Hiperbolica

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Funciones Hiperbólicas
Funciones Hiperbólicas
Who? Verónica Briceño V.
When? noviembre 2013
En esta Presentación...
En esta Presentación veremos:
Definición de Funciones Hiperbólicas
Grafica
Identidades
Ecuaciones
Derivadas
Integrales
Funciones Hiperbólicas Inversas
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Definición de Funciones Hiperbólicas
Grafica
Identidades
Ecuaciones
Derivadas
Integrales
Funciones Hiperbólicas Inversas
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Definición de Funciones Hiperbólicas
Grafica
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Derivadas
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Grafica
Identidades
Ecuaciones
Derivadas
Integrales
Funciones Hiperbólicas Inversas
Funciones Hiperbólicas
Sabemos:
Funciones
Trigonométri-
cas
Se definen sobre la circunferencia
Ahora
Funciones
Hiperbólicas
Se definen sobre la hierbóla.
Nosotros veremos una perspectiva analı́tica
Funciones Hiperbólicas
Sabemos:
Funciones
Trigonométri-
cas
Se definen sobre la circunferencia
Ahora
Funciones
Hiperbólicas
Se definen sobre la hierbóla.
Nosotros veremos una perspectiva analı́tica
Funciones Hiperbólicas
Sabemos:
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cas
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Ahora
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Ahora
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Sabemos:
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cas
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Ahora
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Hiperbólicas
Se definen sobre la hierbóla.
Nosotros veremos una perspectiva analı́tica
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Ahora
Funciones
Hiperbólicas
Se definen sobre la hierbóla.
Nosotros veremos una perspectiva analı́tica
Seno Hiperbólico
Definición
sen h : R −→ R, sen h(x) = e
x − e−x
2
Seno Hiperbólico
Definición
sen h : R −→ R, sen h(x) = e
x − e−x
2
Coseno Hiperbólico
Definición
cos h : R −→ R, cos h(x) = e
x + e−x
2
Coseno Hiperbólico
Definición
cos h : R −→ R, cos h(x) = e
x + e−x
2
Tangente Hiperbólica
Definición
tg h : R −→ R, tg h(x) = sen h(x)
cos h(x)
=
ex − e−x
ex + e−x
Tangente Hiperbólica
Definición
tg h : R −→ R, tg h(x) = sen h(x)
cos h(x)
=
ex − e−x
ex + e−x
Cosecante Hiperbólica
Definición
cosec h : R− {0} −→ R;
cosec h(x) =
1
sen h(x)
=
2
ex − e−x
Cosecante Hiperbólica
Definición
cosec h : R− {0} −→ R;
cosec h(x) =
1
sen h(x)
=
2
ex − e−x
Secante Hiperbólica
Definición
sec h : R −→ R;
sec h(x) =
1
cos h(x)
=
2
ex + e−x
Secante Hiperbólica
Definición
sec h : R −→ R;
sec h(x) =
1
cos h(x)
=
2
ex + e−x
Cotangente Hiperbólica
Definición
cotg h : R− {0} −→ R;
cotg h(x) =
cos h(x)
sen h(x)
=
ex + e−x
ex − e−x
Cotangente Hiperbólica
Definición
cotg h : R− {0} −→ R;
cotg h(x) =
cos h(x)
sen h(x)
=
ex + e−x
ex − e−x
Propiedades
1 sen h(0) = 0
2 cos h(0) = 1
3 sen h es impar
4 cos h es par
Propiedades
1 sen h(0) = 0
2 cos h(0) = 1
3 sen h es impar
4 cos h es par
Propiedades
1 sen h(0) = 0
2 cos h(0) = 1
3 sen h es impar
4 cos h es par
Propiedades
1 sen h(0) = 0
2 cos h(0) = 1
3 sen h es impar
4 cos h es par
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Identidades Hiperbólicas
∀x ∈ R se verifica:
1 cos h2(x)− sen h2(x) = 1
2 1− tg h2(x) = sec h2(x)
3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
4 cos h(2x) = cos h2x + sin h2x
∀x , y ∈ R se verifica:
1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
Demostrar!!!
