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I.E. COLEGIO TECNICO LA PRESENTACION 
Pamplona N. de S. – 2020 
Fecha de Aprobación Aprobado por 
Resolución No 4452 del 28 de 
octubre del 2016 ESCUELA NUEVA EN CASA 
Hola mis queridas estudiantes de Once Grado: 
 
Continuamos con nuestro estudio en casa. Espero que te estés cuidando 
mucho y cuidando a los más peques y ancianos porque son los más 
vulnerables en esta pandemia. 
 
Tu que estás estudiando y eres tan Pilosa, entiendes que la salud de todos 
depende de las medidas de cuidado que tengamos en nuestra casa, por eso 
cada vez que mamá o algún adulto, miembro de la Familia, salga de casa, 
recuérdale que debe ser porque es estrictamente necesario y que al regresar 
debe lavarse muy bien las manos y desinfectar todo lo que trae de la calle. 
¡No olviden orar en Familia para que Dios nos ayude y proteja siempre¡ 
 
En esta Segunda guía continúas trabajando responsablemente a tu ritmo de trabajo, pero no 
dejes acumular tanto… ve desarrollando poco a poco los talleres y cualquier duda me lo haces saber a mi 
correo: 
 facave9@yahoo.com 
Confió en tus capacidades y sé qué harás Honestamente un Buen trabajo. Te puedes apoyar en los videos que 
propongo o en otros similares de YOUTUBE para fortalecer tus conocimientos y aclarar dudas. 
 
 
 
 
 
COMPETENCIA:  Identifica cada una de las propiedades de los números Reales y las desigualdades. 
 Reconoce los intervalos como conjuntos numéricos y resuelve operación entre 
intervalos 
 
1. CONTENIDOS: CARACTERISTICAS DE LOS NUMEROS REALES 
 
Recordemos que: El conjunto de los números reales está formado por todos los conjuntos numéricos: 
Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales que se pueden representar sobre una recta, desde el cero 
hasta infinito ; a la izquierda son negativos y hacia la derecha del cero, positivos. A esta recta se le 
llama “Recta real” o “Recta numérica”. Para cada número real existe un punto que lo representa dentro de la 
recta numérica, porque tiene infinitos puntos. 
Ojo Antes de iniciar aprovecha este interesante video 1: 
https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQ 
 
El conjunto de los Números Reales cumple tres propiedades: 
1. Correspondencia Uno a Uno o Biunívoca: La propiedad Biunívoca dice que a cada número Real le corresponde 
exactamente un punto en la recta numérica y a cada punto P en la recta le corresponde un Número Real. 
Ejemplo: 
 
Vemos que a los números Reales que están debajo de la recta numérica como - π, - √ , etc. les corresponde un solo 
punto que está señalado por la flecha roja. Eso es lo que llamamos correspondencia uno a uno. 
NOMBRE: ONCE GRADO ____ PRIMER PERIODO 
AREA: MATEMATICAS PROFESORA: FANNY CARRILLO VERA NUMERO DE HORAS: 8 horas 
mailto:facave9@yahoo.com
https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQ
2. Densidad: Entre dos números Reales siempre vamos a encontrar otro Número Real. 
Ejemplo: Entre dos Números Enteros encontramos siempre Infinitos Números Reales 
Si tomamos el número 10 y el 11 podemos dar muchos ejemplos de números Reales que se encuentran entre 
ellos: 10,000001; 10,1; 10,5; 10,9; 10,95; 10,9999999; √ √ √ … y así hay infinitos números reales 
entre 10 y 11. 
3. Ley de la Tricotomía: Esta Ley dice que el conjunto de los números Reales es un conjunto ordenado porque 
cumple solo Una de las siguientes propiedades: Dados dos números reales se cumple que: 
 Ejemplo: - 8 < -1 -8 es menor que – 1 
 Ejemplo: √ √ es mayor que 1 
 Ejemplo: √ = 5 √ es igual a 5 ó a -5 porque tiene dos raíces 
Para entender mejor debes ver este video 2: https://www.youtube.com/watch?v=F8MnfAFzNQg 
DESIGUALDADES EN LOS NUMEROS REALES 
 
Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones de números Reales, 
mediante los signos de relación > (mayor), < (menor), 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: - 5 < 3, - 5 es menor que 3 porque los números negativos son menores que los positivos 
 - 2 > - 10, -2 es mayor que – 10 porque está más cerca a cero en la recta numérica 
 
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES: 
Teorema 1-Propiedad Aditiva: Si a ambos 
miembros de una desigualdad le sumamos o restamos 
el mismo número Real, la desigualdad no cambia de 
sentido. Sean los números Reales: 
 
 
 
Ejemplo ilustrativo: 
 
 
Teorema 2-Propiedad transitiva: Dados los 
números Reales 
 
 
 
Ejemplo ilustrativo: 
 
 
Si tenemos que π < 4 y 4 < 8, entonces π < 8 
 
Teorema 3-Multiplicativo en los Reales 
positivos: Si multiplicamos o dividimos a ambos 
lados de la desigualdad el mismo número Real 
Positivo, la desigualdad no cambia de sentido, sigue 
siendo > ó <. Dados los números Reales 
tenemos que: 
 
c > 0 significa que ese número Real es positivo 
 Significa que los números a y c se están 
multiplicando 
Ejemplo ilustrativo: 
 
Si tenemos 15 < 24 
 15/3 < 24 /3 
 5 < 8 Al dividir ambos términos entre 
 3 la desigualdad sigue menor. 
Teorema 4-Multiplicativa en los Reales 
negativos: Si multiplicamos o dividimos a ambos 
miembros de la desigualdad el mismo número Real 
Negativo, la desigualdad cambia de sentido. Dados 
los números Reales tenemos que: 
 
 
 
Ejemplo ilustrativo: 
Si tenemos que –7 < 4 y multiplicamos por (-5) 
ambos lados (-7).(-5) > 4.(-5) tenemos : 
 35 > - 20 El signo cambia de 
 menor a mayor. 
35 es positivo porque se multiplican los signos 
Dados dos números Reales, siempre podemos compararlos y decidir si son iguales o cuál es más 
grande. Escribimos 𝑎 𝑏 para decir que a es menor que b y 𝑎 𝑏 para decir que a es menor o 
igual que b. 
En la recta, 𝑎 𝑏 significa que el punto correspondiente a 𝑎 
está a la izquierda del que corresponde a 𝑏 𝑎 𝑏 
https://www.youtube.com/watch?v=F8MnfAFzNQg
Teorema 5: Si sumamos o multiplicamos término a 
término dos desigualdades, la desigualdad No cambia 
de sentido. 
 
Ejemplo ilustrativo: 
 
Teorema 6: Si al multiplicar dos números Reales a 
y b el resultado es positivo, es decir mayor que cero 
ENTONCES los dos números son positivos o los dos 
números son negativos y se aplica la Ley de los 
signos. Pero si el resultado es NEGATIVO o menor 
de cero quiere decir que un número es positivo y el 
otro negativo. 
 
Teorema 7: Si tenemos dos números Reales a y b 
se cumple que: 
 
 
"Si se cambia el signo de ambos miembros de una 
desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad". 
 
Teorema 8: En todo número Real mayor que cero, 
su inverso multiplicativo será también Mayor que 
cero y se cumple también cuando es menor < 
 
Teorema 9: Todo número Real diferente de cero al 
elevarlo al cuadrado, el resultado siempre será 
positivo porque se multiplican los signos y – x - = + 
 
 
 
Teorema 10: En todo número Real mayor que cero 
o positivo su opuesto siempre será menor que cero o 
negativo 
 
 
 
Complementa este tema con la explicación del siguiente video 3: 
https://www.youtube.com/watch?v=pSOLepAC1KA 
 
 
 
 
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos números dados: y que se 
conocen como extremos del intervalo. Son subconjuntos numéricos INFINITOS que se pueden representar en 
la Recta numérica y que corresponden a desigualdades de la forma: 
 ; donde es la variable y es un número Real. 
Ejemplo: 1. Representar el intervalo . 
Solución: Vemos que primero se representa como el conjunto E, luego 
como intervalo entre paréntesisque va desde menos infinito hasta 4 sin 
incluirlo y al final, está la recta numérica con una flecha señalando 
hacia la izquierda e indica todos los números Reales que están en el intervalo y que son infinitos. Desde 4 se coloca un 
circulo pequeño sin relleno porque no incluye el número 4. 
 
