orden-recta_-real_intervalos-valor_absoluto_y_-distancias

Vista previa del material en texto

30 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
Figura 1.7: Ubicación de puntos
1.4. Orden en la recta numérica
En esta sección abordaremos los conceptos matemáticos de: desigualdad, intervalo, y valor abso-
luto, conceptos claves en el estudio de la matemática universitaria.
1.4.1. La recta real.
Una manera muy útil de visualizar los números reales es extendiendolos a lo largo de una recta, de
manera que cada número real coincida con un punto sobre la recta y, rećıprocamente, cada punto
de la recta se corresponda con un número real.
Es usual tomar la dirección positiva de la recta hacia la derecha e indicarla con una flecha. Como
punto de partida tomamos un punto O arbitrario sobre la recta que llamaremos el origen, que
corresponde al número real 0. Para representar un número real sobre la recta, tomamos una unidad
de medida conveniente, de manera tal que, un número real positivo x se representa por un punto
sobre la recta, que esta a una distancia de x unidades a la derecha del origen. De igual manera, un
número negativo −x se representa por un punto sobre la recta a una distancia de x unidades a la
izquierda del origen. como puede verse en la figura 1.3.
Ejemplo 1.11. El número 5 esta a la derecha del origen en un punto de la recta a 5 unidades
de éste, mientras que el número −5 estará a la izquierda del origen en un punto de la recta a 5
unidades de éste, ver figura 1.4.
Figura 1.8: Ubicación de 5 y -5 en la recta real
De esta manera identificamos un número real como un punto sobre la recta y por tanto a esta recta
la llamamos Recta real.
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 31
En este momento es importante apropiarnos de las siguientes propiedades del conjunto de números
reales.
La recta real es continua, esto es, la recta real no tiene “huecos”. No hay vacios a ocupar por
otro real. Los reales llenan totalmente todos los puntos de una recta.
Los números reales son ordenados. Diremos que el número a es menor que b y lo notamos
a < b, si la diferencia b − a es un número positivo. Geométricamente, esto significa que el
numero a esta a la izquierda del número b, o equivalentemente, el número b esta a la derecha
del número a, lo cual se escribe b > a, de manera que las expresiones a < b y b > a son
dos maneras de escribir lo mismo. Una expresión que contenga los simbolos < o >, se llama
una desigualdad. Las desigualdades juegan un papel importante en nuestro siguiente curso de
calculo diferencial.
Terminologia Notación Definición
a es menor que b a < b b− a es positivo
a es mayor que b a > b b− a es negativo
Ejemplo 1.12. La desigualdad −3 < 1, es una desigualdad verdadera, pues, 1− (−3) = 4 > 0. Ver
figura 1.5.
Figura 1.9: -3 esta a la izq. de 1
Ejemplo 1.13. Al contrario del ejemplo anterior, desigualdad −2 < −3 es falsa, ya que, −3 −
(−2) = −1 < 0.
Los números a que satisfacen la desigualdad a > 0, se les llaman positivos, los números a que
satisfacen la desigualdad a < 0, se les llaman negativos mientras que los números a tales que a ≤ 0
se denominan reales no negativos.
Relaciones entre si a es positivo, entonces −a es negativo
a y −a si a es negativo, entonces −a es positivo
Es importante reconocer la siguiente propiedad de los números reales.
Teorema 1.4 (Tricotomia). Para todo número real a se cumple una y solo una de las siguientes:
a = 0 o
a es un número positivo, o,
a es un número negativo.
32 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
Geométricamente, lo que dice el resultado es que si tomamos un número en la recta real, este
número es el origen o está a la derecha del origen o está a la izquierda del origen. Como era de
esperarse.
Debido a esta propiedad podemos afirmar que si a, b son dos números cualesquiera, se cumple una
y solo una de las siguientes:
1. a− b = 0, o,
2. a− b positivo, ó
3. −(a− b) positivo, o sea, b− a es positivo.
De manera que si tomamos dos números a y b podemos compararlos, ya que lo anterior, para estos
dos números se cumple una y solo una de las siguientes:
1. a = b, ó,
2. a < b, ó,
3. a > b.
Por lo anterior se dice que los reales son un conjunto ordenado.
Ejemplo 1.14. Ordenamiento de tres números reales
1 < 3 < 5
−3 < −2 < 0
5 > 1 > −2
Ley de si a y b tienen el mismo signo, ab y
a
b
son positivos
signos si a y b tienen signos contrarios, ab y
a
b
son negativos
En realidad en la ley anterior podemos cambiar la palabra “entonces”por “si y solo si”.
