tema_Dif_Integracion_2009

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TEMA 8:
DERIVACION E INTEGRACION 
Numérica 
Métodos Numéricos
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
�Polinomio de interpolación es aplicable para la resolución de 
problemas de diferenciación, en general y el cálculo de derivadas, en 
particular.
�Dada una tabla de valores de la función f(x) para diversos valores de 
x, se puede determinar el polinomio de interpolación que, satisfaciendo 
a los valores dados, represente con cierto grado de aproximación a f(x). 
�De acuerdo a lo anterior, es posible calcular, de manera más o 
menos precisa, la derivada f'(x), de la función en cuestión.
�Se puede hallar en general y por única vez, las derivadas sucesivas 
de la fórmula de interpolación y aplicarlas a cada caso particular.
2
ETSII-UPM
Derivación numérica (1/2)
� Se trata de evaluar numéricamente la derivada de una función f(x) a 
partir de valores numéricos de dicha función. 
� Se puede comenzar con una aproximación intuitiva y geométrica 
– De la definición de derivada como límite, se puede aproximar la derivada: 
–
–
– Geométricamente se pueden considerar tres variantes: 
–
x x+h
f(x)
f(x+h)
xx−h
f(x)
f(x−h)
f(x+h)
xx−h
f(x−h)
x+h
f(x)
fórmula avanzada fórmula atrasada fórmula centrada
ETSII-UPM
Derivación numérica (2/2)
� En el cálculo numérico de derivadas se cometen errores importantes 
– En principio, parece evidente que al disminuir h se reduce el error. 
– Ejemplo: derivada de ex en x=1 (valor exacto 2.71828182845905) 
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
– El error disminuye con h al principio, pero hay un momento en que aumenta. 
– El error mínimo se produce aproximadamente cuando h=log10(eps)/2.
0.053746569358672.664535259100380.000000000000032.718281828459071e-14
0.004896756275162.713385072183880.000000000000272.718281828459321e-13
0.000011774966812.718270053492230.000000000002722.718281828461761e-12
0.000011774966812.718270053492230.000000000027182.718281828486231e-11
0.000002893182622.718278935276430.000000000271832.718281828730871e-10
0.000000228647362.718281599811690.000000002718282.718281831177331e-09
0.000000051011672.718281777447370.000000027182822.718281855641861e-08
-0.000000135505802.718281963964840.000000271828202.718282100287241e-07
-0.000001358527482.718283186986530.000002718283192.718284546742231e-06
-0.000013591453262.718295419912310.000027182954202.718309011413241e-05
-0.000135918619442.718417747078480.000271841774712.718553670233751e-04
-0.001359594073742.719641422532780.002719641422532.721001469881581e-03
-0.013636827328032.731918655787080.027319186557872.745601015016921e-02
-0.140560126414832.858841954873880.285884195487393.004166023946431e-01
errorf'(x)f(x+h)-f(x)f(x+h)h
3
ETSII-UPM
Análisis del error
� Fórmulas avanzadas 
– Se pueden obtener a partir del desarrollo en serie de Taylor: 
�
y en este caso se dice que el error es de orden 1 óorden h: O(h).
� Para la fórmula centrada 
– Se realiza el desarrollo en serie de Taylor en x+h y en x−h:
–
–
–
– Restando miembro a miembro y suponiendo que f''' es continua: 
�
de donde se llega finalmente a: 
–
–
– La fórmula centrada es de orden 2 y por tanto más precisa que las otras dos.
2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2! 2!
f f x h f x f
f x h f x f x h h f x h
h
ζ ζ′′ ′′+ −′ ′+ = + + ⇒ = −
2 31( ) ( )( ) ( ) ( ) +
2! 3!
f x f
f x h f x f x h h h
ζ′′ ′′′′+ = + +
2 32( ) ( )( ) ( ) ( )
2! 3!
f x f
f x h f x f x h h h
ζ′′ ′′′′− = − + −
( )
3 3
1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )3! 3!
h h
f x h f x h hf x f f hf x fζ ζ ζ′ ′′′ ′′′ ′ ′′′+ − − = + + = +
2
2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 3! 2
f x h f x h h f x h f x h
f x f O h
h h
ζ+ − − + − −′ ′′′= + = +
DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE 
INTERPOLACION
La metodología descripta implica el uso de cualquiera de las 
fórmulas de interpolación estudiadas. Se desarrolla un caso 
particular.
La fórmula de NEWTON-GREGORY Ascendente, en la cual se ha 
hecho la transformación x=x0 +hu, para facilitar su uso:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−∆+∆+=+=
!2
1
0
2
000
uu
xfuxfxfuhxfxf
( ) ( )( ) K+−−∆+
!3
21
0
3 uuuxf (8.1)
4
DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE 
INTERPOLACION (2)
Derivando respecto de la variable u, se obtiene: 
( ) ( ) ( ) ( ) K++−∆+−∆+∆=+′
6
263
2
12 2
0
3
0
2
00
uu
xf
u
xfxfuhxfh
y para x=x0 ; vale decir, para u=0, resulta la ecuación: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∆−∆+∆−∆=′ 04030200 4
1
3
1
2
1
xfxfxfxfxfh (8.2)
DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE 
INTERPOLACION (3)
Análogamente, para la derivada segunda se obtiene la expresión: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) K++−∆+−∆+∆=+′′
12
11186
1
2
0
4
0
3
0
2
0
2 uuxfuxfxfuhxfh
y para x=x0 ; o sea, haciendo u=0, resulta la ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) K−∆+∆−∆=′′ 04030202 12
11
xfxfxfxfh (8.3)
Este procedimiento puede ser iterado tantas veces como se necesite, 
para obtener derivadas de mayor orden.
5
DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE 
INTERPOLACION (4)
Si se parte de la fórmula de NEWTON-GREGORY Descendenteo, de 
las de GAUSS, LAGRANGE, BESSEL, etc., se encontraran, nuevas 
fórmulas de derivación para cada caso en particular, las que, ofrecerán 
mayor o menor precisión según la posición relativa del valor de la 
variable para el cual se desea calcular las derivadas
DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE 
INTERPOLACION (5)
La aplicación de idéntico criterio para la fórmula de NEWTON-
GREGORY Descendente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) K+∇+++∇++∇+=+ nnnnn xf
uuu
xf
uu
xfuxfuhxf 32
!3
21
!2
1
da como resultado derivando con respecto a u e igualando a cero:
( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′ nnnn xfxfxfxfh 32 3
1
2
1
(8.4)
como así también:
( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′′ nnnn xfxfxfxfh 4322 12
11
(8.5)
6
ALGORITMO DE HORNER
�Otro método idóneo para determinar el valor de las derivadas 
