −+ = 
 
 
18. 16x13x5
2 +−− = 
 
 
19. 2a5a2
2 −−− = 
 
 
54 
20. 9a15a4 2 −−− = 
 
 
21. x56x6 2 ++− = 
 
 
22. 6xx12 2 ++− = 
 
 
23. 15a14a8 2 ++− = 
 
 
24. 2x3x9 2 +−− = 
 
 
25. 22 y3xy4x4 −+ = 
 
 
26. 22 y3xy7x6 −+ = 
 
 
27. 22 y3xy10x7 +− = 
 
 
28. 22 y2xyx15 −− = 
 
 
29. 22 y2xy2x15 −− = 
 
 
30. 
22
n3mn10m8 ++− = 
 
 
31. 22 yxy9x8 −+− = 
 
 
32. 22 y8xy28x12 ++ = 
 
 
33. 20x2x8
2 −+ = 
 
 
34. 6x21x18
2 +− = 
 
 
35. 
22
b24ab34a12 +− = 
 
 
36. 
22
y8xy20x8 ++ = 
 
 
37. 25a5a6
24 −+ = 
 
 
38. 12x4x5
36 −+ = 
 
 
39. 10x29x10
48 ++ = 
 
 
55 
 
40. 10x33x7 36 −− = 
 
 
41. 5xy2yx3 22 −− = 
 
 
42. 21ax5xa6 22 −+ = 
 
 
43. 20xy9yx20 22 −+ = 
 
 
44. 
222
nm15mnx7x4 −+ = 
 
 
45. x45x12x12 23 −− = 
 
 
46. aab5ab6 2 ++ = 
 
 
47. 
33245
yx4yx25yx6 ++ = 
 
 
48. 
( ) ( ) 31x81x4 2 ++++ = 
 
 
49. 
( ) ( ) 53r133r6 2 ++++ = 
 
 
 
 
56 
Factorización 
 
 
Estrategia general de factorización 
 
• Diferencia de Cuadrados 
• Diferencia de Cubos 
• Suma de Cubos 
• Agrupación • Trinomio cuadrado perfecto 
• Trinomio de la forma x2+bx+c 
• Trinomio de la forma ax2+bx+c 
Ir al 2 
 
 
Sacar Factor común 
1 
 
 
Contar número de términos 
2 
Seleccionar técnica 
de factorización de 
acuerdo al número 
de términos 
3 
Fin 
Inicio 
 
 
Factorizar 
4 
Verificar si se puede 
volver a factorizar 
2 términos 
3 términos 
4 términos 
SI NO 
5 
57 
Factorización 
 
Autoevaluación 
Factorizar completamente las siguientes expresiones algebraicas 
 
1. aa5 2 + 
2. 12y7y 2 ++ 
3. 3x1+ 
4. 3h2h5 2 −+ 
5. k12kd3bk4bdk −+− 
6. 9x 2 − 
7. 33 b64a27 − 
8. 6x5x 2 −+− 
9. kj21hj35hk9h15 2 −+− 
10. 33 vu − 
11. 
2
m1 + 
12. 
8424
b4ba28a49 ++ 
13. 22 x5yx3y8 −+ 
14. 
44
b36a9 + 
15 1a8
6 + 
16. 22 y2xy3x2 −+ 
17. 22 y4x9 − 
18. 22 y9xy6x ++ 
19. 2m16
3 − 
20. 22 y4xy5x6 −+ 
21. 
333
zyx + 
22. uz243zu3
3 + 
23. 7x10x
2 +− 
24.
44
nm − 
25. yxy8yx16
2 +− 
26. st8ts
44 − 
27. 4y3y
24 −− 
28. 
352
baa27 + 
29. 3m6m
2 −− 
30. 
22
n16m25 − 
31. x9xy12xy4
2 +− 
32. 
22
t3st7s6 −+ 
33. 16y
2 + 
34. 39 b18b8 − 
35. 22 v8uv24u18 −+ 
36. xz10xy6x2 2 −− 
37. x72xx 23 −− 
38. xz2zx27 7 − 
39. 345 a10a10a4 −− 
40. 222 b4mam2a −+− 
41. 
9
x254 + 
42. 35x2x
2 +− 
43. xy5x5 45 − 
44. 
22 83430 cbcb −− 
45. 99 yx + 
46. 6348 c9cb24b16 +− 
47. 
44
b36a9 + 
48. de16ce12be8cd12c9bc6 2 ++−−− 
49. 126 sr − 
50. 2222 bab2xy4yax4 −+−+− 
51. x8x2x2
23 +− 
52. xyxxy2y 22 +−+− 
53. 27x9x3x
23 +−− 
54. ( ) ( ) 6ba5ba4 2 −+−+ 
55. xxxx 128
3
96
5
48
7
16 +++ 
56. 
66
ba1− 
57. bn3bm2an3am2 −+− 
58. 
33
xy9yx − 
59. 
44
nm + 
60. 
224224
babba2a −++ 
61. a5a5
4 + 
62. ( ) ( )22 dc4ba −−− 
63. 
2
z9yz6
2
y1x2
2
x −+−++ 
64. 
22
v2uv4u5 −+ 
65. 15x18x3
2 −−−
 