Mediante este resultado podemos argumentar que si a 6= 0 es un real cualquiera, a2 es positivo,
pues, si a es positivo entonces a2 = aa es positivo. Y si a es negativo esto es, −a es positivo entonces
(−a)(−a) = a2 es positivo.
Hasta el momento solo hemos hecho referencia a las desigualdades simples a < b o a > b. La
notación a ≤ b que se lee “a menor o igual a b ” y significa que a < b o que a = b.
Notación significado
a ≤ b a < b o a = b
a ≥ b a > b o a = b
Ejemplo 1.15. La desigualdad 2 ≤ 3 es una desigualdad verdadera, pues, 2 < 3. La desigualdad
x ≤ x también es una desigualdad cierta para todo número real x, ya que, x = x.
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 33
Ejemplo 1.16. La desigualdad 3 ≤ 2 es falsa, pues, ni 3 < 2, ni 3 = 2.
Al manipular desigualdades usaremos las siguientes propiedades.
Para a, b, c y d números, se tiene que:
Propiedad Significado Ejemplo
a < b, si y solo si < se preserva si sumamos o restamos un −2 < 3, es equivalente a
a± c < b± c número a lado y lado de la desigualdad −2− 4 < 3− 4 o −6 < −1.
Si a < b, y c > 0 < se preserva si multiplicamos por un −3 < 1, es equivalente a
ac < bc número positivo a lado y lado de la desigualdad −3(2) < 1(2) o −6 < 2.
Alerta. Si en la desigualdad 2 < 7 multiplicamos por el número negativo -3, obtenemos la desigual-
dad, −6 < −14, la cual es una desigualdad falsa, pues, -14 esta a la izquierda de -6 en la recta
real.
De modo que nuestra propiedad no se cumple al multiplicar por números negativos, pero se cumple
la siguiente.
Propiedad Significado Ejemplo
Si a < b, y c < 0 < se invierte (>) si multiplicamos por un −3 < 1, es equivalente a
ac > bc número negativo a lado y lado de la desigualdad −3(−2) > 1(−2) o 6 > −2.
Prosigamos con las propiedades de las desigualdades.
Propiedad Significado Ejemplo
Si a < b y b < c, el simbolo < es transitivo de −3 < −1 y −1 < 4, se obtiene la
a < c desigualdad −3 < 4
Si a < b y c < d, dos desigualdades en el mismo al sumar −3 < −1 y 2 < 5, se
a+ c < b+ d sentido se pueden sumar obtiene −3 + 2 < −1 + 5 o −1 < 4
Si a > 0 y b > 0, entonces los inversos multiplicativos como 2 < 4 entonces
a < b si y solo si
1
a
<
1
b
de números positivos
1
2
>
1
4
invierten la desigualdad
Estas propiedades también son ciertas si cambiamos el simbolo “< ” por el simbolo “≤ ”
Con frecuencia en el calculo debemos tratar desigualdades que contienen incognitas, estas desigual-
dades son llamadas inecuaciones.
Definición 1.4. Se llama inecuación a una desigualdad que involucra una o más incógnitas o
variables.
Ejemplo 1.17. La desigualdad 2x+ 1 ≤ 3 es una inecuación que contiene una incógnita, x. Por
ejemplo el número x = 0 satisface la inecuación, mientras que el número x = 2 no la satisface. Ver
la siguiente tabla.
34 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
x 2x+ 1 ≤ 3 Conclusión
0 1≤3 Verdadero
2 5≤3 Falso
-2 -3≤3 Verdadero
3 7≤3 Falso
Ejemplo 1.18. La desigualdad x2+y2 ≥ 2 es una inecuación con dos incógnitas x e y. Por ejemplo
la pareja de números x = 1 y y = 2 satisfacen la inecuación, mientras que, la pareja x = 0 y y = 1
no la satisface.
Resolver una inecuación que contenga una incógnita significa hallar el conjunto de todos los
números que al ser sustituidos por la incógnita hacen de la inecuación una desigualdad verdadera.
Los métodos para resolver desigualdades en una variable x son similares a los que se usan para
resolver ecuaciones. El conjunto de todos los números que satisfacen la inecuación se llama conjunto
solución ( CS)de la inecuación. Resolver una inecuación significa hallar su conjunto solución. En
general, el (CS) de una inecuación es un tipo de conjunto de números muy importante y requiere
un tratamiento especial.
Veamos una de las nociones más importantes de la matemática moderna y de mucha utilidad en
nuestro trabajo.