sucesivas, en el especial caso de que la función en cuestión sea una 
expresión algebraica, es el denominado MÉTODO o ALGORITMO 
DE HORNER
�Este método, tiene la ventaja adicional que permite calcular el valor 
de la función para el valor de la variable en el cual se pretende 
determinar sus derivadas y, además, de ser de muy sencilla aplicación:
INTRODUCCION
En ocasiones es necesario determinar el valor numérico de una función 
algebraica polinómica, de la forma:
( ) nnnnn axaxaxaxaxP +++++= −−− 122110 K (8.6)
Será estudiado a continuación el caso de tener que calcular el valor de 
la función en un punto α.
Todos los desarrollos que siguen tienen validez tanto para valores de α
reales, como complejos, pero se entenderá que el número de 
operaciones a efectuarse solo es válido en el campo real.
7
INTRODUCCION (2)
Si se calculara directamente su valor reemplazando el de x por el de α, 
resulta:
(8.7)
Se deben calcular α2 ; α3 ;...; αn ; es decir, n-1 multiplicaciones. 
Después deben ser formados los productos a0 αn ; a1 αn-1 ;...; an-1 α ; o 
sea, n multiplicaciones más. 
En total se deben realizar 2n-1 multiplicaciones y n adiciones para 
calcular el valor de P(α) a partir de la expresión (8.6), haciendo uso 
directo de la fórmula (8.7). 
( ) nnnn aaaaP ++++= −− αααα 1110 K
INTRODUCCION (3)
Una alternativa dada por HORNER, permite disminuir prácticamente
a la mitad el número de operaciones, con la posibilidad adicional de 
calcular también sus derivadas sucesivas en el mismo punto α: 
P'(α); P"(α);...; P(n)(α).
8
CALCULO DEL VALOR DEL POLINOMIO
Una manera recurrente de escribir la expresión (8.7) es la siguiente
( ) nn aaaaaaP ++++++= − αααααα ))))(((( 13210 KK
(8.8)que puede obtenerse directamente haciendo uso del algoritmo
b0 = a0
b1 = b0 α + a1
b2 = b1 α + a2 
. . . . . . . . .
bn-1 = bn-2 α + an-1 
P(α) =bn = bn-1 α + an 
El valor de bn es el de P(x) cuando x=α; vale decir, el de P(α). 
En total son necesarias n multiplicaciones y n adiciones, para lograr el 
resultado anterior
Ejemplo (i):
� Extrayendo factor común x en los primeros 4 
términos, luego en los 3 primeros, 
� y finalmente en los 2 primeros términos, se 
tiene:
2 x, 8 - x 4 2x - x3 x4 p(x) 0
234 =++=
8 -4)x 2)x - x 3) x ((4 ( p(x)
; 8 -4)x 2)x - x 3 x((4 p(x)
 ; 8-4)x 2x - x3 x(4 p(x)
2
23
++=
++=
++=
9
Algoritmo de Horner
� Algoritmo:
� E1) Ingresar n (grado polinomio); ai (coeficientes); x0
valor para el cual se evalúa p(x)
� E2) Asignar: bn ← an
� E3) Para k = n-1, n-2, ... , 0 hacer :
� E4) Imprimir: “Valor de P(x0) = “; b0 ;
k01kk axb b +← +
Ejemplo (ii):
� Evaluamos ahora los paréntesis de esta última 
expresión de p(x), desde el más interior, (4x+3), 
para
� x0=2 y así siguiendo, hasta el último:
80 es 2en x 8-(44)x 4)
44 es 2en x 4(20)x 3)
20 es 2en x 2-(11)x 2)
11 a igual es 2en x 44x 1)
=
=+
=
=+
10
Ejemplo (iii):
� Por lo tanto: p(2) = 80
� El algoritmo de Horner para este ejemplo donde 
grado p(x) es 4 y los coeficientes ai permite 
escribir:
01234 a )x a )x a )x a x a ((( p(x) ++++=
Ejemplo (iV):
Nota:
� Ventaja importante el ahorro de operaciones, 
disminuyendo así los efectos de la 
propagación de errores. 
� Obsérvese en el ejemplo que el método 
usual necesita 10 multiplicaciones y 4 sumas 
(restas); en cambio, con la regla de Horner, 
se efectúan 4 multiplicaciones y 4 sumas.
11
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS
Para calcular las derivadas sucesivas de P(x) en el punto x=α, es 
necesario utilizar un simple artificio. La expresión: 
dado que se puede reconstruir la (8.6) a partir de la (8.9); realizando las 
operaciones indicadas, resulta: 
P(x) = b0 x
n - α b0 xn-1 + b1 xn-1 - α b1 xn-2 + ... + 
+ bn-2 x
2 - α bn-2 x + bn-1 x - α bn-1 + bn
= b0 x
n + (b1 - α b0 ) xn-1 + (b2 - α b1 ) xn-2 + ... +
+ (bn-1 - α bn-2 ) x + (bn - α bn-1 ) 
P(x) = (x-α) [b0 xn-1 + b1 xn-2 + ... + bn-2 x + bn-1 ] + bn (8.9)
( ) nnnnn axaxaxaxaxP +++++= −−− 122110 K (8.6) se puede 
escribir
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(2)
Comparando esta última expresión con la (8.6) e igualando sus 
coeficientes homólogos se pueden despejar los b j de la siguiente 
manera:
a0 = b0 ⇒ b0 = a0 
a1 = b1 - α b0 ⇒ b1 = a1 + α b0 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an-1 = bn-1 - α bn-2 ⇒ bn-1 = an-1 + α bn-2 
an = bn - α bn-1 ⇒ bn = an + α bn-1 
como se quería demostrar.
12
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(3)
Llamando Q1 (x) al polinomio encerrado dentro del corchete de la 
siguiente expresión:
Puede escribirse P (x) = (x - a) Q1 (x) + bn (8.10)
donde el resto bn es constante e igual a P(α), como ya se ha visto.
Derivando respecto de x la expresión (8.10), resulta: 
P’(x) = Q1 (x) + (x - a) Q1’ (x) (8.11)
de la que es posible inferir que: 
P’(α) = Q1 (α) (8.12)
P(x) = (x-α) [b0 xn-1 + b1 xn-2 + ... + bn-2 x + bn-1 ] + bn (8.9)
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(4)
Expresión, que puede ser escrita en forma recurrente y similar a la 
(8.8), de la manera siguiente: 
( ) 113210 ))))(((( −− ++++++=′ nn bbbbbbP αααααα KK
cuyo algoritmo resolutorio, es: 
c0 = b0 
c1 = b1 + α c0 
c2 = b2 + a c1
. . . . . . . . .
P’(α) = cn-1 = bn-1 + α cn-2 = Q
Se definen los coeficientes c i de modo que al final del proceso se 
obtenga el valor buscado en: Q1 (α ) = P’(α)
13
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(5)
Para determinar las siguientes derivadas sucesivas del polinomioP(x)
en el punto x=α, es necesario hacer las siguientes consideraciones. 
1. Escribiendo el polinomio P(x) en términos de la fórmula del 
desarrollo en serie de Taylor, resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ααααααα )(
2
!!2
n
n
P
n
x
P
x
PxPxP
−++′′−+′−+= K
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(6)
bn=P(α), se puede escribir que: 
( ) ( ) ( )
α
α
−
−=
x
PxP
xQ1
3. Teniendo en consideración estas dos últimas expresiones, resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ααααααα )(
12
1 !!3!2
n
n
P
n
x
P
x
P
x
PxQ
−−++′′′−+′′−+′= K
4. Sacando factor común x-α, se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )




