Unidad 4-Series

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Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
1 
 
MATEMÁTICA D 
Módulo I: Análisis de Variable Compleja 
 
 
Unidad 4 
 
 
Series 
 
 
Mag. María Inés Baragatti 
 
 
1- Sucesiones 
 
♦ Sea A un conjunto no vacío , una sucesión definida en A es simplemente un conjunto de 
elementos de A escritos en un orden definido : 
 
a1 , a2 , a3 , ........., an , .......... 
 
por ello una sucesión se puede considerar como una función f cuyo dominio es el conjunto N de 
números naturales y su codominio es A y verifica : f(1) = a1 , f(2) = a2 , ... , f(n) = an , ..... 
 
Por lo general en vez de usar la notación funcional f(n) = an , la sucesión se indica 
{ a1 , a2 , a3 , ........., an , ..........} o {an}n > 1 o simplemente {an} 
 
El número a1 es el primer término de la sucesión , a2 es el segundo término y en general an es el 
n- ésimo término de la sucesión también llamado término general. 
 
Si el conjunto A es un conjunto de números complejos, se dice que la sucesión {an} es una 
sucesión numérica compleja . 
 
 
♦ Sucesiones numéricas convergentes 
 
Si los términos de una sucesión numérica {an} se acercan a un número L para n suficientemente 
grande, es decir si Lalím n
n
====
∞∞∞∞→→→→
, se dice que la sucesión converge o es convergente , también 
puede decirse que la sucesión converge al valor L . De no existir dicho límite, se dice que la 
sucesión diverge o es divergente 
 
Es importante recordar que cuando se afirma que Lalím n
n
====
∞∞∞∞→→→→
 significa que: 
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dado cualquier número positivo, al que se denomina εεεε, es posible encontrar un número N (que 
depende de εεεε ) tal que |an - L | < εεεε , para todo n > N 
� Ejemplos 
 
1- Para averiguar si la sucesión 





 −−−−++++
n
)1n(i1
 converge, calculamos : 
 
ii0
n
1n
lím i 
n
1
lím
n
1n
 i
n
1
 lím
n
)1n(i1
 lím
nnnn
====++++====−−−−++++====




 −−−−++++====−−−−++++
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
 
 
observar que hemos usado la propiedad que afirma que el límite de una expresión compleja, si 
existe, es igual a la suma de los límites de cada componente . 
 
Como el límite existe y es igual a i, decimos que la sucesión converge al valor i . 
 
2- Para averiguar si es convergente o no la sucesión an =
n
)i( n−−−−
 , no es conveniente buscar la 
parte real y la parte imaginaria debido a las variaciones que tiene la potencia (-i)n . 
 
Intentemos analizar la convergencia expresando los términos de la sucesión en forma polar : 
calculamos su módulo |an| =
n
1
 
n
)i( n ====
−−−−
 y su argumento arg(an) = n arg (-i) = 
2
n
2
n
ππππ−−−−====




 ππππ−−−− 
 
y entonces 00i0
2
n
sen
n
1
lími
2
n
cos
n
1
líme 
n
1
 lím
n
)i(
lím
nn
2
in
-
n
n
n
====++++====




 ππππ−−−−




 ππππ========−−−−
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
ππππ
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
 , 
 
en el último paso hemos usado la propiedad que " el producto de una expresión que tiende a cero 
por una función acotada tiende a cero", por lo tanto la sucesión converge a 0 . 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 1: 
 
a) Demostrar usando la idea desarrollada en el ejemplo 2 que 0a lím 0 |a| lím n
n
n
n
====⇒⇒⇒⇒====
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
, 
siendo an una sucesión cualquiera. 
b) Demostrar el recíproco de la propiedad dada en a) y concluir que 
0a lím 0 |a| lím n
n
n
n
====⇔⇔⇔⇔====
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
 
c) Si an = 5 cos(nθθθθ) + i 5 sen(nθθθθ) , demostrar que la sucesión {|an|} converge a 5 y la sucesión 
{an} diverge. Este ejemplo no muestra que la propiedad enunciada en b) sólo vale cuando la 
sucesión de los módulos converge a 0 
 
 
 
 
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♦ Sucesiones de funciones 
 
Sabemos ya que una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales 
N , si a cada natural n le hacemos corresponder una función fn(z) , decimos que se ha definido 
una sucesión de funciones y la anotamos {fn(z)}. Naturalmente las funciones fn tendrán un 
dominio D, donde se moverá la variable z 
 
 
� Ejemplos 
 
 
Si fn(z) = z
n , los tres primeros términos de esta sucesión son las funciones f1(z) = z, f2(z) = z
2 , 
f3(z) = z
3 , también podemos escribir {z , z2 , z3, z4 , ....} o simplemente anotando {zn} . En este 
caso el dominio de las funciones son todos los complejos. 
 
Es importante observar que si reemplazamos la variable z por un complejo fijo z0 , obtenemos 
una sucesión numérica compleja {z0
n} . Si tomamos z0 = i obtenemos la sucesión numérica {i
n} ; 
si z0 = 1/2 e
iππππ obtenemos la sucesión numérica { (1/2 eiππππ )n } 
 
 
♦ Convergencia de una sucesión de funciones (también llamada convergencia puntual) 
 
Para estudiar la convergencia de una sucesión de funciones {f n(z)} también debemos calcular el 
límite de su término general, es decir calcular lím
n ∞∞∞∞→→→→
fn(z) y puede suceder que para algunos 
valores de z dicho límite exista y para otros valores de z no exista. 
 
Si el límite anterior sólo existe para los complejos z de un conjunto D1 contenido o igual al 
dominio D de las funciones, decimos que la sucesión {fn(z)} converge en D1, y que D1 es la 
región de convergencia de la sucesión, en cambio si lím
n ∞∞∞∞→→→→
fn(z) no existe para los restantes 
complejos, se dice que la sucesión diverge para los z que no pertenecen a D1. 
 
Es importante recalcar que cuando afirmamos que una sucesión de funciones converge para los z 
de un conjunto D1 , queremos decir que si se reemplaza z por cualquier elemento de D1 se obtiene 
una sucesión numérica convergente, es decir la sucesión converge en todos los puntos de D1 y por 
ello se suele decir que la sucesión converge puntualmente para los z del conjunto D1. 
 
♦ Definición formal : Si lím
n ∞∞∞∞→→→→
fn(z) = f(z) para los z pertenecientes a un conjunto D1 , decimos 
que la sucesión {fn (z)} converge puntualmente (o converge) a f(z) para los z de D1 y 
significa que: 
 
dado cualquier número positivo εεεε, es posible encontrar un número N (que depende en general 
de εεεε y de z) tal que |fn (z)- f(z) | < εεεε , para todo n > N y para todo z del conjunto D1 
 
 
� Ejemplo 
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1- Se quiere averiguar si la sucesión {zn} converge para los valores z1= 1 + 2i , z2 = i , 
z3 = 4
1
2
1 i++++ y z4 = (((( ))))n2i , es decir queremos averiguar si las sucesiones numéricas (1 + 2i)n , 
in , (((( ))))n4121 i++++ , (((( ))))n2i convergen, simplemente hay que calcular el límite para n →→→→ ∞∞∞∞ de cada una 
de ellas y lo dejamos como ejercicio. 
 
¿para qué otros valores de z converge?, ¿para qué otros valores de z diverge? 
 
Para responder estas preguntas debemos trabajar con la sucesión de funciones tal cual fue dada 
y para calcular el límite es conveniente expresar al complejo z en forma polar, es decirtomar 
z = r e iθθθθ , y comenzar averiguando si la sucesión de los módulos converge: 
 lím
n ∞∞∞∞→→→→
|zn |= lím
n ∞∞∞∞→→→→
rn =





>>>>∞∞∞∞
====
<<<<
1 r si
1 r si1
1r si0
 
 
Observamos que: 
� si r = | z | < 1 , es decir si z pertenece al interior del círculo de radio 1, la sucesión de los 
módulos {|zn |} converge a 0 , por lo tanto, usando a) de la actividad 1, podemos decir que la 
sucesión sin los módulos {zn } también converge a 0 si |z | < 1 
 
� si r = | z | = 1, es decir si z pertenece a la circunferencia de radio 1, la sucesión {|zn |} 
converge a 1 , pero esto no sirve para responder sobre la convergencia de {zn } (parte c) de la 
actividad 1) . 
Para responder en este caso hay que calcular 
 
 



ππππ<<<<θθθθ<<<<
====θθθθ
====θθθθ++++θθθθ====
∞∞∞∞→→→→
θθθθ
∞∞∞∞→→→→ 2 0 siexiste no
0 si1
)isen(n)(cos(n lím1.e lím
n
in
n
 
Por lo tanto , sobre los puntos de la circunferencia |z| = 1, la sucesión diverge salvo en 
z = e0i = 1 que converge a 1 
 
� si r = | z | > 1, es decir si z pertenece al exterior de la circunferencia de radio 1, la sucesión 
de los módulos diverge , y si los módulos tienden a ∞∞∞∞ , la sucesión no puede ser 
convergente. 
 
Conclusión : La sucesión {zn} converge a la función f(z) = 



====
<<<<
1 z si1
1 |z| si0
 
para los z del conjunto D = {z / | z |< 1 o z = 1} 
 
 
2- Es importante observar que la sucesión anterior, si bien converge en los puntos indicados no 
lo hace con igual rapidez pues 
 
� Si consideramos z = 0, entonces la diferencia |fn (0)- f(0) | = | 0 - 0 | = 0 y por lo tanto es 
menor que cualquier número positivo εεεε para cualquier n que se considere. 
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� Si consideramos z = 1, entonces la diferencia |fn (1)- f(1) | = | 1
n - 1 | = 0 y por lo tanto es 
menor que cualquier número positivo εεεε para cualquier n que se considere. 
 
� Si consideramos un complejo z ≠≠≠≠ 0 tal que | z | < 1 entonces la diferencia 
 
|fn (z)- f(z) | = |z 
n - 0 | = | z |n < εεεε , como queremos averiguar para qué valores de n se 
cumple dicha desigualdad aplicamos logaritmo a ambos miembro y obtenemos n ln |z | < ln εεεε 
⇒⇒⇒⇒ n > 
|z|ln
ln εεεε
 (observar que en el último paso se cambió la desigualdad pues dividimos ambos miembros 
por ln |z| , que es negativo por ser | z |< 1) . 
El número 
|z|ln
ln εεεε
 es el que en la definición se denominó N y vemos que depende de εεεε y de z. 
 
