Formula y Funciones en Trigonomentria (1)

Vista previa del material en texto

Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 1 
 
 
Unidad 5: FÓRMULAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
La característica que llama más la atención al alumno cuando estudia trigonometría 
es la enorme cantidad de fórmulas que tiene que aprender o memorizar. 
Localiza en tu libro de texto, o apuntes, las formulas trigonométricas que aparecen 
resaltadas como importantes. Allí hallarás una demostración y explicación de cómo se 
utilizan. 
Estas son algunas de las más utilizadas: 
 
 
 
 
 
 
 Presta atención al ejemplo que aparece resuelto en este video. 
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 2 
 
Video 5 – 1 – a : https://www.youtube.com/watch?v=KNKtro9N0nE 
 
 
Presta atención a la resolución del ejercicio de simplificación que aparece en el 
siguiente video. 
Video 5 – 2 – a : https://www.youtube.com/watch?v=_7SVKP74Pn4 
 
 
 
Presta atención a la resolución de todos los ejercicios de simplificación que aparecen 
en el siguiente video. 
 Video 5 – 2 – b : https://www.youtube.com/watch?v=8sN8sXqjl-A 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=KNKtro9N0nE
https://www.youtube.com/watch?v=_7SVKP74Pn4
https://www.youtube.com/watch?v=8sN8sXqjl-A
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 3 
 
 
Ejercicio 5 – 1.- (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS) 
 
Copia en tu cuaderno la resolución de los ejercicios de identidades trigonométricas 
que aparecen en el siguiente video. 
 Video 5 – 3 – a : https://www.youtube.com/watch?v=He7SY4kFDVA 
 
 
Ejercicio 5 – 2.- (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS) 
Copia en tu cuaderno la resolución de los ejercicios de identidades trigonométricas 
que aparecen en el siguiente video. 
 Video 5 – 3 – b : https://www.youtube.com/watch?v=A5mcbFkMJR0 
 
 
 
Aquí tienes otro ejemplo de la resolución de un ejercicio de identidades 
trigonométricas que aparece en el siguiente video. 
 Video 5 – 3 – c : https://www.youtube.com/watch?v=Yu63ixRvXkY 
https://www.youtube.com/watch?v=He7SY4kFDVA
https://www.youtube.com/watch?v=A5mcbFkMJR0
https://www.youtube.com/watch?v=Yu63ixRvXkY
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 4 
 
 
 
 
 
Y otro ejemplo más de la resolución del ejercicio de identidades trigonométricas que 
aparece en el siguiente video. 
 Video 5 – 3 – d : https://www.youtube.com/watch?v=5FioTmDE5Ho 
 
 
Ejercicio 5 – 3.- (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS) 
 
Ahora una para ti sin video de ayuda. 
Demuestra la siguiente identidad: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=5FioTmDE5Ho
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 5 
 
 
 
 Las ecuaciones trigonométricas son muy variadas. Te pido que resuelvas las 
más sencillas. 
 En primer lugar te muestro unas cuantas resueltas por mí mismo. 
 
Ejemplo 1.- (ecuación de primer grado) 
 
i) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación sen x = 0,4 
ii) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación sen x = - 0,4 
iii) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación cos x = 0,4 
iv) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación cos x = - 0,4 
v) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación tan x = 0,4 
vi) Averigua los ángulos que cumplen la ecuación tan x = - 0,4 
 
Solución: 
Este tipo de ecuaciones tiene como máximo dos soluciones. La calculadora científica 
nos permite averiguar una solución, la otra la averiguamos con un truco. Las resolveremos 
en grados; si el ejercicio pidiera la solución en radianes pues no hay problema, después los 
pasaríamos a radianes, como hemos visto en el ejercicio 1. 
 