 −++′′′−+
′′
−+′=
−
ααααααα )(
2
1 !!3!2
n
n
P
n
x
P
xP
xPxQ K
2. De P (x) = (x - a) Q1 (x) + bn y considerando que 
14
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(7)
5. Llamando, finalmente, Q2 (x) al polinomio encerrado dentro del 
corchete, resulta:
Q1 (x) = P’(α) + (x - α) Q2 (x)
Derivando esta última expresión se obtiene
Q1’ (x) = Q2 (x) + (x - α) Q2’ (x)
que, en el punto x=α, vale:
Q1’ (x) = Q2 (x) (8.13)
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(8)
Derivando la siguiente expresión respecto de x, se obtiene: 
P” (x) = 2 Q1’ (x) + (x - a) Q1” (x)
la cual, a su vez, en el punto x=α, toma el valor: 
P” (α) = 2 Q1’ (α) (8.14)
Considerando las expresiones (8.13) y (8.14), se obtiene en definitiva
P” (α) = 2 Q2 (α) (8.15)
P’(x) = Q1 (x) +(x - a) Q1’ (x) (8.11)
Q1’ (x) = Q2 (x)
(8.13 )
15
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(9)
Con mayor grado de generalización, es posible calcular las siguientes 
derivadas sucesivas de P(x), en el punto x=α.
Iterando el procedimiento descripto anteriormente, se puede escribir, 
en general:
( ) ( ) ( ) ( )xQx
k
P
xQ k
k
k α
α −+
−
=
−
− )!1(
)1(
1
(8.16)
de donde:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )ααααα )()1(
1
!!1!
n
kn
k
k
k
k Pn
x
P
k
x
k
P
xQ
−
+
+ −++
+
−+= K (8.17)
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(10)
Derivando la (8.16) con respecto a x, se deduce que:
Qk-1’ (x) = Qk (x) + (x - α) Qk’ (x)
en la cual, haciendo x=α, resulta:
Qk-1’ (α) = Qk (α)
Considerando la expresión (8.17), se obtiene:
Qk
( )( )
!k
P k α=
16
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS 
(11)
Con mayor grado de generalización, es posible calcular las 
siguientes derivadas sucesivas de P(x), en el punto x=α.
En definitiva, es posible deducir que, en general, la derivada de orden 
k-ésimoresulta: 
P(k)(α) = k! Qk (α) (8.18)
que representa la expresión general de la derivada de orden k, de un 
polinomio P(x), en el punto x=α.
ETSII-UPM
Introducción a la integración numérica
� Planteamiento del problema 
– Se trata de evaluar la integral definidade una función mediante un sumatorio
de valores de esa función en ciertos puntos llamados nodos, multiplicados por 
unos coeficientes de ponderación llamados pesos: 
�
– Esta expresión implica la sustitución de un sumatorio infinito (la integral) por 
un sumatorio finito, por lo que se producirá un error de truncamiento. 
– Se llama grado de precisiónde la fórmula de integración al máximo grado de 
los polinomiosque son integrados exactamentepor dicha fórmula. 
– Para deducir las fórmulas de integración numérica la función f(x) se suele 
sustituir por el polinomio de interpolaciónp(n)(x) y realizar la integración 
exacta de este polinomio. 
– Si un polinomio de grado n es integrado exactamente es de esperar que el error 
en la integración numérica de la función f(x) dependa de la derivada de orden 
(n+1) de dicha función en un punto perteneciente al intervalo de integración. 
– La integración numérica es un proceso más estable y precisoque la derivación 
numérica vista previamente.
1 1 2 2
1
( ) ( ) ...
nb
i i n na
i
f x dx w f x w f w f w f
=
= = + + +∑∫
17
ETSII-UPM
Fórmulas de Newton-Cotes (1/4)
� Se basan en el polinomio de interpolación de Newton con 
argumentos igualmente espaciados (fórmula de diferencias finitas). 
� Algunas fórmulas de Newton-Cotes: 
�
�
�
�
–
–
� Observaciones: 
– En estas fórmulas se supone xk=x0+kh. 
– Los errores dependen de potencias elevadas de h. 
– La fórmula de Simpson tiene una alta relación precisión/coste. 
– No se suelen utilizar fórmulas de orden muy grande porque aparecen 
coeficientes negativos que dan lugar a problemas numéricos.
( )
( )
( )
1
0
2
0
3
0
4
0
3
0 1
5
( )
0 1 2
5
( )
0 1 2 3
Regla trapezoidal ( ) ( )
2 12
Regla de Simpson ( ) 4 ( )
3 90
3 3 3
Regla de Simpson ( ) 3 3 ( )