Para clarificar consideremos las siguientes situaciones: 
 
Si |z| = 1/2 y εεεε = 1/100 ⇒⇒⇒⇒ n > ln(1/100)/ln(1/2) = 6,64..... , por lo tanto a partir del 
término 7 de la sucesión, la diferencia entre fn (z) y f(z) es menor que εεεε = 1/100 
 
Si |z| = 9/10 y εεεε = 1/100 ⇒⇒⇒⇒ n > ln(1/100)/ln(9/10) = 43,70..... , por lo tanto a partir del 
término 44 de la sucesión, la diferencia entre fn (z) y f(z) es menor que εεεε = 1/100 . 
 
Evidentemente la sucesión converge a cero de una manera mucho más lenta para los complejos 
que verifican |z| = 9/10 que para los complejos que cumplen |z| = 1/2 
 
 
•••• Ejercicios 
 
1- Hallar y graficar los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones y analizar su 
convergencia. 
 
a) 
n
i
z
n
n ==== b) 
n
n )i1(z −−−−==== c) 1n
in
in
1
zn ++++
−−−−
−−−−
==== 
 
2- a) Dada la sucesión fn(z) = |z |
2n, justificar que converge puntualmente en | z | ≤≤≤≤ 1 a 



====
<<<<
====
1|z| si1
1|z| si0
)z(f y diverge en |z | > 1 
b) Comprobar que la sucesión {enz} converge puntualmente en el conjunto {z / Re(z) < 0} a la 
función g(z) = 0 
 
3- Averiguar para qué valores de z convergen puntualmente las siguientes sucesiones de 
funciones 
 
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a) 
|z|n
i n






++++
 b) 
nz
in





 ++++
 c) {{{{ }}}} e-inz d) 
n
e )zRe(in






 e) 
n
e )zRe(n






 
 
 
 
♦ Convergencia uniforme de una sucesión de funciones 
 
 
Si sabemos que la sucesión {fn(z)} converge puntualmente a f(z) para los z de D1 , es decir si 
sabemos que lím
n ∞∞∞∞→→→→
fn(z) = f(z) para los z de un conjunto D1 , entonces podemos afirmar que 
dado cualquier número positivo εεεε, es posible encontrar un número N (que depende en general de 
εεεε y de z) tal que |fn (z)- f(z) | < εεεε , para todo n > N y para todo z de D1 . 
 
¿Será posible encontrar un número N que no dependa de z , tal que la diferencia |fn (z)- f(z)| < εεεε 
para todo n > N y para todo z del conjunto D1 ó para todo z de un conjunto D2 contenido en D1? 
 
Si la respuesta a este interrogante es afirmativa, se dice que la sucesión {f n(z)} converge 
uniformemente en el conjunto D2 ⊆⊆⊆⊆ D1 
 
♦ Definición formal : Decimos que la sucesión {f n(z)} converge uniformemente a f(z) para 
los z de D2 si : dado cualquier número positivo εεεε, es posible encontrar un número N (que 
depende sólo de εεεε) tal que |fn (z)- f(z) | < εεεε , para todo n > N y para todo z del conjunto D2 
 
 
� Ejemplo 
 
Ya hemos analizado la convergencia de la sucesión {zn} y sabemos que converge puntualmente a 
la función f(z) = 



====
<<<<
1 z si1
1 |z| si0
 para los z del conjunto D = {z / | z |< 1 o z = 1}, ¿la 
convergencia será uniforme en el círculo | z | ≤≤≤≤ 3/4 ? 
 
Para responder analizamos la diferencia |fn (z)- f(z) | = |z 
n - 0 | = | z |n , 
 
y como nos dicen que | z | ≤≤≤≤ 3/4 , podemos escribir |fn (z)- f(z) | = |z n - 0 | = | z |n ≤≤≤≤ (3/4)n , 
 
si exigimos que |fn (z)- f(z) | ≤≤≤≤ (3/4)n < εεεε , 
 
podemos despejar n aplicando logaritmo a ambos miembros obteniendo n ln (3/4 ) < ln εεεε , de 
donde n > 
)4/3ln(
ln εεεε
 , si denominamos N a este número , vemos que no depende de z y por lo 
tanto la sucesión converge uniformemente en | z | ≤≤≤≤ 3/4 . 
 
Observar que si εεεε = 1/100 , entonces N = (((( ))))(((( ))))4/3ln
100/1ln
= 16,007.... , por lo tanto para todo n > 16 
podemos afirmar que las diferencias |fn (z)- f(z) | ≤≤≤≤ 1/100 , para los z que verifican | z | ≤≤≤≤ 3/4 . 
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Un razonamiento similar permite demostrar que esta sucesión converge uniformemente para 
| z | ≤≤≤≤ a , con a < 1 pues en este caso se obtiene que N = ln εεεε / ln a y resulta evidente que a no 
puede tomar el valor 1. 
2- Series 
 
Dada una sucesión numérica {an}n≥≥≥≥1 , la expresión n
1n
a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 se denomina serie asociada a la 
sucesión o simplemente serie. 
 
¿Cuál es el significado de la expresión anterior?, ¿sabemos sumar infinitos números? 
Es interesante observar que sólo sabemos sumar dos números, porque si necesitamos sumar tres , 
primero sumamos dos de ellos y al resultado le sumamos el otro. 
 
¿Cuál es entonces el significado de esa suma infinita que hemos llamado serie? 
Los pasos que siguen responderán este interrogante. 
 
Como sabemos sumar un número finito de términos , estamos encondiciones de calcular las 
siguientes sumas: 
S1 = a1 
S2 = a1 + a2 = S1 + a2 
S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3 
............................. 
Sn = a1 + a2 + a3 + ............+ an = Sn-1 + an 
...................................................................... 
 
y de este modo generamos una nueva sucesión {Sn} a la que se denomina sucesión de sumas 
parciales o serie y se indica n
1n
a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 
 
♦ Convergencia de una serie numérica 
 
Si n
1n
a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 es una serie numérica y la sucesión de sumas parciales {Sn} converge , es decir si existe 
 S lím n
n ∞∞∞∞→→→→
=S, decimos que la serie converge y que S es la suma de la serie, anotamos en este 
caso n
1n
a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
= S . Si la sucesión {Sn} diverge, decimos que la serie diverge. 
 
Ahora comprendemos cuál es el significado de sumar los infinitos términos de una serie, ya que 
si la serie converge tenemos que 
 
n
1n
a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 = S = S lím n
n ∞∞∞∞→→→→
 = ) a ...... a (a lím n21n
++++++++++++
∞∞∞∞→→→→
 = k
n
1k
n
a lím∑∑∑∑
====
∞∞∞∞→→→→
 
 
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Por lo tanto cuando decimos que la serie converge e indicamos n
1n
a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
= S , en realidad significa 
que sumamos n números y luego hacemos tender n a infinito. 
 
∆∆∆∆ Actividad 2: 
 
Justificar que )icb( nn
1n
++++∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge y tiene suma B + i C sí y sólo sí n
1n
b ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
converge a B y 
n
1n
c ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
converge a C Ayuda: demostrar que si Sn es la suma parcial de la primera serie entonces Sn 
= Bn + i Cn donde Bn y Cn son las sumas parciales de la otras dos respectivamente. 
 
 
 
♦ Convergencia de una serie de funciones (también llamada convergencia puntual) 
 
Decimos que una serie de funciones )z(f n
1n
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge puntualmente en un conjunto D1 si la 
sucesión de sumas parciales {Sn(z)} converge puntualmente a S(z) para los z del conjunto D1 
 
Para hallar el conjunto D1, hay que averiguar para qué valores de z existe (z)S lím n
n ∞∞∞∞→→→→
y el 
conjunto de todos ellos constituye el conjunto D1 , denominado región de convergencia de la 
serie . 
Si S(z) es el resultado de dicho límite , decimos que S(z) es la suma de la serie y anotamos 
)z(f n
1n
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
= S(z) , para los z del conjunto D1 
 
♦ Definición formal : Decimos que la serie )z(f n
1n
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge puntualmente a S(z) para los 
z de D1 si : dado cualquier número positivo εεεε, es posible encontrar un número N (que 
depende en general de εεεε y z ) tal que |Sn (z)- S(z) | < εεεε , para todo n > N y para todo z 
del conjunto D1 
 
Para clarificar la definición de serie convergente, analizamos a continuación una serie que 
utilizaremos mucho en las clases siguientes y que se denomina serie geométrica. 
 
 
♦ Serie geométrica 
 
Una serie es geométrica, si tiene la forma n0
0n
r a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
= a0 + a0 r + a0 r
2 + a0 r
3 +............. 
 
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observar que cada término es igual al anterior multiplicado por un factor fijo, en este caso el 
factor es r , que se denomina razón, y un primer término, que en este caso hemos denominado a0 
 
 
 
� Ejemplos 
 
a) Una serie geométrica de primer término 2i y razón e-1 + ππππi tiene la forma 
 
 2i + 2i e-1 + ππππi + 2i (e-1 + ππππi )2 + 2i (e-1 + ππππi )3 +........= i)n(-1
0n
e i2 ππππ++++
∞∞∞∞
====
∑∑∑∑ = n-n
0n
e(-1) i2 ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 
b) La serie de funciones 2n3n
1n
3i) - (z (-i)2 ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 = 2 (- i)3 (z -3i)2 + 2 (- i)6 (z -3i)4 + ......... es una 
serie geométrica con primer término 2 (- i)3 (z -3i)2 y razón (-i)3 (z- 3i)2 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 3: 
 
Justificar la siguiente equivalencia : 
 c n
0n
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
es una serie geométrica ⇔ (∀∀∀∀n) el cociente cn + 1 / cn no depende de n y su valor es igual 
a la razón . 
 
∆∆∆∆ Actividad 4: 
 
Considerando que Sn = a0 + a0 r + a0 r
2 + .....+ a0 r
n-1 es la suma parcial de la serie geométrica 
n
0
0n
r a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
, demostrar que : 
a) Si r = 1 ⇒ Sn = n. a0 
b) Si r ≠≠≠≠ 1 ⇒ 
r1
)r1(a
S
n
0
n −−−−
−−−−==== (ayuda: calcular la diferencia Sn - r Sn y despejar Sn ) 
c) Si | r | ≥≥≥≥ 1 ⇒ {Sn} diverge , 
d) Si | r | < 1 ⇒ la serie geométrica converge y su suma es 
r1
a
S 0
−−−−
==== 
 
 
� Ejemplo 
Si queremos saber si la serie 
(((( )))) (((( ))))
n2
2n3n
1n 8
2z31
 
++++∞∞∞∞
====
−−−−−−−−
∑∑∑∑ es geométrica realizamos el cociente entre un 
término y su anterior obteniendo en este caso: 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
2
3
n2
2n3n
)1n(2
2)1n(31n
8
2z3
8
2z31
8
2z31 −−−−−−−−====
−−−−−−−−−−−−−−−− ++++
++++
++++++++++++
, como este cociente no depende de n, la 
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serie es geométrica y su razón r es igual a la expresión obtenida en dicho cociente. 
 
