S09 s1 - Volumenes

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INTEGRALES 
DOBLES:VOLUMENES.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al Finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce, interpreta y aplica la 
integral doble de una función z = f(x; y), para calcular el volumen de un solido y así 
modelar problemas de las Ciencias Básicas en el calculo de áreas y volúmenes.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
DOBLES. Volúmenes.
¿ Para que sirve ?
• Minimizar construcción de estructuras.
• Tratamiento digital de señales(barritas que bajan y suben en un equipo de sonido).
• Diseño de líneas de transmisión eléctrica o electrónica, antenas, puentes colgantes.
• Entre otras.
INTEGRALES DOBLES.
1.Volúmenes.
VOLUMEN.
• Sea 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función continua en un región cerrada 𝐷𝐷 y 
𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ≥ 0, para todo (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 entonces el volumen del solido S 
limitado superiormente por 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 e inferiormente por la región 
D esta dado por:
• Si 𝑓𝑓,𝑔𝑔:𝐷𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ continuas en un región cerrada 𝐷𝐷 y 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ≥
𝑔𝑔(𝑥𝑥,𝑦𝑦), para todo (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 entonces el volumen del solido S limitado 
superiormente por 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦 e inferiormente por la superficie 𝑧𝑧 =
𝑔𝑔(𝑥𝑥,𝑦𝑦) esta dado por:
𝑉𝑉 𝑆𝑆 = �
𝐷𝐷
𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑉𝑉 𝑆𝑆 = �
𝐷𝐷
[𝑓𝑓 𝑥𝑥,𝑦𝑦 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ]𝑑𝑑𝑑𝑑
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar el 
tipo de región para 
hallar el volumen.
2.Analizar y construir 
la integral doble, si 
es necesario hacer 
cambió de variable.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
integrales dobles en 
volúmenes.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
	INTEGRALES DOBLES:VOLUMENES.���TEORÍA Y EJERCICIOS.
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