Clase N07

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD DIDACTICA 1 2 7SEMANA SECION
TEMA DE SESION: CONTINUIDAD, DISCONTINUIDADES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS
APRENDIZAJES ESPERADO
Tendrá la capacidad de resolver problemas relacionadas a su carrera profesional aplicando el análisis de 
funciones y cálculo diferencial
CAPACIDAD GENERAL
CAPACIDAD ESPECIFICA
El alumno explica si una función es continuidad o discontinua.
Relaciona de manera analítica y gráfica la continuidad de funciones que modelizan 
diversos fenómenos
Habilidad en la gestión de la información, capacidad de plantear una acción de estudio de la 
misma en un nivel básico. 
Intuitivamente diremos que una función f es continua si su gráfico no 
tiene rupturas tipo salto. Veamos los casos siguientes:
𝑥0 ∈ 𝒟𝑓
lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)
f es continua en 𝑥0
𝑓 𝑥 =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
≡ 𝑥 + 1; 𝑥 ≠ 1
𝑓 1 no existe
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 2
𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 en 𝑥 = 1
𝑓 𝑥0   existe
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)  existe
𝑓 no es continua 𝑒𝑛 𝑥0
𝑓(𝑥) = ቊ
𝑥 ; 𝑥 < 1
−𝑥2 + 3 ; 𝑥 ≥ 1
𝑓 1 = 2  existe
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥   no   existe
𝑓 no es continua 𝑒𝑛 𝑥 = 1
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN:
Una función 𝑓 es continua en 𝑥0∈ 𝒟𝑓 si y solo si satisfice las tres condiciones
Ejemplo
Sea la función 𝑓 𝑥 = ቊ
4 𝑥2 + 1 ; 𝑥 ≤ 0
2𝑥 + 3 ; 𝑥 > 0
analice la continuidad de 𝑓 en el punto 𝑥 = 0.
a) 𝑓(𝑥0) está definido
b) lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 exíste
c) lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)
𝑎) 𝑓(0) = 4
Por tanto, 𝑓 no es continua en 𝑥 = 0
Gráfico:
Solución: 
𝑏) (𝑖) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
4(𝑥2 + 1) = 4
(𝑖𝑖) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
(2𝑥 + 3) = 3
Como lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥)
→ lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) no existe
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
A) Discontinuidad evitable o removible.
Un punto 𝑥0∈ ℝ se llama punto de discontinuidad removible sí cumple alguna 
de las siguientes condiciones:
𝑏) 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓 ∧ ∃ lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥0)𝑎) 𝑥0 ∉ 𝐷𝑓 ∧ lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑛ℝ
OBS La discontinuidad evitable se puede salvar redifiniendo la
función 𝑓 de la siguiente manera:
መ𝑓 𝑥 = ൞
൯𝑓(𝑥) ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 (𝑖𝑒: 𝑥 ≠ 𝑥0
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ; 𝑥 = 𝑥0
Ejemplo
Sea la función 𝑓 𝑥 = ൝
5𝑥 − 3 ; 𝑥 ≠ 1
1 ; 𝑥 = 1
analice la continuidad de 𝑓 en el punto 𝑥 = 1.
Redefinimos la función
𝑓
Solución: 
𝑎) 𝑓(1) = 1
𝑏)lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
(5𝑥 − 3) = 2
Como lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1)
𝑓 no es continua en x = 1
Pero 𝑓 tiene una discontinuidad
removible.
መ𝑓 𝑥 = ൝
5𝑥 − 3 ; 𝑥 ≠ 1
2 ; 𝑥 = 1
መ𝑓
𝑓 𝑥 = ൝
5𝑥 − 3 ; 𝑥 ≠ 1
1 ; 𝑥 = 1
B. DISCONTINUIDAD INEVITABLE.
Un punto 𝑥0∈ ℝ se dice que es de discontinuidad esencial o inevitable si cumple
una de las siguientes condiciones:
𝑎) 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓 ∧ ∄ lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) 𝑏) 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓 ∧ lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = ±∞
Estudie la discontinuidad de la función f(𝑥) = ቊ
𝑥2 ; 𝑥 ≥ −1
1 − 𝑥 ; 𝑥 < −1
en el punto 𝑥 = −1.
Solución
a) f(−1) = 1
b) Veamos el límite en 𝑥 = −1 
Luego f tiene una  discontinuidad esencial en 𝑥 = −1.
Ejemplo
lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−1−
(1 − 𝑥 ) = lim
𝑥→−1−
(1 + 𝑥) = 0
lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−1+
𝑥2 = 1
∴ ∃ lim
𝑥→−1
𝑓 𝑥 .
PROPIEDADES: Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en 𝑥0, entonces
i. 𝑓 ± 𝑔 es continua en 𝑥0
ii. 𝑓. 𝑔 es continua en 𝑥0
iii.
