GUÍA-FACTORIZACIÓN-2

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DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS ÁREA: MATEMÁTICAS 
GRADO: 8A, 8B, 8C, 8D, 8E Jornada mañana y 8A, 8B, 8C, 8D Jornada tarde 
Guía De Actividades. 
TEMA: FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
NOMBRE:____________________________________________ CURSO 8° FECHA____________________ 
 
 CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN. 
Factorizar o factorar una expresión algebraica es convertirla en producto 
(multiplicación) indicado de sus factores. 
 
 
 CASOS DE FACTORIZACIÓN. 
 
 1. FACTOR COMÚN MONOMIO. 
En este caso se saca el término que es común en todos los términos del polinomio, entre 
las variables la de menor exponente y entre los coeficientes numéricos el máximo 
común divisor (M.C.D) y el resultado se escribe como producto, por ejemplo. 
 
 
 
Ejemplo 1. 
 
 10𝑥2 + 15𝑥3𝑦 = 5𝑥2(2 + 3𝑥𝑦) 
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐) 
𝑎2 + 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 + 𝑏) 
 
2 
 
 Ejemplo 2. 
 
 18𝑎𝑏𝑐2 + 54𝑎2𝑐2 + 36𝑎2𝑐3 = 18𝑎𝑐2(𝑏 + 3𝑎 + 2𝑎𝑐) 
 
Ahora observa el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=kbQwYQ5Myws 
 2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS 
Agrupamos la expresión en dos grupos de expresiones con igual número de términos, 
de tal manera que tengan factor común entre sí, luego se extrae este factor común y la 
nueva expresión resultante deberá poseer un polinomio (binomio o trinomio) como 
factor común, lo cual se realiza, quedando finalmente expresada como producto de 
dos polinomios. 
Ejemplo 1. Factorizar el polinomio 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) → 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑚𝑜𝑠 
 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) → 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 
 = (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) → 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 
Ejemplo 2. Factorizar el polinomio 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 
2𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 = (2𝑥2 − 3𝑥𝑦) − (4𝑥 − 6𝑦) → 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑚𝑜𝑠 
 = 𝑥(2𝑥 − 3𝑦) + 2(2𝑥 − 3𝑦) → 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 
 = (2𝑥 − 3𝑦)(𝑥 + 2) → 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 
Ejemplo 3. Factorizar el polinomio 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 
3𝑥3 − 1 − 𝑥2 + 3𝑥 = (3𝑥3 − 𝑥2) + (3𝑥 − 1) → 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑚𝑜𝑠 
 = 𝑥2(3𝑥 − 1) + 1(3𝑥 − 1) → 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 
 = (3𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) → 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 
 
Ahora observa el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=eWy401KCj7c 
 
 3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=kbQwYQ5Myws
https://www.youtube.com/watch?v=eWy401KCj7c
3 
 
Ejemplo 1: factorizar el trinomio 𝟐𝒎 + 𝒎𝟐 + 𝟏. 
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, primero tenemos que ordenar (si es 
necesario) el trinomio dejando a los extremos los cuadrados perfectos. 
 
2𝑚 + 𝑚2 + 1 = 𝑚2 + 2𝑚 + 1 
 
Antes de aplicar este método de factorización debes determinar si el primer y tercer 
término del trinomio son cuadrados perfectos, en el caso de las incógnitas o letras, 
solo es ver si su exponente es par, esto es, que la raíz cuadrada de 
 √𝑚2 = 𝑚 y √1 = 1. Observa que al multiplicar estos resultados por 2, se obtiene el segundo 
término del trinomio 2(𝑚)(1) = 2𝑚(esto garantiza que sea un trinomio cuadrado 
perfecto) 
Luego la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos m y 1 se colocan en un paréntesis 
con el signo del segundo término entre ellos y todo esto se eleva al cuadrado: 
𝑚2 + 2𝑚 + 1 = (𝑚 + 1)2 
Ejemplo 2. Factorizar 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝒚𝟐 
Miremos primero si el trinomio es cuadrado perfecto: 
√𝑥4 = 𝑥2 y √4𝑦2 = 2𝑦 → 2(𝑥2)(2𝑦) = 4𝑥2𝑦. 
 
Ahora, factoricemos. 
𝑥4 + 4𝑥2𝑦 + 4𝑦2 = (𝑥 + 2𝑦)2 
Ejemplo 3. Factorizar −10𝑥𝑦 + 25𝑥2 + 𝑦2 
Primero ordenamos −10𝑥𝑦 + 25𝑥2 + 𝑦2 = 25𝑥2 − 10𝑥𝑦 + 𝑦2 
Verificamos si el trinomio es cuadrado perfecto: 
√25𝑥2 = 5𝑥 y √𝑦2 = 𝑦 → 2(5𝑥)(𝑦) = 10𝑥𝑦. Es cuadrado perfecto 
Ahora factorizamos. 
25𝑥2 − 10𝑥𝑦 + 𝑦2 = (5𝑥 − 𝑦)2 
 
