DIAGRAMAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

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IV. Gráficos de Control por Atributos 
IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS 
 
INTRODUCCIÓN____________________________________________________ 
 
 
Los diagramas de control por atributos constituyen la herramienta esencial utilizada para controlar 
características de calidad cualitativas, esto es, características no cuantificables numéricamente. Ejemplos de 
tales características no medibles son la fracción o porcentaje de unidades defectuosas en la producción (P), el 
número de unidades defectuosas en la producción (NP), el número de defectos por unidad producida (U), y el 
número de defectos de todas las unidades producidas (C). 
 
Al igual que en los gráficos de control por variables, el diagrama de atributos representa un estadístico T 
del proceso (como puede ser el número de defectos) frente al número de la muestra o al tiempo. Una línea 
central representa el valor medio o esperado del estadístico, mientras que los límites de control suelen definir 
una zona de control que abarca 3σT por encima y por debajo de la línea central. Estos límites son escogidos 
de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. 
Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el 
proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de 
control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de 
control (veremos cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados tests para 
causas especiales). 
 
 
 
 
 Límite superior (LSC) 
 3 * σT 
 
 Línea central 
 
 V
a
ri
a
b
le
 T
 
 Límite inferior (LIC) 
 
 
 Número de muestra o tiempo 
 
 
Este tipo de gráficos se suele aplicar en situaciones en las que el proceso es una operación de montaje 
complicada, y la calidad del producto se mide en términos de la ocurrencia de disconformidades, del 
funcionamiento exitoso o fallido del producto, etc. 
 
Los diagramas de control por atributos tienen la ventaja de que hacen posible considerar varias 
características de calidad al mismo tiempo y clasificar los productos como disconformes si no satisfacen las 
especificaciones de cualquiera de las características. 
 
Tenemos dos opciones a la hora de realizar un gráfico de control por atributos: 
 
1. Podemos comparar un producto con un estándar y clasificarlo como defectuoso o no (gráficos P y 
NP) 
 
2. En el caso de productos complejos, la existencia de un defecto no necesariamente conlleva a que el 
producto sea defectuoso. En tales casos, puede resultar conveniente clasificar un producto según el 
número de defectos que presenta (gráficos C y U). 
 
 
Es importante notar que los gráficos P, NP, y U permiten trabajar con muestras de tamaños diferentes, 
mientras que los gráficos C están diseñados para muestras de igual tamaño. 
 
IV - 1 
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB 
TESTS PARA CAUSAS ESPECIALES__________________________________ 
 
 
En cualquiera de los gráficos de control por atributos descritos, es posible realizar cuatro tests para 
determinar la posible existencia de causas especiales que influyan sobre la variabilidad de las observaciones 
(comportamiento no aleatorio de los datos): 
 
 
Test 1: un punto situado más allá de los límites de control
 
 
 
 
Cada uno de los tests detecta un determinado comportamiento no aleatorio en los datos. Cuando alguno 
de los tests resulta positivo entonces hay indicios de que la variabilidad de las observaciones se debe a causas 
especiales, las cuales deberán investigarse. 
 
 
Es importante notar que para realizar estos tests todas las muestras han de ser del mismo tamaño. 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 3
 2
 1
0
1
2
3
número de muestra
s
ig
m
a
Zona A
Zona A
Zona B
Zona B
Zona C
Zona C
 
IV - 2 
IV. Gráficos de Control por Atributos 
0 5 10 15
 3
 2
 1
0
1
2
3
número de muestra
si
g
m
a
Zona A
Zona A
Zona B
Zona C
Zona C
Zona B
 
Test 2: nueve puntos consecutivos en el mismo lado
Test 3: seis puntos consecutivos ascendentes o
descendentes
arriba y abajo
Test 4: catorce puntos consecutivos alternando
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 3
 2
 1
0
1
2
3
número de muestra
s
ig
m
a
Zona A
Zona A
Zona B
Zona B
Zona C
Zona C
 
 
 
 
 
151050
3
2
1
0
 1
 2
 3
número de muestra
s
ig
m
a
Zona A
Zona A
Zona B
Zona C
Zona C
Zona B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV - 3 
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB 
GRÁFICO P________________________________________________________ 
 
 
Un gráfico P es un gráfico de control del porcentaje o fracción de unidades defectuosas (cociente entre 
el número de artículos defectuosos en una población y el número total de artículos de dicha población). 
 
Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control P se basan en la distribución 
Binomial: supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la 
probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos 
producidos sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n 
artículos del producto cada una, y representando por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra i-
ésima, tendremos que Xi ≈ B(n,p). 
 
• Sabemos que: y npxi =µ )1( pnpXi −=σ 
 
• Para cada muestra, definimos la v.a. fracción disconforme muestral como: 
n
X
p ii =ˆ . Observar que 
 seguirá una distribución Binomial con media y desviación típica: ip̂
 
[ ] [ ] p
n
XE
pE ii ==ˆ y [ ] [ ]
n
pp
n
XVar
pVar ii
)1(
ˆ
2
−== 
 
• Por tanto, 


 − → ∞→
n
pp
pNp
ni
)1(
,ˆ 
 • Según el modelo de Shewart tendremos que: 
 
n
pp
pLIC
p
n
pp
pLSC
)1(
3
central Línea
)1(
3
−−=
=
−+=
 
 
 • Si p es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k 
muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control): 
 
∑==
k
i
ip
k
p
1
ˆ
1
 
 
 • En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites 
según el modelo de Shewart, podemos optar por: 
 
1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no 
serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente), 
 
2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑==
k
i
in
k
n
1
1
. 
 
IV - 4 
IV. Gráficos de Control por Atributos 
3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que 
obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que 
indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra. 
 
 
En esta situación de tamaños muestrales diferentes, el estimador para p sería: 
 
 ∑
∑
=
==
k
i
i
k
i
ii
n
pn
p
1
1
ˆ
 
 
 
 
 
Normalmente se usan límites de control de tres sigmas en el diagrama de control P. Como ya 
comentamos en el capítulo anterior, el uso de límites de control más estrechos hacen que el diagrama de 
control sea más sensible a pequeños cambios en p, pero ello también hace aumentar la probabilidad de que se 
produzcan falsas alarmas de proceso fuera de control (error de tipo II). 
 
Debe advertirse que este diagrama de control se basa en el modelo probabilístico binomial, en el cual se 
supone que la probabilidad de ocurrencia de un artículo con disconformidad es constante, y que unidades 
sucesivas en la producción son independientes. Por otra parte, hay que tener cuidado con la interpretación de 
los puntos del diagrama de controlque se hallan por debajo del límite inferior de control. Tales puntos no 
representan a menudo una mejora real en la calidad del proceso. Frecuentemente son el resultado de errores en 
el método de inspección o recogida de datos. 
 
 
 
Ejemplo gráfico P: Supongamos que trabajamos en una planta que produce tubos de imagen para 
televisores. De cada lote producido se extraen algunos tubos y se procede a inspeccionarlos, 
clasificándolos en defectuosos y no defectuosos. Si alguno de los lotes presenta demasiados tubos 
defectuosos, se realiza una inspección del 100% de las unidades que lo componen. Un gráfico P nos 
permitirá, entre otras cosas, saber cuándo hemos de realizar una inspección completa. Usaremos los 
datos guardados en el archivo tubos.mtw : 
 
 Seleccionar Stat > Control Charts > P... 
 
 Rellenar los campos como se indica: 
 
 
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Control Estadístico de la Calidad con MINITAB 
0 10 20
0,0
0,1
0,2
0,3
Sample Number
P
ro
p
o
rt
io
n
P Chart for Defectuo
P=0,1685
3,0SL=0,3324
-3,0SL=0,004728
 
Dado que la muestra 6 cae fuera de la zona de control, sería conveniente realizar una inspección del 
100% de los componentes del lote. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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IV. Gráficos de Control por Atributos 
GRÁFICO NP______________________________________________________ 
 
 
El diagrama NP está basado en el número de unidades defectuosas. Este tipo de gráficos permite tanto 
analizar el número de artículos defectuosos como la posible existencia de causas especiales en el proceso 
productivo. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control NP se basan en la 
distribución Binomial: 
 
 
Supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la probabilidad de 
que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos 
sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n artículos del 
producto cada una, y representando por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra i-ésima, 
tendremos que Xi ≈ B(n,p). 
 