Para averiguar para qué valores de z la serie es convergente , proponemos que : 
 
(((( ))))
3
4
3
2
z4
3
2
z342z3642z31
8
2z3
r
3
2
3
<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒<<<<
−−−−−−−−==== 
 
Por lo tanto la serie converge en el círculo | z - 2/3| < 4/3 y su suma es 
 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
3
5
2
3
2
5
0
)2z3(64
2z3
8
2z3
1
8
2z3
r1
a
)z(S
−−−−++++
−−−−−−−−====





 −−−−++++
−−−−−−−−====
−−−−
==== , hemos tenido en cuenta que a0 
es el primer término de la serie, que en este caso se obtiene reemplazando n por 1 
 
 
•••• Ejercicios 
 
4- Determinar, buscando previamente la sucesión de sumas parciales, para qué valores de z 
convergen las siguientes series de funciones (observar que las dos últimas son geométricas). 
En caso de convergencia, indicar su suma. 
 
 a) 


++++
−−−−


∑∑∑∑
∞∞∞∞
==== 1n
z
 
n
z
 
1n
 b) (((( ))))
n2
n
1n 4
iz2
1 




 −−−−−−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 c) ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−
1n
n
1n2n
 
3
x2
 
 
5- Analizando el comportamiento de la sucesión de sumas parciales, comprobar que: 
 
a) (((( ))))



====
<<<<
====−−−− ++++
∞∞∞∞
====
∑∑∑∑ 1 z si0
1 | z | si1
zz 1nn
0n
 b) 
z525
5z
5
z
 
5
z
 
n
1n
1n
1n
n
−−−−
++++====


++++

 −−−−∞∞∞∞
====
++++∑∑∑∑ si | z | < 5 
 
A continuación, y a modo de repaso, se enuncian los criterios más importantes que permiten estudiar la 
convergencia o divergencia de una serie, todos ellos se han visto y utilizado para series reales y siguen 
valiendo para series complejas con algunos recaudos. 
Condición necesaria de convergencia : Si ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
na converge →→→→ 0a lím nn ====∞∞∞∞→→→→ 
Condición suficiente de divergencia : Si 0a lím n
n
≠≠≠≠
∞∞∞∞→→→→
 o a lím n
n ∞∞∞∞→→→→
no existe →→→→ ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
na diverge 
Observación : dada ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
na , si 0a lím nn
====
∞∞∞∞→→→→
 no se puede decir si la serie es convergente o divergente 
 
 Matemática DMódulo I - Unidad 4 
11 
Teorema: Si ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
n |a| converge → ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
na converge 
 
♦ Si ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1k
k |c| converge, se dice que la serie ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1k
kc es absolutamente convergente . 
 
Criterio de comparación: 
a) Si |cn | ≤≤≤≤ |bn | y ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nb converge → ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nc converge 
 
b) Si |cn | ≥≥≥≥ |an | y ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
na diverge → ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nc diverge 
 
Criterio de D’Alambert o del cociente: Dada la serie ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1k
kc , si L|c|
|c|
 lím
n
1n
n
====++++
∞∞∞∞→→→→
 entonces: 
a) si L < 1 → ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nc converge 
b) si 1 < L ≤≤≤≤ ∞∞∞∞ → 0c lím n
n
≠
∞→
 → ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nc diverge 
c) si L = 1 el criterio no decide, puede ser que la serie sea convergente o divergente. 
 
Criterio de Cauchy o de la raíz: Dada la serie ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1k
kc , si L|c| lím n nn
====
∞∞∞∞→→→→
 entonces: 
a) si L < 1 → ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nc converge 
 b) si 1 < L ≤≤≤≤ ∞∞∞∞ → 0c lím n
n
≠
∞→
 → ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nc diverge 
c) si L = 1 el criterio no decide, puede ser que la serie sea convergente o divergente 
 
 
•••• Ejercicios 
 
6- Estudiar la convergencia absoluta de las siguientes series numéricas utilizando un criterio 
adecuado. 
 
a) 
(((( ))))20n in1
1
 
++++
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 b) 
(((( ))))
n
n
1n 2
i2n
 
++++
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 c) 
(((( ))))n1n i2
n
 ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 
 
7- Averiguar utilizando algún criterio para qué valores de z convergen absolutamente las 
siguientes series de funciones: 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
12 
 a) 
n2
1n n
z2
 





∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 b) nz
0n
ne ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 c) 
(((( ))))n
n
1n iz
n)1(
 
++++
−−−−
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 d) 
(((( ))))
(((( ))))1n4
2z
 
n
n2
0n ++++
++++
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 
 
♦ Convergencia uniforme de series de funciones 
 
Si serie de funciones )z(f n
1n
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge puntualmente a una función S(z) para los z de un 
conjunto D1 , decimos que la serie converge uniformemente en un conjunto D2 ⊆⊆⊆⊆ D1 si la 
sucesión de sumas parciales {Sn(z)} converge uniformemente a S(z) para los z del conjunto D2 . 
 
♦ Definición formal : Decimos que la serie )z(f n
1n
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge uniformemente a S(z) para 
los z de D2 si : dado cualquier número positivo εεεε, es posible encontrar un número N (que 
depende sólo de εεεε ) tal que |Sn (z)- S(z) | < εεεε , para todo n > N y para todo z del conjunto 
D2 
 
� Ejemplo 
 
1- Si queremos averiguar para qué valores de z converge uniformemente la serie 
z + (z2 - z) + (z3 - z2) +....... = z + (((( ))))∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++ −−−−
1n
n1n zz 
comenzamos buscando su sucesión de sumas parciales 
 
S1(z) = z
 
S2(z) = z + (z
2 - z) = z2 
S3(z) = z + (z
2 - z) + (z3 - z2) = z3 
............................................. 
Sn(z) = z
n 
 
Por lo tanto la sucesión de sumas parciales es Sn(z) = z
n , que ya hemos analizado y sabemos que 
converge uniformemente en el círculo |z|≤≤≤≤ a , con a < 1, por lo tanto la serie dada converge 
uniformemente en cualquier círculo centrado en el origen con radio menor que uno. 
 
No siempre es tan sencillo hallar la sucesión de sumas parciales para luego calcularle el límite y 
averiguar si existe un N, que dependa sólo de εεεε , para responder sobre la convergencia uniforme, 
por ello es importante disponer de algún criterio que responda y el siguiente suele ser utilísimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
13 
ΞΞΞΞ Criterio M de Weierstass 
Si la serie numérica ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
n M tiene términos reales positivos y es convergente y cada término de 
la sucesión de funciones {f n(z)} verifica | fn(z)| ≤≤≤≤ Mn para los z de un conjunto D* entonces la 
serie ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
n (z)f converge uniformemente para los z del conjunto D* . 
 
 
� Ejemplos 
 
Si queremos averiguar para qué valores de z converge uniformemente la serie ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
2
nz
 
n
e
 usando el 
criterio anterior, consideramos el módulo de cada término como se indica a continuación 
 
2
na
)1(2
nx
2
nz
n
e
 
n
e
n
e ≤≤≤≤==== donde en (1) hemos supuesto que x ≤≤≤≤ a 
 
Observemos que el último cociente no depende z, y si lo llamamos M n , podemos afirmar que 
| fn(z)| ≤≤≤≤ Mn para los z que verifiquen Re(z) = x ≤≤≤≤ a 
 
Con los números M n formamos la serie numérica ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
2
na
 
n
e
 y analizamos su convergencia usando 
el criterio del cociente, dejamos como ejercicio verificar que L = ea , por lo tanto esta serie 
converge si L = ea < 1 , de donde se desprende que a debe ser negativo. Por lo tanto la serie 
numérica ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
2
na
 
n
e
 converge si a < 0 y aplicando el criterio de Weierstass 
podemos afirmar que la serie dada converge uniformemente si Re(z) ≤≤≤≤ a < 0 
 
 
•••• Ejercicios 
 
8- Averiguar para qué valores de z las series del ejercicio 7 convergen uniformemente. 
 
 
ΞΞΞΞ Propiedades de las series uniformemente convergentes 
 
Sea ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
n (z)f una serie uniformemente convergente en un conjunto D y sea S(z) su suma 
entonces valen las siguientes propiedades: 
 
a) Si las funciones fn(z) son continuas en D ⇒⇒⇒⇒ S(z) es continua en D 
0 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
14 
b) Si C es una curva suave por tramos contenida en D ⇒⇒⇒⇒ la integral sobre C de la serie es igual a 
la serie de las integrales sobre C , es decir (((( ))))∑∑∑∑ ∫∫∫∫∑∑∑∑∫∫∫∫
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
====





1n
nC
1n
nC
dz (z)f dz (z)f 
c) Si las funciones fn(z) son analíticas en D ⇒⇒⇒⇒ S(z) es analítica en D y la derivada de la serie 
es igual la serie de las derivadas, es decir (((( ))))∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
====





1n
n
1n
n (z)fdz
d
 (z)f 
dz
d
 
d) Si g(z) es una función acotada en D , es decir |g(z)| ≤≤≤≤ K para los z de D ⇒⇒⇒⇒ 
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
n (z)f g(z) converge uniformemente en D y su suma es g(z). S(z) 
 
♦ Series de potencias 
 
Quizás las series más importantes son las series de potencias que tienen la forma 
 
====−−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
n
0
0n
n )zz( c c0 + c1 (z - z0) + c2 (z - z0)
2 + c3 (z - z0)
3 +............ 
 
Los números cn son complejos que no dependen de la variable z y se denominan coeficientes de 
la serie. 
 
Es importante observar que estas series son series de funciones donde el término general tiene la 
forma fn(z) = cn (z - z0)
n , por lo tanto su sucesión de sumas parciales es una sucesión de 
funciones y por ello la serie puede converger para algunos valores de z y divergir para otros. 
 
¿ Para qué valores de z la serie converge?, ¿Cómo encontrar su región de convergencia? 
 