8 8 80
2
Regla de Boole ( )
x
x
x iv
x
x iv
x
x
x
h h
f x dx f f err f
h h
f x dx f f f err f
h h
f x dx f f f f err f
h
f x dx
ζ
ζ
ζ
′′≈ + = −
≈ + + = −
≈ + + + = −
≈
∫
∫
∫
∫ ( )
7
( )
0 1 2 3 4
8
7 32 12 32 7 ( )
45 945
vihf f f f f err f ζ+ + + + = −
ETSII-UPM
Fórmulas de Newton-Cotes (2/4)
� Deducción de la reglade Simpson 3/8 
– Se parte del polinomio de interpolación de Newton en diferencias finitas: 
–
–
– Haciendo el cambio de variable 
–
–
– Se llega a: 
�
–
�
�
– Teniendo en cuenta que 
se obtiene finalmente, después de reordenar términos:
2 3
( ) 0 0
0 0 0 0 1 0 1 22 3
1
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
2! 3!
n y yp x y y x x x x x x x x x x x x
h h h
∆ ∆= + ∆ − + − − + − − −
0 0
1 1
2 2
 ( )
( 1) ( ) ( 1)
( 2) ( ) ( 2)
x x sh x x sh
x x s h x x s h
x x s h x x s h
= + − =
= + − − = −
= + − − = −
L
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) 2 3
0 0 0 0
0 1 0 2 1 1 0 3 2 2 1 2 1 1 0
0 1 0 2 1 0 3 2 1 0
( 1) ( 1)( 2)
( )
2! 3!
( 1) ( 1)( 2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2! 3!
( 1) ( 1)( 2)
( ) 2 ) 3 3
2! 3!
n s s s s sp s y s y y y
s s s s s
y s y y y y y y y y y y y y y y
s s s s s
y s y y y y y y y y y
− − −= + ∆ + ∆ + ∆ =
− − −= + − + − − − + − − − − − − − =
− − −= + − + − + + − + −
( )3
0
3(3) (3)
0 1 2 30
3
( ) ( ) 3 3
8
x
x
h
p x dx h p s ds y y y y= = + + +∫ ∫
3 3 3
0 0 0
9 1 9 1 3
; ( 1) ; ( 1)( 2)
2 2! 4 3! 8
sds s s ds s s s ds= − = − − =∫ ∫ ∫
18
ETSII-UPM
Fórmulas de Newton-Cotes (4/4)
� El cálculo de los errores de las restantes fórmulas de Newton-Cotes 
es bastante laborioso y no se incluye en estas trasparencias. 
� Interpretación gráfica de la regla trapezoidal y las dos reglas de 
Simpson:
31 ( )
12
E f hξ′′= − 51 ( )
90
ivE f hξ= − 53 ( )
80
ivE f hξ= −
ETSII-UPM
Fórmulas abiertas y cerradas
� Concepto de fórmula de integración abierta 
– Se llama abiertaa una fórmula de integración numérica que no evalúa la 
función integrando en uno o en los dos extremos del intervalo. 
– Las fórmulas abiertas son útiles cuando no se conoce la función en un extremo 
o tiene un valor infinito (integrales impropias). 
– Un caso de gran interés práctico son las fórmulas de Adams, que utilizan n
puntos, pero sólo desean calcular la integral en el último tramo (ver figuras)
Adams
abierta cerrada
Newton-Cotes
abierta cerrada
19
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
�Dentro del campo analítico, perteneciente a la matemática pura, se 
desconoce la primitiva de la mayor parte de las funciones que ella 
estudia o si esta se conoce, su aplicación es larga y compleja, para 
utilizarla con provecho en la resolución de una integral.
�Incluso, es posible que se desconozca la expresión analítica de la 
función sobre la cual se desea integrar. 
�Consecuentemente, y en términos generales, es posible asegurar 
que la gran mayoría de los problemas que se presentan en la práctica, 
carecen de solución dentro del campo analítico.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA (2)
Resumiendo, la imposibilidad, o la inconveniencia, de la aplicación de 
métodos tradicionales está dada, fundamentalmente, por :
I.- Que no se conozca ninguna primitiva de aquella función que 
es necesario integrar,
II.- Que aún conociéndose una función primitiva, su aplicación 
resulte excesivamente compleja o extensa,
III.- Que, directamente, se desconozca la expresión analítica de 
la función que debe ser integrada.
20
INTRODUCCION
Cuando el problema en cuestión consiste en calcular la integral definida 
de una determinada función f(x), dada por: 
( )∫=
b
a
dxxfI (8.19)
y se conoce una función F(x), primitiva de f(x), es decir, F' (x) = f(x), 
se aplica la regla de BARROW: 
( ) ( ) ( )aFbFdxxfI
bx
ax
−== ∫
=
=
(8.20)
INTRODUCCION (2)
�Cuando no se conoce ninguna primitiva de la función , resulta 