 
58 
Respuestas 
 
 
Factor Común 
 
1. ( )1n8 + 
2. No se puede factorizar 
3. ( )2y31x + 
4. ( )2xyxy5 2 − 
5. ( )32 c7abb2 +− 
6. ( )3x6x82 2 −− 
7. No se puede factorizar 
8. ( )2yxzxy44 32 −++ 
9. ( )253 x43x5x +− 
10. ( )6p9p10p2 2 +− 
11. ( )3x9x7x 23 +− 
12. ( )1y3y8y3 214 +− 
13. ( )33y16x48xy ++ 
14. ( )x9yz28yz14zy 4322 −− 
15. ( )yx2x6x4 33 −+ 
16. ( )953247 yz5zx3yxy7 −− 
17. ( )x9yz28yz14zy 4322 −− 
18. ( )22222 yxbca +− 
19. ( )32332 y4xn2xnm55 −+ 
20. ( )4yx2axy3xa31 222 −− 
21. ( )y8y2x5xy8 22 ++ 
22. ( )xyx4yz4xyz9 22 ++ 
23. ( )223 y6x5xyyx3 +−− 
24. ( )a5c3cbabc5 32 +− 
25. ( )3xy4xy6yx3 4525 −+ 
26. ( )xyzx2zy10yx4 2432 −+ 
27. 







+−
5
ba3
3
ab
4
1
8
ba
22335
 
28. ( )32 xxx1x −+− 
29. ( )4a8a3aa 242 −+− 
30. ( )32 3696 −+− xxxx 
31. ( )232223 yz9yx3xz6yx2y −−+ 
 
 
32. ( )26742 b14a30ba10ba7b5 −+−− 
33. ( )1x3x2x5x5 352 −+− 
34. ( )322 b8ba5b4a3a3 −+− 
35. ( )222 y5yx31xy2yx8 −−− 
36. ( )33222 nm4nm3mn21nm12 +−+ 
37. ( )c4cbbc3ab2abc50 222 −+− 
38. ( )( )3x2x ++ 
39. ( )( )1x73x4 −− 
40. ( )( )1x41x2 ++ 
41. ( )( )1x4x81x2 2 +++ 
42. ( )( )3x15x53x 2 −++ 
43. ( ) ( )312832 6 −−− pprr 
44. ( )( )1x2x37x2x2 32 −++ 
45. ( )( )1x2x65x2 23 −−+ 
 
Diferencia de Cuadrados 
 
1. ( )( )2a2a −+ 
2. ( )( )b3b3 −+ 
3. ( )( )m21m21 −+ 
4. ( )( )n4n4 −+ 
5. ( )( )5a5a −+ 
6. ( )( )y1y1 −+ 
7. ( )( )9x9x −+ 
8. No se puede factorizar 
9. ( )( )x4x4 −+ 
10. ( )( )x21x21 −+ 
11. ( )( )x65x65 −+ 
12. ( )( )3a23a2 −+ 
13. ( )( )yxyx −+ 
14. No se puede factorizar 
15. ( )( )y6xy6x −+ 
16. ( )( )22 y45y45 −+ 
59 
17. ( )( )22 x65x65 −+ 
18. ( )( )22 9292 yxyx −+ 
19. ( )( )b4a9b4a9 22 −+ 
20. 