Si reemplazamos z por z0 , vemos que, salvo el primero, todos los términos de la serie son 
iguales a cero y por lo tanto la serie converge en z0 y su suma es c0 . 
 
Para encontrar otros posibles valores de z para los cuales la serie converge, se aplica algún 
criterio a la serie de los módulos |)zz( c|n0
0n
n −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
, es decir se estudia la convergencia absoluta 
de la serie 
 
Por ejemplo, si se aplica el criterio del cociente se obtiene 
L =
43421
A
n
1n
n0n
0n
1n
01n
n c
c
límzz
|)zz(c|
|)zz(c|
 lím ++++
∞∞∞∞→→→→
++++
++++
∞∞∞∞→→→→
−−−−====
−−−−
−−−−
 
Si A = 0 , entonces L = 0 y por ser L < 1, la serie converge absolutamente para todo z 
Si A = ∞∞∞∞ , el resultado del límite depende del valor de z, si z ≠≠≠≠ z0 entonces L = ∞∞∞∞ y la serie 
diverge , si z = z0 sabemos de entrada que la serie converge . 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
15 
Si A ≠≠≠≠ 0 y A ≠≠≠≠ ∞∞∞∞ , entonces L = |z - z0| A , como el criterio del cociente exige que L sea 
menor que 1 para que la serie converja , podemos afirmar que la serie de potencias converge 
absolutamente si |z - z0| A < 1 , es decir si |z - z0| < 1 / A , por lo tanto la serie de los módulos 
converge en un círculo abierto centrado en z0 de radio 1/A. 
 
Teniendo presente que si una serie converge absolutamente entonces dicha serie converge, 
podemos enunciar el siguiente teorema: 
 
ΞΞΞΞ Teorema: Convergencia de series de potencias: 
Para una serie de potencias n0
0n
n )zz( c −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 existen solamente tres posibilidades: 
a) La serie converge únicamente cuando z = z0 
b) La serie converge para todo z 
c) Existe un número positivo R tal que la serie converge en |z - z0| < R y diverge si |z - z0| > R. 
 
El número R se denomina radio de convergencia de la serie. 
Si la serie converge ∀∀∀∀z , se dice que el radio de convergencia es infinito y anotamos R = ∞∞∞∞ ; 
si la serie sólo converge en z0, se dice que el radio de convergencia es cero. 
 
 
� Ejemplo 
 
Si queremos averiguar para qué valores de z converge la serie n2
0n
n
)iz( 
(2i)
12n
 −−−−++++∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 podemos 
aplicar algún criterio. 
 
A continuación aplicamos el criterio del cociente y se deja como actividad la justificación de 
todos los pasos algebraicos que se realizan para calcular el límite que interesa. 
 
L = (((( ))))
2
iz
iz
i2
1
1n2
3n2
lími)-(z 
(2i)
12n
iz 
)i2(
1)1n(2
lím
c
c
lím
2
2
n
2n
n
)1n(2
1nn
n
1n
n
−−−−
====−−−−
++++
++++====++++−−−−++++++++====
∞∞∞∞→→→→
++++
++++∞∞∞∞→→→→
++++
∞∞∞∞→→→→
 
 
Si L < 1 ⇒ | z - i |2 < 2 ⇒ | z - i | < 2 , y si L > 1 ⇒ | z - i | > 2 
 
Por lo tanto la serie converge en el círculo abierto | z - i | < 2 y diverge en | z - i | > 2 . 
Sobre los puntos de la circunferencia | z - i | = 2 no podemos asegurar si converge o diverge. 
 
Si en cambio decidimos aplicar el criterio de la raíz, la situación es la siguiente: 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
16 
L = 
2
iz
iz 
2
1n2
límiz 
i2
1n2
lími)-(z
(2i)
12n
lím
2
2
n
n
n n2
n n
n
n
n
2n
nn
−−−−
====−−−−
++++====−−−−
++++====
++++
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
 , 
donde en el último paso se tuvo en cuenta que 11n2lím n
n
====++++
∞∞∞∞→→→→
 
 
Como el criterio de la raíz exige, como el criterio del cociente, que L sea menor a 1 para que la 
serie converja, no hacemos más comentarios pues se observa que la conclusión es idéntica a la ya 
obtenida. 
 
∆∆∆∆ Actividad 5: 
 
Si la serie de potencias n0
0n
n )zz( c −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge en |z - z0| < R , averiguar para qué valores de 
z converge la serie de potencias negativas n0
0n
n )zz( c 
−−−−
∞∞∞∞
====
−−−−∑∑∑∑ 
Indicación: hacer el cambio de variable w = (z - z0)
-1 
 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema : convergencia uniforme de las series de potencias 
 
Si n0
0n
n )zz( c −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 es una serie de potencias que converge absolutamente para |z - z0 | < R con 
R≠≠≠≠ 0 ⇒ dicha serie converge uniformemente en |z - z0 | ≤≤≤≤ R1 < R 
 
Demostración 
 
Sea z1 un complejo del círculo de convergencia de la serie, 
entonces la serie numérica n01n
0n
)zz(c −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 (*) es convergente. 
 
Si consideremos todos los complejos z pertenecientes al círculo sombreado de la figura , es decir 
aquellos que verifican | z - z0| ≤≤≤≤ | z1 - z0| entonces para dichos complejos se verifica que 
|cn (z - z0)
n| ≤≤≤≤ |cn (z1 - z0)n| , teniendo en cuenta que la serie (*) es convergente, por el criterio de 
Weierstass podemos afirmar que la serie n0
0n
n )zz( c −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
converge uniformemente para los 
complejos que verifican | z - z0| ≤≤≤≤ | z1 - z0| , si llamamos R1 = | z1 - z0| , que evidentemente es 
menor que R queda demostrado lo que pretendíamos. 
 
 
⊕⊕⊕⊕ Observación 
 
z0 
z1 R 
R1 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
17 
Como ahora sabemos que las series de potencias n0
0n
n )zz( c −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 convergen uniformemente para 
|z - z0 | ≤≤≤≤ R1 < R con R radio de convergencia , entonces las series de potencias tienen las 
mismas propiedades que enunciamos para las series que convergen uniformemente, en particular 
podemos asegurar que para los z del círculo |z - z0 | ≤≤≤≤ R1 < R valen las siguientes igualdades: 
 
 
 a) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]∑∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
====





0n
n
0n
z
z
z
z 0n
n
0n dz z-zc dz z-zc 
00
 y por lo tanto 
(((( ))))
∑∑∑∑∫∫∫∫
∞∞∞∞
====
++++
++++
====
0n
1n
0n
z
z 1n
z-zc
dz )z(f
0
 
 
 b) 




 −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
n
0
0n
n )zz( c dz
d
= [[[[ ]]]]∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−
0n
n
0n )zz( cdz
d
 y por lo tanto f '(z) = 1n0
0n
n )zzn( c 
−−−−
∞∞∞∞
====
−−−−∑∑∑∑ 
 
 
� Ejemplo 
 
La serie de potencias n
0n
z ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 es una serie geométrica con primer término a0 = 1 y razón r = z , 
por lo tanto converge si | z | < 1 y en dicho círculo abierto se verifica que n
0n
z 
z1
1
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
====
−−−−
 
 
Por tratarse de una serie de potencias podemos integrarla y derivarla término a término y se opera 
como se muestra a continuación. 
 
a) Integrando ambos miembros entre 0 y z0 , con | z0 | < 1, obtenemos : 
 
1n
z
 dzz dz z dz 
z1
1 1n
0n
z
0
n
0n
n
0n
z
0
z
0
000
++++
========




====
−−−−
++++∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
∑∑∑∑∫∫∫∫∑∑∑∑∑∑∑∑∫∫∫∫∫∫∫∫ , 
 
Como la primitiva de la primera integral es - Ln (1 - z) , la expresión anterior puede 
escribirse: 
 
1n
z
 1Ln)z1(Ln
1n
0
0n
0 ++++
====++++−−−−−−−−
++++∞∞∞∞
====
∑∑∑∑ ⇒ 1n
z
 )z1(Ln
1n
0
0n
0 ++++
−−−−====−−−−
++++∞∞∞∞
====
∑∑∑∑ si | z0 | < 1 
 
como z0 es cualquier complejo del círculo | z | < 1 , podemos reemplazar z0 por z , obteniendo: 
 
1n
z
 )z1(Ln
1n
0n ++++
−−−−====−−−−
++++∞∞∞∞
====
∑∑∑∑ si | z | < 1 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
18 
b) Si en cambio derivamos ambos miembros de la serie n
0n
z 
z1
1
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
====
−−−−
 obtenemos 
(((( )))) 1n
1n
1n
0n
n
0n
n
0n
nz nz z
dz
d
 z 
dz
d
z1
1
dz
d −−−−
∞∞∞∞
====
−−−−
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ============




====





−−−−
 
 
(observar que en el último paso se cambió n = 0 por n = 1 pues el primer término de la serie 1n
0n
nz −−−−
∞∞∞∞
====
∑∑∑∑ 
vale cero) 
Por último calculando la derivada de 1 / (1 - z) obtenemos: 
(((( ))))
1n
1n
2
nz 
z1
1 −−−−
∞∞∞∞
====
∑∑∑∑====−−−−
 si | z | < 1 
 
•••• Ejercicios 
 
9- Dada la serie 
!n
z
 
n
0n
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 , averiguar para que valores de z converge y si S(z) es su suma verificar 
que S'(z) = S(z) y S(0) = 1 , ¿puede aventurar cuál es la función S(z)? 
 
10- Averiguar para qué valores de z converge la siguiente serie n2n
0n
z)1( −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 y hallar una serie de 
potencias de z que represente a la función f(z) = arctg z e indicar la región de validez. 
 
 
♦ Operaciones con series de potencias 
 
Dadas dos series de potencias n0n
0n
)zz(a −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 , n0n
0n
)zz(b −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 , nos preguntamos si dichas 
series se pueden sumar o multiplicar. El siguiente teorema nos responde. 
 
Ξ Teorema 
 
Si f(z) = n0n
0n
)zz(a −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 en |z - z0| < R1 y g(z) = n0n
0n
)zz(b −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 en |z - z0| < R2 
y R3 = mín {R1 , R2} entonces: 
 
a) f(z) + g(z) = n0n
0n
)zz(a −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
+ n0n
0n
)zz(b −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 = n0nn
0n
)zz)(ba( −−−−++++∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 en |z - z0| < R3 
 
b) f(z) . g(z) = n0n
0n
)zz(a −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
. n0n
0n
)zz(b −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 = n0n
0n
)zz(d −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 en |z - z0| < R3 , siendo 
d0 = a0 b0 , d1 = a0 b1 + a1 b0 , d2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , .. , dn = a0 bn+ a1 bn-1 + ... + an b0 
 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
19 
Observar que tanto la suma como el producto de dos series de potencias de (z - z0) converge en la 
intersección de los círculos de convergencia de cada una de ellas. 
 