necesario apelar a métodos de cálculo aproximados. Igual proceder 
debe adoptarse si, aún conociéndose una primitiva, resulta poco 
práctico aplicarla, por su complejidad.
�En ocasiones se cuenta solamente con una tabla de alguno de sus
valores, proveniente de resultados experimentales; en cuyo caso,
tampoco es posible aplicar la regla de BARROW.
�Considerando que la integral dada por (8.19) equivale a determinar 
el valor del área bajo la curva de la función f(x), es posible desarrollar 
diversos métodos aproximados para lograr dicho objetivo.
21
FORMULA DE LOS TRAPECIOS
Supónganse conocidos los n+1 valores x0 ; x1 ;...; xn deducidos de la 
función f(x), conocida, que cumplen con la condición: 
xk - xk-1 = h para k = 1; 2; ... ; n
Una primera aproximación al valor del área a calcular, limitada por 
los puntos x0 ; A0 ; A1 ; ... ; An ; xn se obtiene considerando la suma 
de las áreas de los trapecios inscriptos en cada una de las superficies 
parciales limitadas por los puntos, 
x0 ; A0 ; A1 ; x1
x1 ; A1 ; A2 ; x2
. . . . . . . . .
xn-1 ; An-1 ; An ; xn
FORMULA DE LOS TRAPECIOS (2)
Figura 8.1.
0
0A
1A
2A
1-nA nA
0X 1X 2X 1-nX nX
0Y 1Y 2Y 1-nY nY
( )xf
h h h
22
FORMULA DE LOS TRAPECIOS (3)
En consecuencia, resulta:
área (x0 ; A0 ; A1 ; x1 ) ≈ 1 / 2 ( y0 + y1 ) h
área (x1 ; A1 ; A2 ; x2 ) ≈ 1 / 2 ( y1 + y2 ) h
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
área (xn-1 ; An-1 ; An ; xn) ≈ 1 / 2 ( yn-1 + yn ) h
Sumando las expresiones de las áreas así obtenidas, resulta
( ) ( )nn
x
x
yyyy
h
dxxf
n ++++≅ −∫ 110 2220
K (8.21)
FORMULA DE LOS TRAPECIOS (4)
�La fórmula de los trapecios tiene una precisión suficientemente buena 
cuando se trata de aplicarla a determinaciones que no requieran una 
aproximación de orden elevado. 
�En el caso de haberse sustituido la curva, dada por la función continua 
f(x), mediante la poligonal inscripta, descripta mediante los puntos 
dados o calculados, el modelo realizado puede clasificarse como una 
Discretización; y no satisface plenamente cuando se trata de obtener 
gran precisión.
23
FORMULA DE SIMPSON (1)
�Basado en la utilización de segmentos de parábola para aproximar 
los arcos de curva, en lugar de emplear segmentos de recta;es decir 
utilizar curvas en lugar de una poligonal, se obtiene una mayor 
precisión en el cálculo de integrales definidas. 
�Primeramente se considerará el caso de la parábola de segundo 
grado, a partir del que se deducirá la expresión analítica de la 
fórmula de SIMPSON.
FORMULA DE SIMPSON (2)
0
0A
1A
2A
0X
1X
2X
0Y 1Y
2Yh
Y
h−
Figura 8.2
24
FORMULA DE SIMPSON (3)
El primer paso consiste en determinar el área comprendida entre el eje 
de las x, la parábola de eje vertical que pasa por los tres primeros 
puntos dados y sus ordenadas extremas.
Llamando A0 ; A1 ; A2 a los puntos mencionados y suponiendo que 
tienen abscisas equidistantes; es decir, que:
x1 - x0 = x2 - x1 = h
Considerando, además que, haciendo pasar el eje y por el punto 
intermedio A1 no se pierde generalidad (ver figura 8.2).
FORMULA DE SIMPSON (4)
Dadas estas condiciones y teniendo en cuenta que, en general, la
parábola de segundo grado es:
y = a x2 + b x + c
pero, como debe pasar por los tres puntos A0 ; A1 ; A2 , es posible 
escribir: 
y0 = a x0
2 + b x0 + c = a (-h)
2 + b (-h) + c = a h2 - b h +c
y1 = a x1
2 + b x1 + c = c
y2 = a x2
2 + b x2 + c = a h
2 + b h + c = a h2 + b h +c
25
FORMULA DE SIMPSON (5)
Sumando y restando la primera y la última de estas expresiones, y 
directamente de la segunda, se obtienen los siguientes valores:
1
02
2
012 ;
2
;
2
2
yc
h
yy
b
h
yyy
a =−=+−=
Valores que serán empleados para reemplazarlos en la expresión de la 
integral
FORMULA DE SIMPSON (6)
Por otra parte, del análisis sabemos que la expresión analítica del área 
buscada vale: 
( ) hchaxcxbxadxcxbxadxyI
h
h
h
h
h
h
2
3
2
23
3
23
2 +=