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:
tg h(2x) = 2 tg h(x)1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h
2(x)
1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:
tg h(2x) = 2 tg h(x)1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h
2(x)
1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:
tg h(2x) = 2 tg h(x)1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h
2(x)
1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:tg h(2x) = 2 tg h(x)1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h
2(x)
1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ejercicios Propuestos:
Demostrar:
tg h(2x) = 2 tg h(x)1+tg h2(x)
sen h(2x) = 2 tg h(x)1−tg h2(x)
cos h(2x) = 1−tg h
2(x)
1+tg h2(x)
sen h2(x) = cos h(x)−12
cos h2(x) = cos h(x)+12
Ecuaciones
En general
Resolver una ecuación significa encontrar el o los
valores que hacen que la igualdad sea verdadera.
Ası́,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)
tg h(2x) = 1
cos h(x) = 2
Ecuaciones
En general
Resolver una ecuación significa encontrar el o los
valores que hacen que la igualdad sea verdadera.
Ası́,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)
tg h(2x) = 1
cos h(x) = 2
Ecuaciones
En general
Resolver una ecuación significa encontrar el o los
valores que hacen que la igualdad sea verdadera.
Ası́,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)
tg h(2x) = 1
cos h(x) = 2
Ecuaciones
En general
Resolver una ecuación significa encontrar el o los
valores que hacen que la igualdad sea verdadera.
Ası́,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)
tg h(2x) = 1
cos h(x) = 2
Ecuaciones
En general
Resolver una ecuación significa encontrar el o los
valores que hacen que la igualdad sea verdadera.
Ası́,
Ejemplos Resolver:
cos h(2x) = cos h2(x)− sen h2(x)
tg h(2x) = 1
cos h(x) = 2
Ejercicios Propuestos
1 Resolver los sistemas:
a)
sen h(x) + cos h(y) = 1
cos h(x) + sen h(y) = 1
b)
sen h(x + y) = 2
tg h(x − y) = 0
Ejercicios Propuestos
21 Resolver los sistemas:
a)
sen h(x) + cos h(y) = 1
cos h(x) + sen h(y) = 1
b)
sen h(x + y) = 2
tg h(x − y) = 0
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
21 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Derivadas
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones
racionales de las funciones diferenciables ex y e−x
luego son derivables en todo punto donde ellas estén
definidas.
1 ddx (sin h(x)) = cos h(x)
2 ddx (cos h(x)) = sen h(x)
3 ddx (tg h(x)) = sec h
2x
4 ddx (cotg h(x)) = − cosec h
2(x)
5 ddx (sec h(x)) = − sec h(x) tg h(x)
6 ddx (cosec h(x)) = − cosec h(x) cotg h(x)
Demostrar!!!
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1
∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2
∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C
3
∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4
∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5
∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6
∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1
∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2
∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C
3
∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4
∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5
∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6
∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1
∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2
∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C
3
∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4
∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5
∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6
∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1
∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2
∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C
3
∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4
∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5
∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6
∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1
∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2
∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C
3
∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4
∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5
∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6
∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1
∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2
∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C
3
∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4
∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5
∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6
∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Integrales
En forma directa, obtenemos:
1
∫
sen h(x)dx = cos h(x) + C
2
∫
cos h(x)dx = sen h(x) + C
3
∫
sec h2(x)dx = tgh(x) + C
4
∫
cosec h2(x)dx = − cotg h(x) + C
5
∫
sec h(x) tg h(x)dx = − sec h(x) + C
6
∫
cosec h(x) cotg h(x)dx = − cosec h(x) + C
Ejercicios Propuestos
Calcular:
d
dt (tg h(
√
1 + t2))∫
cotg h(5x)dx∫ 1
0 sen h
2(x)dx∫ ln 2
0 e
x sen h(x)dx
d
dx (
ex−e−x
ex+e−x )
3
Ejercicios Propuestos
Calcular:
Hallar dydx en:
a) y = 14 sen h(2x)−
1
2
b) y = ln tg h(2x)
Si x = senh(t) e y = sen h(pt), pruebe que:
(1 + x2)
d2y
dx2
+ x
dy
dx
= p2y
Demostrar que:
sen h(a+bi) = sen h(a) cos h(b)+ i sen h(b) cos h(a).