Ahora observa el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=gWzj_-z0HVs 
 
https://www.youtube.com/watch?v=gWzj_-z0HVs
4 
 
 4. TRINOMIO DE LA FORMA: 𝒙𝟐 + 𝐛𝒙 + 𝐜. 
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada 
de x2 o sea x, el signo del primer paréntesis es el signo del segundo termino y el signo 
del segundo paréntesis es el producto del signo del segundo término por el tercero, luego 
si los signos de los paréntesis son iguales se buscan dos números que multiplicados den 
como resultado el tercero y que sumados me den el coeficiente del segundo término. 
En caso de que los signos de los paréntesis sean diferentes se buscan dos números que 
multiplicados den como resultado el tercero y que restados den el coeficiente del 
segundo término. 
 
Ejemplo 1. Factorizar 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 
 
𝑥2 + 7𝑥 + 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2) 
 
Ejemplo 2. Factorizar 𝒚𝟐 − 𝟏𝟑𝒚 + 𝟒𝟎 
 
𝑦2 − 13𝑦 + 40 = (𝑦 − 8)(𝑦 − 5) 
 
Ejemplo 3. Factorizar 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝟏𝟔 
 
𝑥2 + 6𝑥 − 216 = (𝑥 + 18)(𝑥 − 12) 
 
Ahora observa el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=UNEfUX8oNsE 
 
 5. TRINOMIO DE LA FORMA : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
 
Ejemplo 1. Tomemos el trinomio 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 , ya ordenado multiplicando por el 
coeficiente que acompaña a 𝑥2 , que en este caso es 6 quedando: 
 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = 6( 6𝑥2 − 7𝑥 − 3) = (6𝑥)2 − 7(6𝑥) − 18 
Ahora buscamos dos números que multiplicados den−18 y restados −7, 
= (6𝑥 − )( 6𝑥 + ) 
https://www.youtube.com/watch?v=UNEfUX8oNsE
5 
 
Estos son -9 y 2. 
= (6𝑥 − 9)( 6𝑥 + 2) 
 
Como anteriormente amplificamos la expresión por 6 ahora hay que dividir por 
=
(6𝑥 − 9)( 6𝑥 + 2) 
6
 
Sacamos factor común en cada paréntesis, luego multiplicamos estos factores y lo 
simplificamos con el 6 que está en el denominador. 
 6𝑥2 − 7𝑥 + 3 =
(6𝑥 − 9)( 6𝑥 + 2) 
6
=
3(2𝑥 − 3) ∙ 2( 3𝑥 + 1) 
6
 
 6𝑥2 − 7𝑥 + 3 =
6(2𝑥 − 3)( 3𝑥 + 1) 
6
 
Y se obtiene finalmente. 
 
 
 
Ejemplo 2. Factorizar 18𝑦2 − 13𝑦 − 5. 
 
18𝑦2 − 13𝑦 − 5 =
18(18𝑦2−13𝑦−5)
18
=
(18𝑦)2−13(18𝑦)−90
18
→ 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 18 
 
18𝑦2 − 13𝑦 − 5 =
(18𝑦 − 18)(18𝑦 + 5)
18
→ 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
18𝑦2 − 13𝑦 − 5 =
18(𝑦 − 1)(18𝑦 + 5)
18
→ 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 18 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 
 
 
 
 
Ahora observa el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=xZHGl-RUqHs 
 
18𝑦2 − 13𝑦 − 5 = (𝑦 − 1)(18𝑦 + 5) → 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 
 
 6𝑥2 − 7𝑥 + 3 = (2𝑥 − 3)( 3𝑥 + 1) 
 
https://www.youtube.com/watch?v=xZHGl-RUqHs
6 
 
 
 6. DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS. 
 
Tenemos que extraer la raíz cuadrada a los dos términos y luego multiplicamos la 
suma de las raíces con la diferencia de estas. 
Ejemplo 1. Factorizar 𝑎2−𝑏2 
Extraemos la raíz cuadrada de cada término del binomio, así. √𝑎2 = 𝑎 y √𝑏2 = 𝑏 
 
𝑎2−𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
Ejemplo 1. Factorizar 𝟏𝟔 − 𝟗𝒚𝟐 
Como √16 = 4 𝑦 √9𝑦2 = 3𝑦, entonces. 
16 − 9𝑦2 = (4 + 3𝑦)(4 − 3𝑦) 
 
Ejemplo 2. Factorizar 100𝑚4 − 81𝑛2 
Como √100𝑚4 = 10𝑚2 𝑦 √81𝑛2 = 9𝑛, entonces. 
 