−





+ a3
2
1
a3
2
1
 
21. 





−





+
5
a
1
5
a
1 
22. 





−





+
7
x2
4
1
7
x2
4
1
 
23. 





−





+
7
y
6
x
7
y
6
x
 
24. 







−







+
5
x
6
a
5
x
6
a
33
 
25. ( )( )2222 b2ab2a −+ 
26. ( )( )6565 b7ab7a −+ 
27. ( )( )1x191x19 77 −+ 
28. ( )( )1xy1xy −+ 
29. ( )( )33 xy10xy10 +− 
30. ( )( )ab71ab71 −+ 
31. ( )( )xy87xy87 −+ 
32. ( )( )11xy511xy5 22 −+ 
33. ( )( )cabcab 44 −+ 
34. ( )( )3232 y13mn10y13mn10 −+ 
35. ( )( )6262 z15xy14z15xy14 −+ 
36. ( )( )526526 mb17a16mb17a16 −+ 
37. 







−







+
9
yz
10
x
9
yz
10
x
22
 
38. ( )( )nm3nm3m5 −+ 
39. ( )( )22 zw7zw73 −+ 
40. ( )( )1x1xx 3 −+ 
41. ( )( )yyx 54542 2 −+ 
42. ( )( )2y32y3x 2 −+ 
43. ( )( )12nam12nam 3232 +− 
44. ( )( )432432 dcab31dcab31 −+ 
45. ( )  ( ) yx5yx5 +−++ 
46. ( )( )4yx4yx −+++ 
47. ( )( )2b3a2b3a −−++ 
48. ( ) ( )  ( ) ( ) dcyxdcyx +−−++− 
49. ( )( )( )yxyxyx 22 −++ 
50. ( )( )( )2x2x4x 2 −++ 
51. ( )( )( )3n3n9n 2 −++ 
52. ( )( )( )2242 y2xy2xy4x2 −++ 
 
 
Suma o Diferenciade Cubos 
 
1. ( )( )1yy1y 2 +−+ 
2. ( )( )9x3x3x 2 ++− 
3. ( )( )25a5a5a 2 ++− 
4. ( )( )16x4x4x 2 ++− 
5. ( )( )2x4x21x21 ++− 
6. ( )( )2m36m61m61 ++− 
7. ( )( )2n49n71n71 +−+ 
8. ( )( )1x10x1001x10 2 ++− 
9. ( )( )2y4y69y23 ++− 
10. ( )( )81a36a169a4 2 ++− 
11. ( )( )22 yxyxyx ++− 
12. ( )( )22 yxyxyx +−+ 
13. ( )( )632432 nnmmnm ++− 
14. ( )( )22ba9ab31ab31 ++− 
15. ( )( )623432 xyxyxy +−+ 
16. ( )( )422422 bbmmbm +−+ 
17. ( )( )2363 nnm4m16nm4 ++− 
18. ( )( )4222 96432 bababa +−+ 
19. ( )( )633 a9a2464a38 +−+ 
20. ( )( )842442 y4yx2xy2x ++− 
21. ( )( )422 x81x91x91 +−+ 
22. ( )( )6323 n16mn12m9n4m3 +−+ 
23. ( )( )4222 y64xy56x49y8x7 +−+ 
24. ( )( )842442 b25ba5ab5a +−+ 
25. ( )( )844844 yyxxyx +−+ 
26. 





+−





+
844
a
25
a
5
1
a
5
1 
60 
27. 







+−





−
100
b
10
ab
a
10
b
a
2
2 
28. 