++=++==
−
−− ∫∫
Reemplazando en esta última los valores de a y c anteriormente 
obtenidos, resulta: 
( ) ( )2101012132 012 4362322
2
3
2
yyy
h
yyyy
h
hyh
h
yyy
I ++=++−=++−=
El conocimiento de tres ordenadas es suficiente para determinar el área 
limitada por el arco de parábola cuadrática que pasa por los puntos 
correspondientes. 
26
FORMULA DE SIMPSON (7)
En el caso de que la curva se encuentre descripta mediante una tabla 
compuesta de n+1 puntos A0 ; A1 ; ...; An , siendo n un número par y 
con abscisas x0 ; x1 ; ...; xn equidistantes, es posible aplicar la 
metodología expuesta, cada trespuntos (A0 ; A1 ; A2 ); (A2 ; A3 ; A4 ); 
etc. y, de este modo, obtener la expresión: 
( ) ( ) ( )nnn
x
x
yyy
h
yyy
h
yyy
h
dxxfI
n +++++++++≅= −−∫ 12432210 43
4
3
4
3
)(
0
K
FORMULA DE SIMPSON (8)
De donde, considerando a los operadores E, P, I con idéntico 
significado al establecido en el punto anterior, se obtiene: 
( ) ( )PIE 24
30
++≅= ∫
h
dxxfI
nx
x
(8.23)
Esta última expresión es la conocida e importante FORMULA DE 
SIMPSON, muy utilizada para determinaciones expeditivas. 
27
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON 
�Como es fácil apreciar, la fórmula de SIMPSON, solo es válida y 
utilizable en el caso en que se haya subdividido el intervalo de
integración en un número de franjas tal, que la cantidad de puntos 
resultantes; vale decir, los que describen la curva y = f(x), sea impar. 
�Esto sucede cuando el número de franjas aludido es par.
�El mismo Simpson ha desarrollado una fórmula utilizable en el caso 
que el número n de franjas sea impar.
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON (2)
2
3
H−
2
H−
2
H
2
3
H
0Y 1Y 2Y 3Y
0A
1A
2A 3AY
0
Figura 8.3
28
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON (3)
La deducción de la correspondiente fórmula es similar a la realizada 
para la de SIMPSON, excepto que, para la determinación de las áreas 
parciales, es necesario utilizar parábolas de tercer grado que conecten 
cuatro puntos consecutivos de la curva en cuestión.
La forma general de la ecuación de tercer grado representada por una 
parábola cúbica es:
y = a x3 + b x2 + c x + d (8.24)
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON (4)
Para determinar los valores de los parámetros a; b; c; des necesario 
imponer a la expresión (8.24), la condición que pase por los cuatro 
puntos A0 ; A1 ; A2 ; A3 y ubicar el eje de las y como se indica en la 
figura 8.3, lo cual no hace perder generalidad al razonamiento; con 
ello el intervalo de integración resulta: 
2
3
2
3
 