100𝑚4 − 81𝑛2 = (10𝑚2 + 9𝑛)(10𝑚2 − 9𝑛) 
 
 Ahora observa el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=72MRXDT9WT0 
 
 7. SUMA O DIFERENCIA DE CUBO PERFECTO. Suma de cubos de dos cantidades 
 
La suma de cubos de dos cantidades es igual, a la suma de las raíces cubicas de 
cada término del cubo multiplicado por el cuadrado del primer término menos el 
producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término. 
En símbolos 
 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
https://www.youtube.com/watch?v=72MRXDT9WT0
7 
 
 
 
Ejemplo. Factorizar 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 
Extraemos la raíz cubica de cada término del binomio, así. 
√27𝑥3
3
= 3𝑥 y √𝑦3
3
= 𝑦 
Luego. 
27𝑥3 + 𝑦3 = (3𝑥 + 𝑦)((3𝑥)2 − (3𝑥)𝑦 + 𝑦2) = (3𝑥 + 𝑦)(9𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
 Diferencia de cubos de dos cantidades 
 
La diferencia de cubos de dos cantidades es igual, a la resta de las raíces cubicas de 
cada término del cubo multiplicada por el cuadrado de la primea raíz más el producto 
de la primera raíz por la segunda más el cuadrado de la segunda raíz. En símbolos. 
 
 
Ejemplo. Factorizar 8𝑝3 − 125𝑟3 
Extraemos la raíz cubica de cada término del binomio, así. 
√8𝑝3
3
= 2𝑝 y √125𝑟3
3
= 5𝑟, 
Luego: 
8𝑝3 − 125𝑟3 = (2𝑝 − 5𝑟)((2𝑝)2 + (2𝑝)(5𝑟) + (5𝑟)2) = (2𝑝 − 5𝑟)(4𝑝2 + 10𝑝𝑟 + 25𝑟2) 
Ahora observa el video en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=X9DT2c1u_GU 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
https://www.youtube.com/watch?v=X9DT2c1u_GU
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 Factorizar o descomponer en dos factores las siguientes expresiones algebraicas, 
utilizando el método indicado. 
 
1. Por factor común monomio. 
A. 3𝑌3 − 𝑌2 = 
B. 5𝑥2 + 15𝑥3 = 
C.24𝑎2𝑥𝑦2 − 36𝑥2𝑦4 = 
D. 34𝑏𝑦2 + 51𝑏2𝑦 − 68 𝑏𝑦3 = 
E. 18𝑎3 + 12𝑎2 − 15𝑎 = 
 
2. Por factor común por agrupación de 
términos 
A. 25𝑎7 − 10𝑎6 − 15𝑎4 − 5𝑎3 = 
B. 𝑎𝑚 − 2𝑏𝑚 − 2𝑎𝑛 + 4𝑏𝑛 = 
C. 5𝑎𝑏𝑥2 − 4𝑦2 − 4𝑥2 + 5𝑎𝑏𝑦2 = 
D. 3𝑥3 + 3𝑎 − 9𝑎𝑥2 − 𝑥 = 
E. 𝑥3𝑦3 + a𝑏2𝑥2𝑦 + 𝑎2𝑏𝑥𝑦2 + 𝑎3𝑏3 = 
 
3. Por trinomio cuadrado perfecto 
A.𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 
B. 36 + 12𝑎2 + 𝑎4 = 
C. 4𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 = 
D. 9𝑦2 − 30𝑥2𝑦 + 25𝑥4 = 
E. 81𝑥2 − 90𝑥𝑦 + 25𝑦2 = 
 
4. Por trinomio de la forma: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
A. 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 
B. 𝑎2 − 6 − a = 
C. 𝑥2 − 7x − 30 = 
D. 𝑦2 − y − 132 = 
E. 𝑛2 + 48n + 144 = 
 
 
5. Por trinomio de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
A.3𝑎2 + 8𝑎 + 4 = 
B.5𝑥2 + 13𝑥 − 6 = 
C. 4𝑦2 + 15𝑦 + 9 = 
D. 20𝑛2 + 𝑛 − 1 = 
E. 8𝑥2 − 14𝑥 − 15 = 
 
6. Por diferencia de cuadrado perfecto 
A. 16 − 𝑥2 = 
B. 49𝑥2𝑦2 − 1 = 
C. 169𝑝2 − 100𝑞2 = 
D. 25𝑥2𝑦4 − 121𝑧2 = 
E. 144𝑛2 − 9𝑎2 = 
 
7. Por suma y diferencia de cubos 
perfectos 
A.𝑥3 − 27 = 
B. 8𝑦3 − 27𝑧6 = 
C. 64𝑥3 − 125𝑦3 = 
D. 1 + 729𝑟3 = 
E. 27𝑥3 + 8 = 
 
8. Factoriza e identifica cada caso. 
 
A. 8𝑥3 − 𝑦6 = 
B. 25𝑛2 + 60𝑛𝑝 + 36𝑝2 = 
C. 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥𝑦2 − 𝑦2 = 
D. 400𝑛2 − 169𝑚2 = 
E. 21𝑥2 + 11𝑥 − 2 = 
9 
 
 
¡ÉXITO!