 
• Sabemos que: y npxi =µ )1( pnpXi −=σ 
 
 
• Para cada muestra, definimos la v.a. fracción disconforme muestral como: 
n
X
p ii =ˆ . Observar que 
 seguirá una distribución Binomial con media y desviación típica: ip̂
 
[ ] [ ] p
n
XE
pE ii ==ˆ y [ ] [ ]
n
pp
n
XVar
pVar ii
)1(
ˆ
2
−== 
 
 
 
• Por tanto, ( ))1(,ˆ pnpnpNpn
ni
− → ∞→ 
 
 
 • Según el modelo de Shewart tendremos que: 
 
 
)1(3
central Línea
)1(3
pnpnpLIC
np
pnpnpLSC
−−=
=
−+=
 
 
 
 • Si p es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k 
muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control): 
 
∑==
k
i
ip
k
p
1
ˆ
1
 
 
 
 • En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites 
según el modelo de Shewart, podemos optar por: 
 
 
IV - 7 
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB 
 
1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no 
serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente), 
 
 
2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑==
k
i
in
k
n
1
1
. 
 
 
3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que 
obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que 
indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra. 
 
 
En esta situación de tamaños muestrales diferentes, el estimador para p sería: 
 
 
 ∑
∑
=
==
k
i
i
k
i
ii
n
pn
p
1
1
ˆ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV - 8 
IV. Gráficos de Control por Atributos 
GRÁFICO C________________________________________________________ 
 
 
El diagrama C está basado en el número total de defectos (o no conformidades) en la producción. Los 
principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control C se basan en la distribución de Poisson: 
 
Para construir el diagrama de control C empezamos por tomar k muestras X1, X2, ...,XK , de ni unidades 
cada una, i.e.: Xi = (Xi1, ..., Xi ni ). Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las 
muestras. 
 
• Para cada muestra se calcula el número uij de defectos de la unidad Xij , j = 1,...,ni . 
• Si denotamos por ci al número de defectos totales en la muestra i-ésima, es claro que . ∑==
in
j
iji uc
1
 • Por otro lado, si denotamos por ui al valor esperado de defectos en la muestra i-ésima, tendremos que 
∑==
in
j
ij
i
i u
n
u
1
1
. Observar pues que i
i
i c
n
1=u , i.e.: . iii nuc ⋅=
 
• Notar además que . [ ] [ ] [ ] unuEnnuEcE iiiiii ⋅≡⋅=⋅=
 • Es frecuente suponer que el número de defectos (sucesos no habituales) en una población grande sigue 
una distribución de Poisson. En este caso, supondremos que ci ≈ Po(niu). 
 
 
• Se cumplirá que ( )ununN iini ⋅⋅ → ∞→ ,c 
 • Según el modelo de Shewart tendremos que: 
 
ununLIC
un
ununLSC
ii
i
ii
⋅−⋅=
⋅=
⋅+⋅=
3
central Línea
3
 
 
 • Si u = E[ ui ] es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las 
k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control): 
 
∑==
k
i
iu
k
u
1
1
ˆ 
 
 • Como el tamaño muestral (ni ) es diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites según el 
modelo de Shewart, podemos optar por: 
 
1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no 
serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente), 
2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑==
k
i
in
k
n
1
1
. 
 
3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que 
obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que 
indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra. 
 
IV - 9 
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB 
Ejemplo gráfico C: Supongamos que trabajamos en una planta que produce sábanas blancas. Cada 
una de las piezas de tela producidas, a partir de las cuales se obtendrán las sábanas, será considerada 
como válida siempre que no tenga más de un número determinado de pequeñas manchas. Pretendemos 
generar un gráfico C que nos permita visualizar el número de manchas de cada pieza. Usaremos los 
datos guardados en el archivo sabanas.mtw : 
 
 Seleccionar Stat > Control Charts > C... 
 
 Rellenar los campos como se indica: 
 
 
0 10 20 30 40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sample Number
S
a
m
p
le
 C
o
u
n
t
C Chart for Manchas
C=2,725
3,0SL=7,677
-3,0SL=0,00E+00
 
 
Dado que los puntos parecen seguir un patrón aleatorio y ninguno de ellos cae fuera de los límites de 
control de 3 sigma, podemos concluir que el proceso está bajo control. 
 
IV - 10 
IV. Gráficos de Control por Atributos 
GRÁFICO U________________________________________________________ 
 
 
El diagrama U está basado en el número de defectos por unidad de inspección producida. Los principios 
estadísticos que sirven de base al diagrama de control U se basan en la distribución de Poisson: 
 
Para construir el diagrama de control U empezamos por tomar k muestras X1, X2, ...,XK , de ni unidades 
cada una, i.e.: Xi = (Xi1, ..., Xi ni ). Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las 
muestras. 
 
