Ejemplo 2 Respuesta Espectral

Vista previa del material en texto

1. La figura muestra una torre con tres plataformas de 80 ton de peso cada una. El soporte 
de estas plataformas es una columna de concreto armado, E = 2,2x106 ton/m2, de 
sección cuadrada con 1,35 m de lado. Despreciando el peso de la columna y 
empleando un modelo de un grado de libertad con tres masas concentradas. 
 
a) Estime el período fundamental de vibración usando delexión estática. (1 pto) 
b) Mediante iteración de Rayleigh, determine el modo fundamental partiendo de la 
forma correspondiente a la deflexión estática. (2 ptos) 
c) Empleando el modo fundamental encontrado, determine la respuesta de la torre al 
espectro mostrado en la figura. Calcule el desplazamiento máximo de la plataforma 
superior y los diagramas de fuerza cortante y momento flector en la columna. (2 
ptos) 
d) Parte del peso del nivel intermedio es un equipo de 10 ton de peso que se ancla por 
medio de 8 pernos a la plataforma. Determine la fuerza cortante máxima en cada 
perno, producida por la fuerza de inercia del equipo. (1 pto) 
0
100
200
300
400
500
600
700
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Período (seg)
SA (cm/seg2)
 
 
 
Modo Fundamental y Respuesta Espectral 
 
 
M3 = 8,1549 ton x seg2 / m 
 
 
 
M2 = 8,1549 ton x seg2 / m 
 
 
 
M1 = 8,1549 ton x seg2 / m 
 
 
 
 
 
 
 
EI = 2,2x106 ton/m2 x ( 1,354 / 12 ) = 608942,8 ton x m2. 
 
 
 
f 11 = PL1 3 / 3EI 
= 4,6629 x 10 -5. 
 
 
f 21 = f 11 + ( PL1 2 / 2EI ) x 3,2 
= 9,7498 x 10 -5. 
 
 
f 31 = f 11 + ( PL1 2 / 2EI ) x 6,4 
= 14,8366 x 10 -5. 
 
 
 
 
 
f 22 = P(7,6) 3 / 3EI 
= 24,0294 x 10 -5. 
 
 
f 32 = f 22 + P(7,6)2 / 2EI x 3,2 
= 39,2059 x 10 -5. 
 
 
 
 
f 33 = P(10,8) 3 / 2EI ) x 3,2 
= 68,9562 x 10 -5. 
 
 
 
 
 
Deflexión Estática 
 
 
 4,6629 9,7498 14,8366 
80 
D = 10-5 9,7498 24,0294 39,2059 80 
 14,8366 39,2059 68,9562 80 
 
 
 
 
2,34 
D = 5,84 10-2 m 
 9,84 
 
ϖ2 = Σ Fi Di / Σ Mi Di2 = 129,599 
 
ϖ = 11,38 rad/seg. 
 
T = 0,552 seg. 
 
 
Rayleigh Iterativo 
 
Normalizando desplazamientos: 
 
 0,238 
φ = 0,593 
 1,0 
 
Calculando fuerzas como: Mi x φi x g 
 
 19,04 
F = 47,44 ton 
 80 
 
Aplicando las fuerzas y calculando desplazamientos: 
 
 1,7382 
D = 4,4621 10-2 m 
 7,6589 
 
 
Normalizando desplazamientos: 
 
 0,22695 
φ = 0,58260 
 1,0 
 
Calculando fuerzas como: Mi x φi x g 
 
 18,156 
F = 46,608 ton 
 80 
 
Aplicando las fuerzas y calculando desplazamientos: 
 
 1,72601 
D = 4,43345 10-2 m 
 7,6138 
 
 
 
Modo Fundamental 
 
 
 
 
 0,22695 
φ = 0,58260 
 1,0 
 
T = 0,553 seg. 
 
 
 
 
 
 
ϖ2 = Σ Fi Di / Σ Mi Di2 = 128,875
 
ϖ = 11,35 rad/seg. 
 
T = 0,5535 seg. 
 
ϖ2 = Σ Fi Di / Σ Mi Di2 = 128,867
 
ϖ = 11,35196 rad/seg. 
 
T = 0,5535 seg. 
Respuesta Espectral 
 
Para el φ hallado, normalizado a 1, se calculan los parámetros: 
 
∑
=
=
N
i
iiML
1
1
* φ = 14,7523 
 
∑
=
=
N
i
iiMM
1
2
1
* φ = 11,3392 
 
301,1*
*
=
M
L 
 
T = 0,553 seg ⇒ del espectro: 
 
SA = 494 cm/seg2 ⇒ SD = SA / ϖ2 = 3,83 cm 
 
Desplazamientos Máximos: iSDM
L φ××*
*
 
 
 
 1,13 
D = 2,90 cm 
 4,98 
 D3 = 4,98 cm 
 
 
D2 = 2,90 cm 
 
 
D1 = 1,13 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aceleraciones Máximas: iSAM
L φ××*
*
 
 
 
 acel3 = 642,7 cm/seg2 
 
 
 
acel2 = 374,2 cm/seg2 
 
 
 
acel1 = 145,7 cm/seg2 
 
 
 
 
Fuerzas Máximas: ii acelM ×
 
 
Se calculan los desplazamientos respectivos y se 
obtiene: 
 
 
 
1,13 
D = 2,90 cm 
 4,98 
 
 
 
 
 
 
Los que coinciden con los calculados antes, ya 
que se trata de un modo de vibración. 
 
 
 
Fuerzas Internas: 
 
 
Verificación del Cortante en la Base: 
 
SA
M
LV ×= *
2*
 = 94,8 ton... OK 
 
 
 
 
 
Equipo Instalado en la Segunda Plataforma: 
 
Aceleración Máxima = acel2 = 374,2 cm/seg2 
 
Fuerza de Inercia = (10 / 9,81) x 3,742 = 3,81 ton 
 
 
 
V PERNO = 3,81 ton / 8 = 0,476 ton 
 
V PERNO = 480 kg