2. Representar el intervalo 
Solución: Este intervalo va desde -3 hasta -1 pero No incluye a -3 
por eso en la recta se hace esa bolita sin relleno, en cambio Si 
incluye a -1 por el simbolo y en la recta si se rellena la 
bolita que señala -1. 
https://www.youtube.com/watch?v=pSOLepAC1KA
 
 
1. Intervalo abierto: 
Intervalo abierto , es el conjunto de todos los números reales 
mayores que y menores que . Se escribe entre paréntesis y en 
la recta se señala con el color verde, pero no incluye estos 
números ni a ni b; es un conjunto infinito. En la recta numérica se 
representa así: 
 
2. Intervalo cerrado: 
Intervalo cerrado , es el conjunto de todos los números reales 
mayores o iguales que y menores o iguales que . Se escribe 
entre corchetes [ ] y se subraya en verde incluyendo los números 
a y b. En la recta numérica se representa así: 
 
3. Intervalo semiabierto por la izquierda: 
Intervalo semiabierto por la izquierda , es el conjunto de 
todos los números reales mayores que y menores o iguales 
que . Vemos que aparece un paréntesis que significa que el 
intervalo es abierto y que no incluye a y en b un corchete que 
significa que es cerrado y no incluye este número. El intervalo se 
subraya con verde en la recta numérica: 
 
4. Intervalo semiabierto por la derecha: 
Intervalo semiabierto por la derecha , es el conjunto de todos 
los números reales mayores o iguales que y menores que , así: 
 
5. Intervalos Infinitos: 
 x > a, Son todos los números mayores (>) que a. Es un 
intervalo abierto que va desde el número a hasta el infinito. 
Se define como el siguiente 
conjunto y se subraya con color 
verde: 
 
 
x ≥ a, Son todos los números mayores que a, incluyendo a. 
Es un intervalo cerrado que va desde el número a hasta el 
infinito. Se define como el siguiente conjunto y se subraya con color verde: 
 
 
x < a, Son todos los números menores (<) que a. Es un intervalo abierto 
que va desde infinito hasta a sin incluirlo. Se subraya con color verde: 
 
x ≤ a, Son todos los números menores de a, incluyendo a. 
Es un intervalo cerrado que va desde menos infinito hasta a. 
Se subraya con color verde: 
 
 
 
 
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos 
intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos. 
 
En el siguiente video 4 se explican varios ejemplos para entender mejor los temas vistos: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=y9VoIDN2yZo 
 
OPERACIONES CON INTERVALOS: 
 
Como los intervalos son subconjuntos de los Números Reales, se aplican 
las mismas operaciones que con conjuntos: 
 Unión; Intersección; Diferencia; Diferencia simétrica; 
´ Complemento 
 
Ver el Video 5, que explica la operación de intersección con un 
ejemplo y el Video 6 que explica todas las operaciones con intervalos, los Link son: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=65RD3QmQqoA&feature=youtu.be 
 
https://www.youtube.com/watch?v=P5B-5LTS7uo 
DESARROLLEMOS AHORA ALGUNOS EJERCICIOS, VOY A IR EXPLICANDO POCO A POCO: 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
1. Escribir como intervalo el siguiente conjunto y representarlo en la recta numérica: 
Solución: 
Vemos que en la desigualdad , el número -1 no es 
estrictamente menor luego el intervalo es abierto y como vemos en 
la gráfica se señala con un círculo sin relleno y se usa paréntesis 
para escribirlo, en cambio el 5 es cerrado y se usa corchete. 
 