A partir de esto, calcular: sen h(1 + π2 i)
Funciones Hiperbólicas Inversas
Recordar:
No todas las funciones hiperbólicas son biyectivas.
En algunos casos debemos restringir el dominio y
codominio para poder definir la inversa.
Funciones Hiperbólicas Inversas
Recordar:
No todas las funciones hiperbólicas son biyectivas.
En algunos casos debemos restringir el dominio y
codominio para poder definir la inversa.
Funciones Hiperbólicas Inversas
Recordar:
No todas lasfunciones hiperbólicas son biyectivas.
En algunos casos debemos restringir el dominio y
codominio para poder definir la inversa.
Inversa de Seno Hiperbólico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:
arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbólico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:
arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbólico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:
arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbólico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:
arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
Inversa de Seno Hiperbólico
Como.... sen h : R −→ R es biyectiva.
Se define... sen h−1 : R −→ R como:
arc sen h(x) = sen h−1(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
Inversa: Coseno Hiperbólico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:
arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√
x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbólico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:
arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√
x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbólico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:
arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√
x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbólico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:
arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√
x2 − 1)
Inversa: Coseno Hiperbólico
Como... cos h : [0,+∞[−→ [1,+∞[ es biyectiva
Se define... cos h−1 : [1,+∞[−→ [0,+∞[ como:
arc cos h(x) = cos h−1(x) = ln(x +
√
x2 − 1)
Notar que:
√
x2 − 1 > 0, pues x > 1
Como x +
√
x2 − 1 > 1 entonces cosh−1(x) > 0
Notar que:
√
x2 − 1 > 0, pues x > 1
Como x +
√
x2 − 1 > 1 entonces cosh−1(x) > 0
Inversa: Tangente Hiperbólica
Como... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:
arc tg h(x) = tg h−1(x) = 12 ln(
1+x
1−x )
Inversa: Tangente Hiperbólica
Como... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:
arc tg h(x) = tg h−1(x) = 12 ln(
1+x
1−x )
Inversa: Tangente Hiperbólica
Como... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:
arc tg h(x) = tg h−1(x) = 12 ln(
1+x
1−x )
Inversa: Tangente Hiperbólica
Como... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:
arc tg h(x) = tg h−1(x) = 12 ln(
1+x
1−x )
Inversa: Tangente Hiperbólica
Como... tg h : R −→]− 1,1[ es biyectiva
Se define... tg h−1 :]− 1,1[−→ R como:
arc tg h(x) = tg h−1(x) = 12 ln(
1+x
1−x )
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Mas aún, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ R
Además, 1+x1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Mas aún, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ R
Además, 1+x1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Mas aún, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ R
Además, 1+x1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Mas aún, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ R
Además, 1+x1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Notar que:
tgh(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Mas aún, −1 < tgh(x) < 1,∀x ∈ R
Además, 1+x1−x > 0 ssi x ∈]− 1,1[
Demostrar!
Inversa: Cosecante Hiperbólica
Como... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+
√
x2+1
x )
Inversa: Cosecante Hiperbólica
Como... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+
√
x2+1
x )
Inversa: Cosecante Hiperbólica
Como... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+
√
x2+1
x )
Inversa: Cosecante Hiperbólica
Como... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+
√
x2+1
x )
Inversa: Cosecante Hiperbólica
Como... cosec h :]0,+∞[−→]0,+∞[ es biyectiva
Se define... cosec h−1 :]0,+∞[−→]0,+∞[ como:
arc cosec h(x) = cosec h−1(x) = ln(1+
√
x2+1
x )
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R
1 +
√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+
√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R
1 +
√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+
√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R
1 +
√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+
√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R
1 +
√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+
√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Notar que:
1 + x2 ≥ 0 ssi x ∈ R
1 +
√
1 + x2 > 0,∀x ∈ R
Por tanto, 1+
√
1+x2
x solo si x > 0
Demostrar!