h
x
h ≤≤−
29
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON (5)
Se puede calcular el área buscada mediante la expresión: 
( )∫−
−
=





+++=+++= 2
3
2
3
2
3
2
3234
234
23
h
h
h
h
xd
xcxbxa
dxdxcxbxaI
=+−+−+++=
2
3
2
3
2.3
3
2.4
3
2
3
2
3
2.3
3
2.4
3
3
22
3
33
4
44
3
22
3
33
4
44 hdhchbhahdhchbha
de donde: 
2
3.2
2.3
3.2
3
33 hdhb +=I
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON (6)
Y, realizando las operaciones indicadas, resulta: 
hd
hb
I 3
2
3
2
32
+= (8.25)
Para calcular los valores de las constantes que intervienen en el 
cálculo es necesario hacer:
d
h
c
h
b
h
ay
d
h
c
h
b
h
ay
d
h
c
h
b
h
ay
d
h
c
h
b
h
ay
+




+




+




=
+




+




+




=
+




−+




−+




−=
+




−+




−+




−=
2
3
2
3
2
3
222
222
2
3
2
3
2
3
23
3
23
2
23
1
23
0
30
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON (7)
Resolviendo, por cualquier método, el conjunto de ecuaciones 
simultáneas y reemplazando sus valores en la expresión (8.25): 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]30212 2130
3
9
16
3
8
22
4
9
yyyy
h
h
yyyyh
I +−++




 +−+=
de lo que, en definitiva, resulta: 
( ) ( )∫− +++==
2
3
2
3 3210
33
8
3h
h
yyyy
h
dxxfI
que es la expresión analítica de la denominada REGLA DE LOS 
TRES OCTAVOS DE SIMPSON. 
(8.26)
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSON (8)
�Al quitarle tres franjas a una zonificación dada por una cantidad 
impar de ellas, da como resultado una cantidad par, a la que puede 
aplicarse la fórmula de SIMPSONya estudiada.
�Por ejemplo, si se estuviera frente al problema de calcular el área 
subdividida en 47 franjas, la REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE 
SIMPSONse podría utilizar para aproximar el área bajo la curva 
ocupada por las tres primeras franjas. El área bajo las 44 franjas 
restantes, luego de ser calculada mediante la fórmula de Simpson, se 
sumaría a la de las tres anteriores.
31
FORMULA DE EULER-MACLAURIN
�Mediante el agregado de términos complementarios que corrigen 
otras fórmulas elementales como la de los TRAPECIOS o SIMPSON, 
es posible obtener un sin número de expresiones elementales de 
fórmulas de integración. 
�Una de las más comunes es la que muestra a continuación. La 
misma propone adicionar una serie de términos a la fórmula de los 
TRAPECIOS, aumentando de este modo, su precisión.
( ) ( )nn
xn
x
yyyy
h
dxxf ++++≅ −∫ 110 2220
K
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (2)
Considérese que F(x) es una primitiva de f(x); vale decir que, 
F’ (x)=f(x), del mismo modo que, F” (x)=f’ (x); etc. 
Aplicando la fórmula del desarrollo en serie de TAYLOR a la 
función primitiva F, resulta: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′′+′′+′+=+ xFhxFhxFhxFhxF
!3!2
32
32
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (3)
Transponiendo el primer término del segundo miembro, al primer 
miembro y tomando, sucesivamente, x=x0 ; x=x1 ; ...; x=xn-1 , resulta: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− oxf
h
xf
h
xfhxFxF
!3!2
3
0
2
001
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− 1
3
1
2
112 !3!2
xf
h
xf
h
xfhxFxF
M
M MM M
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− −−−− 1
3
1
2
11 !3!2 nnnnn
xf
h
xf
h
xfhxFxF
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (4)
La suma miembro a miembro de estas ecuaciones da como resultado 
en el primer miembro F(xn )-F(x0 ), pero, como F(x) es una primitiva 
de f(x), es lícito aplicar la Regla de BARROWal primer miembro, 
siendo: 
( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+= ∑∑∑∫
−
=
−
=
−
=
1
0
31
0
21
0 !3!20
n
i
i
n
i
i
n
i
i
x
x
xf
h
xf
h
xfhdxxf
n
(8.27)
33
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (5)
Expresiones análogas a la anterior se obtienen considerando, 
sucesivamente, las funciones f ’(x); f ” (x); etc., resultando: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′=−=′ ∑∑∫
−
=
−
=
1
0
21
0
0 !20
n
i
i
n
i
in
x
x
xf
h
xfhxfxfdxxf
n (8.28)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′′+′′=′−′=′′ ∑∑∫
−
=
−
=
1
0
21
0
0 !20
n
i
i
n
i
in
x
x
xf
h
xfhxfxfdxxf
n (8.29)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++′′′=′′−′′=′′′ ∑∑∫
−
=
−
=
1
0
21
0
0 !20
n
i
i
IV
n
i
in
x
x
xf
h
xfhxfxfdxxf
n
(8.30)
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (6)
Sumando a la expresión (8.27) la (8.28) multiplicada por C1 h; la (8.29) 
multiplicada por C2 h
2; la (8.30) multiplicada por C3 h
3, etc., se obtiene: 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =+′′−′′+′−′+−+∫ K03302201
0
xfxfhCxfxfhCxfxfhCdxxf nnn
x
x
n
( ) ( ) ( ) +