Dentro del conjunto de números reales existe un tipo de conjunto especial y que juega papel im-
portante en lo que sigue, los intervalos.
1.4.2. Intervalos
Sean a y b números reales con a < b, se llama intervalo abierto al conjunto de todos los números
que se encuentran entre a y b, sin incluir ni a ni a b y se denota por (a, b). Geométricamente, un
intervalo (a, b) es el segmento de recta de la recta real comprendido entre los puntos a y b sin incluir
los puntos extremos. Ver figura 1.6.
Figura 1.10: Intervalo abierto (a, b)
En notación de conjuntos, un intervalo abierto (a, b) se escribe
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 35
Si el intervalo contiene los extremos a y b se llama intervalo cerrado y se denota [a, b] que en
notación conjuntista escribimos [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} y geometricamente, es el segmento de
recta entre a y b incluyendo los extremos a y b. Ver figura 1.7.
Figura 1.11: Intervalo cerrado [a, b]
Un intervalo puede contener uno de sus extremos, en tal caso, el intervalo de dice intervalo semi-
abierto. También consideramos intervalos infinitos, como se describen en la siguiente tabla.
Notación Desigualdad Gráfica
(a, b) a < x < b —–◦—————–◦——
[a, b] a ≤ x ≤ b ———-•—————–•———–
[a, b) a ≤ x < b ——•—————–◦——-
(a, b] a < x ≤ b ——◦—————–•——-
(a,∞) x > a ——◦————->
[a,∞) x ≥ a ——•————>
(−∞, b) x < b <——–◦————
(−∞, b] x ≤ b <———-•————
(−∞,∞) −∞ < x <∞ <——————>
Observese que ahora el conjunto de los reales puede definirse de las siguientes dos formas equiva-
lentes,
R = (−∞,∞) = {x : −∞ < x <∞}
A diferencia de los intervalos que son copias pequeñas del conjunto de los reales y que por lo tanto
no tienen “huecos” sino que son conjuntos continuos, y que por ende, si tomamos dos elementos
cualesquiera de un intervalo, digamos x y y, los elementos del subintervalo entre x y y, son todos
elementos del mismo intervalo. Esto no sucede por ejemplo con el conjunto de números racionales,
ya que si tomamos los números racionales 1 y 2 el intervalo entre 1 y 2 contiene elementos que no
son números racionales como el número
√
2,
√
3. Conjuntos como los racionales son ejemplos de
conjuntos que no son continuos en el sentido que si tomamos dos elementos distintos en el conjunto,
existen números reales entre estos elementos que no pertenecen al conjunto, tales conjuntos son
llamados conjuntos discretos.
36 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
Definición 1.5. Un conjunto se dice discreto si esta formado por un número finito de elementos,
o si sus elementos se pueden colocar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un
segundo elemento, un tercer elemento, y aśı sucesivamente. Estos conjuntos se pueden describir
completamente mediante la notación
{x1, x2, x3, ..., xn, ...}
Ejemplo 1.19. El conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros y el
conjunto de los números racionales son conjuntos discretos.
Ejemplo 1.20. El conjunto An =
{
1
n
: n ∈ N
}
es un conjunto discreto.
Con estos conceptos a disposición podemos entrar a resolver inecuaciones más generales.
Ejemplo 1.21. Resolver la inecuación 1− 2x < 3.
Solución. Realizamos los siguientes pasos:
Paso 1. Sumamos -1 a lado y lado de la desigualdad 1− 2x− 1 < 3− 1 para obtener −2x < 2.
Paso 2. Multiplicamos por −12 a lado y lado de la desigualdad −
1
2(−2x) > −
1
2(2) para obtener
x > −1.
Por tanto, el conjunto solución de esta inecuación es CS= {x/ x > −1} = (−1,∞). (ver figura
1.8.)
Figura 1.12: CS de la inecuación 1− 2x < 3
Ejemplo 1.22. (Doble desigualdad) Resolver la inecuación −2 < 3x+ 2 < 3.
Solución. Realizamos los siguientes pasos:
Paso 1. Sumar a lado y lado -2, −2− 2 < 3x+ 2− 2 < 3− 2. Esto es, −4 < 3x < 1.
Paso 2. Multiplicar a lado y lado por 1/3, 13(−4) <
1
33x <
1
3 . Esto es −
4
3 < x <
1
3
Por tanto el (CS) de la inecuación es el intervalo (−43 ,
1
3).
Ejemplo 1.23. (Doble desigualdad) Resolver la inecuación −2x < 3x− 1 < x.
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 37
Solución. Resolvemos por separado las desigualdades: −2x < 3x− 1 y 3x− 1 < x.
