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Número irracional
En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción m⁄n, donde m y n sean
enteros y n sea diferente de cero.1 Es cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni exacta ni
periódica.1 
Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como √7 = 2,645751311064591... no puede representar un número
racional. A tales números se les nombra "números irracionales". Esta denominación significa la imposibilidad de representar
dicho número como razón de dos números enteros.2 El número pi ( ), número e y el número áureo ( ) son otros ejemplos de
números irracionales.1 
Historia
Notación
Clasificación
Propiedades
Véase también
Notas
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número
fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.3 Al identificar del
modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se
atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500 a. C.) y su escuela el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta
inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de
recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.3 
Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una
convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta
última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.
Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron
estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad
tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo
no se reconocieron como verdaderos números.3 
Índice
Historia
Notación
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
https://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras
No existe una notación universal para indicarlos, como , que es generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de
Números Irracionales no constituyen alguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales ( ), los enteros ( ), los racionales
( ), los reales ( ) y los complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales
como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,
Los números irracionales son los elementos de la recta real que cubren los vacíos que dejan los números racionales, ya que
muchas sucesiones de racionales tienen como límite un número que no es un número racional.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se
caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Puede definirse al número irracional como una fracción decimal
no periódica infinita.4 En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al
número irracional referido, y se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7
decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los decimales que faltan. Debido a ello, los
números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos:
1. (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182...): 
3. (Número "áureo" 1,6180...): 
4. las soluciones reales de x2 - 3 = 0; de x5 -7 = 0; de x3 = 11; 3x = 5; sen 7º, etc4 
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1. Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados en algunos casosn. 1 ; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo
miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no
exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la
ecuación algebraica , por lo que es un número irracional algebraico.
2. Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas;
provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.)
También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo
definido, respectivamente, como los dos siguientes:
...
...
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser
solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales
trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales.
Por extensión, los números reales tampoco son numerables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.
Sean las expresiones donde , implica que 5 
Clasificación
Propiedades
https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_numerable
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva
La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional. Si 
El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional. Si 
El cociente entre un racional no nulo y un irracional, es un número irracional.Si 
El inverso de un número irracional es número irracional. Si 
Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de
segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría
no numerable, son irracionales.
El número de Gelfond (2√2) es un número irracional trascendente6 
La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz
enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional7 
Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que
dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.7 
La medida de Lebesgue de cualquier intervalo cerrado del tipo es igual a la medida b-a. Eso implica que
si existiera un procedimiento para seleccionar al azar un número de dicho intervalo, con probabilidad1 el
número obtenido sería irracional.
Cualquier número irracional que está en un intervalo abierto de números reales es punto de acumulación de los
números reales de tal intervalo, como de los números irracionales del mismo. Por ejemplo: √5 es punto de
acumulación de los números reales del intervalo K = <1;4>, como también de los números irracionales de K.8 
El conjunto de los números irracionales es equivalente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los números
reales.9 
Número normal
Clasificación de números
Complejos 
Reales 
Racionales 
Enteros 
Naturales 
uno: 1
Naturales
primos
Naturales
compuestos
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Exactos
Periódicos
Puros
Mixtos
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios
Véase también
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Gelfond-Schneider
https://es.wikipedia.org/wiki/Medida_de_Lebesgue
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_normal
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Uno
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario
1. Se supone que las raíces de una ecuación algebraica de quinto grado son números algebraicos, pero no siempre
es posible representar por radicales: Galois y Abel.
 Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número irracional.
Números Irracionales (http://numerosirracionales.com) Más información sobre números irracionales
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1. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso
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Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco
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Bruño, Sociedad Limitada. p. 14. ISBN 9788421659854.
2. Trejo, 1973
3. Rodriquez Macías, 1988, p. 2
4. Kalnin, 1988
5. Burton W. Jones, Teoría de los números, Editorial F.
Trillas, México 1969
6. González y Mancill, 1962
7. Courant y John, 1996
8. Horvath, 1969
9. Kuratowski, 1966
Trejo, César A. (1973). El concepto de número (2ª
edición). Washington. D.C.: Ediciones de OEA.
Rodríguez Macías, Raúl (1988). Cálculo diferencial
e integral. La Habana: Editorial Pueblo y Educación.
Kalnin, R.A. (1988). Álgebra y funciones
elementales. Moscú: Editorial Mir.
Courant, Richard; John, Fritz (1996). Introducción al
cálculo y al análisis matemático 1. Limusa.
ISBN 9681806409.
González, M.O.; Mancill, J.D. (1962). Álgebra
elemental moderna 1. Buenos Aires: Kapeluz.
Horvath, Juan (1969). Introducción a la topología
general. Washington D.C.: Programa Regional de
Desarrollo Científico Tecnológico, Departamentos de
Asuntos Científicos, Secretaría General de la OEA.
Kuratowski, Kazimierz (1966). Introducción a la
Teoría de Conjuntos y a la Topología. Vicens-Vives.
Notas
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikcionario
https://es.wiktionary.org/wiki/n%C3%BAmero_irracional
http://numerosirracionales.com/
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_irracional&oldid=118604325
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_3.0_Unported
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https://wikimediafoundation.org/wiki/Privacy_policy
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https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9788421659854
https://es.wikipedia.org/wiki/Washington._D.C.
https://es.wikipedia.org/wiki/La_Habana
https://es.wikipedia.org/wiki/Mosc%C3%BA
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9681806409
https://es.wikipedia.org/wiki/Buenos_Aires
https://es.wikipedia.org/wiki/Organizaci%C3%B3n_de_los_Estados_Americanos