 
� Ejemplos 
 
Verificar que la serie nn
0n
)1z(2 −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge si | z - 1 | < 2 y la serie n
0n
)1z( n −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 converge 
si | z - 1 | < 1 , por lo tanto la suma y el producto de ellas convergen en | z - 1 | < 1 pues 
mín{1,2} = 1 , entonces: 
 
nn
0n
)1z(2 −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 + n
0n
)1z( n −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 = n
0n
n )1z() n(2 −−−−++++∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 si | z - 1 | < 1 
 
nn
0n
)1z(2 −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 . n
0n
)1z( n −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 = 1 . 0 + (1 .1 + 2 . 0) ( z- 1) + (1. 2 + 2. 1 + 4 . 0) ( z- 1)2 + 
+ (1 . 3 + 2 . 2 + 4 . 1 + 8 . 0) ( z- 1)3 + .... = (z - 1) + 4 (z - 1)2 + 11 ( z- 1)3 + ..... , si | z - 1 | < 1 
 
ΞΞΞΞ Serie de Taylor 
 
Si f(z) es analítica en z0 entonces 
n
0
0
)n(
0n
)zz( 
!n
)z(f
)z(f −−−−====∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 y esta igualdad vale para todos 
los z pertenecientes al mayor círculo abierto centrado en z0 donde f(z) es analítica. 
Observar entonces que la serie converge a f(z) para | z – z0 | < R , siendo R el radio del mayor 
círculo abierto centrado en z0 donde f(z) es analítica. 
 
Demostración 
 
Sea z un complejo cualquiera que verifica 
| z – z0 | = R0 < R 
 
Sea C: | w – z0 | = ρρρρ con R0 < ρρρρ < R 
 
 
Como z es interior a C y se cumplen todas las hipótesis de la fórmula de la integral de Cauchy 
podemos escribir: 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))4C
0
0
0
3C 00
2C1
 dw 
z-w
z-z
-1 z-w
f(w)
 
i2
1
 dw 
z-z- z-w
f(w)
 
i2
1
 dw 
z- w
f(w)
 
i2
1
)z(f ====





ππππ
====
ππππ
====
ππππ
==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))60n C 1n0
n
05
0n
n
0
0
C 0
 dw
 z-w
)w(f
 
i2
1
)zz( dw
z-w
z-z
 z-w
f(w)
 
i2
1
 ====
ππππ
−−−−====





ππππ
==== ∑∑∑∑ ∫∫∫∫∑∑∑∑∫∫∫∫
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
==== !n
)z(f
)zz( 0
)n(
0n
n
0∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−− 
 
|w - z0| = R 
C: |w - z0| = ρρρρ 
z 
z0 
R0 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
20 
(1) por aplicación de la fórmula de Cauchy, 
(2) restamos y sumamos z0 en el denominador 
(3) sacamos (w – z0) factor común del denominador 
(4) si r =
0
0
z-w
z-z
 entonces |r| = 1
R
z-w
z-z
0
0
0 <<<<
ρρρρ
==== , por lo tanto el factor
r-1
1
 resulta ser la suma 
de una serie geométrica de razón r con |r | < 1 , y reemplazamos dicho factor por la serie 
correspondiente. 
(5) En este paso intercambiamos la integral con la serie, para ello es necesario mostrar que la 
serie es uniformemente convergente y la función que la acompaña debe estar acotada sobre la 
curva C ( recordar: Si g(z) es una función acotada en D , es decir |g(z)| ≤≤≤≤ K para los z de D ⇒⇒⇒⇒ 
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
n (z)f g(z) converge uniformemente en D y su suma es g(z). S(z)) 
En este caso g(z) =
0zw
)w(f
−−−−
, donde sabemos que f(w) , por ser analítica sobre la curva C, debe 
estar acotada (recordar : que |f(w)| posee un máximo absoluto sobre C, es decir existe un número 
positivo M tal que |f(w)|≤≤≤≤ M), por lo tanto |g(z)| ≤≤≤≤ M / ρρρρ. 
Además la serie ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====






0n
n
0
0
z-w
z-z
converge uniformemente sobre la curva C pues si 
comparamos sus términos con los de la serie numérica ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====






ρρρρ0n
n
0R vemos que 
n
0
n
0
0 R
z-w
z-z






ρρρρ
==== , como la serie ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====






ρρρρ0n
n
0R es convergente por ser geométrica con razón 
menor que 1, por el criterio de Weierstrass podemos afirmar que la 
serie∑∑∑∑
∞∞∞∞
====






0n
n
0
0
z-w
z-z
converge uniformemente sobre C. Por último observar que el factor z – z0 
es constante respecto de la variable de integración w y por ello se ha indicado afuera de la 
integral 
(6) se calcula la integral aplicando el teorema de la derivada de la fórmula de Cauchy y se 
obtienen los coeficientes indicados. 
 
 
� Ejemplo 
 
1- Hallar la serie de Taylor de f(z) = ez alrededor de z0 = 0 
 
Para ello calculamos las derivadas de la función, en este caso sabemos que f(n)(z) = ez y las 
evaluamos en z0 , en este ejemplo f
(n)(0) = e0 = 1 , por lo tanto: 
 
 k
0k
k
)k(
0k
z z
!k
1
)0z(
!k
)0(f
e ∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
====−−−−==== 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
21 
el teorema asegura que la igualdad se verifica en el mayor círculo centrado en z0 donde la función 
es analítica, y como la exponencial es analítica en todo el plano, la igualdad anterior vale en 
|z| < ∞∞∞∞ o también puede decirse que vale ∀∀∀∀z 
 
2- Hallar una serie de potencias de z que represente a la función f(z) = 
2z1
1
++++
 
 
En el enunciado nos piden una serie de potencias de z que converja a la función dada y podemos 
observar que f tiene la forma 
r1
a0
−−−−
 , que ya sabemos es la suma de una serie geométrica y que 
verifica 
r1
a0
−−−−
 = n0
0n
r a ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
, si | r | < 1 . 
 
Si tomamos a0 = 1 y r = -z
2 entonces podemos escribir rápidamente 
2z1
1
++++
= 2nn
0n
n2
0n
z(-1))(-z ∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
==== si | - z2 | < 1 , que es equivalente a pedir que | z | < 1 
 
Pudimos encontrar una serie de potencias de z que representa a la f dada en | z | < 1 sin haber 
calculado ninguna derivada, que es lo que exige Taylor. La pregunta natural es entonces: la serie 
hallada, ¿ es la serie de Taylor alrededor de z0 = 0 de la f dada? 
 
Luego de la propiedad siguiente tendremos la respuesta a este interrogante. 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema de unicidad de Taylor 
 
Si n0n
0n
)z-(z c )z(f ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
==== para | z - z0| < R ⇒⇒⇒⇒ 
!k
)z(f
c 0
)k(
k ==== para k = 0, 1, 2,........... 
 
Demostración 
 
Sabemos que f(z) = c0 + c1 (z - z0) + c2 (z - z0)
2 +..........+ ck (z - z0)
k +..............., si | z - z0| < R 
 
Evaluando la función en z0 , obtenemos f(z0) = c0 , que verifica el enunciado para k = 0 
 
Por tratarse de una serie de potencias, podemos derivarla término a término, obteniendo: 
 
f '(z) = c1 + 2 c2 (z - z0) +..........+ k ck (z - z0)
k-1 +..............., si | z - z0| < R 
 
Evaluando esta derivada en z0 , obtenemos f '(z0) = c1 , que verifica el enunciado para k = 1 
 
Como la serie anterior es una serie de potencias podemos derivarla nuevamente, obteniendo: 
 
f ''(z) = 2 c2 +..........+ k (k-1) ck (z - z0)
k-2 +..............., si | z - z0| < R 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
22 
 
Evaluando esta derivada segunda en z0 , obtenemos f ''(z 0) = 2c2 , de donde c2 = f ''(z0)/ 2 que 
verifica el enunciado para k = 2 
 
Continuando de la misma manera puede obtenerse lo buscado. 
 
 
⊕⊕⊕⊕ Observaciones 
 
1- Utilizando el teorema anterior vemos que si se tiene una serie de potencias de (z - z0) que 
converge a una función f(z), es decir n0n
0n
)z-(z c )z(f ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
==== entonces los coeficientes verifican 
!n
)z(f
c 0
)n(
n ==== , por lo tanto la serie puede escribirse (((( ))))n00
)k(
0n
zz
!k
)z(f
)z(f −−−−==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 de donde 
podemos afirmar que: 
 " Toda serie de potencias de (z - z0) que converge a una función f(z) es la serie de Taylor de 
dicha función" 
2- Es interesante observar que si se tienen dos series de potencias convergentes cuya suma es la 
misma , es decir (((( )))) (((( ))))n0n
0n
n
0n
0n
zzbzza −−−−====−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
 para | z - z0| < R , entonces an = bn , ∀∀∀∀n 
 
Observar que si f(z) es la suma de cada una de ellas entonces , aplicando el teorema de unidad a 
cada una de ellas, se obtiene 
!n
)z(f
a 0
)n(
n ==== para la primera serie, y !n
)z(f
b 0
)n(
n ==== para la segunda 
serie, por lo tanto an = bn , ∀∀∀∀n 
 
3- En un ejemplo anterior hemos demostrado que f(z) = 
2z1
1
++++
= 2nn
0n
z(-1) ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 , si | z | < 1 y 
nos preguntamos si esa es la serie de Taylor de la función en z0 = 0, ahora podemos responder 
que sí, además podemos calcular todas las derivadas de f(z) en z = 0 . 
 
Por ejemplo si queremos hallar f(32)(0) , como sabemos que 
!32
)0(f
a
)32(
32 ==== , entonces 
f(32)(0) = 32! a32 , teniendo presente que a32 es el coeficiente de la potencia 32 , mirando la serie 
cuyos términos son 
1 + (-1) z2 + (-1)2 z4 -........+ (-1)16 z32 +......... 
 
vemos que a32 = (-1)
16 = 1, por lo tanto !32)0(f )32( ==== 
 
Otro ejemplo : como f(30)(0) = 30! a30 y a30 = (-1)
15 = -1 , por lo tanto f(30)(0) = - 30! 
 