Inversa: Secante Hiperbólica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+
√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbólica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+
√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbólica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+
√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbólica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+
√
1−x2
x )
Inversa: Secante Hiperbólica
Como... sec h : [0,+∞[−→]0,1] es biyectiva
Se define... sec h−1 :]0,1] −→ [0,+∞[ como:
arc sec h(x) = sec h−1(x) = ln(1+
√
1−x2
x )
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]
1 +
√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+
√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]
1 +
√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+
√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]
1 +
√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+
√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]
1 +
√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+
√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Notar que:
1− x2 ≥ 0 ssi x ∈ [−1,1]
1 +
√
1− x2 > 0,∀x ∈ [−1,1]
Por tanto, 1+
√
1−x2
x solo si x ∈]0,1]
Demostrar!
Inversa: Cotangente Hiperbólica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:
arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 12 ln(
x+1
x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbólica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:
arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 12 ln(
x+1
x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbólica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:
arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 12 ln(
x+1
x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbólica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:
arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 12 ln(
x+1
x−1)
Inversa: Cotangente Hiperbólica
Como... cotg h : R− {0} −→]−∞,−1[∪]1,+∞[ es biyectiva
Se define... cotg h−1 :]−∞,−1[∪]1,+∞[−→]R− {0} como:
arc cotg h(x) = cotg h−1(x) = 12 ln(
x+1
x−1)
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Además, x+1x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Además, x+1x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Además, x+1x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Notar que:
cotg h(x) 6= ±1, ∀x ∈ R
Además, x+1x−1 > 0 ssi x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[
Demostrar!
Ejercicios Propuestos
Obtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendo
senh(x) = 1
2
√
6
Determinar x ∈ R tal que
senh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0
Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(
√
e)
Resolver los sistemas:
a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)
cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios Propuestos
Obtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendo
senh(x) = 1
2
√
6
Determinar x ∈ R tal que
senh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0
Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cosh(x)) = 4ln(
√
e)
Resolver los sistemas:
a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)
cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios Propuestos
Obtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendo
senh(x) = 1
2
√
6
Determinar x ∈ R tal que
senh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0
Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(
√
e)
Resolver los sistemas:
a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)
cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios Propuestos
Obtener, sin utilizar calculadora ,cotgh(2x), siendo
senh(x) = 1
2
√
6
Determinar x ∈ R tal que
senh4(x)− 2 cos h2(x)− 1 = 0
Resolver:
2ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4ln(
√
e)
Resolver los sistemas:
a)
arc sen h(x) = 2arc sen h(y)
3 ln(x) = 2 ln(y)
b)
cos h(x) + cos h(y) = a
sen h(x) + sen h(y) = b