Caso 1. Resolvemos la desigualdad −2x < 3x− 1.
Sumamos 2x a lado y lado 0 < 5x− 1
sumamos 1 a lado y lado 1 < 5x
multiplicamos por 1/5 a lado y lado 15 < x.
Para este caso obtenemos como conjunto solución al intervalo, S1 = (
1
5 ,∞).
Caso 2. Resolvemos la desigualdad 3x− 1 < x.
Sumamos −x a lado y lado 2x− 1 < 0
sumamos 1 a lado y lado 2x < 1
multiplicamos por 1/2 a lado y lado x < 12
Para este caso tenemos el conjunto solución S2 = (−∞, 12).
Por tanto el conjunto solución de la inecuación −2x < 3x + 2 < x será: S = S1 ∩ S2, esto es
S = (
1
5
,
1
2
). Ver fig 1.9
Figura 1.13: Conjunto solución de −2x < 3x < x
El siguiente concepto de distancia en la recta real, desempeñará un papel decisivo en este curso.
1.4.3. Valor absoluto y distancias
Para medir la distancia en la recta real de un punto cualquiera x al origen, usamos la notación |x|
y se denomina valor absoluto del número real x. Como la distancia es no negativa, se tiene siempre
que |x| ≥ 0. Ver figura 1.10.
Figura 1.14: Distancia de x y de −x al origen.
38 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
de acuerdo con la figura 1.10. podemos tomar la siguiente definición para el valor absoluto de un
número.
Definición 1.6. El valor absoluto de un número real x es
|x| =
{
x, si x ≥ 0
−x, si x < 0
Ejemplo 1.24. |7− 3| = 4 y |4− 6| = | − 2| = −(−2) = 2.
Ejemplo 1.25. |π − 4| = −(π − 4) = 4− π (pues π − 4 < 0).
Ejemplo 1.26. Si x es un número real, entonces, |x−2| será igual a x−2 en caso que x−2 ≥ 0,
es decir, en caso que x ≥ 2, pero, será igual a −(x− 2) = 2− x en caso que x− 2 < 0, es decir, en
caso que, x < 2. Lo cual podemos resumir en
|x− 2| =
{
x− 2, si x− 2 ≥ 0
−(x− 2), si x− 2 < 0
o equivalentemente,
|x− 2| =
{
x− 2, si x ≥ 2
2− x, si x < 2
Alerta. Observese que cada vez que deseamos evaluar el valor absoluto de un número del cual
desconocemos si en la recta real esta a la derecha o a la izquierda del origen, se requiere la
consideración por separado de distintos casos, como en el ejemplo anterior.
El valor absoluto también lo podemos utilizar para hallar la distancia entre dos puntos de la recta
real.
Definición 1.7. Sean a y b dos números cualesquiera en la recta real, La distancia entre el
número a y el número b notada d(a, b) es: d(a, b) = |b− a|
Notese que |b− a| = |a− b|. (Ver figura 1.11.)
Ejemplo 1.27. Para calcular la distancia entre 3 y -2 calculamos |3− (−2)| = |5| = 5 o también
| − 2− 3| = | − 5| = 5.
Ejemplo 1.28. Para calcular la distancia entre -5 y -20 calculamos | − 20− (−5)| = | − 15| = 15
o también | − 5− (−20)| = |15| = 15.
Las siguientes propiedades en los números reales serán de gran utilidad en el manejo del valor
absoluto:
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 39
Figura 1.15: Distancia entre a y b.
Propiedad Interpretación ejemplo
Para todo real a se tiene que El valor absoluto de todo real | − 5| = 5
|a| ≥ 0 y |a| = 0 si y solo si a = 0 es siempre no negativo |x− 2| = 0, x = 2
Para todo real a se tiene que El valor absoluto de un número | − 5| = |5|
| − a| = |a| y su negativo es el mismo |x− 2| = |2− x|
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1.29. (Ecuaciones con valor absoluto.) Resolver la ecuación |x− 3| = 0.
Solución. Debemos hallar todo el conjunto de números que satisfacen la ecuación, es decir, el
conjunto de números que puede tomar la variable x y que al ser remplazados en la ecuación la
convierten en una identidad.
Por la propiedad |x− 3| = 0, solo si, x− 3 = 0, esto es, x = 3.
Ejemplo 1.30. Resolver la ecuación |x| = 3.
Solución. Si x > 0, la igualdadse convierte en: x = 3. Mientras que si x < 0, la igualdad se
convierte en: −x = 3, esto es, x = −3, por consiguiente las soluciónes de la ecuación son x = −3
y x = 3. La figura 10. ilustra gráficamente la solución.