i) SHIFT SEN-1 0,4 = y las calculadora nos da una solución 23º34º41º 
Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de seno son 
positivos. El otro ángulo estará en el segundo cuadrante, donde también los 
valores de seno son positivos. Este ángulo es 180 – A. 
Soluciones: 23º34º41º y 180 - 23º34º41º = 156º25º19º 
 
ii) SHIFT SEN-1 - 0,4 = y las calculadora nos da una solución. -23º34º41º 
Este ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde los valores de seno son 
negativos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores 
de seno son negativos. Este ángulo es el complementario 
180 – A. Soluciones: - 23º34º41º y 180 – (-23º34º41º) = 203º34º41º. Pero el 
ángulo negativo no se suele utilizar y lo pasamos a positivo sumándole 360º, y 
obtenemos 360 + (-23º34º41º) = 336º25º19º 
 
iii) SHIFT COS-1 0,4 = y las calculadora nos da una solución.87º42º27º. 
Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de coseno son 
positivos. El otro ángulo estará en el cuarto cuadrante, donde también los valores 
de coseno son positivos. Este ángulo es 360 – A. Soluciones: 87º42º27º. y 360 - 
87º42º27º = 272º17º33º 
 
iv) SHIFT COS-1 - 0,4 = y las calculadora nos da una solución.113º34º41º 
Este ángulo está situado en el segundo cuadrante donde los valores de coseno son 
negativos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores 
de coseno son negativos. Este ángulo es el complementario 360 – A. Soluciones: 
113º34º41º y 360 - 113º34º41º = 246º25º19º 
 
v) SHIFT TAN -1 0,4 = y las calculadora nos da una solución. 21º48º5º 
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 6 
 
Este ángulo está situado en el primer cuadrante donde los valores de tangente son 
positivos. El otro ángulo estará en el tercer cuadrante, donde también los valores 
de tangente son positivos. Este ángulo es 180 + A. Soluciones: 21º48º5º y 180 + 
21º48º5º = 201º48º5º 
 
vi) SHIFT TAN-1 - 0,4 = y las calculadora nos da una solución. -21º48º5º 
Este ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde los valores de tangente son 
negativos. El otro ángulo estará en el segundo cuadrante, donde también los 
valores de seno son negativos. Este ángulo es 180 + A. Soluciones: - 21º48º5º y 
180 + (-21º48º5º) = 158º11º55º. Pero el ángulo negativo no se suele utilizar y lo 
pasamos a positivo sumándole 360º, y obtenemos 360 + (-21º48º5º) = 
338º11º55º 
 
 
 
 
Atención signo de las razones trigonométricas 
Seno Coseno 
En estos esquemas vemos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante. 
Mientras que el coseno es positivo en el primero y el cuarto. Existe otro esquema similar 
para la tangente que es positiva en el primero y el tercero. 
 
 
Recuerda Ecuaciones trigonométricas básicas 
 
 SOLUCIONES SOLUCIONES SOLUCIONES 
sen x = 1 x = 90º cos x = 1 x = 0º tan x = 1 x = 45º y 225º 
sen x = 0 x = 0º y 180º cos x = 0 x = 90º y 270º tan x = 0 x = 0º y 180º 
sen x = -1 X = 270º cos x = - 
1 
x = 180º tan x = - 
1 
x = 135º y 315º 
 
 
Las ecuaciones de la tabla anterior son muy importantes y los estudiantes de 
matemáticas superiores de los últimos cien años(al menos) han terminado memorizándolas, 
pero la cuestión no es memorizar sino aprender. Estos resultados se obtienen del estudio del 
círculo goniométrico de la unidad 4. 
 
NOTA IMPORTANTE 
 
 sen A = número, los dos valores del ángulo A son: 
 A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 180 – A1 
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 7 
 
cos A = número, los dos valores del ángulo A son: 
 A1 el que se obtiene con lacalculadora y el otro A2 = 360 – A1 
tan A = número, los dos valores del ángulo A son: 
 A1 el que se obtiene con la calculadora y el otro A2 = 180 + A1 
 
 
Ejercicio 5 – 4.-(DOS ÁNGULOS CON UNA MISMA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA) 
 
 Resuelve el siguiente ejercicio ayudándote del ejemplo anterior. 
En cada caso halla, en grados, dos valores para el ángulo A tales que: 
a) sen A = 0,32 ; b) cos A = 0,58 ; c) tan A = - 1,5 ; d) sen A = - 0,63 
 