2. Escribir los siguientes intervalos como conjuntos: 
a. (7,8) b. (4, c. [-10, -1) d. (- e.[- 5,5] 
Solución: 
a. (7,8) es un intervalo abierto que se representa como conjunto así: 7 < x < 8 
b. (4, es un intervalo abierto que va desde 4 hasta infinito y se representa como conjunto así: x > 4 
c. [-10, -1) es un intervalo semiabierto por la derecha que incluye todos los números reales entre -10 y -1 y 
se representa como conjunto así: 
d. (- es un intervalo abierto que va desde menos infinito hasta 8 y se representa así: 
e. [- 5,5] es un intervalo cerrado en ambos extremos y se representa así: 
 
3. Escribir cada desigualdad en forma de intervalo y 
representarlo en la recta numérica: 
a. 
b. 
c. 
4. Escribir en forma de desigualdad y representar cada 
intervalo en la recta numérica: 
a. [ - 2, 0] 
b. [-1, ) 
c. (0, 1) 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=y9VoIDN2yZo
https://www.youtube.com/watch?v=65RD3QmQqoA&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=P5B-5LTS7uo
5. Dado los intervalos A= (-3, 6) y B= [1, 9] calcular la unión entre los dos conjuntos: 
 
RTA: = (- 3, 9] porque al representar en la misma recta los dos intervalos vemos que al reunir todos 
los elementos queda abierto en -3 y cerrado en 9. 
6. Dado los intervalos A= (-2, 5] y B= (0, 7) calcular la intersección entre los dos conjuntos: 
Solución: 
 
 
 
 
RTA: = (0, 5] porque podemos observar en la grafica que los elementos que pertenecen al conjunto A 
y también al conjunto B son los números Reales que están entre 0 y 5, pero incluyendo el 5. 
7. Dado los intervalos A= (-1, 4] y B= (2, 5) calcular la diferencia entre los dos conjuntos: 
 
RTA: = (- 1, 2] porque señalamos solo los elementos que pertenecen al conjunto A y no al B. 
8. Dado el intervalo A = [-3, 2) Calcular el complemento del conjunto: A´ 
Solución: 
El complemento de un conjunto son los elementos que le hacen falta al intervalo A = [-3, 2) para ser igual 
al conjunto Universal, es decir toda la Recta de números Reales. Vemos en la gráfica que corresponde a 
todos los números Reales por fuera del intervalo y la respuesta es: A´= 
 
 
 
 
 
 
9. Representar en la recta numérica los Intervalos: 
a. ( 
 
 
] 
 
 
 
Solución: Como los dos intervalos no tienen 
elementos en común la gráfica queda así: 
 
I.E. COLEGIO TECNICO LA PRESENTACION 
Pamplona N. de S. – 2020 
Fecha de Aprobación Aprobado por 
Resolución No 4452 del 28 de 
octubre del 2016 TALLER DE APLICACIÓN Nº 2 
 
1. Lea atentamente los contenidos y Elabore una síntesis o Resumen en el cuaderno, de todos 
los conceptos aprendidos, en estos temas. 
2. Vea los 6 videos propuestos y Escriba en el cuaderno dos ideas de cada uno. 
3. Ubique los siguientes números Reales en una sola la Recta numérica: 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
4. Escriba 5 números Racionales y 5 números Irracionales que estén en el Intervalo entre 
5. Escriba entre los dos números el signo >, < ó = según corresponda: 
a. 6 ____ -3 
b. 7____ -7 
c. √ ____ - 4 
d. 0 ____ -8 
6. De cada uno de los 10 Teoremas de las Desigualdades dar otro Ejemplo y desarrollarlo. 
7. Escribir si la afirmación es falsa o verdadera y justificar la respuesta : 
a. Si X < 0 entonces X2 > 0 ( ) porque __________________________________________________ 
b. Si a > b y c Є R- entonces a.c < b.c ( ) porque _______________________________________ 
c. Si - 4 > - 10 entonces - 4 + 6 > -10 + 6 ( ) porque _______________________________________ 
d. La propiedad Biunívoca de los números Reales dice que entre dos números Reales existen finitos 
números Reales ( ) porque __________________________________________________________ 
e. Dado el intervalo A = [ -3, 5) la notación es la siguiente: A = { X Є R/ -3 < X > 5} ( ) porque 
________________________________________ 
8. Escribir los siguientes conjuntos como intervalos y representarlos en la recta numérica: 
a. M = { X Є R/ X < 9}b. N = { X Є R/ } 
c. P = { X Є R/ } 
d. Q = { X Є R/ } 
9. Escribir los siguientes intervalos como conjuntos y representarlos en la recta numérica: 
a. ( -7, -1) 
b. (-9, 5] 
c. 
d. [-8, 
 