En general se tiene la siguiente propiedad.
Propiedad Interpretación ejemplo
Sea a > 0. Las soluciones de la ecuación a y −a estan a la misma Las soluciones de |x| = 2
|x| = a son x = a y x = −a distancia del origen son x = 2 y x = −2
La figura 1.12. ilustra graficamente la situación.
Ejemplo 1.31. (Ecuaciones con valor absoluto.) Resuelva la ecuación |x− 1| = 2.
40 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
Figura 1.16: Puntos cuya distancia al origen es a
Solución. Por la propiedad anterior considerar dos casos. O bien
x− 1 = 2, es decir, x = 3, o x− 1 = −2, es decir, x = −1. Las soluciones de la ecuación son:
x = 3 y x = −1. (Compruebe que efectivamente estos valores son soluciones de la ecuación)
Ejemplo 1.32. (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuación |x+ 1| = |x|.
Solución. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bién x+ 1 = x, osea, 1 = 0, lo cual
es imposible, o bién, x+ 1 = −x, o sea, x = −1/2. Obteniendose la única solución x = −12 .
Ejemplo 1.33. (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuación |x+ 1| = |x|.
Solución. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bién x+ 1 = x, osea, 1 = 0, lo cual
es imposible, o bién, x+ 1 = −x, o sea, x = −1/2. Obteniendose la única solución x = −12 .
Propiedad Interpretación Ilustración
Para todo par de números a El valor absoluto de un producto |(−2)(4)| = | − 2||4| = 8
y b, |ab| = |a||b| es el producto de los valores ab |1− x2| = |1− x||1 + x|
Para todo par de números a El valor absoluto de un cociente es
∣∣∣∣x3 + x2 + x+ 11 + x2
∣∣∣∣ =
y b 6= 0,
∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| el cociente de los valores absolutos |1 + x||1 + x2||1 + x2| = |1 + x|
La siguiente propiedad se cumple en un triángulo, de hay su nombre “desigualdad del triángulo”
Propiedad Interpretación Ilustración
Para todo par de números El valor absoluto de una suma nunca 1 = | − 4 + 5| ≤ | − 4|+ |5| = 9
a y b, |a+ b| ≤ |a|+ |b| excede la suma de los valores absolutos |1− x2| = |1− x||1 + x|
Ejemplo 1.34. |2 + 3| = |2|+ |3|, mientras que |5− 3| < |5|+ | − 3|
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 41
Alerta. Observe que, |a+ b| = a+b siempre que los números a y b tengan el mismo signo, mientras
que |a+ b| < a+ b si a y b tienen signos contrarios.
Propiedad Interpretación Ilustración
Si a > 0, entonces La distancia de x al origen es menor |x| < 1⇔ −1 < x < 1
|x| < a si y solo si −a < x < a que a, significa que x > −a y que x < a
La propiedad se ilustra en la grafica 1.13.
Figura 1.17: La igualdad |x| = a y las desigualdades |x| < a y |x| > a
Ejemplo 1.35. Resolver la inecuación |x+ 1| < 2.
Propiedad Interpretación Ilustración
Si a > 0, entonces |x| > a La distancia de x al origen es mayor |x| < 1⇔ −1 < x < 1
si y solo si x > a o x < −a que a, significa que x > a o que x < −a
La propiedad se ilustra en la grafica 1.13.
Estas propiedades siguen siendo válidas si el simbolo < o > es reemplzado por el simbolo ≤ o ≥.
Ejemplo 1.36. Resolver la inecuación |x+ 1| ≤ 2.
Solución. La desigualdad |x+ 1| ≤ 2 es equivalente a la desigualdad −2 ≤ x+1 ≤ 2. Sumando −1
a lado y lado se recibe, −3 ≤ x ≤ 1, obteniendose aśı el intervalo [−3, 1] como conjunto solución.
Ejemplo 1.37. Resolver |2x+ 1| ≥ 6.
42 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
Solución. |2x+ 1| ≥ 6 es equivalente a
2x+ 1 ≥ 6 o 2x+ 1 ≤ −6 ——propiedad
2x ≥ 5 o 2x ≤ −7 —————–sumar -1 a lado y lado
x ≥ 52 o x ≤ −
7
2
——————multiplicar por
1
2
a lado y lado.
En consecuencia, la solución de la inecuación es la union de los intervalos (−∞,−7/2]∪ [5/2,∞) .