+−





+ 22 y
16
1
xy
6
1
x
9
4
y
4
1
x
3
2
 
29. No se puede factorizar 
30. ( )( )222 c4abc2bac2ab ++− 
31. ( )( )24224222 ba9baxy3yxba3xy +−+ 
32. ( )( )42222 xabxbaxab ++− 
33. ( )( )654232 y36xy6yxy6xy ++− 
34. ( )( )1abxxba1abx 222 +−+ 
35. ( )( )22 yxy2x4yx22 +−+ 
36. ( )( )2aa416a4a +−+ 
37. ( )( )36x6x6xy 26 ++− respuesta de la 
número 33 es también posible 
38. ( )( )6323 16129432 nwnwnww +−+ 
39. ( )( )422422 bbaabaa7 +−+ 
40. ( )( )22 y4xy2xy2x5 +−+ 
41. ( )( )22 y25xy5xy5x5 ++− 
42. 5 (3a3 + 8b3) 
43. 2n (n – 2) (n2 + 2n + 4) 
44. 5 (x + 2y) (x2 – 2xy + 4y2) 
45. 3x (x – 2y) (x2 + 2xy + 4y2) 
46. 2 (2y2 – 5x) (4y4 + 10xy2 + 25x2) 
47. 5z2 (2x2z + 5y3) (4x4z2 – 10x2y3z + 25y6) 
48. ( )( )( )4224 yyxxyxyx ++−+ 
49. ( )( )( )633622 yyxxyxyxyx +−+−+ 
50. ( )( )22 yxy2xyx1yx1 +++++−− 
51. ( )( )22 7633 bababa +++ 
52. ( )( )93323 22 +−++−−− yxyxyxyx 
 
Trinomio Cuadrado Perfecto 
 
1. ( )21x − 
2. ( )25x + 
3. ( )24y − 
4. ( )22x + 
5. ( )26a − 
6. ( )2t5 − 
7. ( )21x3 + 
8. ( )21y5 − 
9. ( )21a7 − 
10. ( )22x3 + 
11. ( )27x4 − 
12. ( )2zy3 + 
13. ( )2yx2 − 
14. ( )2v4u + 
15. ( )2y5x6 + 
16. ( )247 yx − 
17. ( )2y5x4 + 
18. ( )2y2x3 − 
19. ( )22m6 + 
20. ( )25a1− 
21. ( )22 6a + 
22. ( )24 9a + 
23. ( )25 1x20 + 
24. ( )22x54 + 
25. ( )26x911+ 
26. ( )22ab5 − 
27. ( )22a5b3 − 
28. ( )22x134 − 
29. ( )22yx71+ 
30. ( )222xm12a − 
31. ( )223 an5m7 − 
32. ( )2645 ya3x10 − 
33. ( )25x3 + 
34. ( )27x2 − 
35. ( )24y3 − 
36. ( ) ( )222 aa1a1 ++− 
37. ( ) ( )22 baba −+ 
38. ( ) ( )2222 bababa ++− 
61 
39. ( )21yx ++ 
40. ( )23nm +− 
41. ( )2ya − 
 
 
 Trinomio x2+bx+c 
 
1. ( )( )2x5x ++ 
2. ( )( )1a3a ++ 
3. ( )( )1x8x −− 
4. ( )( )1m11m −− 
5. ( )( )5y6y −+ 
6. ( )( )7a5a −+ 
7. ( )( )1c14c +− 
8. ( )( )1x6x ++ 
9. ( )( )2x3x +− 
10. ( )( )3a15a −− 
11. No se puede factorizar 
12. ( )( )4y5y −− 
13. ( )( )3c8c −+ 
14. ( )( )1x2x −− 
15. ( )( )2n6n −− 
16. ( )( )3x7x ++ 
17. ( )( )2a9a −+ 
18. ( )( )2n8n −+ 
19. ( )( )4x9x +− 
20. ( )( )2m15m −+ 
21. ( )( )b2ab9a −− 
22. ( )( )y3xy15x +− 
23. ( )( )n7mn8m −+ 
24. ( )( )d4cd7c ++ 
25. ( )( )1x5x +−− 
26. ( )( )2n7n +−− 
27. ( )( )5y6y +−− 
28. ( )( )3x2x −−− 
29. ( )( )2x5x −+− 
30. ( )( )1a3a ++− 
31. ( )( )4a7a −−− 
32. ( )( )5y3y −+− 
33. ( )( )a3xa7x +−− 
34. ( )( )2x3x 22 −+ 
35. ( )( )2x3x 22 ++ 
36. ( )( )10y3y 22 −+ 
37. ( )( )4x5x 55 −+ 
38. ( )( )a5xa12x 22 −+ 
39. ( )( )15x16x 44 −+ 
40. ( )( )1x8x2 −− 
41. ( )( )1x2x5 −+ 
42. ( )( )1x5x9 +− 
43. ( )( )3x2xa ++ 
44. ( )( )10x2xx −− 
45. ( )( )5ab3ab −− 
46. ( )( )9ba11ba 2222 +− 
47. ( )( )12yx11yx 2222 +− 
48. ( )( )( )1x2x3x +++ 
49. ( )( )3nm8nm −−+− 
 