Es interesante ver que todas las derivadas de índice impar, evaluadas en 0 , son todas nulas pues z 
no aparece elevada a una potencia impar y por lo tanto todos los coeficientes de subíndice impar 
valen 0. 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
23 
 
Con referencia al mismo ejemplo corresponde hacer el siguiente comentario: 
Si se busca la serie de Taylor de la función de variable real f(x) =
2x1
1
++++
 alrededor de x = 0 se 
obtiene una serie idéntica con la variable x en lugar de la z, pero la región de convergencia de 
dicha serie es el intervalo abierto (-1,1). Desde el punto de vista de la teoría de la variable real, no 
hay nada en el comportamiento de f(x) que explique este hecho. Pero cuando examinamos la 
situación en el plano complejo, vemos al instante que la función 
2z1
1
)z(f
++++
==== es analítica en todo 
C , excepto en i y -i. Por consiguiente el desarrollo en serie de potencias alrededor del 0, es el 
círculo abierto | z | < 1 , cuya intersección con el eje real x da justamente el intervalo (-1,1) 
 
∆∆∆∆ Actividad 6: 
Si la suma de una serie de potencias es igual a cero, es decir si (((( )))) 0zzd n0n
0n
====−−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
, ¿es correcto 
afirmar que dn = 0 , ∀∀∀∀n ? 
 
 
 
••••Ejercicios 
 
11- Desarrollar las funciones siguientes en serie de Taylor alrededor de z0 = 0 e indicar el 
máximo disco donde es válida dicha representación. 
 
a) f1(z) = sen z b) f2(z) = ch z c) f3(z) = 
z1
1
−−−−
 
 
12- Hallar una serie de potencias de z que represente a las siguientes funciones usando el ejercicio 
anterior y justificar el procedimiento: 
 
 a) f3(z) = cos z b) f2(z) = sh z c) f3(z) = (((( ))))2z1
1
−−−−
 d) f3(z) = Ln(1-z) 
 
13- Hallar una serie de potencias de z – z0 que represente a las siguientes funciones e indicar la 
región de validez. Usar la propiedad de unicidad. 
 
a) f(z) = cos z , z0 = ππππ/2 b) g(z) = z. e2z , z0 = 1 c) 
3z
2
)z(h
−−−−
==== , z0 = -2 
d) k(z) = 
1z
z
2 −−−−
 , z0 = i e) l(z) = 3z
3 – 2z , z0 = - i f)
z
1z
)z(m
2 −−−−==== , z0 = 3 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
24 
14- Dadas f(z) = 
(((( ))))
1n
iz
 
n2
1n ++++
−−−−
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
 , g(z) = (((( )))) 1n2n
1n
2z)i1( ++++
∞∞∞∞
====
−−−−++++∑∑∑∑ 
 
a) Hallar el dominio de analiticidad de f(z) y g(z) 
a) Calcular f '(i) , f(6)(i) , f(9)(i) , g’(2) , f (6)(2) , f(17)(2) 
 
♦ Ceros de una función analítica 
 
♦ Decimos que z0 es un cero de f(z) si f(z0) = 0 
 
♦ Decimos que z0 es un cero de orden k de f(z) si f(z0) = f'(z0) = f''(z0) =......= f(k - 1)(z0) = 0 
y f(k )(z0) ≠≠≠≠ 0 
 
 
� Ejemplos 
 
Para hallar los ceros de f(z) = z3 sen z , planteamos f(z) = 0 y resolvemos esta ecuación , en 
este caso se verifica que f(kππππ) = 0 con k = 0, ±±±± 1 , ±±±± 2, ..... , por lo tanto esta función tiene 
infinitos ceros. 
Para hallar el orden de cada cero hay que calcular la derivada f '(z) = 3 z2 sen z + z3 cos z 
y evaluarla en todos ceros hallados , en este caso: 
 
f' (0) = 0 y f' (kππππ) ≠≠≠≠ 0, para k entero y distinto de 0 
 
como la primera derivada no se anula en ππππ, -ππππ , 2ππππ, -2ππππ, ......., decimos que todos ellos son 
ceros de orden 1, también llamados ceros simples de f(z). 
 
La situación es distinta si z = 0 pues f' (0) = 0 , cuando esto ocurre hay que calcular f ''(z) y 
evaluar f ''(0), que en este ejemplo vuelve a dar 0, entonces hay que calcular f '''(z) y evaluar 
f'''(0) y así se sigue hasta encontrar el orden de la primera derivada que no se anula en el cero 
que estamos analizando. Este proceso puede ser largo y aburrido, por ello es conveniente 
desarrollar la función en serie de Taylor alrededor del cero que pretendemos clasificar, en estecaso dicha serie es. 
z3 sen z = z3 ......
!3
z
z.......)
!3
z
z(z
6
4
3
3 ++++−−−−====++++−−−− , convergente para todo z 
 
Observando la serie obtenida y usando el teorema de unicidad de la serie de Taylor, podemos 
afirmar que f (0) = 0, f ' (0) = 0 , f ''(0) = 0 , f ''' (0) = 0 , f ''''(0) ≠≠≠≠ 0 , por lo tanto z = 0 es un 
cero de orden 4 de f(z) 
 
 
 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
25 
ΞΞΞΞ Caracterización de ceros 
 
a) Si z0 es un cero de orden k de la función analítica f(z) ⇒⇒⇒⇒ f(z) = (z - z0)
k g(z) , con g(z) 
analítica en z0 y g(z0) ≠≠≠≠ 0 
b) Si f(z) = (z - z0)
k g(z) , con g(z) analítica en z0 y g(z0) ≠≠≠≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ z0 es un cero de orden k de la 
función f(z) 
 
 
Demostración 
 
a) Por ser z0 un cero de orden k de f(z) sabemos que f(z0) = f '(z0) = f ''(z0) =....= f
(k-1)(z0) = 0 
y f(k)(z0) ≠≠≠≠ 0 entonces su desarrollo de Taylor alrededor del punto z0 será convergente en un 
círculo |z - z0| < R y tiene la forma : 












++++−−−−
++++
++++−−−−====++++−−−−
++++
++++−−−−====
++++
++++
++++
......)zz(
)!1k(
)z(f
!k
)z(f
)zz(......)zz(
)!1k(
)z(f
)zz(
!k
)z(f
)z(f
)z(g
1
0
0
)1k(
0
)k(
k
0
1k
0
0
)1k(
k
0
0
)k(
444444 3444444 21
 
 
por lo tanto f(z) = (z - z0)
k g(z) , donde g(z) es analítica en z0 por ser una serie de potencias 
convergente en |z - z0| < R y además g(z0) ≠≠≠≠ 0 pues evaluando la serie que define a g en z0 se 
observa que se anulan todos los términos salvo el primero, que es f(k)(z0) / k! ≠≠≠≠ 0, por lo tanto 
g(z0) ≠≠≠≠ 0 
 
b) Sabemos que f(z) = (z - z0)
k g(z) , donde g(z) es analítica en z0 y g(z0) ≠≠≠≠ 0, por lo tanto g(z) 
admite un desarrollo en serie de Taylor de la forma 
g(z) = n0
0
)n(
0n
)zz(
!n
)z(g
 −−−−∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
, en |z - z0| < R*, multiplicando ambos miembros por (z - z0)
k 
obtenemos (z - z0)
k g(z) = kn0
0
)n(
0n
)zz(
!n
)z(g
 ++++
∞∞∞∞
====
−−−−∑∑∑∑ kn0n
0n
)zz(c ++++
∞∞∞∞
====
−−−−==== ∑∑∑∑ si |z - z0| < R*, 
 
(observar que en el último paso hemos denominado cn al cociente g
(n)(z0) / n! ) 
por lo tanto f(z) kn0n
0n
)zz(c ++++
∞∞∞∞
====
−−−−==== ∑∑∑∑ = c0 (z - z0)k + c1 ( z - z0)k+1 +.........., con c0 = g(z0) ≠≠≠≠ 0 
como f(z) pudo expresarse como una serie de potencias positivas de (z - z0) , por el teorema de 
unicidad sabemos que ésta es la serie de Taylor de f(z) , por lo tanto podemos afirmar que : 
 
f(z0) = f '(z0) = f ''(z0) =....= f
(k-1)(z0) = 0 y c0 = f
(k)(z0) /k! ≠≠≠≠ 0 , de donde se desprende que 
z0 es un cero de orden k de f(z) 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 7: 
 
Si z0 es un cero de orden p de f(z) y es un cero de orden q de g(z), justificar con la ayuda del 
teorema anterior que: 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
26 
 
a) z0 es un cero de orden p + q del producto f(z). g(z) 
b) si p < q , z0 es un cero de orden p de f(z) ±±±± g(z) 
c) si p = q , z0 es un cero de orden mayor o igual que p de f(z) ±±±± g(z) 
 
 
 
••••Ejercicios 
 
 
15- Justificar en cada caso que z0 es un cero de la función e indicar su orden 
 
a) g1(z) = z
3 (1 – cos z) , z0 = 0 b) g2(z) = sen
2 z (1 + cos z) , z0 = ππππ 
c) g3(z) = 4z – tg (ππππz) , z0 = ¼ d) g4(z) = 6 sen (z2) + z6 - 6z2 , z0 = 0 
 
16- Si f(z) y g(z) son analíticas en z0 , f(z0) = g(z0) = 0 y g’(z0) ≠≠≠≠ 0 , demostrar la regla de 
L’Hospital : (((( ))))0
0
zz z'g
)z('f
)z(g
)z(f
lím
0
====
→→→→
 
 
 
 
 