Alerta. En la solución anterior no es correcto escribir la solución x ≤ −7
2
o x ≥ 5
2
como
5
2
≤ x ≤ −7
2
pues
5
2
6≤ −7
2
.
Tampoco es correcto escribir a ≤ x ≥ b, ya que cuando se usa una doble desigualdad, el
sentido de las desigualdades debe ser el mismo.
Ejemplo 1.38. (Desigualdades con doble valor absoluto.) Resolver la inecuación |2x− 3| <
|x− 4|.
Solución. Como 2x − 3 se anula en x = 32 y x − 4 se anula en x = 4 y estos puntos dividen la
recta en tres segmentos, como se ilustra en la grafica 13.
Resolvemos entonces la inecuación en cada uno de esos intervalos aśı:
a) Para el primer segmento donde x <
3
2
la desigualdad se convierte en −(2x − 3) < −(x − 4),
esto es, 2x− 3 > x− 4, o sea, x > −1, como estamos en el primer segmento, se tiene como (CS) al
intervalo I1 = (−1,
3
2
).
b) En el segundo segmento se tiene
3
2
< x < 4. La desigualdad se convierte en 3x− 3 < −(x− 4)
esto es 2x < 7 o x <
7
2
, como estamos en el segundo segmento, el (CS) es I2 = (
3
2
,
7
2
).
c) Por último, en el tercer segmento, x > 4 la desigualdad se escribe 2x− 3 < x− 4, o, x < −1.
En este caso I3 = ∅. Uniendo las soluciones y observando que x =
3
2
satisface la desigualdad (en
este caso los números 3/2 y 4 no se habian considerado), la solución de la inecuación es el intervalo:
(−1, 7/2).
Ejemplo 1.39. (Desigualdad racional.) Resolver la desigualdad
1
x− 3
> 0.
Solución. Como el numerador es positivo, es necesario que el denominador también lo sea, es decir
x− 3 > 0, en consecuencia x > 3 y la solución son todos los números del intervalo (3,∞).
Ejercicios propuestos
1. Sean a, b y c números reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Encuentre el signo (+ o -) de
cada una de las expresiones
a) −a
b) bc
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 43
c) ab+ ac
d) ab2
e) a+ bc
f ) ab− bc+ ac
g) −c(a− b)
2. Grafique el conjunto sobre la recta real.
a) (−3, 1) ∪ [0, 3]
b) (−∞, 0] ∩ [0,∞)
c) (−∞, 0) ∪ (0,∞)
d) (−3, 1] ∩ [0, 3]
3. Grafique el par de números en la recta real y luego encuentre la distancia entre los puntos.
a) 5, 8
b) −3, 5
c) −8, −2
d)
1
17
,
1
18
e) −1,2, −0,5
4. Observando la figura, explique como ubicar el punto
√
3 en la recta real. ¿Y cómo ubicar el
punto
√
5?
Figura 1.18: Construcción de
√
2 en la recta real.
5. Escriba en el espacio el signo correcto (<, >, o =)
3 -3 3.5 2/3 0.67
7/2
-7/2
0.67
-0.67
6. Sea H =
{
−π,−e,−
√
3,−1, 0, 1
2
, e, π, 4
}
. ¿Cuáles de los elementos del conjunto H satisfacen
la desigualdad?
44 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
a) 2x− 1 <
√
2
b) 1− 2x < π
c) 1 < 1− 2x < 3
d) 2x− 1 + 1
x
< 0
e) −3 < 2− x < −1
7. Complete la tabla con los signos de <, >, o =
-10 12/13 -1 1.41 1.1 -3 0.1
-6 <√
2
−π
-1/2
1.1
10/11
0.01
8. Diga si la desigualdad es verdadera o falsa. Si la desigualdad es falsa corŕıjala.
-3.3 -1 11/13
√
3
−3.3 ≤ > ≥ <
-0,3 < < ≤ <
15/16 > > < ≥√
2 ≥ > ≥ >
9. Escriba cada enunciado en términos de una desigualdad válida.
a) x es positivo.
b) y es negativo.
c) x es menor a 1/2 y mayor a -5.
d) La distancia de x a 5 es a lo más 3.
e) w es positiva y menor igual a 11.
f ) y está al menos 2 unidades de π.
g) El cociente de p y q es al menos 5.