 
Polinomio Cubo Perfecto 
 
1. (a + 1)3 
2. (3 - x)3 
3. (m + n)3 
4. (1 - a)3 
5. (a2 + 2)3 
6. (5x + 1)3 
7. (2a - 3b)3 
8. (3m + 4n)3 
9. No se puede factorizar 
10. No se puede factorizar 
11. (5a + 2b)3 
12. (2 + 3x)3 
13. No se puede factorizar 
14. (a2 + b3)3 
15. (x3 - 3y4)3 
16. (4x + 5y)3 
17. (6 - 7a2)3 
18. (5x4 + 8y5)3 
19. (a6 + 1)3 
20. (m - an)3 
62 
21. (1 + 6a2b3)3 
22. (4x3 - 5y4)3 
 
Agrupación 
 
1. ( )( )2x1x2 ++ 
2. ( )( )3y1y2 −+ 
3. ( )( )3x21x2 2 ++ 
4. ( )( )1x31x2 2 −+ 
5. ( )( )2y1y4 2 ++ 
6. ( )( )3a21a2 ++ 
7. No se puede factorizar 
8. ( )( )3y21y3 22 ++ 
9. ( )( )3y1y4 22 ++ 
10. ( )( )2a2a3 22 −− 
11. ( )( )d21b5a6 +− 
12. ( )( )z31yx2 −− 
13. ( )( )xaba ++ 
14. ( )( )banm −+ 
15. ( )( )b2ay2x −− 
16. ( )( )b3ayx 222 −+ 
17. ( )( )1xn2m3 4 +− 
18. ( )( )x1ax 2 +− 
19. ( )( )1a41a2 −+ 
20. ( )( )1xyx 2 +− 
21. No se puede factorizar 
22. ( )( )2ba3x21 −− 
23. ( )( )baxm3a4 2 −− 
24. ( )( )1a31x2 ++ 
25. ( )( )a3x1x3 2 −− 
26. ( )( )b3ay5x2 2 −− 
27. ( )( )22 zxyyx2 ++ 
28. ( )( )1yxyx +−+ 
29. ( )( )1y2xy2x +−+ 
30. ( )( )1a3x1x +−− 
31. ( )( )1yx1yx −−−+ 
32. No se puede factorizar 
33. ( )( )xba2xba2 −++− 
34. ( )( )c4bac4ba ++−+ 
35. ( )( )2yx32yx3 −−+− 
36. ( ) ( )33 1a1a −+ 
37. ( )3m21+ 
38. ( )33 2xyy − 
39. ( ) ( ) ( ) 22 a1xa1xa1x ++++−+ 
40. ( )( )5yx1yx +−++ 
41. ( )( )222 y3zxnx2 ++− 
42. ( )( )22 yxyxa2x3 −−− 
43. ( )( )1x3xnba 2432 +−− 
 
Trinomio ax2+bx+c 
 
1. ( )( )2x1x2 +− 
2. ( )( )2x1x3 −+ 
3. ( )( )1x3x2 ++ 
4. No se puede factorizar 
5. ( )( )7x31x −− 
6. ( )( )3x5x2 ++ 
7. ( )( )3y1y5 −− 
8. ( )( )1y5y3 +− 
9. ( )( )1x22x3 ++ 
10. ( )( )1a23a5 ++ 
11. ( )( )3m52m3 −+ 
12. ( )( )5m22m7 −+ 
13. ( )( )3t22t11 −+ 
14. ( )( )3w1w4 ++ 
15. ( )( )5m47m3 +− 
16. ( )( )4z55z4 +− 
17. ( )( )1r45r3 −+ 
18. No se puede factorizar 
19. ( )( )2a1a2 ++− 
20. ( )( )3a3a4 ++− 
21. ( )( )3x22x3 −+− 
22. ( )( )3x42x3 −+− 
23. ( )( )5a23a4 −+− 
24. ( )( )1x32x3 −+− 
25. ( )( )yx2y3x2 −+ 
63 
26. ( )( )yx3y3x2 −+ 
27. ( )( )yxy3x7 −− 
28. ( )( )y2x5yx3 −+ 
29. No se puede factorizar 
30. ( )( )n3m2nm4 −+− 
31. ( )( )yxyx8 −−− 
32. ( )( )yxyx 234 ++ 
33. ( )10xx42 2 −+ 
34. ( )( )1x22x33 −− 
35. ( )( )b4a3b3a22 −− 
36. ( )( )y2xyx24 ++ 
37. ( )( )5a35a2 22 −+ 
38. ( )( )6x52x 33 −+ 
39. ( )( )2x55x2 44 ++ 
40. ( )( )5x2x7 33 −+ 
41. ( )( )1xy5xy3 +− 
42. ( )( )3ax27ax3 −+ 
43. ( )( )4xy55xy4 −+ 
44. ( )( )mn3xmn5x4 +− 
45. ( )( )5x23x2x3 −+ 
46. ( )( )1b21b3a ++ 
47. ( )( )y4xyx6yx3 ++ 
48. ( )( )3x25x2 ++ 
49. ( )( )7r214r3 ++ 
 