Ejercicios Propuestos
Demostrar:
a) y = a cos h(xa ) verifica y
′′ = 1a
√
1 + y ′2
b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verifica
y ′′ = b2y (A;B; b ctes)
Ejercicios Propuestos
Demostrar:
a) y = a cos h(xa ) verifica y
′′ = 1a
√
1 + y ′2
b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verifica
y ′′ = b2y (A;B; b ctes)
Ejercicios Propuestos
Demostrar:
a) y = a cos h(xa ) verifica y
′′ = 1a
√
1 + y ′2
b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verifica
y ′′ = b2y (A;B; b ctes)
Integrales
En relación a las funciones hiperbólicas inversas
tenemos:
1
∫ dx√
a2+x2
= arc sen h(xa ) + C,a > 0
2
∫ dx√
a2−x2
= arc sen h(xa ) + C, x > a > 0
3
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc tg h(
x
a ) + C, x
2 < a2
4
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc cotg h(
x
a ) + C, x
2 > a2
5
∫ dx
x
√
a2−x2
= −1aarc sec h(
x
a ) + C,0 < x < a
6
∫ dx
x
√
a2+x2
= −1aarc cosec h(
x
a ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relación a las funciones hiperbólicas inversas
tenemos:
1
∫ dx√
a2+x2
= arc sen h(xa ) + C,a > 0
2
∫ dx√
a2−x2
= arc sen h(xa ) + C, x > a > 0
3
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc tg h(
x
a ) + C, x
2 < a2
4
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc cotg h(
x
a ) + C, x
2 > a2
5
∫ dx
x
√
a2−x2
= −1aarc sec h(
x
a ) + C,0 < x < a
6
∫ dx
x
√
a2+x2
= −1aarc cosec h(
x
a ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relación a las funciones hiperbólicas inversas
tenemos:
1
∫ dx√
a2+x2
= arc sen h(xa ) + C,a > 0
2
∫ dx√
a2−x2
= arc sen h(xa ) + C, x > a > 0
3
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc tg h(
x
a ) + C, x
2 < a2
4
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc cotg h(
x
a ) + C, x
2 > a2
5
∫ dx
x
√
a2−x2
= −1aarc sec h(
x
a ) + C,0 < x < a
6
∫ dx
x
√
a2+x2
= −1aarc cosec h(
x
a ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relación a las funciones hiperbólicas inversas
tenemos:
1
∫ dx√
a2+x2
= arc sen h(xa ) + C,a > 0
2
∫ dx√
a2−x2
= arc sen h(xa ) + C, x > a > 0
3
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc tg h(
x
a ) + C, x
2 < a2
4
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc cotg h(
x
a ) + C, x
2 > a2
5
∫ dx
x
√
a2−x2
= −1aarc sec h(
x
a ) + C,0 < x < a
6
∫ dx
x
√
a2+x2
= −1aarc cosec h(
x
a ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relación a las funciones hiperbólicas inversas
tenemos:
1
∫ dx√
a2+x2
= arc sen h(xa ) + C,a > 0
2
∫ dx√
a2−x2
= arc sen h(xa ) + C, x > a > 0
3
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc tg h(
x
a ) + C, x
2 < a2
4
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc cotg h(
x
a ) + C, x
2 > a2
5
∫ dx
x
√
a2−x2
= −1aarc sec h(
x
a ) + C,0 < x < a
6
∫ dx
x
√
a2+x2
= −1aarc cosec h(
x
a ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relación a las funciones hiperbólicas inversas
tenemos:
1
∫ dx√
a2+x2
= arc sen h(xa ) + C,a > 0
2
∫ dx√
a2−x2
= arc sen h(xa ) + C, x > a > 0
3
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc tg h(
x
a ) + C, x
2 < a2
4
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc cotg h(
x
a ) + C, x
2 > a2
5
∫ dx
x
√
a2−x2
= −1aarc sec h(
x
a ) + C,0 < x < a
6
∫ dx
x
√
a2+x2
= −1aarc cosec h(
x
a ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Integrales
En relación a las funciones hiperbólicas inversas
tenemos:
1
∫ dx√
a2+x2
= arc sen h(xa ) + C,a > 0
2
∫ dx√
a2−x2
= arc sen h(xa ) + C, x > a > 0
3
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc tg h(
x
a ) + C, x
2 < a2
4
∫ dx
a2−x2 =
1
aarc cotg h(
x
a ) + C, x
2 > a2
5
∫ dx
x
√
a2−x2
= −1aarc sec h(
x
a ) + C,0 < x < a
6
∫ dx
x
√
a2+x2
= −1aarc cosec h(
x
a ) + C, x 6= 0,a > 0
Demostrar!!!
Ejercicios Propuestos
Calcular:∫ dx
(x+1)
√
x2+2x+2
∫ 1
0 x
√
x2 − 2x + 2dx∫ 1−cos( x3 )
sen x2
dx
Ejercicios Propuestos
Calcular:∫ dx
(x+1)
√
x2+2x+2∫ 1
0 x
√
x2 − 2x + 2dx
∫ 1−cos( x3 )
sen x2
dx
Ejercicios Propuestos
Calcular:∫ dx
(x+1)
√
x2+2x+2∫ 1
0 x
√
x2 − 2x + 2dx∫ 1−cos( x3 )
sen x2
dx