10. Considere los intervalos I1 = (−1, 1), I2 = [0, 5] y I3 = (−2, 3]. Halle:
a) I1 ∪ I2
b) I1 ∩ I2
c) I1 ∪ I2 ∪ I3
d) I1 ∩ I2 ∩ I3
11. Considere los conjuntos I1 = {x| x ≥ 1}, I2 = {x| − 2 ≤ x < 1}, I3 = {x| x ≥ 0}. Halle:
a) I1 ∪ I2
b) I1 ∩ I2
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 45
c) I1 ∪ I2 ∪ I3
d) I1 ∩ I2 ∩ I3
12. Dada la desigualdad −5 < −1, determine la desigualdad que se obtiene si:
a) Se suma 8 a lado y lado.
b) Se multiplica por 1/2 a lado y lado.
c) Se resta 5 a lado y lado.
d) Se multiplica por −1
2
a lado y lado.
13. Exprese la desigualdad como un intervalo y trace su grafica.
a) x ≤ 3
b) x ≥ 3
c) −2 ≤ x < 1
d) −3 ≥ x > −5
14. Exprese el intervalo como una desigualdad en la variable x.
a) (0, 5)
b) [−4,−1]
c) (−∞, 5)
d) (2,∞).
15. Sean a y b reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Halle el valor exacto de:
a) |−a|
b) |−b|
c) |a+ bc|
d) |ab− bc+ ac|
e) |−c(a− b)|
16. Compare los números
5
101
,
11
86
y
906996
.
17. Escriba el enunciado en términos de desigualdad.
a) x es negativo.
b) x esta a menos de 3 unidades de 2.
c) La distancia entre x y π esta entre 1 y 2.
d) x es no negativo y menor a 15.
18. Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el enunciado dado.
a) El peso de una persona no ha de variar más de 2 lbs de 148 lbs.
b) El radio de un globo esférico no debe variar más de 0,001 cm. de 1 cm.
46 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
Figura 1.19: Intervalo cerrado [0, 4]
c) La diferencia de dos temperaturas T1 y T2 de una una lámina homogenea tiene que estar
entre 5◦CC y 10◦CC.
19. Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el conjunto ilustrado en la grafica.
20. En la desigualdad despeje x, suponiendo que a, b y c son positivos y a < c.
a) a+ b(c− ax) ≥ a+ b(c− a)
b) −a ≤ c− bx ≤ a
c)
∣∣∣x
a
− b
∣∣∣ > c
21. Evalúe cada expresión.
a) ||−2| − |−6||
b)
∣∣∣∣π − 33− π
∣∣∣∣
c)
∣∣π −√2−√3∣∣
d) |2x+ 3|
22. Exprese la expresión dada sin utilizar el simbolo de valor absoluto y simplificar.
a) |1 + 2x| si x < −12
b) |b− a| si a < b
c) | − x2 − 1|
d) |x2 + x+ 1|.
23. Pruebe que si |x− x0| < r2 y |y − y0| <
r
2 , entonces se tiene que |(x+ y)− (x0 + y0)| < r. Y
que |(x− y)− (x0 + y0)| < r, r un real positivo.
24. Obtenga los números que estan a una distancia de 3 unidades del número -1.
25. Encontrar todos los números x para los cuales se cumple que:
a) |x− 3| = 8
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 47
b) |x− 3| < 8
c) |x− 3| > 8
d) |x− 1|+ |x− 2| > 1
e) |x+ 1| |x+ 2| = 3
f ) (x− 3)2 = 1
g) |2x− 3|+ 5 ≤ 0
h)
∣∣∣∣3− 1x− 2
∣∣∣∣ = 7
26. Resuelva la inecuación lineal. Exprese la solución en notación de intervalo y grafique el con-
junto solución.
a) 3− x < 5− 2x
b)
1
x
< 0
c)
1
2
<
2− 3x
7
≤ 3
4
d) |7x+ 4| ≥ 3
e) (1− x) (x+ 2) > 0(¿ En que casos es po-
sitivo el producto de dos números?)
f )
3− x
3 + x
≤ −1
g)
x− 1
x+ 1
> 0
27. Sean a, b, c y d números positivos tales que
a
b
<
c
d
. Muestre que
a
b
<
a+ c
b+ d
<
c
d
.
28. Considere el conjunto An =
{
1
n
: n ∈ N
}
.
a) Explique el porque el conjunto An es un conjunto discreto.
b) Halle
∞⋂
i=1
An
29. Considere el conjunto H =
{
n+ 1
n
: n ∈ N
}
.
a) Explique el porque el conjunto H es un conjunto discreto.
b) Encuentre el intervalo más pequeño I tal que H ⊆ I
c) ¿El conjunto H tiene primer elemento?
d) ¿El conjunto H tiene último elemento?
e) Halle la distancia entre el número 1 y un número cualquiera de H.