• Para cada muestra se calcula el número uij de defectos de la unidad Xij , j = 1,...,ni . 
• Si denotamos por ci al número de defectos totales en la muestra i-ésima, es claro que. ∑==
in
j
iji uc
1
 • Por otro lado, si denotamos por ui al valor esperado de defectos en la muestra i-ésima, tendremos que 
∑==
in
j
ij
i
i u
n
u
1
1
. Observar pues que i
i
i c
n
1=u , i.e.: . iii nuc ⋅=
 
• Notar además que . [ ] [ ] [ ] unuEnnuEcE iiiiii ⋅≡⋅=⋅=
 • Es frecuente suponer que el número de defectos (sucesos no habituales) en una población grande sigue 
una distribución de Poisson. En este caso, supondremos que ci ≈ Po(ni u). 
 
• Se cumplirá que ( )ununN iini ⋅⋅ → ∞→ ,c y, por tanto,  → ∞→ ini nuuN ,u . 
 • Según el modelo de Shewart tendremos que: 
 
i
i
n
uuLIC
u
n
uuLSC
3
central Línea
3
−=
=
+=
 
 
 • Si u = E[ ui ] es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las 
k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control): 
 
∑==
k
i
iu
k
u
1
1
ˆ 
 • Como el tamaño muestral (ni ) es diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites según el 
modelo de Shewart, podemos optar por: 
 
1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no 
serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente), 
2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑==
k
i
in
k
n
1
1
. 
 
3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que 
obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que 
indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra. 
IV - 11 
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB 
EJEMPLOS DE APLICACIÓN_________________________________________ 
 
 
Ejemplo 1: Una compañía electrónica manufactura circuitos en lotes de 500 y quiere controlar la 
proporción de circuitos con fallos. 
 
Con este fin examina 20 lotes, obteniendo en cada lote el número de circuitos defectuosos que se indican en el 
archivo circuitos.mtw . 
 
Pretendemos analizar si el proceso está bajo control estadístico a partir de un gráfico P: 
20100
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
Sample Number
P
ro
p
o
rt
io
n
P Chart for defectuo
P=0,02000
3,0SL=0,03878
-3,0SL=0,001217
 
1
 
TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. 
Test Failed at points: 2 
 
 
Se observa que ha fallado el contraste 1 para causas especiales, lo cual indica que el proceso está fuera 
de control estadístico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV - 12 
IV. Gráficos de Control por Atributos 
Ejemplo 2: Una compañía textil utiliza un gráfico del número de defectos por unidad para controlar el 
número de defectos por metro cuadrado de tejido. El tejido se presenta en rollos de un metro de anchura y 
longitud variable, definiéndose la unidad de inspección como un metro cuadrado de tejido. Tras la inspección 
de 25 rollos se obtuvieron los datos de superficie (en metros cuadrados) y número de defectos por rollo 
almacenados en el archivo textil.mtw . 
 
Se pretende analizar si el proceso está o no bajo control usando un gráfico U. 
2520151050
0,7
0 ,6
0 ,5
0 ,4
0 ,3
0 ,2
0 ,1
0 ,0
Sam ple Num ber
S
a
m
p
le
 C
o
u
n
t
U Chart for defectos
U =0,2880
3 ,0SL=0 ,5740
-3 ,0SL=0,002076
A partir del gráfico anterior se concluye que el proceso parece estar bajo control estadístico, ya que no se 
observan problemas de puntos fuera de control, tendencias, ciclos, etc. 
 
 
Ejemplo 3: Se utiliza un gráfico del número de defectos C para controlar el número de automóviles con 
pintura defectuosa en nuevas series fabricadas recientemente. 20 series del mismo modelo son inspeccionadas 
y el número de automóviles con pintura defectuosa se ha registrado en el archivo autos.mtw . Estudiar si el 
proceso está o no bajo control. 
0 1 0 2 0
0
5
1 0
1 5
S am ple Num ber
S
a
m
p
le
 C
o
u
n
t
C C h a rt fo r d e fe c tu o
C = 6 ,2 0 0
3 ,0 S L = 1 3 ,6 7
-3 ,0 S L = 0 ,0 0 E + 0 0
1
 
A partir del gráfico anterior, se observa que el proceso no parece estar bajo control estadístico. 
IV - 13 
	IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
	INTRODUCCIÓN____________________________________�
	TESTS PARA CAUSAS ESPECIALES__________________________________
	GRÁFICO P_______________________________________�
	GRÁFICO NP______________________________________�
	GRÁFICO C_______________________________________�
	GRÁFICO U_______________________________________�
	EJEMPLOS DE APLICACIÓN__________________________