 ++′′+


 +′+= ∑∑∑
−
=
−
=
−
=
2
1
1
0
3
1
1
0
2
1
0 !2!3
1
!2
1
C
C
xfhCxfhxfh
n
i
i
n
i
i
n
i
i
( ) K+


 +++′′′+ ∑
−
=
3
21
1
0
4
!2!3!4
1
C
CC
xfh
n
i
i
34
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (7)
Es necesario determinar ahora, los valores que deben tomar los 
coeficientes Ci de modo que se anulen los corchetes que figuran en el 
segundo miembro. En consecuencia, se obtiene: 
0
!2
1
1 =+ C
0
!2!3
1
2
1 =++ CC
0
!2!3!4
1
3
21 =+++ CCC
0
!2!3!4!5
1
4
321 =++++ CCCC
2
1
1 −=C
12
1
2 =C
03 =C
720
1
4 −=C
.......................... .............
⇒
⇒
⇒
⇒
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (8)
Así siguiendo se calculan los demás coeficientes.
Sustituyendo estos valores en la última expresión de la integral, se 
obtiene la FORMULA DE EULER-MACLAURIN : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −


 −+++= −∫ nn
x
x
xfxfxfxfdxxf
h
n
2
1
2
11
110
0
K
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−′′′−′′′+′−′− 0
3
0 72012
xfxf
h
xfxf
h
nn
( ) ( )[ ] K+−− 0
5
30240
xfxf
h V
n
V (8.31)
35
FORMULA DE GREGORY
Una fórmula que utiliza solamente los valores de la función y de las 
correspondientes diferencias sucesivas, interiores al intervalo (x0 ; xn) 
es la denominada FORMULA DE GREGORY , la cual 
será deducida a partir de la ya estudiada expresión de EULER-
MACLAURYN.
FORMULA DE GREGORY (2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∆−∆+∆−∆=′ 04030200 4
1
3
1
2
1
xfxfxfxfxfh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇+∇=′ nnnnn xfxfxfxfxfh 432 4
1
3
1
2
1
Si en la citada fórmula, las derivadas son reemplazadas por las 
expresiones correspondientes en términos de las diferencias; que son:
36
FORMULA DE GREGORY (3)
( ) ( ) ( ) ( ) K−∆+∆−∆=′′′05040303 4
7
2
3
xfxfxfxfh
( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′′′ nnnn xfxfxfxfh 5433 4
7
2
3
( ) ( ) ( ) K+∆−∆= 060505 2
5
xfxfxfh V
( ) ( ) ( ) K+∇+∇= nnnV xfxfxfh 655 2
5
FORMULA DE GREGORY (4)
Resulta la FORMULA de GREGORY : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −


 ++++= −∫ nn
x
x
xfxfxfxfdxxf
h
n
2
1
2
11
110
0
K
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−∆−∇−∆−∇− 0220 24
1
12
1
xfxfxfxf nn
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−∆−∇−∆−∇− 044033 360
3
720
19
xfxfxfxf nn
( ) ( )[ ] K−∆−∇− 05560480
863
xfxf n
37
METODOS COMBINADOS
•En algunas ocasiones resulta interesante combinar algunos de los
métodos analizados anteriormente para resolver satisfactoriamente 
algunos problemas. 
•Supongamos dada f(x) en un intervalo (a,b) Cerrado, sobre el cual se 
desea obtener la integral de dicha función. Supóngase también que se 
dispone de 5 segmentos de recta. 
•Una opción seria aplicar el método de Trapecios. No obstante debido al 
enorme error por Truncamiento resulta aconsejable combinar las reglas 
de Simpson de 1/3 y 3/8 para atacar el problema. Asíla regla de 
Simpson 1/3 seria aplicada a los dos 1eros segmentos ( 3 puntos ) 
mientras que para los otros 3 segmentos restantes se recurre a la regla de 
Simpson 3/8. Así se obtiene una estimación del error de tercer orden 
para todo el intervalo.
METODOS COMBINADOS
Ejercicio: Aplicar esta idea para calcular la integral de la función:
f(x) = 300 x5 – 800 x4+ 600 x3 – 200 x2 + 25 x – 0.2 sobre el intervalo 
( 0.05, 0.25) con 5 segmentos sobre dicho intervalo. Efectuar un análisis 
comparativo y analizar el error aplicando distintos métodos. 
Ejercicio: Aplicar a un ej. practico formulas de trapecios, Euler Mac
Laurin y Gregory, comparar resultados y extraer conclusiones.