𝑓
𝑔
es continua en 𝑥0; siempre que 𝑔(𝑥0) ≠ 0
iv. 𝑓 es continua en 𝑥0
TEOREMA: (composición de funciones)
Si 𝑔 es continua en 𝑥0 y 𝑓 es continua en 𝑔(𝑥0), entonces 𝑓 ∘ 𝑔 es continua en 𝑥0
TEOREMA:
La función polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+. . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0
es continua ∀ 𝑥 ∈ ℝ
CONTINUIDAD LATERAL
Definición: (continuidad por la derecha)
La función 𝑓 es continua por la derecha de 𝑥0 si y solo si verifica
Definición: (continuidad por la izquierda)
La función 𝑓 es continua por la izquierda de 𝑥0 si y solo si verifica
a) 𝑓(𝑥0) está definido
b) lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓 𝑥 exíste
c) lim
𝑥→𝑥0+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)
a) 𝑓(𝑥0) está definido
b) lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓 𝑥 exíste
c) lim
𝑥→𝑥0−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)
Halle el valor de 𝑎 para que 𝑓(𝑥) = ቐ
−𝑥−1
𝑥+1
, 𝑥 < −1
𝑥 + 𝑎 , 𝑥 ≥ −1
sea continua en todos los reales.
Solución
Ejemplo
Como 𝑓 es continua en todos los reales, entonces lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1)
• lim
𝑥→−1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−1−
−𝑥−1
𝑥+1
= lim
𝑥→−1−
( −𝑥−1)( −𝑥+1)
(𝑥+1)( −𝑥+1)
= lim
𝑥→−1−
(−𝑥−1)
(𝑥+1)( −𝑥+1)
= lim
𝑥→−1−
−1
−𝑥+1
= −
1
2
• lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−1+
𝑥 + 𝑎 = −1 + 𝑎
−1 + 𝑎 = −
1
2
Por tanto, 𝑎 =
1
2
Como lim
𝑥→−1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
DEFINICIÓN: Una función 𝑓 es continua en un intervalo < 𝑎, 𝑏 >
si es continua en el punto 𝑥, ∀𝑥 ∈ < 𝑎, 𝑏 >
c) 𝑓 es continua por la izquierda de 𝑏, es decir:
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
DEFINICIÓN: Una función 𝑓 es continua en un intervalo 𝑎, 𝑏 si 
a) 𝑓 es continua en < 𝑎, 𝑏 >
b) 𝑓 es continua por la derecha de 𝑎, es decir: 
lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)
TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO (TVM)
Si 𝑓 es continua en el intervalo 𝑎, 𝑏 , 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) y 𝑘 es cualquier número entre 
𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏), entonces existe al menos un 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 tal que 𝑓 𝑐 = 𝑘.
Ejemplo
Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 1; 𝑥 ∈ 1; 5 , verifique el TVM y encuentre
el valor de 𝑐 ∈ 1; 5 tal que 𝑓(𝑐) = 11. 
Solución
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 1 por ser un polinomio es continua en ℝ.
• ቊ
𝑓(1) = 1
𝑓(5) = 29
𝑓(1) ≠ 𝑓(5) y 1 < 11 < 29→
Por el TVM existe 𝑐 ∈ 1; 5 tal que 𝑓(𝑐) = 11
𝑐2 + 𝑐 − 1 = 11
(𝑐 + 4)(𝑐 − 3) = 0
𝑐 = −4, 𝑐 = 3→
Por tanto, 𝑐 = 3 ∈ 1; 5 .
TEOREMA DEL CERO
Sea 𝑓 una función continua en el intervalo 𝑎, 𝑏 .
Si 𝑓 𝑎 y 𝑓 𝑏 tienen signos opuestos (es decir 𝑓 𝑎 . 𝑓(𝑏) < 0), entonces 
existe al menos un 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 tal que 𝑓 𝑐 = 0.
Ejemplo
Use el teorema del cero y demuestre que la ecuación
4𝑥3 − 4𝑥 + 1 = 0 tiene una solución real. 
Solución
• Sea 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥 + 1 por ser un polinomio es continua en ℝ.
• Busquemos un intervalo 𝑎; 𝑏 en la que 𝑓 𝑎 . 𝑓(𝑏) < 0.
𝑥 −3 −2 −1 0 1
𝑓 𝑥 −95 −23 1 1 1
El intervalo que nos interesa es −2;−1 pues 𝑓 −2 . 𝑓(−1) < 0.
Por tanto, existe 𝑐 ∈ −2;−1 tal que 𝑓 𝑐 = 0 que equivale a decir
la ecuación 4𝑥3 − 4𝑥 + 1 = 0 tiene una solución real en −2;−1 .
REFERENCIAS:
a) Michael Spivak. Cálculo infinitesimal
b) Ron Larson - Bruce Edwards. Cálculo I , decima edición.
c) Máximo Mitacc Meza- Luis Toro Mota. Tópicos de Cálculo. Tomo I
d) Eduardo Espinoza Ramos. Análisis matemático I