 
Ξ Serie de Laurent 
 
Si f(z) es analítica en el anillo r < | z - z0| < R (r puede ser 0 y R puede ser ∞∞∞∞ ) entonces para 
todos los z de dicho anillo vale que: 
 
n
0n
1n
n
0n
0n
)zz( b)zz( a)z(f −−−−
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
−−−−++++−−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ 
 
donde dw 
)zw(
f(w)
i2
1
a
1n
0
Cn ++++−−−−ππππ
==== ∫∫∫∫ y dw )zw(
f(w)
i2
1
b
1n-
0
Cn ++++−−−−ππππ
==== ∫∫∫∫ 
 
siendo C una curva cerrada contenida en el anillo que encierra a z0 
 
Demostración 
 
Sea z un complejo cualquiera que verifica 
 | z – z0 | = R0 con r < R0 < R 
 
Sea C1: | w – z0 | = ρρρρ1 con R0 < ρρρρ1 < R 
 C2: | w – z0 | = ρρρρ2 con r < ρρρρ2 < R0 
 
 
z0 
C 
z0 
C 
C1 
C2 
z 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
27 
 
Como z es interior al anillo determinado por las circunferencias C1 y C2 y f(w) es analítica sobre 
dichas curvas y en la región limitada por ellas, podemos utilizar el resultado obtenido en la 
actividad 10 de la unidad 3 , que nos asegura que: : 
 
dw 
zw
)w(f
 
i2
1
 - dw 
zw
)w(f
 
i2
1
)z(f
21 CC ∫∫∫∫∫∫∫∫ −−−−ππππ−−−−ππππ
==== (hemos cambiado z0 por z y z por w) 
 
a partir de aquí trabajamos como en la demostración de la serie de Taylor, es decir sumamos y 
restamos z0 en los denominadores, obteniendo: 
 
dw 
)z-(z- )z-(w
f(w)
 
i2
1
 -dw 
)z-(z- )z-(w
f(w)
 
i2
1
)z(f
21 C
00
C
00
∫∫∫∫∫∫∫∫ ππππππππ
==== 
 
ahora sacamos factor común (w - z0) del denominador de la primera y sacamos factor común 
(z -z0) del denominador de la segunda, obteniendo: 
 
dw 
z-z
z-w
-1)z-(z
f(w)
 
i2
1
 dw 
 
z-w
z-z
-1)z-(w
f(w)
 
i2
1
)z(f
21 C
0
0
0
C
0
0
0
∫∫∫∫∫∫∫∫





ππππ
++++





ππππ
==== 
 
Mirando estas integrales descubrimos que uno dividido los corchetes se corresponden con la 
suma de una serie geométrica, en la primera integral el módulo de su razón es 
1
R
zw
zz
1
0
0
0 <<<<
ρρρρ
====
−−−−
−−−−
 y en la segunda el módulo de su razón es 1
Rzz
zw
o
2
0
0 <<<<
ρρρρ====
−−−−
−−−−
, por lo tanto 
ambas expresiones se pueden reemplazar por series geométricas convergentes , obteniendo: 
 
dw
z-z
z-w
 
)z-(z
f(w)
 
i2
1
 dw 
z-w
z-z
 )z-(w
f(w)
 
i2
1
)z(f
0n
n
0
0
C
00n
n
0
0
C
0
21
∑∑∑∑∫∫∫∫∑∑∑∑∫∫∫∫
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====






ππππ
++++





ππππ
==== 
 
como en la demostración del teorema de Taylor, nuevamente puede demostrarse que dichas series 
son uniformemente convergentes y que las funciones que multiplican dichas series están acotadas 
sobre las curvas de integración, por lo tanto puede usarse que la integral de una serie es igual a la 
serie de las integrales, obteniendo: 
 
dw )z - (w f(w) 
i2
1
)zz( dw 
 )z-(w
f(w)
 
i2
1
)zz()z(f n
C 0
0n
)1n(
0C 1n
00n
n
0
21
∫∫∫∫∑∑∑∑∫∫∫∫∑∑∑∑ ππππ
−−−−++++
ππππ
−−−−====
∞∞∞∞
====
++++−−−−
++++
∞∞∞∞
====
 
 
(los factores (z- z0)
n y (z - z0)
-(n+1) no dependen de w , por ello los sacamos afuera de la integral) 
 
si llamamos 
dw 
)zw(
f(w)
i2
1
a
1n
0
Cn 1 ++++−−−−ππππ
==== ∫∫∫∫ y dw )zw(
f(w)
i2
1
dw )z - (w f(w)
i2
1
b
n-
0
CC
n
01n
22 −−−−ππππ
====
ππππ
==== ∫∫∫∫∫∫∫∫++++ 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
28 
donde en esta última es importante observar que 
dw 
)zw(
f(w)
i2
1
b
-1)(n-
0
Cn 2 −−−−ππππ
====∫∫∫∫ dw )zw(
f(w)
i2
1
1n-
0
C2 ++++−−−−ππππ
==== ∫∫∫∫ 
 
entonces 1n
0n
)1n(
0n
0n
n
0 b )zz( a)zz()z(f ++++
∞∞∞∞
====
++++−−−−
∞∞∞∞
====
∑∑∑∑∑∑∑∑ −−−−++++−−−−==== , 
 
si en esta segunda serie cambiamos n por n -1 , obtenemos: 
n
0-1n
n
0n
0n
n
0 b )zz( a)zz()z(f ∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−
∞∞∞∞
====
−−−−++++−−−−==== , que es equivalente a lo que queríamos demostrar. 
 
Sólo queda por ver que los coeficientes an y bn pueden obtenerse integrando sobre una curva C , 
contenida en el anillo de analiticidad y no sobre las curvas C1 y C2, pero esto lo dejamos como 
una actividad para el alumno. 
 
 
⊕ Observación sobre las series de Taylor y Laurent 
 
1- Si f(z) es analítica en z0 , es decir es analítica en un círculo abierto centrado en z0 de radio R 
⇒⇒⇒⇒ f(z) puede desarrollarse en serie de potencias positivas de (z - z0 ) (serie de Taylor) y 
dicha serie converge y representa a f(z) en | z - z0| < R 
 
 
2- Si f(z) es analítica en un anillo abierto centrado en z0 , es decir si f(z) es analítica en 
r < | z - z0| < R ⇒⇒⇒⇒ f(z) puede desarrollarse en serie de potencias positivas y/0 negativas de 
(z - z0 ) (serie de Laurent) y dicha serie converge y representa a f(z) en r < | z - z0| < R 
 
 
� Ejemplos 
 
Los coeficientes de la serie de Laurent no se suelen buscar calculando las integrales que definen a 
an y bn , sino por otros métodos que se explican en los siguientes ejemplos y esto se debe a que, 
como ocurre con la serie de Taylor, toda serie convergente de potencias positivas y negativas es 
la serie de Laurent de la función suma y por lo tanto es única. 
 
Es muy importante tener en cuenta que: "para desarrollar una función en serie de Laurent se 
exige que la función sea analítica en un anillo, si el anillo está centrado en z0 entonces la 
serie de Laurent tendrá potencias positivas y/o negativas de (z - z0) 
 
1- La función 
2z
1
)z(f
−−−−
==== es analítica en todo el plano salvo en 2. 
Si pretendemos encontrar una serie de potencias de (z - 0) cuya suma 
sea la función dada, debemos analizar la analiticidad de la función en un 
círculo centrado en z0 = 0, para la serie de Taylor, y en un anillo 
centrado en z0 = 0 , para la serie de Laurent. 
 
 
 
 
 
 
y 
2 x 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
29 
 
El mayor círculo centrado en z0 = 0 donde f es analítica es | z | < 2 y por lo tanto f admite un 
desarrollo de Taylor convergente en dicho círculo. Como además f es analítica en el anillo 
centrado en z0 = 0 definido por 2 < | z | < ∞∞∞∞ entonces f admite un desarrollo de Laurent 
convergente en dicho anillo. 
 
Si queremos encontrar los desarrollos de Taylor y Laurent mencionados, intentamos escribir la 
función como la suma de una serie geométrica, para ello buscamos un 1 en el denominador como 
se muestra a continuación: 
 
Para obtener la serie de Taylor , dividimos numerador y 
denominador por -2 , obteniendo: 
 
 ,
2
z
2
z
2
1
12z
1
)z(f
0n
1n
nn
0n2
z
2
1
∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
====
−−−−====




−−−−====
−−−−
−−−−
====
−−−−
==== si 1
2
z <<<< , es decir | z | < 2 
 
Para obtener la serie de Laurent, dividimos numerador y denominador por z , obteniendo: 
 
 ,
z
2
 
z
2
z
1
 
12z
1
)z(f
0n
1n
nn
0nz
2
z
1
∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
====
====




====
−−−−
====
−−−−
==== si 1
z
2 <<<< , es decir 2 < | z | ó 2 < | z | < ∞∞∞∞ 
 
Observar que la serie de Laurent en este caso sólo tiene potencias negativas 
2- La función f(z) = e1/(z-3) no es analítica en 3, por lo tanto no puede desarrollarse en serie de 
Taylor en potencias de (z - 3) , pero por ser analítica en el anillo 0 < | z - 3 | < ∞∞∞∞ admite un 
desarrollo en serie de Laurent alrededor de z0 = 3 y dicho desarrollo lo obtenemos considerando 
la serie de Taylor de ez alrededor de 0 , que sabemos tiene la forma: 
!n
z 
e
0n
n
z ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
==== y converge 
para todo z, es decir converge en | z | < ∞∞∞∞. 
Si reemplazamos z por 1 / (z - 3) en ambos miembros obtenemos : 
(((( ))))
∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
−−−−−−−−
−−−−
========
0n
n
0n
n
3z
1
3z/1
)3z(!n
1 
 
!n
 
e y esta igualdad vale si z ≠≠≠≠ 3 , por lo tanto podemos 
afirmar que esta serie converge en 0 < | z - 3 | < ∞∞∞∞ 
 
3- Si queremos saber cuáles son las posibles regiones de convergencia de las series de Laurent de 
z
3
 
2z
1
)z(f ++++
−−−−
==== alrededor del punto z0 = i debemos hallar todos los anillos centrados en i 
donde g es analítica 
 
Para ello trazamos circunferencias centradas en i que pasen por los 
puntos donde la función no es analítica, en este caso dichas 
circunferencias tienen radio 1 y radio 5 , por ello el plano complejo 
queda dividido en tres regiones: 
 
 
 
 
� | z - i | < 1, en ella la función dada puede desarrollarse por Taylor pues f es analítica en i 
Recordar que: 
n
0n
0
0 r a
r1
a
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
====
−−−−
, si |r| <1 
i 
0 2 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
30 
� 1< | z - i | < 5 , en este anillo acotado, f puede desarrollarse en serie de Laurent 
� 5 <| z - i | < ∞∞∞∞ , en este anillo no acotado, f también puede desarrollarse en serie de Laurent 
 
Para encontrar los desarrollos mencionados, seguimos pensando en la forma que tiene la suma de 
una serie geométrica, como queremos que las series tengan potencias de (z - i), buscamos que la 
razón contenga dicho factor, es decir se trabaja como se muestra a continuación: 
 