 
Ejemplo 2.- (ecuación de segundo grado) 
 
Presta atención al siguiente ejercicio. Tiene cuatro apartados. En el apartado a) 
encontramos una ecuación de segundo grado completa y aplicamos la fórmula. En los dos 
siguientes las ecuaciones son incompletas y no se aplica la fórmula sino el procedimiento 
correspondiente; despejar con la raíz cuadrada o sacar factor común. La última ecuación es 
más difícil pues mezcla dos razones trigonométricas distintas, el seno y el coseno, y en este 
caso debemos recurrir a la fórmula fundamental de la trigonometría (seno)
2
 +(coseno)
2
 = 1, 
para despejar y sustituir. 
 
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 8 
 
 
 
Observa de qué manera al resolver una ecuación trigonométrica de segundo grado se 
obtienen una o dos ecuaciones de primer grado, como las del ejemplo 1. Por lo tanto ya te 
has dado cuenta de que resolver una de estas ecuaciones es un laborioso ejercicio de cálculo. 
 
 
Ejercicio 5 – 5.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE SEGUNDO GRADO) 
 
Resuelve el siguiente ejercicio ayudándote del ejemplo anterior. Soluciona las 
siguientes ecuaciones trigonométricas: 
a) ; b) ; c) √ 
 
 
 
Ejercicio 5 – 6.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS) 
 
Resuelve la ecuación trigonométrica que aparece en el siguiente video, pero sustituye 
senx por cosx. 
Video 5 – 4 – e : https://www.youtube.com/watch?v=3RzvkD0XJw8 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=3RzvkD0XJw8
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 9 
 
Ejercicio 5 – 7.-(ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS) 
 
Resuelve la ecuación trigonométrica que aparece en el siguiente video. Pero sustituye 
el 1 por -1. 
Video 5 – 4 – f : https://www.youtube.com/watch?v=F6G56eccQV0 
 
 
 
 
En matemáticas utilizamos una medida de ángulos diferente a los grados, y son los 
radianes. Debes conocer esta unidad de medida. 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=F6G56eccQV0
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 10 
 
 
 
 
 
Atención la calculadora en trigonometría 
 
Podemos trabajar en grados DEG o radianes RAD. Para seleccionar uno u otro, debes pulsar 
la tecla MODE dos veces y elegir 1 o 2. Si trabajas en radianes usarás el número , lo 
encontrarás en la calculadora como segunda función en la última fila tercera columna, en 
color marrón. Ya sabes que para obtenerlo debes pulsar antes la tecla SHIFT. 
 
Truco Pasar de radianes a grados y viceversa 
 
 
 
 
 Así el resultado es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 11 
 
Ejercicio 5 – 8.-(PASAR DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA) 
 
i) Resuelve el siguiente ejercicio utilizando las explicaciones anteriores. 
 
ii) Resuelve el siguiente ejercicio utilizando las explicaciones anteriores. 
 
 
 
Ejercicio 5 – 9.-(PASAR DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA) 
 
 
 
 
Ejercicio 5 – 10.-(GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS) 
 
Investiga en tu libro de texto y escribe en tu cuaderno las características más 
importantes de cada una de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. 
 
 
Una función trigonométrica aparece representada en el siguiente video. Presta 
atención a la detallada explicación. 
Video 5 – 7 – a: https://www.youtube.com/watch?v=VxSyRH_sWwU 
 
https://www.youtube.com/watch?v=VxSyRH_sWwU
Curso 2018 - 2019 MATEMATICAS I 
Unidad 5; Fórmulas y funciones trigonométricas 
 
Unidad 5: Fórmulas y funciones trigonométricas Página 12 
 
 
 Otra función trigonométrica muy diferente aparece en el siguiente video. Presta 
atención a la detallada explicación. 
Video 5 – 7 – b: https://www.youtube.com/watch?v=IqrX6E8VHl8 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=IqrX6E8VHl8