NOMBRE: ONCE GRADO ____ PRIMER PERIODO 
AREA: MATEMATICAS PROFESORA: FANNY CARRILLO VERA NUMERO DE HORAS: 8 horas 
10. Dados los siguientes intervalos 
A = [-5, 3] B = (-3, 5) C = 
Realizar las operaciones indicadas en la recta numérica y escribir los intervalos resultantes: 
a. 
b. 
c. A – B 
d. A U C 
11. Expresa como intervalo y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de las rectas 
numéricas: 
 
 
 
 
AHORA TE PRESENTO UNA CARTILLA QUE SERA DE GRAN UTILIDAD PARA SEGUIRTE 
PREPARANDO PARA EL ICFES, APROVECHALA: 
 
file:///D:/Documentos/Documents/COLTEPRE%20UNDECIMO%20GRADO/GUI%CC%81A%20EL%20ICFES%20T
IENE%20UN%20PREICFES.pdf 
 
file:///D:/Documentos/Documents/COLTEPRE%20UNDECIMO%20GRADO/GUI�A%20EL%20ICFES%20TIENE%20UN%20PREICFES.pdf
file:///D:/Documentos/Documents/COLTEPRE%20UNDECIMO%20GRADO/GUI�A%20EL%20ICFES%20TIENE%20UN%20PREICFES.pdf
 
 
 
SELECCIONA LA RESPUESTA CORRECTA: 
 
1. Podemos afirmar que el intervalo (- α, α) 
 representa: 
a. Un conjunto vacío 
b. el conjunto de los números Reales 
c. el conjunto del infinito 
d. un intervalo cerrado 
 
2. El número Pi , se encuentra en el intervalo: 
a. (-3,3) 
b. (1,2) 
c. (-α,3) 
d. (3, α) 
 
3. Si a < b, c Є R, entonces podemos afirmar que: 
a. a + c < a + b 
b. a.c < b.c 
c. a – c > b – c 
d. a < c 
 
4. Dado el conjunto A= {x/ x Є R, x ≤ -3}, el intervalo 
correspondiente es: 
a. (-α, -3] 
b. (-3, α) 
c. [-3, α) 
d. (-α, -3) 
 
Dados los intervalos A= [-5, 4] , B = (-1, 10] 
 
5. El intervalo que corresponde a la operación A  
B es: 
a. [-1, 4] 
b. (-5, -1) 
c. (-1, 4] 
d. [-5, 10] 
 
6. Dados los intervalos A = [-6, 12] B = (- , -2) 
podemos afirmar que: 
a. A B = 
b. A B = φ 
c. A - B = [-6, -2] 
d. A ∆ B = (- , -6) [-2, ) 
 
7. Si entonces 
a. 
b. 
c. 
d. ó 
 
 
8. Dado el conjunto A= {x/ x Є R, x ≤ - 12}, el 
intervalo correspondiente es: 
a. (-α, - 12) 
b. (- 12, α) 
c. (-α, - 12] 
d. [- 12, α) 
 
Dados el intervalo A= [-4, 6] 
 
9. Dados los intervalos anteriores, podemos 
afirmar que el intervalo A ' = 
a. (-α, - 4)  (6, α) 
b. (-α, - 4]  *6, α) 
c. (-α, 6) 
d. (6, α) 
 
10. En el intervalo [-4, 2) encontramos los 
números: 
a. -4, -3, -1/2, 0, 1 
b. -1, 0, 1, 2 
c. -4, 0, 1, 2 
d. -4, -5, -6, -7 
 
11. Dada la expresión -2 < x ≤ 4, el intervalo que le 
corresponde es: 
a. (- , -2) ( 4, ) 
b. (-2, 4] 
c. [-2, 4] 
d. (- , -2) 
12. Sea el Intervalo A = (-2, 4] y B= [-1, 5), la unión 
entre A y B es: 
a. A B = [-1, 4) 
b. A B = (-2, 5) 
c. A B = [-2, 5) 
d. A B = (-2, 5]