30. Mostrar que
a) Si 0 < a < 1, entonces a2 < a
b) Si 0 < a < b, entonces a2 < b2
c) Si a y b son no negativos con a2 < b2, entonces a < b
d) Si 0 < a < b, entonces a <
√
ab <
a+ b
2
< b
31. Una oficina de correos por razones de loǵıstica solo acepta paquetes cuya longitud más peŕıme-
tro de una sección trasversal no exceda los 100 cm.
48 CAPÍTULO 1. NÚMEROS, SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES
a) Realice un dibujo y coloque sus variables.
b) Escriba la inecuación correspondiente a los datos dados.
c) Si usted tiene que llevar un paquete de 8 cm. de ancho por 7 cm. de alto, ¿cuál es la
máxima longitud que puede tener el paquete?
32. La relación entre grados Celsius (C) y grados Fahrenheit (F) está dada por la ecuación
C =
5
9
(F − 32). Si un alimento debe conservarse refrigerado entre los 0◦CC y los 10◦CC. ¿A
qué intervalo de temperatura Fahrenheit corresponde?
33. Una compañia de alquiler de autos goza de dos planes para sus clientes:
Plan A: $ 100.000 por d́ıa más $ 100 por kilometro recorrido.
Plan B : $ 130.000 por d́ıa y kilometraje ilimitado.
a) ¿Cuántos kilometros por d́ıa debe recorrer un cliente para que el plan A sea más ventajoso
que el plan B?
b) ¿Cuántos kilometros por d́ıa debe recorrer un cliente para que el planB sea más ventajoso
que el plan A?
34. Establecer la veracidad (V) o falsedad (F) de la proposición. En caso que la proposición sea
falsa reemplacela por una proposición correspondiente que sea verdadera.
a) Una desigualdad lineal en una incógnita tiene un número infinito de soluciones siempre.
b) Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente de
cero se preserva el sentido de la desigualdad.
c) Si un número negativo se resta a lado y lado de una desigualdad, el sentido de la de-
sigualdad cambia.
d) El conjunto solución de una inecuación puede ser un número.
e) Si |x| = a, entonces x = a o x = −a para todo valor de a.
f ) Si |x| = |y|, entonces x = y o x = −y.
g) La ecuación |x− 2|+ |x− 3| = 0 no tiene solución.
h) |x+ y| = |x|+ |y|, si y solo si, x y y tienen el mismo signo.
i) Si x es un número real, entonces |x| ≥ x y |x| ≥ −x.
j ) x > y implica |x| > |y|
k) Si x2 > y2, entonces |x| > |y|.
35. Si una tienda puede vender x unidades diarias de un producto a un precio de $ p cada uno,
donde p = 600 − x ¿Cuántas unidades del pruducto debe vender para obtener un ingreso
diario de al menos $ 8000 ?
36. Si dos resistores R1 y R2 se conectan en paralelo en un circuito eléctrico, la resistencia neta
R está dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
Si R1 = 10 ohms ¿qué valores de R2 darán una resistencia neta de menos de 5 ohms?
1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA 49
37. De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F en lbs requerida para estirar un resorte x pulgadas,
más allá de su longitud natural, esta dada por F = 4, 5x (ver figura). Si 10 ≤ F ≤ 18 ¿cuáles
son los valores correspondientes de la variable x?
38. Según la figura, si una lente convexa tiene una longitud focal de f cm y si un objeto se coloca
a una distancia de p cm de la lente p > f, entonces la distancia desde la lente a la imagen
está relacionada con p y f mediante la fórmula
1
p
+
1
q
=
1
f
Si f = 5 vm, ¿cuán cerca debe estar el objeto de la lente para que la imagen quede a más de
12 mc de la lente?
	Números, sistemas numéricos y operaciones
	Operaciones en los sistemas numéricos
	Conjuntos numéricos
	Jerarquía de las operaciones
	Reglas de los signos
	La resta y el recíproco o inverso aditivo
	Factorización de números naturales
	Ejercicios
	Números racionales
	Multiplicación y división de fracciones
	Suma y resta de fracciones
	Cómo encontrar el mínimo común denominador
	Números mixtos
	Ejercicios
	Números reales
	Decimales y números irracionales
	Números reales y sus operaciones
	Porcentajes y regla de tres
	Aplicaciones a la geometría
	Ejercicios
	Orden en la recta numérica
	La recta real.
	Intervalos
	Valor absoluto y distancias
	Exponentes y Radicales
	 Exponentes Enteros
	Notación Científica
	 Manejo de radicales y operaciones
	 Exponentes racionales, propiedades y racionalización
	Números Complejos