 
2z
1
−−−− {
rdenominado el en i
 restamos y sumamos
==== 
2i)iz(
1
−−−−++++−−−−
 , 
z
3
{
rdenominado el en i
 restamos y sumamos
==== 
i)iz(
3
++++−−−−
 
 
y ahora debemos buscar un 1 en el denominador y esto puede hacerse de dos maneras distintas 
para cada fracción como se muestra a continuación: 
 
 
2z
1
−−−−
= 
2i)iz(
1
−−−−++++−−−− {
2) - i (por r denominado el
 ynumerador el dividimos
==== 
12i
iz
2i
1
++++−−−−
−−−−
−−−− (1) 
 
 
2z
1
−−−−
= 
2i)iz(
1
−−−−++++−−−− {
i)-(zpor r denominado el
 ynumerador el dividimos
==== 
1 iz
2i
iz
1
−−−−
−−−−
−−−−
++++
 (2) 
 
 
z
3
= 
i)iz(
3
++++−−−− {
 
ipor r denominado el
ynumerador el dividimos
==== 
1i
iz
i
3
++++−−−−
 (3) 
 
 
z
3
= 
i)iz(
3
++++−−−− {
i) - (zpor r denominado el
ynumerador el dividimos
==== 
1 iz
i
iz
3
−−−−
−−−−
++++
 (4) 
 
∆∆∆∆ Actividad 8: 
 
a) Las expresiones (1) , (2), (3) y (4) del ejemplo anterior son la suma de series geométricas cuya 
razón contiene en los cuatro casos el factor (z - i) ó (z - i)-1 , expresar dichas expresiones como 
series de potencias positivas o negativas de z - i e indicar la región de validez de cada una 
b) Comprobar que 
si | z - i | < 1 ⇒⇒⇒⇒ f(z) = ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++−−−−
−−−−−−−−
0n
1n
nn
)2i(
)iz()1( ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
−−−−−−−−++++
0n
1n
nn
)i(
)iz(3)1( = ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++++++
−−−−−−−−





++++
−−−−0n
nn
1n1n
)iz()1(
i
3
)2i(
1 
 
si 1 < | z - i | < 5 ⇒⇒⇒⇒ f(z) = ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++−−−−
−−−−−−−−
0n
1n
nn
)2i(
)iz()1(
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++−−−−
−−−−++++
0n
1n
nn
)iz(
)i()1( 3 
 
si 5 < | z - i | < ∞∞∞∞ ⇒⇒⇒⇒ f(z) = ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++−−−−
−−−−−−−−
0n
1n
nn
)iz(
)2i()1(
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++−−−−
−−−−++++
0n
1n
nn
)iz(
)i()1( 3 = (((( ))))∑∑∑∑∞∞∞∞
====
−−−−−−−−−−−−−−−−++++−−−−
0n
1nnnn )iz()1( i 3)2i( 
 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
31 
 
4- Indicar las posibles regiones donde puede expresarse la función 
)3z( 
e
z
4z2
)z(h
z2
++++
++++−−−−==== en 
potencias de (z + 3) y hallar el desarrollo que converja en la región acotada. 
 
Para encontrar las regiones trazamos circunferencias centradas en -3 
que pasen por los puntos donde la función no es analítica, en este 
caso la única circunferencia que podemos trazar tiene radio 3 , por 
ello el plano complejo queda dividido en dos regiones de analiticidad 
de la función : 0 < | z + 3 | < 3 y 3 < | z + 3 | < ∞∞∞∞ 
 
 
 
 
Es muy importante observar que como h(z) no es analítica en -3 , de la primera región hemos 
excluido el -3 , al imponer que 0 < | z - 3 | y además podemos afirmar que esta función no puede 
desarrollarse en serie de Taylor alrededor de dicho punto. 
 
Como nos piden el desarrollo que converja en la región acotada, debemos buscar un desarrollo 
que converja en 0 < | z + 3 | < 3 . 
 
Para ello consideramos la primera fracción como el producto de la función 2z - 4 por la 
función 1 / z . Como 2z - 4 es analítica en -3 , puede desarrollarse en serie de Taylor y dicho 
desarrollo puede obtenerse, pensando en la unicidad , sumando y restando 3 como se muestra a 
continuación: 
 
2z - 4 = 2 [( z + 3) - 3] - 4 = 2 ( z + 3) - 10 , y esta igualdad vale para todo z , 
 
ahora tratamos de expresar 1/z en potencias de z + 3 , para ello buscamos darle la forma de la 
suma de una serie geométrica : 
 
n
0n
1n
n
0n3
)3z(
3
1
)3z(
3
1
3
3z
3
1
13)3z(
1
z
1 ++++−−−−====




 ++++−−−−====
++++−−−−
−−−−
====
−−−−++++
==== ∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
====
++++
 si | z + 3 | < 3 
 
(observar que si hubiéramos buscado el 1 del denominador dividiendo por z + 3 la serie obtenida en ese 
caso no convergería en la región pedida) 
 
Por lo tanto la primera fracción puede escribirse como: 
 
[[[[ ]]]] n
0n
1n
1n
0n
1n
n
0n
1n
)3z(
3
10
)3z(
3
2
)3z(
3
1
 10)3z(2
z
4z2 ++++++++++++−−−−====++++−−−−−−−−++++====
−−−−
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
++++
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
====
++++
 si | z + 3 | < 3 
 
Para sumar las dos últimas series hacemos un corrimiento de índices en la primera de ellas, 
cambiando n por n-1 obteniendo : 
====++++−−−− ++++
∞∞∞∞
====
++++∑∑∑∑
1n
0n
1n
)3z(
3
2 n
1n
n
11n
01n
11n
)3z(
3
2
)3z(
3
2 ++++−−−−====++++−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++−−−−
∞∞∞∞
====−−−−
++++−−−−
 
 
Por lo tanto si | z + 3 | < 3 , vale el siguiente desarrollo 
 
0 
-3 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
32 
n
0n
1n
n
0n
1nn
n
0n
1n
n
1n
n
)3z(
3
4
3
10
)3z(
3
10
3
2
3
10
)3z(
3
10
)3z(
3
2
z
4z2 ++++++++====++++




 ++++−−−−++++====++++++++++++−−−−====
−−−−
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
====
++++
∞∞∞∞
====
 
 
La segunda fracción puede pensarse como el producto de la función e2z por la función 1 / (z + 3) 
 
Como e2z es analítica en -3 puede desarrollarse por Taylor como se muestra a continuación: 
 
e2z = e 2 (z + 3) - 6 = e 2 (z + 3) e -6 = e- 6 ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
0n
n
!n
)3z(
, para todo z 
 
Como 1/(z + 3) = ( z+ 3)-1 , este es su desarrollo en serie de 
Laurent y evidentemente converge para todo z ≠≠≠≠ 3 
 
Por lo tanto la segunda fracción puede expresarse del siguiente modo: 
 
∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−
−−−−
∞∞∞∞
====
−−−− ++++====++++++++====
++++ 0n
1n
6
0n
n
 6-1
z2
!n
)3z(
e
!n
)3z(
 e )3z(
3z
e
 y esta serie converge en la intersección de 
los recintos donde converge cada una , es decir converge en 0 < | z + 3 | < ∞∞∞∞ 
 
Entonces: 
)3z( 
e
z
4z2
)z(h
z2
++++
++++−−−−==== = n
0n
1n
)3z(
3
4
3
10 ++++++++∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++ ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−
−−−− ++++++++
0n
1n
6
!n
)3z(
e si 0 < | z + 3 | < 3 
•••• Ejercicios 
 
17- Desarrollar 
zz
2
)z(h
2 −−−−
==== en serie de Laurent convergente en: 
 
a) 0 < | z | < 1 b) 1 < | z | < ∞∞∞∞ c) 0 < | z - 1 | < 1 d) 1 < | z -1 | < ∞∞∞∞ 
 
18- Representar 
2z
3
z
2
z)z(g 2
−−−−
++++−−−−==== como una serie de Laurent convergente en: 
 
a) 0 < | z | < 2 b) | z | > 2 c) 0 < | z - 2 | < 2 d) 2 < | z + 2 | < 4 
 
19- Dada 
2zz
z
)z(f
2 −−−−++++
==== , hallar una serie de potencias positivas y/o negativas, según 
corresponda, que la represente en las siguientes regiones: 
 
a) | z | < 1 b) 0 < | z - 1| < 3 c) 3 < | z + 2 | < ∞∞∞∞ d) | z + 1 | > 2 
 
20- Hallar el desarrollo en serie de Laurent alrededor de z0 = 0 de las siguientes funciones e 
indicar la región de validez de cada uno 
 
a) 




====
z
4
senz)z(f 3 b) 
4
z2
2 z
e
z
1
z
3
)z(g ++++−−−−==== c) zcose)z(f
2z/1
3 −−−−==== 
Recordar que ∀∀∀∀ z vale: 
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
====
0n
n
z
!n
z
e , por lo tanto 
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++ ++++====
0n
n
3 z
!n
)3z(
e , ∀∀∀∀ z 
 Matemática D 
 
Módulo I - Unidad 4 
33 
 
21- Dada 
)4z)(2z(
1z
)z(F
2 −−−−−−−−
++++==== a) Hallar el radio del mayor círculo centrado en z0 = -1 en el 
que F(z) puede desarrollarse en serie de Taylor e indicar todas las coronas centradas en 
z1 = –2 en las que puede desarrollarse en serie de Laurent. 
a) Hallar la serie de Laurent alrededor de z1 = –2 convergente en la región no acotada 
b) Efectuar el desarrollo en serie de Laurent alrededor de z1 = –2 válido en z2 = 0. 
 
22- Dada 
(((( ))))2
2z
2
2z
z
2z
e
z
2
)z(h
−−−−
−−−−
−−−−
++++====
−−−−
 , hallar la serie de Laurent de h(z) alrededor de z0 = 2 de 
modo que converja en z1 = 2i. Indicar la región de convergencia. 
 
23- Dada t(z) = (((( )))) (((( )))) 




++++
−−−−
−−−−
++++−−−−
2z3
4
1z3
1
1)zz( 22 
 
a) Indicar las regiones donde es posible expresar a t(z) como una serie de potencias positivas y/o 
negativas de z –(2 + i ). 
b) Hallar la serie de Laurent de t(z) que la representa en la región 0 < |z – 1| < 3 
c) Hallar la serie de Laurent de t(z) que la representa en la región 3 < |z + 2| < ∞∞∞∞. 
d) Verificar que z1 = 0 es un cero de t(z) y hallar su orden.