 
 Autoevaluación 
 
1. ( )1a5a + 
2. ( )( )34 ++ yy 
3. ( )( )2xx1x1 +−+ 
4. ( )( )1h3h5 +− 
5. ( )( )43 −+ dbk 
6. ( )( )3x3x −+ 
7. ( )( )22 b16ab12a9b4a3 ++− 
8. ( )( )2x3x −−− 
9. ( )( )j7h3k3h5 +− 
10. ( )( )22 vuvuvu ++− 
11. No se puede factorizar 
12. ( )242 b2a7 + 
13. ( )( )xyx5y8 +− 
14. ( )44 b4a9 + 
15. ( )( )1a2a41a2 242 +−+ 
16. ( )( )y2xyx2 +− 
17. ( )( )y2x3y2x3 +− 
18. ( )2y3x + 
19. ( )( )1m2m41m22 2 ++− 
20. ( )( )y4x3yx2 +− 
21. ( )( )222 zyxyzxyzx +−+ 
22. ( )81uuz3 2 + 
23. No se puede factorizar 
24. ( )( )( )22 nmnmnm +−+ 
25. ( )21x4y − 
26. ( )( )4st2ts2stst 22 ++− 
27. ( )( )( )1y2y2y 2 +−+ 
28. ( ) ( )222 baab39ab3a +−+ 
29. No se puede factorizar 
30. ( )( )n4m5n4m5 +− 
31. ( )23y2x − 
32. ( )( )t3s2ts3 +− 
33. No se puede factorizar 
34. ( )( )3b23b2b2 333 +− 
35. ( )22 v4uv12u92 −+ 
36. )53(2 zyxx −− 
37. ( )( )8x9xx +− 
38. ( )2x27xz 6 − 
39. ( )5a5a2a2 23 −− 
40. ( )  ( ) b2mab2ma −−+− 
41. ( )( )633 xx39x32 +−+ 
42. No se puede factorizar 
43. ( )( )( )22 yxyxyxx5 ++− 
44. ( )( )cbcb 4352 −+ 
45. ( )( )( )633622 yyxxyxyxyx +−+−+ 
46. ( )234 c3b4 − 
47. ( )44 b4a9 + 
64 
48. ( )( )d4c3b2e4c3 −−− 
49. ( )( )( )842422 ssrrsrsr ++−+ 
50. ( ) ( )  ( ) ( ) bayx2bayx2 −+−−−− 
51. ( )4xxx2 2 +− 
52. ( ) ( ) 1xyxy −−− 
53. ( ) ( )3x3x 2 +− 
54. ( )  ( ) 234 −+++ baba 
55.   32 4x2x2 + 
56. ( )( )( )4b4a2b2a1ab1ab1 ++−+ 
57. ( )( )n3m2ba −+ 
58. ( )( )y3xy3xxy +−59. No se puede factorizar 
60. ( )  ( ) ab2b2aab2b2a −+++ 
61. ( )( )1aa1aa5 2 +−+ 
62. ( ) ( )  ( ) ( ) dc2badc2ba −+−−−− 
63. ( ) ( )  ( ) ( ) z3y1xz3y1x −−+−++ 
64. No se puede factorizar 
65. ( )( )1x5x3 ++−